sobota 6. února 2016

Cantorův diagonální důkaz a Richardův paradox

Uvažujme množinu reálných čísel M popsaných konečně mnoha slovy. Pak z této množiny lze diagonalizací vytvořit nové číslo, které do M nepatří, což je spor, protože toto číslo je popsané konečně mnoha slovy. Vojtěch Kolman a Vít Punčochář k tomu říkají:

Analýza tohoto paradoxu nám umožní kriticky posoudit povahu Cantorova diagonálního argumentu, a tím i status některých tvrzení teorie množin, stejně jako obecný význam výše uvedených paradoxů sémantických, s nimiž je argument úzce spřízněn. Ve všech uvedených paradoxech jsou přitom za samozřejmé brány předpoklady filosoficky problematičtější nežli metafora bludného kruhu, která  nemá primárně žádnou filosofickou ani logickou relevanci.
Vojtěch Kolman a Vít Punčochář - Formy jazyka

Existuje cesta ven?

Nabízí se nyní dva možné závěry, z nichž první je tento:

(A) výraz diag není jménem reálného čísla.

Na tento úsudek máme obecně právo, neboť pojem čísla, a zvláště čísla reálného, není nijak přirozený a odvíjí se právě od výchozích kritérií toho, co za číslo, resp. jeho pojmenování[,] hodláme považovat. Druhý možný závěr je tento:

(B) výraz diag je jménem reálného čísla, které transcenduje výrazové možnosti D.
Vojtěch Kolman a Vít Punčochář - Formy jazyka

A co to znamená pro teorii množin?

Důkaz nespočetnosti kontinua totiž neimplikuje nutně, že je reálných čísel více než přirozených, a že tedy musí existovat reálná čísla nepojmenovatelná v jazyce. K takovému závěru lze dojít jen tehdy:

(1) předpokládáme-li, že je jejich celek dán nezávisle na zvolených reprezentacích,

(2) dáváme-li Cantorovu idiosynkratickému pojmu (porovnávání) velikosti množiny skrze (ne)možnost jedno-jednoznačného přiřazení nějaký přirozený význam.

To první tvrzení je zcela proti duchu obratu k jazyku, který je vodítkem našeho zkoumání (...). To druhé je pošetilé již proto, že navržené porovnávání množin mělo zprvu jasné "kotraintuitivní" důsledky, např. zobrazení množiny do sebe sama, které je v rozporu s požadavkem, aby byl celek větší než část, tedy něčím, co by většina těch, co neznají Cantorovu nauku, označila  právě za "přirozené". V Cantorově definici  rovnosti mohutnosti máme proto jen další exemplář do kolekce rozhodnutí , která bylo možné, nikoli nutné, v oblasti základů matematiky učinit.
Vojtěch Kolman a Vít Punčochář - Formy jazyka

Žádné komentáře: