Jde to i přesně

Problém zaokrouhlování je nejen nepřesnost, ale i neplatnost asociativního zákona i když komutativita zůstává neporušena. Např:

(-10¹⁰ + 10^-10) + 10¹⁰ = -10¹⁰ + 10¹⁰ = 0 ≠ (-10¹⁰ + 10¹⁰) + 10^-10 = 10^-10.

Výsledek je tedy nejen nepřesný, ale i pokaždé jiný v závislosti na tom, v jakém pořadí jsou operace vykonávány. Obě nevýhody lze zcela odstranit, pokud se omezíme jen na racionální čísla. To lze v případě řešení soustavy lineárních rovnic, protože řešení soustavy s racionálními koeficienty je opět racionální, což lze snadno dokázat. Přiložený skript je implementace Gaussovy eliminační metody. Řešení (ovšem až na výpis) je zcela přesné bez jakéhokoliv zaokrouhlování, což je zaručeno tím, že racionální číslo je reprezentováno dvěmi čísly celými. Skriptovací jazyk Python nemá kromě omezené paměti jiné omezení na celá čísla.

def codeInt(x):
return [x, 1]

def RatMPrint(A):
for r in A:
 for c in r:
  print float(c[0]) / float(c[1]),
 print

def RatEq(a, b):
return a[0] * b[1] == b[0] * a[1]

def RatAdd(a, b):
return [a[0] * b[1] + b[0] * a[1], a[1] * b[1]]

def RatDiff(a, b):
return [a[0] * b[1] - b[0] * a[1], a[1] * b[1]]

def RatMult(a, b):
return [a[0] * b[0], a[1] * b[1]]

def RatDiv(a, b):
return [a[0] * b[1], a[1] * b[0]]

def RatAbs(a):
return [abs(a[0]), abs(a[1])]

def RatIsGr(a, b):
return a[0] * b[1] > b[0] * a[1]

def RatSize(A):
r = len(A)
c = 0
if r > 0:
 c = len(A[0])
return [r, c]

def RatMGaussJordan(m):
[h, w] = RatSize(m)
for y in range(0, h):
 maxrow = y
 for y2 in range(y + 1, h):    # Find max pivot
  if RatIsGr(RatAbs(m[y2][y]), RatAbs(m[maxrow][y])):
   maxrow = y2
  (m[y], m[maxrow]) = (m[maxrow], m[y])
 if RatEq(m[y][y], codeInt(0)):     # Singular?
  return False
 for y2 in range(y + 1, h):    # Eliminate column y
  c = RatDiv(m[y2][y], m[y][y])
  for x in range(y, w):
   m[y2][x] = RatDiff(m[y2][x], RatMult(m[y][x], c))
for y in range(h-1, 0-1, -1): # Backsubstitute
 c  = m[y][y]
 for y2 in range(0, y):
  for x in range(w - 1, y - 1, -1):
   m[y2][x] =  RatDiff(m[y2][x], RatMult(m[y][x], RatDiv(m[y2][y], c)))
 m[y][y] = RatDiv(m[y][y], c)
 for x in range(h, w):       # Normalize row y
  m[y][x] = RatDiv(m[y][x], c)
return True

#*******************************************************************************

m = [[codeInt(1), codeInt(2), codeInt(0)],
   [codeInt(3), codeInt(4), codeInt(1)]]
if RatMGaussJordan(m):
RatMPrint(m)

K čemu je intenzionální logika?

Využitelnost klasické logiky pro sémantickou analýzu skutečného jazyka je z tohoto i z dalších důvodů značně omezená: klasickým příkladem, který se jako ilustrace nedostatečnosti této logiky uvádí, je věta John hledá jednorožce (Montague, 1974), kterou můžeme v českém kulturním kontextu nahradit větou Honza hledá draka. Přímočará logická analýza této věty v rámci tradiční logiky vede k formuli

∃x. Hledá(Honza,x) & Drak(x),

ze které ovšem přímo vyplývá

∃x. Drak(x).

To znamená, že kdyby byla tato analýza správná, bylo by možné hledat draka jedině tehdy, kdyby nějací draci existovali. Jednou z cest, jak tento model „vylepšit“, je přejít od této klasické, extenzionální logiky k logice intenzionální.

Jaroslav Peregrin – Pavel Tichý a jeho logika

Xenofón o tom, jak se dělá moc

Dostat se k moci je nejjednodušší v době krize, kdy je třeba rychlých a rázných řešení. K upevnění moci je jen jediná věc lepší než obyčejný teror, a to teror, který má alespoň na začátku zdání legálnosti nebo dokonce podpory lidu.

Jakmile byly v Athénách strženy Dlouhé zdi a opevnění okolo Pirea, došlo k volbě třiceti mužů. Ale ačkoli byli zvoleni proto, aby sepsali zákony, podle nichž by se řídil veřejný život, jejich sepsání a vyhlášení stále oddalovali. Podle svého vlastního mínění ustanovili pouze radu a ostatní úřady. Potom dali nejprve zatýkat a soudit k trestu smrti občany, o nichž bylo obecně známo, že se za demokratické vlády živili udavačstvím a vydírali aristokraty. A rada je ochotně odsuzovala a vůbec se proto netrápili ani ostatní, kteří bezpečně věděli, že nepatří k odsuzovaným.

Xenofón – Řecké dějiny

Pozvání vojenské posádky ze „spřátelené“ mocnosti není nic nového.

Když potom začali členové třicítky uvažovat, jak by mohli svého postavení ve veřejném životě využívat k prosazení vlastních zájmů, poslali nejprve do Lakedaimonu Aischina a Aristotela a podařilo se jim přemluvit Lýsandra, že v zájmu třicítky prosadí, aby je podporovala lakedaimonská posádka, dokud neodstraní rozvratníky a neupevní své zřízení. Slibovali, že sami ponesou náklady na hmotné zajištění posádky. Lýsandros se dal přemluvit a prosadil, aby k nim byla poslána posádka v čele s Kallibiem. Jakmile dostali posádku, všemožně zahrnovali Kallibia náklonností a podporou, aby souhlasil s veškerým jejich jednáním. A poněvadž s nimi posílal některé ze stráží, zatýkali již každého podle své vůle, a ne snad jen málo významné rozvratníky, nýbrž i ty, kteří – jak se domnívali – se nedají přimět k trpné nečinnosti a kteří by se mohli pokusit o odpor získat co nejširší dobrovolnou pomoc.

Xenofón – Řecké dějiny

Také je třeba hledat nepřítele a to i ve vlastních řadách.

Členové rady! Soudí-li někdo z vás, že umírá více občanů, nežli si žádá nynější čas, nechť uváží, že takovéto věci se dějí všude, kde dochází ke změně státního zřízení. Je zcela zákonité, že také u nás máme neobyčejně mnoho nepřítel, poněvadž přetváříme stát v oligarchii, a pak – žijeme v Athénách, nejlidnatějším řeckém městě, ve kterém se odedávna pěstuje svobodná vláda lidu. Poněvadž jsme však toho názoru, že pro nás i pro vás je demokracie nepřijatelná, a poněvadž dále víme, že demokraté nikdy nebudou nakloněny Lakedaimoňanům, kteří nás zachránili, ale že jim naopak zůstanou věrni aristokraté, proto zavádíme toto uspořádání státu se souhlasem Lakedaimoňanů. A zjistíme-li odpůrce oligarchie, podle svých sil jej odstraňujeme. Podle našeho názoru je však naprosto spravedlivé, aby byl především potrestán každý, kdo přímo mezi námi toto zřízení poškozuje.

Xenofón – Řecké dějiny

Odkaz na Bolzana

Bolzanovy Paradoxy nekonečna v pdf jsou ke stažení na adrese http://dml.cz/handle/10338.dmlcz/400001.

Bertrand Russell o naivním realismu

We all start from "naive realism'', i.e., the doctrine that things are what they seem. We think that grass is green, that stones are hard, and that snow is cold. But physics assures us that the greenness of grass, the hardness of stones, and the coldness of snow, are not the greenness, hardness, and coldness that we know in our own experience, but something very different. The observer, when he seems to himself to be observing a stone, is really, if physics is to be believed, observing the effects of the stone upon himself. Thus science seems to be at war with itself: when it most means to be objective, it finds itself plunged into subjectivity against its will. Naive realism leads to physics, and physics, if true, shows that naive realism is false naive realism, if true, is false: therefore it is false. And the behaviourist, when he thinks he is recording observations about the outer world, is really recording observations about what is happening in him.

Bertrand Russell – An Inquiry into Meaning and Truth

My všichni vycházíme z „naivního realismu“, tj. z učení, že věci jsou tím, čím se zdají být. Myslíme si, že tráva je zelená, že kameny jsou tvrdé a sníh je studený. Ale fyzika nás přesvědčuje o tom, že zelenost trávy, tvrdost kamenů a chladnost sněhu nejsou zeleností, tvrdostí a chladnost, které známe z naší vlastní zkušenosti, nýbrž něčím velmi odlišným. Když se pozorovateli zdá, že pozoruje kámen, pozoruje ve skutečnosti – má-li se věřit fyzice – účinky kamene na sebe sama. Tak se zdá, že věda vede válku sama proti sobě: když se nejvíce domnívá, že je objektivní, zjišťuje, že vězí proti své vůli v subjektivitě. Naivní realismus vede k fyzice a fyzika, pokud je pravdivá, ukazuje, že naivní realismus je nepravdivý. Proto je-li naivní realismus pravdivý, je nepravdivý, je tedy nepravdivý. A tak když si behaviorista myslí, že zaznamenává pozorování o vnějším světě, zaznamenává ve skutečnosti pozorování o tom, co se děje v něm.

Bertrand Russell – Zkoumání o smyslu a pravdivosti

Hegel o matematice a filosofii

Im mathematischen Erkennen ist die Einsicht ein für die Sache äußerliches Tun; es folgt daraus, daß die wahre Sache dadurch verändert wird. Das Mittel, Konstruktion und Beweis, enthält daher wohl wahre Sätze; aber ebensosehr muß gesagt werden, daß der Inhalt falsch ist. Das Dreieck wird in dem obigen Beispiele zerrissen und seine Teile zu andern Figuren, die die Konstruktion an ihm entstehen läßt, geschlagen. Erst am Ende wird das Dreieck wiederhergestellt, um das es eigentlich zu tun ist, das im Fortgange aus den Augen verloren wurde, und nur in Stücken, die andern Ganzen angehörten, vorkam.--Hier sehen wir also auch die Negativität des Inhalts eintreten, welche eine Falschheit desselben ebensogut genannt werden müßte als in der Bewegung des Begriffs das Verschwinden der festgemeinten Gedanken. Die eigentliche Mangelhaftigkeit dieses Erkennens aber betrifft sowohl das Erkennen selbst als seinen Stoff überhaupt. – Was das Erkennen betrifft, so wird vors erste die Notwendigkeit der Konstruktion nicht eingesehen. Sie geht nicht aus dem Begriffe des Theorems hervor, sondern wird geboten, und man hat dieser Vorschrift, gerade diese Linien, deren unendliche andere gezogen werden könnten, zu ziehen, blindlings zu gehorchen, ohne etwas weiter zu wissen, als den guten Glauben zu haben, daß dies zu Führung des Beweiseszweckmäßig sein werde. Hintennach zeigt sich denn auch diese Zweckmäßigkeit, die deswegen nur eine äußerliche ist, weil sie sich erst hintennach, beim Beweise, zeigt. – Ebenso geht dieser einen Weg, der irgendwo anfängt, man weiß noch nicht in welcher Beziehung auf das Resultat, das herauskommen soll. Sein Fortgang nimmt diese Bestimmungen und Beziehungen auf und läßt andre liegen, ohne daß man unmittelbar einsehe, nach welcher Notwendigkeit; ein äußerer Zweck regiert diese Bewegung. Die Evidenz dieses mangelhaften Erkennens, auf welche die Mathematik stolz ist, und womit sie sich auch gegen die Philosophie brüstet, beruht allein auf der Armut ihres Zwecks und der Mangelhaftigkeit ihres Stoffs, und ist darum von einer Art, die die Philosophie verschmähen muß. – Ihr Zweck oder Begriff ist die Größe. Dies ist gerade das unwesentliche, begrifflose Verhältnis. Die Bewegung des Wissens geht darum auf der Oberfläche vor, berührt nicht die Sache selbst, nicht das Wesen oder den Begriff, und ist deswegen kein Begreifen. – Der Stoff, über den die Mathematik den erfreulichen Schatz von Wahrheiten gewährt, ist der Raum und das Eins. Der Raum ist das Dasein, worin der Begriff seine Unterschiede einschreibt, als in ein leeres, totes Element, worin sie ebenso unbewegt und leblos sind. Das Wirkliche ist nicht ein Räumliches, wie es in der Mathematik betrachtet wird; Mit solcher Unwirklichkeit, als die Dinge der Mathematik sind, gibt sich weder das konkrete sinnliche Anschauen noch die Philosophie ab. In solchem unwirklichen Elemente gibt es denn auch nur unwirkliches Wahres, d.h. fixierte, tote Sätze; bei jedem derselben kann aufgehört werden; der folgende fängt für sich von neuem an, ohne daß der erste sich selbst zum andern fortbewegte und ohne daß auf diese Weise ein notwendiger Zusammenhang durch die Natur der Sache selbst entstünde. –Auch läuft um jenes Prinzips und Elements willen--und hierin besteht das Formelle der mathematischen Evidenz - das Wissen an der Linie der Gleichheit fort. Denn das Tote, weil es sich nicht selbst bewegt, kommt nicht zu Unterschieden des Wesens, nicht zur wesentlichen Entgegensetzung oder Ungleichheit, daher nicht zum Übergange des Entgegengesetzten in das Entgegengesetzte, nicht zur qualitativen, immanenten, nicht zur Selbstbewegung. Denn es ist die Größe, der unwesentliche Unterschied, den die Mathematik allein betrachtet. Daß es der Begriff ist, der den Raum in seine Dimensionen entzweit und die Verbindungen derselben und in denselben bestimmt, davon abstrahiert sie; sie betrachtet z.B. nicht das Verhältnis der Linie zur Fläche; und wo sie den Durchmesser des Kreises mit der Peripherie vergleicht, stößt sie auf die Inkommensurabilität derselben, d.h. ein Verhältnis des Begriffs, ein Unendliches, das ihrer Bestimmung entflieht.

Georg Wilhelm Friedrich Hegel – Phaenomenologie des Geistes

V matematickém poznání je nahlédnutí, jak se věci mají, úkonem pro věc vnějším; z toho vyplývá, že pravá věc se tímto úkonem mění. Prostředek tohoto nahlédnutí, totiž konstrukce a důkaz, obsahuje zajisté pravdivé věty; ale zároveň je nutno také říci, že obsah je nepravdivý. Trojúhelník v příkladě uvedeném shora je roztrhán, jeho části se připojují k jiným obrazcům, které v něm vznikají konstrukcí. Teprve na konci se opět restituuje trojúhelník, ,o který vlastně běží, který byl postupem věci ztracen z očí a vyskytoval se pouze v částech příslušných k jiným celkům. — Zde pozorujeme tedy též, jak vystupuje zápornost obsahu, kterou bychom měli nazývati jeho nepravdivostí, tak jako jí v pohybu pojmu nazýváme zanikání myšlenek považovaných za ustálené. Vlastní nedostatečnost tohoto poznání se týče však právě tak poznání sama jako jeho látky vůbec. — Co se týče poznání, především není myšlenkově jasná nutnost konstrukce. Nevyplývá z pojmu poučky, nýbrž je nám předepsána, a předpisu, abychom vedli právě tyto linie, zatím co by bylo možno vésti nekonečný počet jiných, musíme být slepě poslušní; přitom nemáme jiné vědění než dobrou víru, že to bude účelné k provedení důkazu. Dodatečně se vskutku též ukazuje tato účelnost, která je proto pouze vnější, poněvadž se ukazuje teprve dodatečně při důkazu. Právě tak kráčí důkaz cestou, která odněkud vychází, aniž ještě víme, v jakém je vztahu k výsledku, který má vyjíti. Postup důkazu tato určení a vztahy přijímá a jiné ponechává stranou, aniž nahlížíme bezprostředně, podle jaké nutnosti se to děje; tento pohyb je řízen vnějším účelem. Evidence tohoto nedostatečného poznání, na niž je matematika hrdá a kterou se též pyšní před filosofií, záleží výhradně v tom, že její účel je chudý a její látka nedostatečná, a je tedy toho druhu, který musí filosofie zavrhnouti. — Její účel či pojem je veličina. Právě ta je nebytostným, nepojmovým vztahem. Pohyb vědění odehrává se proto na povrchu, nedotýká se věci samé, nedotýká se bytnosti ani pojmu, a proto není žádným chápáním. — Látka, o níž matematika zaručuje utěšené bohatství pravd, je prostor u jednotka. Prostor je to jsoucno, do něhož pojem zapisuje své rozdíly jako do prázdného mrtvého živlu, v němž tyto rozdíly jsou rovněž nehybné a bez života. Skutečnost není něčím prostorovým, jak na prostor pohlížíme v matematice; s takovou neskutečností, jakou jsou matematické věci, se nezahazuje ani konkrétní smyslový názor, natož filosofie. V takovém neskutečném živlu pak též existuje jen neskutečná pravda, tj. ustálené mrtvé věty; u každé z nich je možno přestati; následující začíná pro sebe od začátku, aniž se první pohybovala sama od sebe k jiné větě a aniž tímto způsobem vznikala povahou věci samé nutná souvislost. — Je také důsledkem onoho principu a živlu — a v tom tkví formálnost matematické evidence — že vědění postupuje po linii rovnosti. Neboť to, co je mrtvé, nedospívá k rozdílům bytnosti, jelikož se samo nepohybuje, nedospívá k bytostnému protikladu či nerovnosti. tudíž ani k přechodu protikladu v protiklad, kvalitativnímu, imanentnímu pohybu, k svéhybnosti. Neboť to, k čemu matematika výhradně přihlíží, je veličinný nebytostný rozdíl. Že to, co rozčleňuje prostor v jeho dimense a určuje spojení dimensí a spojení v dimensích, je pojem, od toho matematika abstrahuje; neuvažuje např. o vztahu mezi linií a plochou; a tam, kde srovnává obvod kruhu s jeho průměrem, naráží na jejich nesouměřitelnost. tj. pojmový vztah, a tím na něco nekonečného, co uniká jejímu určení.

Georg Wilhelm Friedrich Hegel – Fenomenologie ducha

Auf die Frage: „Was ist das Itzt?“ antworten wir also zum Beispiel: „Das Itzt ist die Nacht“. Um die Wahrheit dieser sinnlichen Gewißheit zu prüfen, ist ein einfacher Versuch hinreichend. Wir schreiben diese Wahrheit auf; eine Wahrheit kann durch Aufschreiben nicht verlieren; ebensowenig dadurch, daß wir sie aufbewahren. Sehen wir „itzt, diesen Mittag“, die aufgeschriebene Wahrheit wieder an, so werden wir sagen müssen, daß sie schal geworden ist. (...) Die Sprache aber ist, wie wir sehen, das Wahrhaftere; in ihr widerlegen wir selbst unmittelbar unsere Meinung, und da das Allgemeine das Wahre der sinnlichen Gewißheit ist, und die Sprache nur dieses Wahre ausdrückt, so ist es gar nicht möglich, daß wir ein sinnliches Sein, das wir meinen, je sagen können.

Georg Wilhelm Friedrich Hegel – Phaenomenologie des Geistes

Na otázku: co jest nyní? odpovíme tedy například: Nyní jest noc. K tomu, abychom vyzkoušeli pravdivost této smyslové jistoty, dostačí jednoduchý pokus. Tuto pravdu si napíšeme; napsáním pravda nemůže nic ztratit; ani tím, že si ji uschováme. Podíváme-li se nyní, v toto poledne, znovu na tu napsanou pravdu, budeme musit říci, že vyvanula. (...) Řeč však, jak vidíme, jest pravdivější: v ní vyvracíme bezprostředně sami své míněni; a jelikož všeobecno je pravda smyslové jistoty a ježto řeč vyjadřuje jen tuto pravdu, není vůbec možné, abychom smyslové bytí, které míníme, kdy vyslovili.

Georg Wilhelm Friedrich Hegel – Fenomenologie ducha

Kolapsy civilizací

Záznam přednášky na téma „Kolapsy civilizací“, kterou přednesl Doc. Miroslav Bárta, je ve zvukové podobě ke stažení zde: 1. část, 2.část. Záznamy dalších přednášek jsou zde.

Václav Hořejší o realismu

Václav Hořejší se v pořadu Vstupe! zmínil velmi krátce i o filosofii vědy. Následující text sice nepřispívá k ani filosofii vědy a ani k filosofii matematiky, ale je to zajímavá ukázka toho, jak lze reflektovat svou práci.

Já dokonce mám někdy takový pocit – a vím, že to zní trochu divně –, že geniální skladatelé, kteří složili nějakou skvělou symfonii, ji odněkud vytáhli skoro hotovou, že ji nevymysleli, ale že v tom platónském smyslu existovala ve světě idejí, a oni ji jen vytáhli podobně, jako vytahujeme my přírodovědci tajemství přírody, která existují objektivně, a která jsou někde hotová. A ještě zajímavější je přechod mezi těmito dvěma věcmi a to je matematika. Naprosto abstraktní matematické zákonitosti vypadají, že existují zcela objektivně, nezávisle na vůli matematiků, kteří je v jakémsi abstraktním prostoru nebo světě objevují podobně, jako my přírodovědci objevujeme materiální vztahy a objekty. To mě velmi fascinuje.

Text je trochu upraven, aby se dal dobře číst. Pořad si lze poslechnout zde. Uvedená ukázka je po 21 minutě pořadu.

O co jde v alternativní teorii množin?

Klasické matematické představy jsou dnes kanonizovány v Cantorově teorii množin. Jen ty struktury jsou možné, které mají v této teorii model (Gödelova věta o úplnosti). Tím tato teorie do sebe uzavřela veškerou matematiku. V matematice nesmí být nic, co by nebylo možno v Cantorově teorii modelovat, co by ji překračovat, nebo míjelo. Tedy poněkud volně řečeno, matematika (přesněji filosofie matematiky) se rovná Cantorově teorii množin (přesněji její filosofíi). V tomto zajetí jsou i různé směry kritizující klasickou matematiku, které v podstatě jen Cantorovu teorii množin zužují. Tím ovšem lze proti těmto kritikám vznést do značné míry oprávněnou kritiku, že matematice kladou pouze různé překážky ve formě zákazů a tím ji brání v rozletu. Ostatně i takto různě oklešťovanou matematiku lze v Cantorově teorii modelovat. Tato námitka bývá vznášena i vůči alternativní teorii množin, a to ze strany těch matematiků, kteří základní principy této teorie nepochopili nebo nebyli schopni domyslet.

Petr Vopěnka – O co jde v alternativní teorii množin

Základním pojem, bez něhož nelze alternativní teorii množin charakterizovat, je přirozené nekonečno.

Jsme-li důslední, nezbývám nám než uznat, že v nějaké podobě se nekonečno ukazuje již na velkých množinách a ne až za nimi. Je-li nekonečno aplikovatelné na jisté jevy ukazující se na velkých množinách, pak tam v nějaké podobě již musí být přítomné. Kdyby tam nebylo, nemohli bychom je tam aplikovat, nebo chceme-li, příslušnou situaci v infinitní matematice modelovat. Této podobě nekonečna budeme říkat nekonečno přirozené.

Petr Vopěnka – O co jde v alternativní teorii množin

Základní charakteristikou alternativní teorie množin je záměrné studium přirozeného nekonečna. Nově o alternativní teorii množin pojednává kniha Petra Vopěnky Pojednání o jevech povstávajících na množstvích. Další informace o této knize jsou zde.

Karel Čapek o logických důkazech

Toto slovo je rozšířeno hlavně ve rčení “Dokážu vám to logicky.” Načež následuje výklad, který buď opakuje to, co už je řečeno, a pak je zbytečný, nebo říká něco jiného, a pak je nemístný; v každém případě však je daleko složitější než prvotní věta, která se má dokázat. Obyčejně je “logický důkaz” veden tak, jako by měl odpůrce hlavně unavit a splést; je to taktika strašlivá a obmyslná, plná záhadných chvatů, mostů, kravat a masáží jako řeckořímský zápas. Avšak o řeckořímském logickém důkazu jest jediná pravda, že se nic nedá logicky dokazovat; což vám dokážu logicky. Buď dokazuji své tvrzení samými evidentními soudy; ale kdyby mé tvrzení plynulo evidentně z evidentních vět, bylo by samo evidentní, a tu by ovšem naprosto nepotřebovalo být dokazováno. Nebo dokazuji své tvrzení větami neevidentními, ale pak bych musel logicky dokazovat všechny tyto věty “usque ad infinitum”, jak říkají řeckořímští zápasníci, z čehož logicky plyne, že logický důkaz je nemožný; a není-li tento logický důkaz naprosto přesvědčující, vidíte z toho, že logické dokazování opravdu za nic nestojí. Jediný možný důkaz nějaké obecné pravdy, zásady, kritéria a tak dále je naprosto nelogický. Vyslov nějakou větu, která se ti líbí, a kterou bys tudíž rád považoval za obecnou pravdu. Tuto větu vlož fiktivně do úst svému největšímu nepříteli, kterého nadto považuješ za bezcharakterního osla; bude-li se ti ta věta líbit i pak, je dobrá a drž se jí; neboť nemůže být důkazu mocnějšího než uznání pravdy nepřítelovy.

Karel Čapek – Kritika slov

Antonín Sochor k tomuto uvádí:

K. Čapek zpochybňuje samu podstatu logiky, neboť pojem důkazu je jedním z jejích nejdůležitějších pojmů. Pokud bychom však přijali Čapkovy výhrady, musili bychom revidovat náš přístup k mnohem širší oblasti zahrnující celé lidské rozumové vyvozování. Připomeňme, že Eukleidés (315–271 př. Kr.) ve svých Základech jako prvý vyvozuje z několika axiomů celou nauku (geometrii, ale protože aritmetiku chápe jako součást geometrie, je možno říci, že celou tehdejší matematiku). Deduktivní metoda však neovlivnila pouze matematiku a vědy blízké matematice (např. teoretickou fyziku), ale zasahuje — a to dokonce i ve své formalizované podobě – do velice mnoha oblastí lidského poznání; jako příklad uveďme knihu Barucha Spinozy Ethica more geometrico demonstrata z let 1662–1665, kde je podávána filozofie metodou věta – důkaz). Naštěstí není těžké nahlédnout, že Čapkovy námitky naprosto nereflektují lidskou zkušenost. (...) Parafrázujeme-li jeho úvahu, můžeme také jednoduše „dokázat , že nikdy nedojdeme z Prahy do Prčic: při každém kroku se naše pozice změní jen málo a Prčice jsou od Prahy dost daleko. Chyba Čapkovy úvahy spočívá v tom, že mnoha (byť malými) kroky je možno urazit velkou vzdálenost, což řada účastníků pochodu na uvedené trase prakticky prokázala. Analogicky není možno popřít, že i pomocí evidentních důkazových kroků je možno dojít (je-li jich hodně) k tvrzením značně neevidentním.

Antonín Sochor – Klasická matematická logika

Naprosto stejný text je i v knize dostupné v elektronické podobě zde.

Federico García Lorca - V některých duších

Hay almas que tienen
azules luceros,
mañanas marchitas
entre hojas del tiempo,
y castos rincones
que guardan un viejo
rumor de nostalgias
y sueños.

Otras almas tienen
dolientes espectros
de pasiones. Frutas
con gusanos. Ecos
de una voz quemada
que viene de lejos
como una corriente
de sombra. Recuerdos
vacíos de llanto
y migajas de besos.

Mi alma está madura
hace mucho tiempo,
y se desmorona
turbia de misterio.
Piedras juveniles
roídas de ensueño
caen sobre las aguas
de mis pensamientos.
Cada piedra dice:
"¡Dios está muy lejos!"

Federico García Lorca - Hay almas que tienen ...

Český překlad je dílem Miloslava Uličného.

V některých duších
jsou modré hvězdy,
v listoví času
povadlé dnění,
a čisté kouty,
ve kterých přežil
starý šum touhy
a snění.

A v jiných duších
ovoce s červy.
Přízraky vášní,
truchlivé scény.
Ozvěny hlasu,
jenž, popálený,
jako proud šera
z daleka letí.
Dávný zvuk pláče,
prach políbení.

Jak dávno zralou
duši mám, nevím
Pod tíhou tajů
rozpadá se mi.
Kameny mládí
zvětralé sněním
padají do vod
mých přemýšlení.
A praví: „Bůh je
daleko v nebi.“

Federico García Lorca - V některých duších ...

Russellův paradox

Co je podstatné u čistého matematického poznání a čím se odlišuje ode všeho jiného poznání a priori, je okolnost, že musí postupovat nikoli pomocí pouhých pojmů, nýbrž tak, že je názorně konstruuje.

Immanuel Kant – Prolegomena ke každé příští metafyzice, jež se bude moci stát vědou

Oponovat Kantově představě, že matematické pravdy nevycházejí analyticky z pojmů, ale jejich pravdivost vidíme pomocí názoru, lze nejlépe tak, že se vytvoří jakási „abeceda“ a mechanizmus, který dovede jednoznačně rozhodnout, která věta čisté matematiky napsaná touto „abecedou“ je pravdivá.

K tomu, aby se taková „abeceda“ dala vytvořit, ovšem zbývala jedna „maličkost“: bylo třeba posbírat a zinventarizovat všechny naše myšlenky a ideje, zjistit, pro které vyjádření nemáme, případně které vyjadřujeme nějak „nevhodně“, a tyto nedostatky a nesrovnalosti odstranit. Problém byl ovšem v tom, že nikdo neměl nejmenší ponětí, jak tohle udělat (...).

Jaroslav Peregrin – Co je to (Fregovská) Logika?

Mnohé kalkuly již pochopitelně existovaly. Ale čistou matematiku např. v Booleově logice v žádném případě v celé své složitosti vystavět nelze. Pojmové písmo, jak říká Gottlob Frege svému formálnímu jazyku, je geniálním pokusem, který se zdál zcela převrátit základy matematiky a zbavit je onoho Kantova názoru. Alespoň do roku 1901, kdy Bertrand Russell napsal Gottlobu Fregovi tento dopis.

Vážený pane kolego!

Již půldruhého roku znám Vaše „Základní zákony aritmetiky“, ale teprve nyní se mi podařilo najít čas na důkladnější studium, které jsem měl v úmyslu Vašim spisům věnovat. Shledal jsem, že jsem s Vámi ve všech hlavních věcech zcela zajedno, zvláště v zavržení každého psychologického momentu v logice a v ocenění významu pojmového písma pro základy matematiky a formální logiky, které lze od sebe ostatně stěží rozlišit. V mnoha jednotlivých otázkách našel jsem u Vás diskuse, rozlišení a definice, o kterých u ostatních logiků není ani zmínka. Zvláště ve věci funkce (§9 Vašeho Pojmového písma) jsem samostatně dospěl do detailu k týmž názorům. Pouze v jediném bodě jsem narazil na obtíž. Tvrdíte, že i funkce může být neurčitým elementem. Myslel jsem si to dříve také, avšak nyní o tom názoru pochybuji, a to s ohledem na následující spor. Budiž w predikát: být predikátem, který nemůže být predikován sám sobě. Může být w predikován sám sobě? Z každé odpovědi vyplývá opak. Proto musíme usoudit, že w není predikát. Právě tak neexistuje žádná třída (jako celek) takových tříd, které samy sobě jakožto celku nenáleží.

Chystám se dokončit knihu o principech matematiky a rád bych v ní o Vašem díle podrobněji pohovořil. Vaše knihy již mám nebo si je brzy koupím; ale byl bych Vám velmi vděčný, kdybyste mi mohl zaslat separáty Vašich článků v různých časopisech. Kdyby to ale nebylo možné, vyrobím si je v knihovně.

Exaktní rozpracování logiky je ve fundamentálních otázkách, kde symboly selhávají, velmi zaostalé; u Vás jsem nalezl to nejlepší, co je mi z naší doby známo, a proto si dovoluji vyjádřit Vám svůj nejhlubší respekt. Je politováníhodné, že jste ještě nedosáhl uveřejnění druhého dílu Vašich Základních zákonů; doufejme, že se tak stane.

S uctivým pozdravem,
Váš nejoddanější
Bertrand Russell

Výše uvedený spor vypadá v Peanově notaci takto:

A = {x;x ∉ x} → (A ∈ A ↔ A ∉ A)

Peanovi jsem o tom napsal, ale zůstal mi dlužen odpověď.

Použitá notace není Peanova, ale přepsal jsem ji do jednodušší notace. Ostatek přeložil Vojtěch Kolman a lze to nalézt v jeho knize Logika Gottloba Frega.

Hegel o povyku proti sofistice

Sein handelndes Wesen ist der ganze Geist, aber als Geist ist er sich seiner nicht bewußt, sondern was er sich bewußt wird, sind solche Gesetze, Regeln, allgemeine Sätze, die ihm im Bewußtsein für wahr gelten; und im Handeln widerlegt er selbst die Borniertheit seines Verstandes. Aber dies Bewußtsein spricht solches bestimmte Sein und das Sein überhaupt als absolutes Wesen aus und heißt dies sein Bewußtsein, seinen Verstand. Wenn der Begriff sich gegen diesen Reichtum, den es an Wahrheit zu besitzen glaubt, wendet und es die Gefahr für seine Wahrheit wittert (denn das Bewußtsein weiß, daß es nur insofern ist, als es Wahrheit hat) und seine festen Wesenheiten ihm verwirrt werden, so wird es aufgebracht; und der Begriff in dieser seiner Beziehung (Realisierung), daß er sich an die gemeinen Wahrheiten macht, zieht sich Haß und Schimpf zu. Dies ist das allgemeine Geschrei gegen die Sophisterei, ein Geschrei des gesunden Menschenverstandes, der sich nicht anders zu helfen weiß.

Georg Wilhelm Friedrich Hegel – Vorlesungen über die Geschichte der Philosophie

Ale prosté rozvažování si přitom není vědomo samo sebe jako ducha; co vstupuje do jeho vědomí, jsou takové určité zákony, pravidla a obecné poučky, jež prostému rozvažování platí jako absolutní pravda, jejichž omezenost ale samo vyvrací svým jednáním. Obrátí-li se pojem proti tomuto bohatství vědomí, o němž se vědomí domnívá, že je mu vlastní, větří v tom prosté vědomí nebezpečí pro své pravdy, bez nichž by nemohlo být. A jsou-li tyto pravdy převráceny, tu se prosté vědomí rozzuří a pojem si vyslouží jeho nenávist a nadávky za to, že se dotkl těchto pravd, aby se mohl uskutečnit. Proto takový všeobecný povyk proti sofistice; je to povyk „zdravého lidského rozumu“, jenž si nedovede jinak pomoci.

Georg Wilhelm Friedrich Hegel – Dějiny filosofie

Tento a další texty v německém originále jsou zde.

Pythagoras ve starověké anekdotě

φησὶ δ' Ἀπολλόδωρος ὁ λογιστικὸς ἑκατόμβην θῦσαι αὐτόν, εὑρόντα ὅτι τοῦ τριγώνου ὀρθογωνίου ἡ ὑποτείνουσα πλευρὰ ἴσον δύναται ταῖς περιεχούσαις. καὶ ἔστιν ἐπίγραμμα οὕτως ἔχον

ἤνυκε Πυθαγόρης τὸ περικλεές· εὕρατο γράμμα
κλεινὸς ἐφ' ᾧ κλεινὴν ἤγαγε βουθυσίην.

Διογένης Λαέρτιος – Βίοι καὶ γνῶμαι τῶν ἐν φιλοσοφίᾳ εὐδοκιμησάντων

Logik Apollodóros o něm poznamenává, že obětoval sto volů když objevil, že u pravoúhlého trojúhelníka je čtverec nad přeponou roven součtu čtverců nad odvěsnami. Zde je onen epigram:

Když Pythagoras rozřešil svůj velkolepý problém,

krev stovky volů prolil.

Diogenes Laertios – O životě a učení slavných filosofů

O jeden význam navíc má epigram jistého Börneho:

Als Pythagoras seinen bekannten Lehrsatz entdeckte, brachte er den Göttern eine Hekatombe dar. Seitdem zittern die Ochsen, sooft eine neue Wahrheit an das Licht kommt.

Aphorismen und Miszellen – Carl Ludwig Börne

Pythagoras obětoval sto volů, když dokázal 47. Eukleidovo tvrzení. Od těch dob se každý vůl třese vždy, když se objevuje nová pravda.

Aforismy a jiné – Carl Ludwig Börne

Česká Wikipedie připisuje tento citát jistému polskému básníkovi Julianu Tuwimovi. Berne je však asi o století starší.

Thúkydidovy Dějiny Peloponnéské války

Thúkydivody Dějiny obsahují mj. i soustu řečí. Především je to proslulá řeč, kterou pronesl Periklés při pohřbu prvních padlých ve válce, a ve které mluví o demokracii.

My totiž máme státní zřízení, které nepotřebuje nic závidět zákonům sousedů, spíš jsme sami příkladem jiným, než abychom druhé napodobovali. Říká se mu demokracie, vláda lidu, protože se opírá o většinu, ne jen o několik málo jednotlivců; podle zákonů mají všichni stejná práva, když jde o soukromé zájmy, pokud však jde o společenský význam, má při vybírání pro veřejné úřady každý přednost podle toho, v čem vyniká, podle schopností, ne podle své příslušnosti k určité skupině. Když je naopak někdo chudý schopen vykonat pro obec něco dobrého, není mu v tom jeho nízké postavení na překážku. Ve vztahu k společnosti žijeme svobodně a stejná svoboda panuje v každodenním vzájemném styku, kde neplatí žádné podezírání, kde se nehněváme na souseda, jestliže něco dělá podle své chuti, a nevyvoláváme mrzutosti, které sice nemusí být škodlivé, vyhlížejí však nepříjemně. V soukromém životě se chováme jeden k druhému bez vzájemného obtěžování a v životě veřejném nepřekračujeme zákony, především ze studu, posloucháme své spoluobčany, kteří právě zastávají úřady, a zákony, především ty, které byly dány na ochranu lidí, jimž bylo ukřivděno, a ty, které jsou sice nepsané, ale jejich porušení přináší podle obecného soudu hanbu.

Thúkydidés – Dějiny Peloponnéské války

Po dvaceti letech války však už situace vypadala zcela jinak.

Stejně však byl ještě svolán lid a rada zvolená hlasováním pomocí bobů, neradili se však o ničem jiném, než o tom, co rozhodli spiklenci, také řečníci byli vybráni z jejich řad a jejich řeči byly předem prodiskutovány. Nikdo z ostatních už proti tomu nemluvil, protože se každý zalekl, když viděl, jak početní jsou spiklenci. A když se někdo odvážil říci něco proti, hned byl nějakým vhodným způsobem sprovozen ze světa a po pachatelích se nepátralo, a bylo-li na někoho podezření, nebylo zaváděno soudní řízení. Lid byl zticha a byl tak zastrašen, že ten, kdo neutrpěl žádné násilí, i když nic neřekl, pokládal za úplnou výhru.

Thúkydidés – Dějiny Peloponnéské války