Russellův paradox

Co je podstatné u čistého matematického poznání a čím se odlišuje ode všeho jiného poznání a priori, je okolnost, že musí postupovat nikoli pomocí pouhých pojmů, nýbrž tak, že je názorně konstruuje.

Immanuel Kant – Prolegomena ke každé příští metafyzice, jež se bude moci stát vědou

Oponovat Kantově představě, že matematické pravdy nevycházejí analyticky z pojmů, ale jejich pravdivost vidíme pomocí názoru, lze nejlépe tak, že se vytvoří jakási „abeceda“ a mechanizmus, který dovede jednoznačně rozhodnout, která věta čisté matematiky napsaná touto „abecedou“ je pravdivá.

K tomu, aby se taková „abeceda“ dala vytvořit, ovšem zbývala jedna „maličkost“: bylo třeba posbírat a zinventarizovat všechny naše myšlenky a ideje, zjistit, pro které vyjádření nemáme, případně které vyjadřujeme nějak „nevhodně“, a tyto nedostatky a nesrovnalosti odstranit. Problém byl ovšem v tom, že nikdo neměl nejmenší ponětí, jak tohle udělat (...).

Jaroslav Peregrin – Co je to (Fregovská) Logika?

Mnohé kalkuly již pochopitelně existovaly. Ale čistou matematiku např. v Booleově logice v žádném případě v celé své složitosti vystavět nelze. Pojmové písmo, jak říká Gottlob Frege svému formálnímu jazyku, je geniálním pokusem, který se zdál zcela převrátit základy matematiky a zbavit je onoho Kantova názoru. Alespoň do roku 1901, kdy Bertrand Russell napsal Gottlobu Fregovi tento dopis.

Vážený pane kolego!

Již půldruhého roku znám Vaše „Základní zákony aritmetiky“, ale teprve nyní se mi podařilo najít čas na důkladnější studium, které jsem měl v úmyslu Vašim spisům věnovat. Shledal jsem, že jsem s Vámi ve všech hlavních věcech zcela zajedno, zvláště v zavržení každého psychologického momentu v logice a v ocenění významu pojmového písma pro základy matematiky a formální logiky, které lze od sebe ostatně stěží rozlišit. V mnoha jednotlivých otázkách našel jsem u Vás diskuse, rozlišení a definice, o kterých u ostatních logiků není ani zmínka. Zvláště ve věci funkce (§9 Vašeho Pojmového písma) jsem samostatně dospěl do detailu k týmž názorům. Pouze v jediném bodě jsem narazil na obtíž. Tvrdíte, že i funkce může být neurčitým elementem. Myslel jsem si to dříve také, avšak nyní o tom názoru pochybuji, a to s ohledem na následující spor. Budiž w predikát: být predikátem, který nemůže být predikován sám sobě. Může být w predikován sám sobě? Z každé odpovědi vyplývá opak. Proto musíme usoudit, že w není predikát. Právě tak neexistuje žádná třída (jako celek) takových tříd, které samy sobě jakožto celku nenáleží.

Chystám se dokončit knihu o principech matematiky a rád bych v ní o Vašem díle podrobněji pohovořil. Vaše knihy již mám nebo si je brzy koupím; ale byl bych Vám velmi vděčný, kdybyste mi mohl zaslat separáty Vašich článků v různých časopisech. Kdyby to ale nebylo možné, vyrobím si je v knihovně.

Exaktní rozpracování logiky je ve fundamentálních otázkách, kde symboly selhávají, velmi zaostalé; u Vás jsem nalezl to nejlepší, co je mi z naší doby známo, a proto si dovoluji vyjádřit Vám svůj nejhlubší respekt. Je politováníhodné, že jste ještě nedosáhl uveřejnění druhého dílu Vašich Základních zákonů; doufejme, že se tak stane.

S uctivým pozdravem,
Váš nejoddanější
Bertrand Russell

Výše uvedený spor vypadá v Peanově notaci takto:

A = {x;x ∉ x} → (A ∈ A ↔ A ∉ A)

Peanovi jsem o tom napsal, ale zůstal mi dlužen odpověď.

Použitá notace není Peanova, ale přepsal jsem ji do jednodušší notace. Ostatek přeložil Vojtěch Kolman a lze to nalézt v jeho knize Logika Gottloba Frega.