Georg Cantor - Über eine elementare Frage der Mannigfaltigkeitslehre (O základním problému vědy o třídách)

Zde si můžete stáhnout v pdf zrcadlové německo-české vydání slavného Cantorova článku s diagonálním důkazem. I když je to poměrně jednoduchý text, činil mi překlad některých pojmů docela potíže. Například jsem se rozhodl překládat slovo "mächtigkeit" jako "třída", i když to by spíše slušelo slovu "klasse". Nabízela se také slova jako "soubor", "množství" nebo "mocnost", ale chtěl jsem, aby to slovo vzbuzovalo dojem něčeho co může být nevyčerpatelně hluboké, ale také něčeho co naopak někdy může být množinou. To současný pojem třída tak nějak splňuje. Mimochodem, říká se, že se Cantor zcela vyhnul slovu množina (menge), ale není to tak docela pravda. Připomínky, opravy a podobně věci prosím do diskuse.

Teorie množin a její generální kolaps

V Bolzanových Paradoxech nekonečna (ke stažení zde) se lze dočíst toto:

Tvrdím totiž: dvě množiny, obě nekonečné, mohou být k sobě v takovém vztahu, že je na jedné straně možno spojit ve dvojici každou věc, náležející jedné z nich, s věcí, náležející druhé z nich, tak, aby vůbec žádná věc v obou množinách nezůstala bez spojení ve dvojici a také žádná aby se nevyskytovala ve dvou nebo více dvojicích; a přitom je na druhé straně možno, aby jedna z obou množin obsahovala druhou jako svůj pouhý díl, takže množství, která ony množiny představují, jsou k sobě v nejrozmanitějších poměrech, považujeme-li věci v nich za stejné, tj. za jednotky.

Bernar Bolzano – Paradoxy nekonečna

Každé dvě nekonečné množiny lze na sebe vzájemně jednoznačně zobrazit. Toto tvrzení budeme nazývat generálním kolapsem.

Petr Vopěnka – Vyprávění o kráse novobarokní matematiky

Jenže každý, kdo někdy viděl Cantorův diagonální důkaz, namítne, že Cantor vyvrátil Bolzanovu domněnku. Skutečně vyvrátil?

V tomto okamžiku bychom měli namítnout, že množina všech bodů ležících na přímce (...) je nespočetná, to znamená, že její prvky nelze očíslovat přirozenými čísly, což přeci dokázal již Cantor. Odtud plyne, že generální kolaps je sporný (a tedy nepravdivý). Avšak pozor, Cantor nedokázal spornost generálního kolapsu sama se sebou, ale s existencí množiny všech bodů ležících na dané úsečce.

Petr Vopěnka – Vyprávění o kráse novobarokní matematiky

Gauss a neeukleidovské geometrie

Následující ukázka je z dopisu, který napsal Gauss (a nebo Gauß) svému příteli Taurinovi (1. pád Taurinus) v roce 1824. Do češtiny přeložil V. J. Hauner a je to čeština, která svou patinou nejlépe odpovídá Gaussově době. Pozměnil jsem text jen málo, a to je proto, aby mu bylo rozumět (např. odpor opravuji na rozpor). Kdo chce, ten si najde původní text v časopise Česká mysl.

Die Annahme, daß die Summe der 3 Winkel kleiner sei als 180°, führt auf eine eigne von der unsrigen (Euclidischen) ganz verschiedene Geometrie, die in sich selbst durchaus consequent ist, und die ich für mich selbst ganz befriedigend ausgebildet habe, so daß ich jede Aufgabe in derselben auflösen kann mit Ausnahme der Bestimmung einer Constante, die sich a priori nicht ausmitteln läßt. Je grösser man diese Constante annimmt, desto mehr nähert man sich der Euclidischen Geometrie und ein unendlich großer Werth macht beide zusammenfallen. Die Sätze jener Geometrie scheinen zum Theil paradox, und dem Ungeübten ungereimt; bei genauerer ruhiger Überlegung findet man aber, daß sie an sich durchaus nichts unmögliches enthalten. So z. B. können die drei Winkel eines Dreiecks so klein werden als man nur will, wenn man nur die Seiten groß genug nehmen darf, dennoch kann der Flächeninhalt eines Dreiecks, wie groß auch die Seiten genommen werden, nie eine bestimmte Grenze überschreiten, ja sie nicht einmahl erreichen. Alle meine Bemühungen einen Widerspruch, eine Inconsequenz in dieser Nicht-Euclidischen Geometrie zu finden sind fruchtlos gewesen, und das Einzige was unserm Verstande darin widersteht, ist daß es, wäre sie wahr, im Raum eine an sich bestimmte (obwohl uns unbekannte) Lineargrösse geben müßte. Aber mir deucht, wir wissen, trotz der Nichts Sagenden Wort-Weisheit der Metaphysiker eigentlich zu wenig oder gar nichts über das wahre Wesen des Raumes, als daß wir etwas uns unnatürlich vorkommendes mit Absolut Unmöglich verwechseln dürfen. Wäre die Nicht-Euclidische Geometrie die wahre, und jene Constante in einigem Verhältniße zu solchen Grössen die im Bereich unsrer Messungen auf der Erde oder am Himmel liegen, so ließe sie sich a posteriori ausmitteln. Ich habe daher wohl zuweilen im Scherz den Wunsch geäußert, daß die Euclidische Geometrie nicht die Wahre wäre, weil wir dann ein absolutes Maass a priori haben würden.

Předpoklad, že součet úhlů v trojúhelníku je menší než 180°, vede ke zvláštní geometrii, zcela rozdílné od naší (eukleidovské) a samé v sobě zcela konzistentní, již jsem pro sebe tak dostatečně vypracoval, že dovedu v ní každou úlohu rozřešiti, vyjímaje určení jisté konstanty, jež se a priori vyšetřiti nedá. Čím větší zvolíme tuto konstantu, tím více se přiblížíme geometrii Eukleidově a při nekonečné hodnotě (konstanty) obě splynou. Poučky oné geometrie zdají se částečně paradoxními a neznalci nesmyslnými; uvážíme-li si však věci klidně a bedlivě, shledáme, že neobsahují nic o sobě nemožného. Tak mohou např. tři úhly trojúhelníka se zmenšiti libovolně, smíme-li jen strany jeho zvoliti dosti velkými; přes to však plocha trojúhelníka, ať volíme strany jakkoli velké, nesmí překročiti určité meze, ba nesmí jí ani dosáhnouti. Veškera moje snaha shledati v této neeukleidovské geometrii rozpor, nedůslednost zůstala marnou, a jediné, co v ní našemu rozumu odporuje, jest, že by, když by byla pravdivá, nutně existovala v prostoru jistá určitá (třebas nám neznámá) lineární veličina. Mně však se zdá, že přes veškeru jalovou slovní moudrost metafysiků víme vlastně příliš málo nebo vůbec nic o pravé podstatě prostoru, i nesmíme stotožňovat s absolutně nemožným, co nám připadá nepřirozeným. Kdyby neeukleidovská geometrie byla pravdivou a ona konstanta v jakémsi poměru k veličinám ležícím na zemi nebo na nebi v dosahu našich měření, dala by se a posteriori vyšetřiti. Proto jsem někdy žertem vyslovil přání, aby eukleidovská geometrie nebyla pravou, poněvadž bychom pak měli a priori absolutní míru.

Proč Gauss své výsledky nepublikoval? Bylo to pro něj ono Trýznivé tajemství? Boylaimu staršímu píše Gauss v roce 1832:

Jetzt Einiges über die Arbeit Deines Sohnes. Wenn ich dam it anfange i dass ich volche nicht loben darf: so wirst Du wohl einen Augenblick stutzen : aber ich kann nicht anders; sie loben hiesse mich selbst loben : denn der ganze Inhalt, der Weg, den Dein Sohn eingeschlagen hat, und die Resultate, zu denen er geführt ist, kommen fast durchgehends mit meinen eigenen, zum Theile seit 30-35 Jahren angestellten Meditationen überein. In der That bin ich dadurch auf das Aeusserste überrascht. Mein Vorsatz war von meiner eigenen Arbeit, von der übrigens
bis jetzt wenig zu Papier gebracht war, bei meinen Lebzeiten gar nichts bekannt werden zu lassen. Die meisten Menschen haben gar nicht den rechten Sinn für das, worauf es dabei ankommt, und ich habe nur wenige Menschen gefunden, die das, was ich ihnen mittheilte, mit besonderm Interesse aufnahmen.

Nyní něco o práci Tvého syna. Zarazíš se na okamžik zajisté, začnu-li tím, že ji nesmím chválit - nemohu jinak, neboť chválit ji, bylo by chválit sama sebe; neboť celý obsah spisu, cesta, jíž se dal Tvůj syn, a výsledky, jichž dospěl, shodují se skorem naprosto s mými vlastními meditacemi, dílem již 30-35 roků starými. Mou zásadou bylo neoznámiti o své práci, z níž ostatně jen málo dosud přeneseno na papír, za svého života ničeho... Naproti tomu bylo mým úmyslem, časem vše tak přenésti na papír, aby to alespoň se mnou jednou nezašlo. – Jsem tudíž velmi překvapen vida, že ta námaha mi nyní bude ušetřena, a největším potěšením je mi, že právě syn mého starého přítele mne tak pozoruhodným způsobem předešel.

Gödel 1931 – Strukturovaná minirecenze

Název: Gödel 1931

Autoři: Frýdek Jaroslav, Včelař František, Zelinka Ivan

www: http://shop.ben.cz/sk/114177-godel-1931.aspx

Obor: Matematická logika

Co kniha obsahuje: Kniha má dvě části. V první části je výklad a komentář ke článku Kurta Gödela „O nerozhodnutelných větách v díle Principia Mathematica a příbuzných systémech I“ („Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I“). Autoři článek bod po bodu rozebírají a nevynechávají jedinou zajímavou větu, byť by to byla jen poznámka pod čarou. V druhé části je „všechno ostatní“, co se přímo k článku nevztahuje, ale souvisí s Gödelovým dílem a autoři to pokládali za nutné publikovat.

Co kniha neobsahuje: Kniha nezačíná od nuly, není to úvod do matematické logiky. Neobsahuje ani filosofii matematiky. Až na drobné zmínky se kniha zabývá pouze přirozenými čísly 0, 1, ... atd. Vyšší matematiku kniha neobsahuje. Bohužel, kniha neobsahuje původní znění Gödelova článku (ani v příloze). Tento je rozdroben po celé knize.

Doporučená literatura:
Vítězslav Švejdar: Logika: neúplnost, složitost a nutnost (http://www1.cuni.cz/~svejdar/book/LogikaSve2002.pdf)
Petr Štěpánek, Bohuslav Balcar: Teorie množin
Vojtěch Kolman: Logika Gottloba Frega

Klady: Není „o všem“ (tj. o ničem). Kniha se v první části tvořící většinu knihy soustřeďuje výhradně na Gödelův článek. Dokáže tak čtenáři zprostředkovat přímý kontakt s Gödelovým géniem. Tím tvoří velkou výjimku na českém trhu. Ten, kdo zná Gödelovu práci jen ze stručných výtahů, popř. jen z popularizačních knih, nedovede si představit jak nápaditá, tvořivá a přitom poctivá a řemeslně dokonalá Gödelova práce je. I když kniha neobjasňuje zcela všechny podrobnosti (což je dobře – nějaká příjemná práce na čtenáře zbude), přesto je průvodcem dobrým, nebo alespoň nejlepším, s jakým jsem se na českém trhu setkal.

Zápory: Grafika a především typografie, ale to je letitý problém BENu, za to autoři nemohou.

Pro koho kniha je: Pro každého, koho nevyděsí velmi jednoduché rovnice a má zájem o matematiku, výpočetní techniku, kybernetiku, umělou inteligenci, filosofii, anebo o jakýkoli obor vrcholné duševní činnosti. Ale i pro každého, kdo doposud takovéto zájmy nemá, nicméně chce vyzkoušet pravdivost mínění, že právě ona Gödelova práce takovéto zájmy vyvolává.

Pro koho kniha není: Pro toho, kdo o věc nemá skutečný zájem, nechce podstoupit duševní námahu, ale potřebuje jen vybrat pár frází do referátu. Tomu se budou takové věty těžko hledat.

Celkový dojem: Knihu musím rozhodně doporučit.

Funkcionální úplnost

V binární logice lze z operátoru NAND nebo NOR sestrojit libovolný jiný operátor, což lze snadno dokázat. Důkaz je uveden v každé knize typu "logik für frauzimmer". Že to jsou jediné operátory, které samotné tvoří funkcionálně úplnou množinu operátorů, lze také dokázat poměrně snadno.

Definice. Funkce je n-Shefferovská (nebo Shefferova), jestliže lze z ní konečným způsobem složit libovolnou funkci , kde .

Věta. Jestliže existuje existuje množina taková, že pro funkci platí , pak funkce není n-Shefferovská.
Důkaz. Pokud předpoklad tvrzení platí, pak nelze žádným způsobem z funkce složit funkci, která by pro nějaké nabývala hodnoty z neprázdné množiny . Proto funkce nemůže být n-Shefferovská.

Důsledek. Jestliže pro některé platí , pak funkce není n-Shefferovská.

Binárních operátorů na množině je jen 16. Ovšem ty, pro které platí , jsou jen čtyři. Dva z nich jsou však jenom unární operátory, které nemohou být 2-Shefferovské. Proto existují jen dvě 2-Shefferovské funkce.

Zajímavá je otázka: Kolik je obecně n-Shefferovskáých funkcí? Žádný vzorec se mi nepodařilo ani vymyslet, ani nalézt. Zdá se, že existuje pro každé konečné alespoň jedna. V oxfordském matematickém slovníku jsem nalezl tento předpis pro n-Shefferovskou funkci:

.

Říkají jí "Wenn funkce", což bude asi nějaké nedorozumění. Důkaz, že se skutečně jedná o n-Shefferovskou funkci jsem zatím nenašel. Pro žádné nekonečné žádná n-Shefferovská funkce neexistuje, protože funkcí je nespočetně mnoho, kdežto konečným způsobem lze složit jen spočetně mnoho funkcí.

Dvě definice nekonečna

Pojem nekonečna se zde týká jen množin. Ale ani v tomto případě není pojem nekonečna jednoznačný, protože existuji přinejmenším dvě definice:

Definice. (Dedekind) Množina a je nekonečná, jestliže existuje množina b ∈ a taková, že existuje bijetkivní zobrazení z množiny b do množiny a.

Definice. (Tarský) Množina a je nekonečná, jestliže existuje ∅ ≠ b ⊆ P(a), kde P(a) je potenční množina množiny a, taková, že b nemá maximální prvek ve smyslu inkluze.

V Zermelo­-Fraenkelově teorii množin je dokazatelné, že každá množina konečná podle Tarského je také konečná podle Dedekinda (...). Máme­li k dispozici axiom výběru, je možno dokázat i druhou implikaci: Jestliže x není konečná podle Tarského, ukážeme matematickou indukcí, že každé přirozené číslo je možno vzájemně jednoznačně zobrazitelné do množiny x. Předpoklad AC zaručí, že množina x má nějakou mohutnost κ ; evidentně ω ∈ κ. Takže množinu ω můžeme vzájemně jednoznačně zobrazit na podmnožinu množiny x a na základě tohoto zobrazení sestrojíme vzájemně jednoznačné zobrazení množiny x na její vlastní část (ω lze vzájemně jednoznačně zobrazit např. na množinu sudých čísel), neboli x není konečná podle Dedekinda.

Antonín Sochor – Metamatematika teorií množin

V ZF je tedy vše v pořádku, protože definice jsou ekvivalentní. ZF teorie množin však není jediná teorie množin.

Naším cílem je nejprve ukázat obecnou metodu konstrukcí interpretací jak teorie množin bez axiomu fundovanosti v teorii množin bez axiomu fundovanosti, tak také interpretací teorie množin s atomy v teorii množin s atomy. Tuto obecnou metodu pak použijeme pro konstrukci tří interpretací, v jejichž smyslu bude po řadě platit:
(1) existuje množina, lineární uspořádání na každé jejíž části je dobrým uspořádáním, a tato množina není konečná podle Tarského, ale je konečná podle Dedekinda (viz dále); navíc tato množina nemá spočetnou část, a tedy neexistuje ani vzájemně jednoznačné zobrazení naší množiny do ω, ani vzájemně jednoznačné zobrazení ω do naší množiny;
(2) existuje množina, kterou lze lineárně uspořádat, kterou však nelze uspořádat dobře;
(3) sjednocení spočetně mnoha spočetných množin nemusí být spočetnou množinou.
Poznamenejme, že z kteréhokoli výše uvedeného tvrzení plyne negace axiomu výběru (...).

Antonín Sochor – Metamatematika teorií množin

Příslušná ukázka z knihy Metamatematika teorií množin je zde.

Důležitý homeomorfismus

Eukleidovský n-rozměrný prostor je množina E_n = {(x₁, ..., x_n) | x_i) ∈ R} a n-rozměrná sféra je množina S_n = {x| x ∈ E_n+1, ||x|| = 1}. Následující tvrzení poskytuje mj. návod, jak si představit situaci, kdy se rovnoběžky protínají v nekonečnu, anebo to, že v nekonečnu se neprotínají jen rovnoběžky, ale všechny přímky v eukleidovském prostoru.

Tvrzení. Buď s libovolný bod sféry S_n. Potom S_n - {s} je homeomorfní s E_n.

Důkaz. (...) Uvažujme zobrazení

E_n →_f S_n - {(0, ..., 0, 1)} →_g E_n

daná předpisy

f(x) = (4 x₁, ..., 4 x_n, x² - 4) / (x² + 4),

kde x² je skalární součin x x,

g(y) = 2(y₁, ..., y_n) / (1 - y^{n + 1}).

Zobrazení f skutečně zobrazuje s E_n do s S_n - {(0, ..., 0, 1)}, protože

||f(x)|| = √(16 x² + x⁴ - 8 x² + 16) / (x² + 4) = 1

a

(x² - 4) / (x² + 4) ≠ 1.

Zobrazení f a g jsou zřejmě spojitá a snadno se ověří, že platí fg(x) = x, gf(x) = x.

Více (o moc více) v knize Podprostory Euklidovských prostorů od Aleše Putra.

Dva základní způsoby uchopení ideálních předmětů matematického studia

Abychom mohli nějaký geometrický objekt nazírat, musíme ho vynořit z prázdnoty, která ho v geometrickém světě obestírá. (...) Vynořování (...) bývá vykládáno dvojím způsobem. Zaprvé: Všechny geometrické objekty jsou již vytvořeny; jejich bytí je trvalé a neměnné. Jsou však zakryty clonou prázdnoty, kterou je třeba odhalovat, chceme-li je nazírat. Vynořování (...) je v tomto případě odstraňování clony, která je přikrývá. Zadruhé: Geometr v této prázdnotě objekty vytváří, a to tak, že si je představuje. Bytí geometrických objektů v tomto případě není trvalé, je však obnovitelné. Vynořování (...) je tedy tvořením. (...) V Eukleidových Základech jsou geometrické objekty uchopeny druhým ze shora uvedených způsobů. (...) Nicméně v Základech jsou natolik zřetelné stopy po platónském myšlení, že z nich lze platónské pojetí geometrie rekonstruovat.

Petr Vopěnka – Úvod do četby Eukleidových základů

O co jde v alternativní teorii množin?

Klasické matematické představy jsou dnes kanonizovány v Cantorově teorii množin. Jen ty struktury jsou možné, které mají v této teorii model (Gödelova věta o úplnosti). Tím tato teorie do sebe uzavřela veškerou matematiku. V matematice nesmí být nic, co by nebylo možno v Cantorově teorii modelovat, co by ji překračovat, nebo míjelo. Tedy poněkud volně řečeno, matematika (přesněji filosofie matematiky) se rovná Cantorově teorii množin (přesněji její filosofíi). V tomto zajetí jsou i různé směry kritizující klasickou matematiku, které v podstatě jen Cantorovu teorii množin zužují. Tím ovšem lze proti těmto kritikám vznést do značné míry oprávněnou kritiku, že matematice kladou pouze různé překážky ve formě zákazů a tím ji brání v rozletu. Ostatně i takto různě oklešťovanou matematiku lze v Cantorově teorii modelovat. Tato námitka bývá vznášena i vůči alternativní teorii množin, a to ze strany těch matematiků, kteří základní principy této teorie nepochopili nebo nebyli schopni domyslet.

Petr Vopěnka – O co jde v alternativní teorii množin

Základním pojem, bez něhož nelze alternativní teorii množin charakterizovat, je přirozené nekonečno.

Jsme-li důslední, nezbývám nám než uznat, že v nějaké podobě se nekonečno ukazuje již na velkých množinách a ne až za nimi. Je-li nekonečno aplikovatelné na jisté jevy ukazující se na velkých množinách, pak tam v nějaké podobě již musí být přítomné. Kdyby tam nebylo, nemohli bychom je tam aplikovat, nebo chceme-li, příslušnou situaci v infinitní matematice modelovat. Této podobě nekonečna budeme říkat nekonečno přirozené.

Petr Vopěnka – O co jde v alternativní teorii množin

Základní charakteristikou alternativní teorie množin je záměrné studium přirozeného nekonečna. Nově o alternativní teorii množin pojednává kniha Petra Vopěnky Pojednání o jevech povstávajících na množstvích. Další informace o této knize jsou zde.

Russellův paradox

Co je podstatné u čistého matematického poznání a čím se odlišuje ode všeho jiného poznání a priori, je okolnost, že musí postupovat nikoli pomocí pouhých pojmů, nýbrž tak, že je názorně konstruuje.

Immanuel Kant – Prolegomena ke každé příští metafyzice, jež se bude moci stát vědou

Oponovat Kantově představě, že matematické pravdy nevycházejí analyticky z pojmů, ale jejich pravdivost vidíme pomocí názoru, lze nejlépe tak, že se vytvoří jakási „abeceda“ a mechanizmus, který dovede jednoznačně rozhodnout, která věta čisté matematiky napsaná touto „abecedou“ je pravdivá.

K tomu, aby se taková „abeceda“ dala vytvořit, ovšem zbývala jedna „maličkost“: bylo třeba posbírat a zinventarizovat všechny naše myšlenky a ideje, zjistit, pro které vyjádření nemáme, případně které vyjadřujeme nějak „nevhodně“, a tyto nedostatky a nesrovnalosti odstranit. Problém byl ovšem v tom, že nikdo neměl nejmenší ponětí, jak tohle udělat (...).

Jaroslav Peregrin – Co je to (Fregovská) Logika?

Mnohé kalkuly již pochopitelně existovaly. Ale čistou matematiku např. v Booleově logice v žádném případě v celé své složitosti vystavět nelze. Pojmové písmo, jak říká Gottlob Frege svému formálnímu jazyku, je geniálním pokusem, který se zdál zcela převrátit základy matematiky a zbavit je onoho Kantova názoru. Alespoň do roku 1901, kdy Bertrand Russell napsal Gottlobu Fregovi tento dopis.

Vážený pane kolego!

Již půldruhého roku znám Vaše „Základní zákony aritmetiky“, ale teprve nyní se mi podařilo najít čas na důkladnější studium, které jsem měl v úmyslu Vašim spisům věnovat. Shledal jsem, že jsem s Vámi ve všech hlavních věcech zcela zajedno, zvláště v zavržení každého psychologického momentu v logice a v ocenění významu pojmového písma pro základy matematiky a formální logiky, které lze od sebe ostatně stěží rozlišit. V mnoha jednotlivých otázkách našel jsem u Vás diskuse, rozlišení a definice, o kterých u ostatních logiků není ani zmínka. Zvláště ve věci funkce (§9 Vašeho Pojmového písma) jsem samostatně dospěl do detailu k týmž názorům. Pouze v jediném bodě jsem narazil na obtíž. Tvrdíte, že i funkce může být neurčitým elementem. Myslel jsem si to dříve také, avšak nyní o tom názoru pochybuji, a to s ohledem na následující spor. Budiž w predikát: být predikátem, který nemůže být predikován sám sobě. Může být w predikován sám sobě? Z každé odpovědi vyplývá opak. Proto musíme usoudit, že w není predikát. Právě tak neexistuje žádná třída (jako celek) takových tříd, které samy sobě jakožto celku nenáleží.

Chystám se dokončit knihu o principech matematiky a rád bych v ní o Vašem díle podrobněji pohovořil. Vaše knihy již mám nebo si je brzy koupím; ale byl bych Vám velmi vděčný, kdybyste mi mohl zaslat separáty Vašich článků v různých časopisech. Kdyby to ale nebylo možné, vyrobím si je v knihovně.

Exaktní rozpracování logiky je ve fundamentálních otázkách, kde symboly selhávají, velmi zaostalé; u Vás jsem nalezl to nejlepší, co je mi z naší doby známo, a proto si dovoluji vyjádřit Vám svůj nejhlubší respekt. Je politováníhodné, že jste ještě nedosáhl uveřejnění druhého dílu Vašich Základních zákonů; doufejme, že se tak stane.

S uctivým pozdravem,
Váš nejoddanější
Bertrand Russell

Výše uvedený spor vypadá v Peanově notaci takto:

A = {x;x ∉ x} → (A ∈ A ↔ A ∉ A)

Peanovi jsem o tom napsal, ale zůstal mi dlužen odpověď.

Použitá notace není Peanova, ale přepsal jsem ji do jednodušší notace. Ostatek přeložil Vojtěch Kolman a lze to nalézt v jeho knize Logika Gottloba Frega.

Matematika a logika v Russellově pojetí

První věta prvního odstavce (nepočítaje úvod) Russellovy a Whiteheadovy knihy Principia Mathematica (k nahlédnutí zde) je, jak autoři sami přiznávají, poněkud překvapivá. Zcela jednoduše se zde definuje, co je to čistá matematika. To překvapuje i po více než stu letech.

Pure Mathematics is the class of all propositions of the form "p implies q," (...).

Bertrand Russell, Alfred Whitehead – Principia Mathematica

Čistá matematika je třída všech vět ve formě „z p plyne q“, (...).

Bertrand Russell, Alfred Whitehead – Principia Mathematica

O vztahu logiky a matematiky píše Russell ve svém Úvodu do matematické filosofie. Překlad je od Karla Berky.

Mathematics and logic, historically speaking, have been entirely distinct studies. Mathematics has been connected with science, logic with Greek. But both have developed in modern times: logic has become more mathematical and mathematics has become more logical. (...) If there are still those who do not admit the identity of logic and mathematics, we may challenge them to indicate at what point, in the successive definitions and deductions of Principia Mathematica, they consider that logic ends and mathematics begins. It will then be obvious that any answer must be quite arbitrary. (...) It used to be said that mathematics is the science of “quantity.” “Quantity” is a vague word, but for the sake of argument we may replace it by the word “number.” The statement that mathematics is the science of number would be untrue in two different ways. On the one hand, there are recognised branches of mathematics which have nothing to do with number—all geometry that does not use co-ordinates or measurement (...). On the other hand, through the definition of cardinals, through the theory of induction and ancestral relations, through the general theory of series, and through the definitions of the arithmetical operations, it has become possible to generalise much that used to be proved only in connection with numbers. The result is that what was formerly the single study of Arithmetic has now become divided into a number of separate studies, no one of which is specially concerned with numbers.

Bertrand Russell – Introduction to Mathematical Philosophy

Historicky řečeno byly matematika a logika zcela odlišnými obory. Matematika byla spjata s přírodními vědami, logika s humanitními. Obě se však v moderní době rozvinuly: logika se stala matematičtější a matematika logičtější. (...) Jestliže stále ještě existují lidé, kteří nechtějí uznávat totožnost logiky a matematiky, můžeme je vyzvat, aby nám ukázali, kde v posloupnosti definic a dedukcí v Principia Mathematica končí podle jejich názoru logika a začíná matematika. Pak bude zjevné, že jakákoli odpověď musí být zcela libovolná. (...) Obvykle se říká, že matematika je vědou o „kvantitě“. (...) Avšak tvrzení, že matematika je vědou o číslech, bylo by ze dvou důvodů nepravdivé. Na jedné straně existují uznávaná odvětví matematiky, která nemají s čísly vůbec co dělat, např. každá geometrie, jež nepoužívá souřadnic nebo numerických údajů. (...) Na druhé straně umožnily definice kardinálních čísel, teorie indukce a relací dědičnosti, obecná teorie řad a definice aritmetických operací zobecnit mnohé z toho, co se dříve zpravidla dokazovalo jen ve spojitosti s čísly. V důsledku toho se nyní začala dřívější oblast aritmetiky štěpit v řadu samostatných oborů, z nichž se žádný čísly speciálně nezabývá.

Bertrand Russell – Úvod do matematické filosofie

Russell nebyl od života odtržený matematik; tento text napsal ve vězení, kam se dostal pro své pacifistické názory.

Proč jsou některé tautologie zajímavé a jiné nikoli?

Ayer to připisuje tomu, že některé výroky prostě překračují jistou hranici toho, co může být umězenému rozumu jasné, i když samy o sobě jasné jsou. Celý anglický originál je tady.

But can we really allow that these theorems which fill so many books serve no other purpose than to say in a round about fashion „A =A“? (...) The true explanation is very simple. The power of logic and mathematics to surprise us depends, like their usefulness, on the imitations of our reason. A being whose intellect was infinitely powerful would take no interest in logic and mathematics. For he would be able to see at a glance everything that his definitions implied, and, accordingly, could never learn anything from logical inference which he was not fully conscious of already. But our intellects are not of this order. It is only a minute proportion of the consequences of our definitions that we are able to detect at a glance. Even so simple a tautology as „91 x 79 = 7189“ is beyond the scope of our immediate apprehension. To assure ourselves that „7189“ is synonymous with „91 x 79“ we have to resort to calculation, which is simply a process of tautological transformation that is, a process by which we change the form of expressions without altering their significance.

A. J. Ayer – Language, Truth and Logic

Ale můžeme skutečně připustit, že tyto teorémy, které naplňují tolik knih, neslouží žádnému jinému účelu, než oklikou říkat „A = A“? (...) Skutečné vysvětlení je velice jednoduché. To, že nás logika a matematika dokáží překvapovat, stejně tak jako jejich užitečnost, vychází z omezení našeho rozumu. Bytost, jejíž intelekt by měl nekonečnou moc, by se o logiku a matematiku nezajímala. Byla by totiž schopna jediným pohledem obsáhnout všechny důsledky svých definic, a nemohla by se tudíž z logických odvození nikdy dozvědět nic, co by si už plně neuvědomovala. Ale naše intelekty nejsou tohoto řádu. Jediným pohledem jsme schopni zjistit jenom mizivou část důsledků našich definic. I tak jednoduchá tautologie jako „91 x 79 = 7189“ hranice našeho bezprostředního nahlédnutí přesahuje. Abychom se ujistili, že „7189“ je synonymní s „91 x 79“, musíme se pustit do počítání, které je prostě procesem tautologické transformace – tj. procesem, při němž měníme formu výrazu, aniž bychom měnili jeho význam.

A. J. Ayer – Jazyk, pravda a logika

V čem se podobá starověká orientální a dnešní středoškolská matematika?

Člověk, který zná matematiku jen ze svých středoškolských studií, většinou matematiku vlastně vůbec nezná. Pokud by někdo o dnešní matematice soudil je se středoškolských učebnic, nejspíš by učinil stejné konstatování, jaké vyslovil Struik ve svých dějinách matematiky. Že to s dnešní matematikou není tak strašné naznačuje, že by to tak strašné nemuselo být ani se starověkou orientální matematikou. I když to nedokazuje nic.

Nowhere in all ancient Oriental mathematics do we find any attempt at what we call a demonstration. No argumentation was presented, but only the prescription of certain rules: “Do such, do so”. We are ignorant of the way in which the theorems were found: for instance, how did the Babylonians become acquainted with the theorem of Pythagoras? Several attempts exist to explain the way in which Egyptians and Babylonians obtained their results, but they are all of a hypothetical nature. To those way have been educated in Euclid’s strict argumentation, the entire Oriental way of reasoning seems at first strange and highly unsatisfactory. But this strangeness wears off when we realize that most of the mathematics we teach our present-day engineers and technicians is still of the “do such, do so” type, without much attempt at rigorous demonstration. Algebra is still being taught in many high schools as a set of rules rather than as a science of deduction. Oriental mathematics, in this respect, never seems to have been emancipated from the millennial influence of the problems in technology and administration, for the use of which it had been invented.

Dirk J. Struik – A concise history of mathematics

Nikde v celé starověké orientální matematice nenalezneme ani pokus o to, čemu říkáme důkaz. Nebyla podávána žádná argumentace, nýbrž jen popis jistých pravidel „udělej to tak a tak“. Není nám známo nic o způsobech, kterými byly věty odvozeny. Odkud třeba Babyloňané znali Pythagorovu větu? Různé snahy po objasnění způsobů, jakými Egypťané a Babyloňané dospěli ke svým výsledkům, však všechny spočívali na hypotézách. Nám, kteří jsme byli odchováni Euklidovou přesnou argumentací, zdá se celý tento orientální způsob myšlení na první pohled podivný a velmi neuspokojivý. Ale tato podivnost zmizí, uvědomíme-li si, že větší díl matematiky, kterou se učí dnešní naši inženýři a technici, je stále typu „udělej to tak a tak“, aniž by se příliš usilovalo o přesný důkaz. Na mnohých vysokých školách se algebra učí spíše jako sbírka pravidel než jako deduktivní věda. Zdá se, že orientální matematika se nikdy neosvobodila od tisíciletého vlivu technických a správních problémů, k jejichž řešení byla vytvořena.

Dirk J. Struik – Dějiny matematiky

Polya o tázání

The mathematician as the naturalist, in testing some consequence of a conjectural general law by a new observation, addresses a question to Nature: I suspect that this law is true. Is it true?” If the consequence is clearly refuted, the law cannot be true. If the consequence is clearly verified, there is some indication that the law may be true. Nature may answer Yes or No, but it whispers one answer and thunders the other. Its Yes is provisional, its No is definitive.

George Polya – Mathematics and Plausible Reasoning

Matematik, podobně jako přírodovědec, ověřuje některé důsledky předpokládaného obecného zákona pomocí nového pozorování a obrací se na Přírodu s otázkou: „Mám podezření, že tento zákon platí. Platí opravdu?“ Jestliže nějaký důsledek zákon jasně vyvrací, pak tento zákon nemůže být pravdivý. Jestliže důsledek zákon jasně potvrzuje, pak máme určitou indikaci toho, že by zákon mohl být pravdivý. Příroda odpovídá „Ano“ nebo „Ne“, ale jednu odpověď šeptá a druhou křičí; její „Ano“ je podmíněné, její „Ne“ definitivní.

George Polya – Matematika a plausibilní uvažování

Goodsteinova věta a axióm nekonečna

Goodsteinovy posloupnosti jsou rekurzivně definovány takto:
1) zvolme přirozené číslo m₀ = m
2) převedeme všechna čísla větší jak 2 ve formuli pro výpočet m₀ na součet mocnin 2. Např. m₀ = 29 = 2⁴ + 2³ + 2² + 1 = 2²² + 2^{2 + 1} + 2² + 1
3) máme-li formuli pro výpočet m_i, formuli pro výpočet m_i+1 získáme tak, že všude ve formuli pro m_i nahradíme číslo (i + 2) číslem (i + 3), přidáme -1 a upravíme formuli. Např.:
m₀ = 2²² + 2^{2 + 1} + 2² + 1
m₁ = 3³³ + 3^{3 + 1} + 3³ + 1 – 1 = 3³³ + 3^{3 + 1} + 3³
m₂ = 4⁴⁴ + 4^{4 + 1} + 4⁴ - 1 = ...

Přesnější definici lze nalézt např. zde. Tato posloupnost, jak vidět, poměrně rychle roste, ale překvapivá Goodsteinova věta říká následující: Pro každé přirozené číslo m existuje přirozené číslo n takové, že m_n = 0.

Tvrzení Goodsteinovy věty je pravdivé ve standardním modelu aritmetiky, je tedy bezesporné s axiomy Peanovy aritmetiky. Věta L. Kirbyho a J. Parise ukazuje, že v samotné Peanově aritmetice toto tvrzení nelze dokázat. Jinými slovy, negace Goodsteinovy věty je také bezesporná s axiomy Peanovy aritmetiky. To znamená, že Goodsteinova věta je příkladem tvrzení, které je v Peanově aritmetice nerozhodnutelné, ale je dokazatelné v teorii množin. Z axiomů teorie množin lze tedy o přirozených číslech dokázat více než z axiomů Peanovy aritmetiky. Tato skutečnost se překvapivě odráží i v samotné teorii množin. Teorie konečných množin, která vznikne z teorie množin, nahradíme-li axiom nekonečna jeho negací, je konzervativní rozšíření Peanovy aritmetiky. To znamená, že v teorii konečných množin se o přirozených číslech dají dokázat tytéž věty jako v Peanově aritmetice, tedy Goodsteinova věta zde není dokazatelná. Dostáváme se k zajímavému zjištění, že přijetím či odmítnutím axiomu nekonečna ovlivňuje dokazatelnost tvrzení o přirozených číslech, tedy tvrzení o konečných množinách.

Bohuslav Balcar, Petr Štěpánek – Teorie množin

Kolman o Bolzanově důkazu věty o mezihodnotě

V (...) okamžiku nejistoty o smysluplnosti logistických metod vstupuje do hry oficiální legenda. V ní jsme v první řadě vyzváni nahlížet význam rekurzivního teorému jako pokračování Bolzanova systematického úsilí o vytlačení názoru ze základů matematiky, např. v rámci důkazu o mezihodnotě. Teze jsou přitom následující:
1) Bolzano zbavil svými analytickými důkazy kalkulus potřeby geometrické opory, tj. závislosti na kantovském názoru prostoru.
2) Frege a Dedekind učinili totéž pro názor času, jehož role v aritmetice souvisí podle Kanta právě s rekurzivním, postupným zaváděním pojmů. Objekty či funkce nejsou definovány naráz, ale v konsekvencích fázích, odvolávajících se na fáze již realizované.
3) V podstatě se jedná o vytěsnění potenciálního nekonečna ve prospěch nekonečna aktuálního.
Tento příběh je ale jenom jiným dokladem toho, že se dějiny píší z pozic vítězů. Přitom jsme již naznačili, proč je tato pozice pochybná a zmíněné vítězství se může snadno ukázat jako vítězství Pyrrhovo:
4) Bolzano ve skutečnosti nemohl dokázat, že má každá spojitá funkce na kontinuu vlastnost mezihodnoty (intermediate-value property), protože nedisponoval jasným pojmem kontinua, a tedy pojmem aritmetické pravdy.

Vojtěch Kolman – Filosofie čísla

Stekeler o existenci množinových jsoucen

Následující text jsem nalezl v knize Vojtěcha Kolmana Filosofie čísla. Část originálu si lze přečíst zde na str. 355.

Naivní teorie množin zde nevidí žádný problém; jednoduše dělá, jako by bylo jasné, co je množina čísel, takže může být považován za „daný“ jak obor 2^N, tak hierarchický obor V „všech množin“ a „přirozený“ vztah ∈. Avšak tento postoj připomíná – obrazně řečeno – chování zoologa, jenž věří na existenci jednorožců (≅ standardní model) a „zkoumá“ jejich vlastnosti. Formalista pak sice také věří na jednorožce, ale ne na jedinečnost druhu. (...) Oba, platonista i formalista ale zakládají své popisy vlastností jednorožců na vlastnostech věcí, které známe: na vlastnostech koní (konečných nebo rozhodnutelných množin nebo množin získaných „abstrakcí“ z korektně vystavěných a sémanticky ohodnocených větných forem) a zvířat s jedním rohem (na existenci potenčních a výběrových množin v patřičně „neškodných“, např. konečných oborech). Tyto vlastnosti pak slučují do pojmu jednorožce, množinového modelu teorie množin. Jeho „existence“ je historicky zdůvodněna tím, že neexistence jednorožců nebyla dodnes – přes intenzivní pátrání – dokázána a že se ještě mohou objevit např. na Marsu nebo na vzdálené hvězdě. Kromě toho se koncept jednorožce (teorie množin) báječně osvědčil při vyvozování pravdivých soudů o koních a nosorožcích (v aritmetice a analýze).

Pirmin Stekeler-Weithofer – Základní problém logiky

Gödel o „vnímáni“ matematických objektů

Avšak vzdor tomu, že jsou vzdáleny od smyslových zkušeností, máme něco jako vnímání i objektů teorie množin, jak je vidět z faktu, že se nám axiomy vnucují jako pravdivé. Nevidím žádný důvod, proč bychom měli mít menší důvěru k tomuto druhu vjemů, tj. matematické intuici, než k vnímání smyslovému, které nás vede k vytváření fyzikálních teorií a k očekávání, že další smyslové vjemy s nimi budou souhlasit, a navíc k víře, že otázka, která nyní není rozhodnutelná, má smysl a může být rozhodnuta v budoucnu. Paradoxy teorie množin jsou stěží větší překážkou pro matematiku, než smyslové klamy pro fyziku. To, že jsou nové matematické intuice vedoucí k rozhodnutí takových problémů, jako je Cantorova hypotéza kontinua, dokonale možné, bylo již ukázáno dříve. Je třeba poznamenat, že matematická intuice nemusí být chápána jako nějaká schopnost bezprostředního poznání zkoumaných objektů. Spíše se zdá, že stejně jako v případě fyzikálních zkušeností vytváříme naše ideje i o těchto objektech na základě něčeho jiného, co však je bezprostředně dané. Rozdíl je jen v tom, že toto něco jiné nejsou, aspoň ne primárně, vjemy. To, že kromě vjemů je něco skutečně bezprostředně dáno, plyne (nezávisle na matematice) ze skutečnosti, že i naše ideje, které odkazují k fyzikálním objektům, obsahují složky kvalitativně odlišné od vjemů, nebo pouhých kombinací vjemů, např. ideu objektu samého, kdežto na druhé straně nemůžeme naším myšlení stvořit žádné kvalitativně nové prvky, nýbrž pouze reprodukovat a kombinovat ty, které jsou dány. Evidentně to „dané“, na čem se zakládá matematika, je těsně spjato s abstraktními prvky obsaženými v našich empirických idejích. [Všimněte si, že existuje těsná souvislost mezi pojmem množiny (...) a kategoriemi čistého rozumu v Kantově smyslu. Funkcí obou je totiž „syntéza“, tj. vytváření jednot z mnohostí (např. u Kanta vytváření ideje jednoho objektu z jeho rozmanitých aspektů).] Z toho však v žádném případě neplyne, že data tohoto druhého druhu, protože nemohou být spojována s působením určitých věcí na naše smyslové orgány, jsou něčím čistě subjektivním, jak tvrdil Kant. Spíše mohou představovat nějaký aspekt objektivní reality, avšak v protikladu k vjemům mohou v nás být přítomné díky jinému druhu vztahu mezi námi a realitou.

Kurt Gödel – Co je Cantorův problém kontinua

Kalkulačka

Naprogramovat kalkulačku, která by uměla sčítat a násobit, je v jakémkoli obvyklém jazyce natolik jednoduché, že téměř není co programovat. Takováto kalkulačka však nevnikla tak, že by programátor „řekl“ počítači, co čísla a operace sčítání a násobení jsou. Pokus vytvořit kalkulačku právě tímto způsobem zde nabízím. Kalkulačka je tvořena jednak pravidly, jak upravovat formule na ekvivalentní tvar, a jednak mechanismem, který se snaží upravit formuli pomocí pravidel do nejjednoduššího tvaru, což provádí prohledáváním stavového prostoru funkcí. Pravidla, která definují, co jsou to čísla, jsou následující:

0 + 1 ↔ 1
1 + 1 ↔ 2
2 + 1 ↔ 3
3 + 1 ↔ 4
4 + 1 ↔ 5
5 + 1 ↔ 6
6 + 1 ↔ 7
7 + 1 ↔ 8
8 + 1 ↔ 9
9 + 1 ↔ 10
...

Pravidla, která definují, co jsou to operace sčítání a násobení, jsou tyto:

a + b → b + a
a * b → b * a
a + 0 ↔ a
0 → 0 * 0
a * 0 → 0
a * 1 ↔ a
a * (b * c) ↔ (a * b) * c
a + (b + c) ↔ (a + b) + c
a * (b + c) ↔ a * b + a * c

Např. úlohu vypočítat 2 * 2 řeší kalkulačka takto:

2 * 2 → 2 * (1 + 1) → 2 * 1 + 2 * 1 → 2 * 1 + 2 → 2 + 2 → 2 + 1 + 1 → 3 + 1 → 4.

Kalkulačka neprování žádné „skutečné“ výpočty, ale provádí pouze operace se symboly. K stávajícím pravidlům lze přidat další, např. pravidlo pro výpočet druhé odmocniny:

sqrt(a * a) → a.

Úlohu výpočtu sqrt(4) řeší kalkulačka takto:

sqrt(4) → sqrt(3 + 1) → sqrt(2 + 1 + 1) → sqrt(2 + 2) → sqrt(2 * 1 + 2) → sqrt(2 * 1 + 2 * 1) → sqrt(2 * (1 + 1)) → sqrt(2 * 2) → 2.

Při pokusu vypočítat sqrt(2) se algoritmus nikdy nezastaví.

Tato kalkulačka není nic, co by se dalo prakticky použít. ale ukazuje spoustu zajímavých problémů: Zastaví se kalkulačka pro každou vstupní formuli? Lze vždy určit, zda se kalkulačka zastaví, či ne? Lze dokázat, že nyní nebo po přidání nějakého nového pravidla nevznikne sporný systém? Atd.

Program je v pythonu a ke stažení je zde.

O základním problému vědy o třídách

Pro konečné množiny platí, že množina všech jejich podmnožin má větší počet prvků, než původní množina, což je tak jasné, že to nepotřebuje důkaz, ale pro puntičkáře nabízím tento:

Mějme konečnou množinu M = {a, b, c, ...}. Množina všech podmnožin ℘(M) musí kromě jiného obsahovat neprázdné množiny {a}, {b}, {c}, ..., kterých je stejně jako prvků množiny M. Kromě toho obsahuje i prázdnou množinu. Počet prvků ℘(M) je tedy alespoň o 1 větší než počet M.

Lze i snadno vypočítat kolik. Každou podmnožinu množiny s n různými prvky lze reprezentovat jako posloupnost (p₁, p₂, ..., p_n), kde p_i je 0 nebo 1 podle toho, zda i-tý prvek do podmnožiny patří nebo ne. Tudíž počet prvků ℘(M) je 2ⁿ.

U nekonečných množin je třeba pracovat s pojmy opatrněji. Snad nikdo nebude protestovat proti tomu, že jestliže existuje zobrazení 1 ku 1 prvků jedné množiny na prvky množiny druhé, pak mají tyto množiny stejnou mohutnost. Hilbertův nekonečný hotel je brilantní ukázkou, že leckteré různorodé nekonečné množiny mají stejnou mohutnost. Ukazuje např., že sudých čísel je stejně jako všech přirozených čísel, protože existuje ono zobrazení 1 ku 1:

1:2, 2:4, 3:6, ..., n:(2n), ...

Mají tedy všechny nekonečné množiny stejnou mohutnost? Tzv. diagonálním důkazem se lze přesvědčit, že ne. Tento důkaz je důkaz sporem. Tento druh důkazu ukazuje, že z negace tvrzení vyplývají sporná tvrzení, a proto musí být negace nepravdivá. A jak je to s počtem všech podmnožin nekonečné množiny? Označím-li N množinu přirozených čísel N = {0, 1, 2, ...}, pak je každá podmnožina N reprezentována nekonečnou posloupností nul a jedniček. Tyto nekonečné posloupnosti nelze očíslovat přirozenými čísly, protože pro každé očíslování všech posloupností

0: p_0,0, p_0,1, p_0,2, p_0,3, ...

1: p_1,0, p_1,1, p_1,2, p_1,3, ...

2: p_2,0, p_2,1, p_2,2, p_2,3, ...
3: p_3,0, p_3,1, p_3,2, p_3,3, ...
...

existuje podmnožina reprezentovaná posloupností

q₀, q₁, q₂, q₃, ...,

kde q_i = (1 - p_i,i), která se od každého prvku tohoto očíslování liší alespoň v jednom konečném místě, a tedy nepatří do takto očíslované množiny, což je spor. Množina všech podmnožin přirozených čísel je tedy mohutnější než mohutnost množiny přirozených čísel. Jinými slovy platí

2^ℵ₀ > ℵ₀.

Toto tvrzení lze zobecnit do následující věty

2^ℵ_n > ℵ_n.

O tom všem vypráví následující článek Georga Ferdinanda Ludwiga Philipa Cantora nazvaný "Über ein elementare Frage der Mannigfaltigkeitslehre", který byl publikován v roce 1891, a který se pro svou jednoduchost a srozumitelnost dostává do základní literatury i nematematiků. Tato Cantorova práce ukazuje, že neexistuje jen jediná nekonečná mohutnost, a ukazuje alespoň kousek z Cantorova nebe.

V článku nazvaném "O vlastnosti souhrnů všech reálných algebraických čísel: ("Über eine Eigenschaft des Inbegriffs aller reellen algebraischen Zahlen" - In Journ. Math. Bd. 77, S. 258) se - pravděpodobně poprvé - objevuje důkaz tvrzení, že existuje nekonečná třída, kterou nelze jedna ku jedné přiřadit ke všem konečným celým číslům, neboli, jak jsem si zvykl říkat, která nemá mohutnost posloupnosti čísel 1, 2, 3, ... , ν , .... Z tohoto tvrzení dokázaného v §2 např. plyne, že třída všech reálných čísel v libovolném intervalu (α ... β) nemůže být seřazena v posloupnost

ω₁, ω₂, ... , ω_ν , ....

Avšak existuje důkaz, který je mnohem jednodušší, a ve kterém nejsou brány do úvahy vlastnosti iracionálních čísel.

Nechť jsou tedy m a w dva rozdílné znaky a uvažujeme soubor M prvků

E = (x₁, x₂, ..., x_ν, ... ),

který závisí na nekonečném množství složek x₁, x₂, ... , x_ν , ..., kde každá složka je buď m nebo w. Budiž M třída všech možných E.

Do M patří následující tři prvky:

E^I = (m,m,m,m, ... ),

E^II = (w,w,w,w, ... ),

E^III = (m,w,m,w, ... ).

Chci dokázat, že třída M nemá mohutnost posloupnosti 1, 2, ... , ν, ....

Plyne to z následujícíto tvrzení:

"Jestliže E₁, E₂, ... , E_ν , ... je libovolná spočetně nekonečná posloupnost prvků třídy M, pak vždy existuje prvek E₀ třídy M, který není žádným prvkem E_ν."

Důkaz předpokládá tuto posloupnost:

E₁ = (a_1,1, a_1,2, ... , a_1,ν, ... ),
E₂ = (a_2,1, a_2,2, ... , a_2,ν , ... ),
...
E_μ = (a_μ,1, a_μ,2, ... , a_μ,ν , ... ),
...

kde znak a_μ,ν je buď m anebo w. Pak existuje posloupnost b₁, b₂, ... , b_ν ,... definovaná tak, že b_ν je také buď m anebo w, ale je vždy různá od a_ν,ν. A tedy, je-li a_ν,ν = m, je b_ν = w, a naopak.

Uvažujme nyní prvek třídy M

E₀ = (b₁, b₂, b₃, ... )

a přímo vidíme, že rovnost

E₀ = E_ν

nemůže nastat pro žádné přirozené číslo μ, protože by jinak pro nějaké μ platila pro všechny hodnoty ν rovnost

b_ν = a_μ,ν,

a tedy ve speciálním případě by platila rovnost

b_μ = a_μ,μ,

což je spor s definicí b_ν. Z tohoto tvrzení bezprostředně plyne, že mohutnost všech prvků M nemůže být seřazena v posloupnost E₁, E₂, ... , E_ν, ..., protože jinak bychom dostali spor, jelikož by objekt E₀ zároveň byl i nebyl prvkem M.

To, čím tento důkaz překvapuje, je nejen jeho jednoduchost, ale především je to uvedený princip, který lze přímo použít k důkazu obecnějšího tvrzení, že mohutnosti tříd nemají žádné maximum, neboli, že ke každé zvolené třídě L existuje jiná třída M, jejíž mohutnost je větší než mohutnost L.

Nechť je např. L lineárně uspořádané spojitá třída jako třeba třída všech reálných čísel, který jsou ≥ 0 a ≤ 1. Označme M třídu všech funkcí proměnné x, které nabývají jen hodnoty 0 nebo 1, přičemž x je proměnná pro všechna reálná čísla jež jsou ≥ 0 a ≤ 1.

Třída M nemůže mít menší mohutnost než L, protože existují třídy prvků M mající stejnou mohutnost jako L. Je to např. třída tvořená funkcemi proměnné x, kteréžto funkce nabývají hodnotu 1 v jednom jediném bodě x₀ a pro ostatní x nabývají hodnotu 0.

Ale třída M nemůže mít ani stejnou mohutnost jako L. Pokud by bylo možné třídu M srovnat s hodnotami proměnné z, pak by bylo možné reprezentovat M jako funkci obou proměnných x a z

φ(x, z),

takovou, že pro určitou hodnotu proměnné z dostaneme prvek f(x) = φ(x, z) třídy M, a zároveň pro každou f(x) z třídy M by odpovídala φ(x, z) pro jedinečnou volbu hodnoty z.Což je opět spor. Jestliže je g(x) je funkce proměnné x nabývající jen hodnot 0 a 1, která je pro všechny hodnoty x různá od φ(x, z), pak je g(x) jednak prvek M, a jednak pro žádnou hodnotu z = z₀ nelze tuto funkci definovat jako φ(x, z), protože φ(x₀, z₀) je vždy různé od g(z₀).

Jelikož mohutnost třídy M není ani menší ani rovna mohutnosti L, musí být tato mohutnost větší než mohutnost L. (Viz Crelles Journal Bd. 84, S. 242.)

V článku "Základy obecných tříd" ("Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitlehre") (Leipzig 1883) jsem jiným způsobem dokázal, že mohutnosti nemají maximum. Dokonce jsem dokázal, že třída všech mohutností, když ji uspořádáme podle velikostí, je dobře "dobře uspořádaná", že ke každé mohutnosti existuje mohutnost větší, a také že ke každé shora neohraničené třídě mohutností existuje ještě větší mohutnost.

Tyto mohutnosti představují jediné a nutné zobecnění konečných kardinálních čísel a nejsou tedy než aktuálně nekonečně velká kardinální čísla a patří jim stejné bytí a ostrost jako oněm konečným.Pouze zákony, jimž podléhají, nazvané teorie čísel, se částečně liší od zákonů univerza konečných čísel.

Další objevy v této oblasti přijdou v budoucnu.