Eukleidovský n-rozměrný prostor je množina En = {(x1, ..., xn) | xi) ∈ R} a n-rozměrná sféra je množina Sn = {x| x ∈ En+1, ||x|| = 1}. Následující tvrzení poskytuje mj. návod, jak si představit situaci, kdy se rovnoběžky protínají v nekonečnu, anebo to, že v nekonečnu se neprotínají jen rovnoběžky, ale všechny přímky v eukleidovském prostoru.
Tvrzení. Buď s libovolný bod sféry Sn. Potom Sn - {s} je homeomorfní s En.
Důkaz. (...) Uvažujme zobrazení
En →f Sn - {(0, ..., 0, 1)} →g En
daná předpisy
f(x) = (4 x1, ..., 4 xn, x2 - 4) / (x2 + 4),
kde x2 je skalární součin x x,
g(y) = 2(y1, ..., yn) / (1 - yn + 1).
Zobrazení f skutečně zobrazuje s En do s Sn - {(0, ..., 0, 1)}, protože
||f(x)|| = √(16 x2 + x4 - 8 x2 + 16) / (x2 + 4) = 1
a
(x2 - 4) / (x2 + 4) ≠ 1.
Zobrazení f a g jsou zřejmě spojitá a snadno se ověří, že platí fg(x) = x, gf(x) = x.
Více (o moc více) v knize Podprostory Euklidovských prostorů od Aleše Putra.
Žádné komentáře:
Okomentovat