pátek 30. ledna 2009

Quine o intuicionismu

Věta

(A) existuje právě jedno sudé prvočíslo

nemá stejný smysl jako věta

(B) číslo 2 je jediné sudé prvočíslo.

Zdá se, jako by se věta (A) vztahovala k číslu, o kterém mluví, zastřeně, jako by ukazovala někam do tmy. Naproti tomu, věta (B) ukazuje pravdu zcela nezakrytě. Logika, která odmítá mluvit o pravdivosti vět podobných větě (A), má své opodstatnění. Ale platí za to svou cenu.

Conceptualism holds that there are universals but they are mind-made. Intuitionism, espoused in modern times in one form or another by Poincare, Brouwer, Weyl, and others, countenances the use of bound variables to refer abstract entities only when those entities are capable of being cooked up individually from ingredients specified in advance. As Fraenkel has put it, logicism holds that classes are discovered while intuitionism holds that they are invented—a fair statement indeed of the old opposition between realism and conceptualism. This opposition is no mere quibble; it makes an essential difference in the amount of classical mathematics to which one is willing to subscribe. Logicists, or realists, are able on their assumptions to get Cantor’s ascending orders of infinity; intuitionists are compelled to stop with the lowest order of infinity, and, as an indirect consequence, to abandon even some of the classical laws of real numbers. The modern controversy between logicism and intuitionism arose, in fact, from disagreements over infinity.
Willard Van Orman Quine – On What There Is

Konceptualismus zastává názor, že univerzálie sice jsou, jedná se však o výtvory lidské mysli. Intuicionismus zastávaný v různých obdobích moderní doby Poincarém, Brouwerem, Weylem a jinými také dovoluje vázaným proměnným, aby referovaly k abstraktním entitám, nicméně pouze tehdy, jsme-li schopni tyto entity jednotlivě ukuchtit z předem určených ingrediencí. Jak to shrnul Fraenkel, logicismus tvrdí, že třídy jsou objevovány, zatímco intuicionismus má za to, že jsou vynalézány – což je přesným vystižením starého sporu mezi realismem a konceptualismem. Tento rozpor není žádným zápolením o slovíčka; naopak představuje zásadní rozdíl v tom, k jakému rozsahu klasické matematiky, konečnému, či nekonečnému, je člověk ochoten se upsat. Zastánci logicismu neboli realismu mohou na základě svých předpokladů vytvořit Cantorovu vzestupnou hierarchii různých řádů nekonečen; inuicionisté jsou naproti tomu nuceni skončit u prvního řádu nekonečna, a přímým byť ne bezprostředním důsledkem tohoto omezení je nutnost vzdát se i některých klasických zákonů týkajících se reálných čísel. Koneckonců, moderná kontroverze mezi logicismem a intuicionismem povstala právě z odlišného pojímání nekonečna.
Willard Van Orman Quine – O tom, co je

Možná, že se budoucím generacím bude teorie množin zdát stejně směšná, jako se zdá nám směšné ono pověstné scholastické počítání andělů na špičce jehly. Mimochodem, Gödelova první věta o neúplnosti má sice formu věty (A), ale její důkaz už je ve formě věty (B).

Žádné komentáře: