Výpočty

Výborná kniha o výpočtech je zde: nb.vse.cz/~cernym/vypocty.pdf. Doporučuji.

Mathesiovy Zpěvy staré Číny

Text je vysázen v LaTeXu, ale zatím jen tak nahrubo. PDF je zde. Ze souboru jsem vynechal osmou část připojenou v padesátých letech a to z estetických důvodů.

Daniel Kehlmann o Gaussovi a neeukleidovských geometriích

Kromě Petra Vopěnky se i Daniel Kehlmann pokusil o románové vysvětlení proč Gauss neoznámil veřejnosti objev neeukleidovské geometrie. Kniha sice právě v citované části obsahuje několik nesrovnalostí, ale to může být zaviněno překladem. Jinak jde o knihu poměrně čtivou.

Má nápad, který ještě nikomu jinému neprozradil. Zdá se mu totiž, že Eukleidovský prostor není, jak se to tvrdí v Kritice čistého rozumu, formou našeho nazírání samého, a to předcházející veškeré smyslové zkušenosti, ale je to spíš fikce. Jen krásný sen! Pravda je skutečně hrozivá. (...) Možná rovnoběžky vůbec neexistují. Možná, že prostor připouští, že můžeme vést jedním bodem nekonečně mnoho rovnoběžek pokud máme danou čáru a vedle ní bod. Jen jedno je ale jisté. Prostor je vrásčitý, zakřivený a velmi podivný. (...) Byl poslán na svět a vybaven rozumem, který téměř vše lidské znemožňuje, v době, kdy je každá práce ještě náročná, namáhavá a špinavá. (...) Myslel na poslední soud. Nevěřil, že se něco takového bude konat. Obžalovaní se mohou hájit. Některé protiotázky by Bohu určitě nebyly příjemné. Hmyz, špína, bolest. Samá nedostatečnost. Dokonce i v případě prostoru a času fušeřina! Pokud bude postaven před soud, má v úmyslu zavést řeč na pár věcí.

Daniel Kehlmann - Vyměřování světa

Russell o Gödelovi a Gödel o sobě a Russellovi

Chodíval jsem do (Einsteinova) domu jednou týdně diskutovat s ním, Gödelem a s Paulim. Tyto diskuse byly v jistém smyslu zklamáním, protože ačkoli všichni tři byli Židé v exilu a kosmopoliticky ladění, zjistil jsem, že všichni mají německý sklon k metafysice (...) Z Gödela se vyklubal nefalšovaný platonista a patrně věřil, že v nebi je uložené věčné "ne", a ctnostní logici se tam s ním posléze setkají.

Bertrand Russell - Autobiografie, IV. díl

Pokud jde o úryvek o mně (v Russellově autobiografii), musím říci (kvůli pravdě), že nejsem Žid (i když si myslím, že tento fakt je zcela nedůležitý), 2) že úryvek budí mylný dojem, že jsem vedl mnoho diskusí s Russelle,, což naprosto není pravda (vzpomínám si jen na jednu). 3) Pokud jde o můj "nefalšovaný" platonismus, není o nic více "nefalšovaný" než Russellův vlastní platonismus z roku 1921, kdy v Üvodu (ke své Matematické filosofii) napal: "Logika se zabývá reálným světem tak skutečně jako zoologie, i když se zabývá jeho abstraktnějšími a obecnějšími jevy". V této době zřejmě nacházel "ne" dokonce v tomto světě, ale později, pod vlivem Wittgensteina, se rozhodl to přehlédnout.

Kurt Gödel

O formálně nerozhodnutelných větách v díle Principia Mathematica a příbuzných systémech I

Pokud potřebujete český překlad článku Kurta Gödela "Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I", napište mi na email gopeith@gmail.com, popř. napište kontakt do diskuse. Jedná se o paralelní německo-český text. Překlad ještě potřebuje nějaké korekce a vyřešení několika problémů s LaTEXem, a proto tu není volně ke stažení. Ale navzdory své nedokonalosti jako učební text určitě poslouží.

Nabobové

Takoví nabobové se vyskytují mezi lidmi svým způsobem vzdělanými, či lépe řečeno mezi lidmi někdy i s dosti značnými znalostmi. Naprostý nevzdělanec, stejně jako opravdový vzdělanec, by nikdy nepřipadl na myšlenku, že již zná vše, co je množné znát. Něco takového může napadnou jen člověka samolibého, jenž navíc z příčiny tvrdé lbi získával své znalosti v potu tváře, takže posléze nabyl přesvědčení, že velikost vynaložené námahy odpovídá velikosti všech moudrostí světa.

Petr Vopěnka – Trýznivé tajemství

Gauss a neeukleidovské geometrie

Následující ukázka je z dopisu, který napsal Gauss (a nebo Gauß) svému příteli Taurinovi (1. pád Taurinus) v roce 1824. Do češtiny přeložil V. J. Hauner a je to čeština, která svou patinou nejlépe odpovídá Gaussově době. Pozměnil jsem text jen málo, a to je proto, aby mu bylo rozumět (např. odpor opravuji na rozpor). Kdo chce, ten si najde původní text v časopise Česká mysl.

Die Annahme, daß die Summe der 3 Winkel kleiner sei als 180°, führt auf eine eigne von der unsrigen (Euclidischen) ganz verschiedene Geometrie, die in sich selbst durchaus consequent ist, und die ich für mich selbst ganz befriedigend ausgebildet habe, so daß ich jede Aufgabe in derselben auflösen kann mit Ausnahme der Bestimmung einer Constante, die sich a priori nicht ausmitteln läßt. Je grösser man diese Constante annimmt, desto mehr nähert man sich der Euclidischen Geometrie und ein unendlich großer Werth macht beide zusammenfallen. Die Sätze jener Geometrie scheinen zum Theil paradox, und dem Ungeübten ungereimt; bei genauerer ruhiger Überlegung findet man aber, daß sie an sich durchaus nichts unmögliches enthalten. So z. B. können die drei Winkel eines Dreiecks so klein werden als man nur will, wenn man nur die Seiten groß genug nehmen darf, dennoch kann der Flächeninhalt eines Dreiecks, wie groß auch die Seiten genommen werden, nie eine bestimmte Grenze überschreiten, ja sie nicht einmahl erreichen. Alle meine Bemühungen einen Widerspruch, eine Inconsequenz in dieser Nicht-Euclidischen Geometrie zu finden sind fruchtlos gewesen, und das Einzige was unserm Verstande darin widersteht, ist daß es, wäre sie wahr, im Raum eine an sich bestimmte (obwohl uns unbekannte) Lineargrösse geben müßte. Aber mir deucht, wir wissen, trotz der Nichts Sagenden Wort-Weisheit der Metaphysiker eigentlich zu wenig oder gar nichts über das wahre Wesen des Raumes, als daß wir etwas uns unnatürlich vorkommendes mit Absolut Unmöglich verwechseln dürfen. Wäre die Nicht-Euclidische Geometrie die wahre, und jene Constante in einigem Verhältniße zu solchen Grössen die im Bereich unsrer Messungen auf der Erde oder am Himmel liegen, so ließe sie sich a posteriori ausmitteln. Ich habe daher wohl zuweilen im Scherz den Wunsch geäußert, daß die Euclidische Geometrie nicht die Wahre wäre, weil wir dann ein absolutes Maass a priori haben würden.

Předpoklad, že součet úhlů v trojúhelníku je menší než 180°, vede ke zvláštní geometrii, zcela rozdílné od naší (eukleidovské) a samé v sobě zcela konzistentní, již jsem pro sebe tak dostatečně vypracoval, že dovedu v ní každou úlohu rozřešiti, vyjímaje určení jisté konstanty, jež se a priori vyšetřiti nedá. Čím větší zvolíme tuto konstantu, tím více se přiblížíme geometrii Eukleidově a při nekonečné hodnotě (konstanty) obě splynou. Poučky oné geometrie zdají se částečně paradoxními a neznalci nesmyslnými; uvážíme-li si však věci klidně a bedlivě, shledáme, že neobsahují nic o sobě nemožného. Tak mohou např. tři úhly trojúhelníka se zmenšiti libovolně, smíme-li jen strany jeho zvoliti dosti velkými; přes to však plocha trojúhelníka, ať volíme strany jakkoli velké, nesmí překročiti určité meze, ba nesmí jí ani dosáhnouti. Veškera moje snaha shledati v této neeukleidovské geometrii rozpor, nedůslednost zůstala marnou, a jediné, co v ní našemu rozumu odporuje, jest, že by, když by byla pravdivá, nutně existovala v prostoru jistá určitá (třebas nám neznámá) lineární veličina. Mně však se zdá, že přes veškeru jalovou slovní moudrost metafysiků víme vlastně příliš málo nebo vůbec nic o pravé podstatě prostoru, i nesmíme stotožňovat s absolutně nemožným, co nám připadá nepřirozeným. Kdyby neeukleidovská geometrie byla pravdivou a ona konstanta v jakémsi poměru k veličinám ležícím na zemi nebo na nebi v dosahu našich měření, dala by se a posteriori vyšetřiti. Proto jsem někdy žertem vyslovil přání, aby eukleidovská geometrie nebyla pravou, poněvadž bychom pak měli a priori absolutní míru.

Proč Gauss své výsledky nepublikoval? Bylo to pro něj ono Trýznivé tajemství? Boylaimu staršímu píše Gauss v roce 1832:

Jetzt Einiges über die Arbeit Deines Sohnes. Wenn ich dam it anfange i dass ich volche nicht loben darf: so wirst Du wohl einen Augenblick stutzen : aber ich kann nicht anders; sie loben hiesse mich selbst loben : denn der ganze Inhalt, der Weg, den Dein Sohn eingeschlagen hat, und die Resultate, zu denen er geführt ist, kommen fast durchgehends mit meinen eigenen, zum Theile seit 30-35 Jahren angestellten Meditationen überein. In der That bin ich dadurch auf das Aeusserste überrascht. Mein Vorsatz war von meiner eigenen Arbeit, von der übrigens
bis jetzt wenig zu Papier gebracht war, bei meinen Lebzeiten gar nichts bekannt werden zu lassen. Die meisten Menschen haben gar nicht den rechten Sinn für das, worauf es dabei ankommt, und ich habe nur wenige Menschen gefunden, die das, was ich ihnen mittheilte, mit besonderm Interesse aufnahmen.

Nyní něco o práci Tvého syna. Zarazíš se na okamžik zajisté, začnu-li tím, že ji nesmím chválit - nemohu jinak, neboť chválit ji, bylo by chválit sama sebe; neboť celý obsah spisu, cesta, jíž se dal Tvůj syn, a výsledky, jichž dospěl, shodují se skorem naprosto s mými vlastními meditacemi, dílem již 30-35 roků starými. Mou zásadou bylo neoznámiti o své práci, z níž ostatně jen málo dosud přeneseno na papír, za svého života ničeho... Naproti tomu bylo mým úmyslem, časem vše tak přenésti na papír, aby to alespoň se mnou jednou nezašlo. – Jsem tudíž velmi překvapen vida, že ta námaha mi nyní bude ušetřena, a největším potěšením je mi, že právě syn mého starého přítele mne tak pozoruhodným způsobem předešel.

2. světová válka znamenala i konec jednoho mýtu

Die reine Zahlentheorie ist dasjenige Gebiet der Mathematik, das noch nie Anwendungen gefunden hat.

David Hilber (1930)

Čistá teorie čísel je taková část matematiky, pro kterou nebude žádná aplikace nalezena.

David Hilber (1930)

Real mathematics has no effect on war. No one has yet discovered any warlike purpose to be served by the theory of numbers or relativity; and it seems unlikely that anyone will do so for many years.

G. H Hardy - A Mathematician’s Apology (1940)

Opravdová matematika nemá žádný vojenský význam. Nikdo zatím neobjevil žádné vojenské využití teorie čísel nebo relativity; a nezdá se, že by k tomu během mnoha dalších let došlo.

G. H Hardy - A Mathematician’s Apology (1940)

It would not be an exaggeration to state that abstract cryptography is identical with abstract mathematics.

Abraham Adrian Albert (1941)

Bez nadsázky lze říci, že abstraktní kryptografie je totožná s abstraktní matematikou.

Abraham Adrian Albert (1941)

Proč Kant mohl pokládat matematické věty za syntetické?

V Kantových dnech byla matematika samotná logicky hluboko pod úrovní matematiky dnešní. Je naprostá pravda, že kdokoli se pokusí odvodit např. Eukleidovu sedmou větu z Eukleidových axiómů bez použití obrazce, zjistí, že je to neproveditelný úkol. V osmnáctém století pravděpodobně neexistoval ani jeden jediný logicky správný exemplář matematického uvažování, chci říci usuzování, ve kterém by byl závěr správně odvozen z autorem explicitně stanovených premis. Protože se však správnost závěru zdála nepochybná, bylo přirozené předpokládat, že matematický důkaz byl něco jiného než logický důkaz. Faktem ale je, že celý rozdíl nespočívá v ničem jiném, než v tom, že matematické důkazy byly zkrátka neplatné. Při důkladnějším zkoumání se ukázalo, že mnohé z vět, jež byly podle Kanta nezpochybnitelnými pravdami, byly ve skutečnosti nepravdivé. A ještě větší třída vět – např. výše zmíněná Eukleidova sedmá věta – může být rigidně odvozena z určitých premis, ačkoli není nijak jasné, zdali jsou tyto premisy samy pravdivé nebo nepravdivé.

Bertrand Russell – Principia Mathematica

Sociální mozek

Pořad, ve kterém František Koukolík vypráví o politickém a sociálním mozku je ke stažení na adrese: http://www.rozhlas.cz/_audio/vstupte-s-mudr-frantiskem-koukolikem-oni-a-my-socialni-mozek--02138259.mp3 .

Logika rozkazovacího způsobu

Klasická logika odpovídá oznamovacímu způsobu. O tom, jaké problémy mohou nastat, pokud se použije na rozkazovací způsob, svědčí následující příklad.

Víme, že v rámci klasické logiky jsou takřka triviálně správné úsudkové formy

A

---

A ∨ B

Bylo by ale rozumné říci, že díky tomu je zjevně platná i následující úsudková forma?

A!

---

(A ∨ B)!

Kladná odpověď je problematická.Konkretizujeme-li A jako výrok Odesíláš dopis a B jako Pálíš dopis, dostaneme úsudek:

Odešli tento dopis!

---

Odešli nebo spal tento dopis!

Vladimír Svoboda, Jaroslav Peregrin – Od jazyka k logice

Přesněji a lépe:

S odlišností interpretace příkazů a norem souvisí i tzv. Rossův paradox, který zároveň ukazuje, že výrokové spojky uvnitř modálních operátorů nelze překládat do přirozeného jazyka prvoplánově. Již v nejslabší námi uvažované deontické logice K je dokazatelná formule

(12) O A → O(A ∨ B).

Interpretujeme-li A jako „pošli tento dopis“ a B jako „spal tento dopis“, vyplývá při naivní interpretaci z (12) nesmyslná, že z příkazu „pošli tento dopis“ vyplývá příkaz „pošli nebo spal tento dopis“. Při správné interpretaci podle naznačené kripkovské sémantiky má však formule (12) rozumný význam (jestliže ve všech deonticky perfektních stavech světa platí A, pak v nich – pochopitelně – platí také A ∨ B).

Libor Běhounek – Formální sémantika logiky modalit

Gödel 1931 – Strukturovaná minirecenze

Název: Gödel 1931

Autoři: Frýdek Jaroslav, Včelař František, Zelinka Ivan

www: http://shop.ben.cz/sk/114177-godel-1931.aspx

Obor: Matematická logika

Co kniha obsahuje: Kniha má dvě části. V první části je výklad a komentář ke článku Kurta Gödela „O nerozhodnutelných větách v díle Principia Mathematica a příbuzných systémech I“ („Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I“). Autoři článek bod po bodu rozebírají a nevynechávají jedinou zajímavou větu, byť by to byla jen poznámka pod čarou. V druhé části je „všechno ostatní“, co se přímo k článku nevztahuje, ale souvisí s Gödelovým dílem a autoři to pokládali za nutné publikovat.

Co kniha neobsahuje: Kniha nezačíná od nuly, není to úvod do matematické logiky. Neobsahuje ani filosofii matematiky. Až na drobné zmínky se kniha zabývá pouze přirozenými čísly 0, 1, ... atd. Vyšší matematiku kniha neobsahuje. Bohužel, kniha neobsahuje původní znění Gödelova článku (ani v příloze). Tento je rozdroben po celé knize.

Doporučená literatura:
Vítězslav Švejdar: Logika: neúplnost, složitost a nutnost (http://www1.cuni.cz/~svejdar/book/LogikaSve2002.pdf)
Petr Štěpánek, Bohuslav Balcar: Teorie množin
Vojtěch Kolman: Logika Gottloba Frega

Klady: Není „o všem“ (tj. o ničem). Kniha se v první části tvořící většinu knihy soustřeďuje výhradně na Gödelův článek. Dokáže tak čtenáři zprostředkovat přímý kontakt s Gödelovým géniem. Tím tvoří velkou výjimku na českém trhu. Ten, kdo zná Gödelovu práci jen ze stručných výtahů, popř. jen z popularizačních knih, nedovede si představit jak nápaditá, tvořivá a přitom poctivá a řemeslně dokonalá Gödelova práce je. I když kniha neobjasňuje zcela všechny podrobnosti (což je dobře – nějaká příjemná práce na čtenáře zbude), přesto je průvodcem dobrým, nebo alespoň nejlepším, s jakým jsem se na českém trhu setkal.

Zápory: Grafika a především typografie, ale to je letitý problém BENu, za to autoři nemohou.

Pro koho kniha je: Pro každého, koho nevyděsí velmi jednoduché rovnice a má zájem o matematiku, výpočetní techniku, kybernetiku, umělou inteligenci, filosofii, anebo o jakýkoli obor vrcholné duševní činnosti. Ale i pro každého, kdo doposud takovéto zájmy nemá, nicméně chce vyzkoušet pravdivost mínění, že právě ona Gödelova práce takovéto zájmy vyvolává.

Pro koho kniha není: Pro toho, kdo o věc nemá skutečný zájem, nechce podstoupit duševní námahu, ale potřebuje jen vybrat pár frází do referátu. Tomu se budou takové věty těžko hledat.

Celkový dojem: Knihu musím rozhodně doporučit.

Filosofie a matematika – Bolzano a Frege

Nicht groß ist in unseren Tagen die Zahl der Philosophen, deren mathematisches Wissen viel über den Satz, daß A gleich A ist, hinausreicht. Noch kleiner ist jedoch die Zahl der Mathematiker, die zuzugestehen bereit sind, daß ihre eigene Wissenschaft durch Hilfe der Philosophie zu einer höheren Stufe der Vollkommenheit erhoben werden könnte (...).

Bernard Bolzano – Versuch einer objectiven Begründung der Lehre von den drei Dimensionen des Raumes

Za našich dnů je jen velmi málo filosofů, jejichž matematické vědění by sahalo dále než k větě, podle níž se A rovná A. Ještě menší počet je však matematiků, kteří jsou ochotni připustit, že by se jejich vlastní věda mohla pozvednout na vyšší stupeň dokonalosti s pomocí filosofie.

Bernard Bolzano – Pokus o objektivní zdůvodnění nauky o třech rozměrech prostoru

Jedenfalls müssen alle Mathematiker aufgegeben werden, die beim Aufstoßen von logischen Ausdrücken wie 'Begriff', 'Beziehung', 'Urtheil' denken: metaphysica sunt, non leguntur! (das ist Metaphysik, so etwas lesen wir nicht!) und ebenso die Philosophen, die beim Anblick einer Formel ausrufen: mathematica sunt, non leguntur! (das ist Mathematik, so etwas lesen wir nicht!)

Gottlob Frege – Grundgesetze der Arithmetik

Je nepochybné, že všichni matematikové, jakmile narazí při čtení na výrazy jako „pojem“, „relace“ či „soud“ vykřiknou „metaphysica sunt, non leguntur!“ (metafysika, to nečteme), zatímco ze strany filosofů spatřících formule zaznívá „mathematica sunt, non leguntur!“ (matematika, to nečteme).

Gottlob Frege – Základy aritmetiky

Goethe a Heidegger - dva citáty

Člověk sám o sobě, pokud užívá svých zdravých smyslů, je největší a nejpřesnější fyzikální přístroj, jaký může existovat, a je právě největším neštěstím novější fyziky, že experimenty jakoby oddšlila od člověka a chce poznávat přírodu pouze v tom, co ukazují přístroje, ba chce tím dokonce omezit a dokázat, co je příroda schopna vykonat.

Johann Wolfang Goethe - Výroky v próze

Heisenbergovou relací neurčitosti je člověk nakonec výslovně zahrnut do umělosti přístrojů a stává se jejich součástí. Z tohoto hlediska může ve všech předmětech potkat už jen sám sebe - ale co je tu pak on "sám"? (Instrumentace!)

Martin Heidegger - Věda a zamyšlení

Timoleón

Huic quidam Laphystius, homo petulans et ingratus, vadimonium cum vellet imponere, quod cum illo se lege agere diceret, et complures concurrissent, qui procacitatem hominis manibus coercere conarentur, Timoleon oravit omnes, ne id facerent. Namque id ut Laphystio et cuivis liceret, se maximos labores summaque adisse pericula. Hanc enim speciem libertatis esse, si omnibus, quod quisque vellet, legibus experiri liceret. Idem, cum quidam Laphystii similis, nomine Demaenetus, in contione populi de rebus gestis eius detrahere coepisset ac nonnulla inveheretur in Timoleonta, dixit nunc demum se voti esse damnatum: namque hoc a diis immortalibus semper precatum, ut talem libertatem restitueret Syracusanis, in qua cuivis liceret, de quo vellet, impune dicere.

Cornelius Nepos – Liber de excellentibud ducibus exterarum gentium

Když chtěl jakýsi Lafystios, člověk drzý a nevděčný, pohánět Tímolóna k soudu, protože, jak říkal, s ním má nějakou při, a sběhlo se mnoho lidí, kteří se snažili pěstmi potrestat opovážlivost toho člověka, prosil Tímoleón všechny, aby to nedělali. Proto totiž on podstoupil všechna nebezpečí a strasti, aby to bylo Lafystovi i komukoliv jinému dovoleno. To je totiž známnkou svobody, jestliže je všem dovoleno se soudit o cokoliv chtějí. Také, když někdo, podobný Lafystovi, jménem Deménetos, začal ve shromáždění lidu zlehčovat jeho činy a velice se na Tímoleónta obořil, řekl Tímoleón, že teprve nyní byly vyslyšeny jeho prosby, neboť toto že vždy žádal od nesmrtelných bohů, aby v Syrákúsách obnovil takovou svobodu, v níž by bylo komukoliv dovoleno beztrestně říkat, cokoliv chce.

Cornelius Nepos – Životopisy slavných vojevůdců

V Plútarchovi lze číst skoro doslova totéž.

Z těch dvou ho Lafystios při jakémsi právním jednání žádal o záruku, přičemž občané tropili hluk a chtěli tomu zabránit, ale Timoleón jim to nedovolil. Prohlásil totiž, že s radostí podstoupil tolik strastí a tolik nebezpečí proto, aby každý občan v Syrakusách, bude-li si to přát, mohl plně užívat zákonů. A potom Démainetos uvedl ve shromáždění lidu mnoho stížností na Timoleontovo vedení války, Timoleón mu vůbec neodpověděl, jen řekl, že je bohům zavázán díky za to, že mu vyplnili, oč prosil, aby totiž na vlastní oči spatřil, jak Syrakusané mají právo svobodně mluvit.

Plútarchos – Životopisy slavných Řeků a Římanů

Chůze

O tom, že pěší pochyb není nejméně efektivní způsob dopravy, ale je to něco, co má svou vlastní hodnotu, svědčí následující vzpomínka na Gottloba Frega.

Von ihm wurde erzählt, daß er, der hier zwar ord. Hon. Prof. war, zum Teil erst nach seinem Tode als ein ganz bedeutender Gelehrter erkannt worden ist. Er wanderte alljährlich zu Fuß mit seinem Hund an die See und schilderte mir gelegentlich, welchen großen Reiz es habe, wenn man ganz allmählich die noch fernen Linien der Berge am Horizont auftauchen wieder verschwinden sehe. Davon habe man sehr viel mehr als von der eiligen Eisenbahnfahrt. Es war sehr interessant, ihm dabei zuzuhören.

Nachlaß Alexander Cartillieri

Vyprávělo se o něm, že - ač byl řádným Honorarordinariem, proslavil se jako významný učenec dílem až po své smrti. Každoročně cestoval pěšky se svým psem k moři a líčil mi příležitostně, jak velké kouzlo mají chvíle, kdy se na horizontu pozvolna vynořují ještě vzdálené linie hor a kdy opět mizí. Z toho má člověk víc nežli ze spěšné jízdy vlakem. Bylo velmi zajímavé mu přitom naslouchat.

Z pozůstalosti Alexandra Cratillieriho

Sarkastický Frege

Celý text je zde na straně 133.

Byl jsem zpočátku příliš zaujat v dříve tak běžném přeceňování přemýšlení. Jen pozvolna jsem se dokázal propracovat k svobodnějšímu stanovisku. Není ve skutečnosti přemýšlení pro vědu častěji spíše překážkou nežli silou pohánějící vpřed? Kolik nepříjemných, vedlejších a cestu křížících otázek nám přemýšlení předhazuje; otázek, které by bez něho jednoduše vůbac nevznikly? Kolik sil je takovýmito otázkami odvráceno od hlavních problémů, a je tak pro pokrok vědy zcela ztraceno? O kolik stručnější, pohodlnější, ano, o kolik jasnější by bylo vše, kdybychom kameny vrhané myšlením do cesty nechali ležet stranou. S nepřemýšlením, tolik spřízněným s Léthé, je také – domnívám se – nalezen balzám, který utiší ony zkraje zmíněné útrapy. Čím déle jsem se zabýval souhrnem nauk, které mě podnítily k tomuto poznání, tím více jsem nabýval přesvědčení, že jejich pěstění zajistí u našich potomků konci devatenáctého století zvláštní slávu.

Gottlob Frege – O číslech pana H. Schuberta

Řeč, jazyk a počítač

Záznam přednášky prof. Eva Hajičové ke stažení zde (1. část) a zde (2. část).

O spravedlnosti

Haec itaque (ut ipsi appellant) bona quisquis patriae acquisierit, hoc est, qui eversis civitatibus, gentibusque deletis, aerarium pecunia referserit, agros ceperit, cives suos locupletiores fecerit; hic laudibus fertur in coelum, in hoc putatur summa et perfecta esse virtus. Qui error non modo populi et imperitorum, sed etiam philosophorum est; qui praecepta quoque dant ad iniustitiam, ne stultitiae ac malitiae disciplinae auctoritas desit.

Lactantius – Divinae Institutiones

Kdo tedy tato „dobra“, jak je oni nazývají, získá pro svou vlast, tzn. kdo vyvrácením obcí nebo zničením národů naplní obecní pokladnu, zabere pole, své spoluobčany učiní bohatšími, ten je vynášen chválou až k nebi – v tom prý je nejvyšší a dokonalá ctnost; to není pouze omyl lidu a nevzdělaných, ale také filosofů, kteří také dávají předpisy pro nespravedlivost, aby hlouposti a špatnosti nechybělo učení a autorita.

Lactantius – Divinae Institutiones

A jak to vypadá v praxi lze nalézt tamtéž.

Omnibus populis qui florerent imperio, et Romanis quoque ipsis qui totius orbis potirentur, si iusti velint esse, hoc est si aliena restituant, ad casa esse redeundum et in egestate ac miseriis iacendum.

Lactantius – Divinae Institutiones

Všechny národy, které vlastní kvetoucí říši, a i samotní Římané, kteří se zmocnili celého světa, museli by, kdyby chtěli být spravedliví, to jest, kdyby obnovili cizí práva, vrátit se do chatrčí a živořit v nouzi a bídě.

Lactantius – Divinae Institutiones

Kam o prádninách?

Do Sázavy na Letní filosofickou školu - Meditace o základech vědy. pozvánka je zde.

Mácha a logika

Mácha nastoupil studia filosofická a opět nový svět se mu otevřel, i nové poznání zjevily se v jeho po vědomostech prahnoucím duchu. Dosáhnuv zralejšího věku, nabyl živější obrazivosti a ráznější povahy. Že se myšlénky jeho pořádaly, že se systematičtějšími a logičtějšími staly, nebylo sice pouze výsledkem učení školního, nicméně přece naň silně působilo. Se zvláštní oblibou zanášel se umnicí neboli logikou, předmět to, jenž každému, byť se jakémukoli učení poddal, základem býti musí. Přednášky tyto, přísnou stručností se nad jiné vyznamenávající, nemálo vábily našeho Hynka, a tím mocněji jej poutaly, čím více poznával, že veškerá vzdělanost, nedostává-li se jí logické spořádanosti, již sama v sobě nedokonalá a vůbec nedostatečná jest. Nikdy na tom nepřestal, čehož mu jeho učitel byl poskytl, nýbrž hleděl dále, než školní učení dosahovalo, a hlouběji nahlížel v tuto základní vědu. Z podobných příčin vábila jej i vyšší matematika, ne však sama sebou, nýbrž jen co hlavní prostředek k bystření ostrovtipu. Láska k logice vedla jej i ve společenském životě – jakákoli rozprávka nelogická byla mu odporná, každá nespořádaná řeč se mu protivila a člověk takto mluvící působil mu dlouho chvíli. Tím mocněji jej vábila stručnost a určitost řeči, se kterou se arci u jiných zřídkakdy potkával.

Úvod povahopisný – Karel Sabina

Python a slovník

Nedařilo se mi do slovníku (dictionary) vložit víc než několik desítek milionů položek. Přitom paměti bylo víc než dost. Proto jsem napsal následující skript na zjištěná maximálního počtu položek, které lze do slovníku uložit.

i = 0
d = {}
try:
while True:
d[i] = i
i = i + 1
except MemoryError:
print i

Výsledný počet je 44739242. V hexadecimální soustavě je to 2AAAAAA, což vypadá podezřele. Upozornění: Skript může způsobit pád některých programů.

Řešení problému:

class Dict2:
 def __init__(self):
  self.dicts = [{}]
 def value(self, k):
  for dict in self.dicts:
   if k in dict:
    return dict[k]
 def isIn(self):
  for dict in self.dicts:
   if k in dict:
    return True
  return False
 def insert(self, k, d):
  for dict in self.dicts:
   if k in dict:
    dict[k] = d
    return
  try:
   self.dicts[0][k] = d
  except MemoryError:
   self.dicts.insert(0, {})
   self.dicts[0][k] = d

i = 0
d = Dict2()
try:
 while True:
  d.insert(i, i)
  i = i + 1
except MemoryError:
 print i

Funkcionální úplnost

V binární logice lze z operátoru NAND nebo NOR sestrojit libovolný jiný operátor, což lze snadno dokázat. Důkaz je uveden v každé knize typu "logik für frauzimmer". Že to jsou jediné operátory, které samotné tvoří funkcionálně úplnou množinu operátorů, lze také dokázat poměrně snadno.

Definice. Funkce je n-Shefferovská (nebo Shefferova), jestliže lze z ní konečným způsobem složit libovolnou funkci , kde .

Věta. Jestliže existuje existuje množina taková, že pro funkci platí , pak funkce není n-Shefferovská.
Důkaz. Pokud předpoklad tvrzení platí, pak nelze žádným způsobem z funkce složit funkci, která by pro nějaké nabývala hodnoty z neprázdné množiny . Proto funkce nemůže být n-Shefferovská.

Důsledek. Jestliže pro některé platí , pak funkce není n-Shefferovská.

Binárních operátorů na množině je jen 16. Ovšem ty, pro které platí , jsou jen čtyři. Dva z nich jsou však jenom unární operátory, které nemohou být 2-Shefferovské. Proto existují jen dvě 2-Shefferovské funkce.

Zajímavá je otázka: Kolik je obecně n-Shefferovskáých funkcí? Žádný vzorec se mi nepodařilo ani vymyslet, ani nalézt. Zdá se, že existuje pro každé konečné alespoň jedna. V oxfordském matematickém slovníku jsem nalezl tento předpis pro n-Shefferovskou funkci:

.

Říkají jí "Wenn funkce", což bude asi nějaké nedorozumění. Důkaz, že se skutečně jedná o n-Shefferovskou funkci jsem zatím nenašel. Pro žádné nekonečné žádná n-Shefferovská funkce neexistuje, protože funkcí je nespočetně mnoho, kdežto konečným způsobem lze složit jen spočetně mnoho funkcí.

Matematika je především drzost

Nowhere, then, on our real line—not at zero, nor to its left nor to its right, not sheltered among the rationals, nor masquerading as an irrational—can there be any number which is the square root of negative one. It is at this point that a deep quality of the mathematical art emerges—let’s call it the Alcibiades Humor. For Alcibiades was the infant terrible of ancient Athenian life at the time of Socrates: handsome and willful, outrageous and heroic, arrogant and playful, disrupter of dis course and envoy of passion to the feast of reason. Plutarch tells us that even as a boy, dicing in the street, he dared an angry carter to run him over—and of course the carter turned back. The Alcibiades Humor in mathematics is just this hubris, this refusal to stop playing when all seems lost.

Robert + Ellen Kaplan – The art of the infinity

Číslo, které je druhou odmocninou z mínus jedné, tedy nemůže být nikde na naší číselné ose – ne v nule, ne nalevo ani napravo od ní, nemůže se ukrývat mezi racionálními čísly, ani se maskovat jako číslo iracionální. Právě v tuto chvíli se vynoří hluboká kvalita matematického umění – nazvěme ji Alkibiadovým humorem. Protože Alkibiadés byl enfant terrible života ve starověkých Athénách v době Sókratově: krásný a tvrdohlavý, skandální a hrdinský, arogantní a hravý narušitel rozmluv a vyslanec vášně na hostině rozumu. Plútarchos nám říká, že když hrál, ještě jako chlapec, na ulici v kostky, vyzval rozzlobeného vozku, aby ho přejel – a vozka samozřejmě svůj vůz obrátil. Alkibiadův humor v matematice je právě tahle arogance, tohle odmítnutí přestat hrát, když se zdá být vše ztraceno.

Robert Kaplan, Ellen Kaplanová – Umění nekonečna

Je matematika psychologie?

Na chemii se (s přimhouřením jednoho oka) můžeme dívat jako na speciální část fyziky, ale, ačkoli jsou sochy dělané z kamene, není sochařství mineralogie. Matematická práce je nepochybně výsledkem činnosti lidské psychiky. Je to s matematikou jako s chemií, nebo jako se sochařstvím. Husserl nabízí takovouto odpověď:

Und trotz dieses "psychologischen Ursprungs" der arithmetischen Begriffe erkennt es jeder als eine fehlerhafte μετάβασις an, daß die mathematischen Gesetze psychologische sein sollen. Wie ist das zu erklären? Hier gibt es nur eine Antwort. Mit dem Zählen und dem arithmetischen Operieren als Tatsachen, als zeitlich verlaufenden psychischen Akten, hat es natürlich die Psychologie zu tun. Sie ist ja die empirische Wissenschaft von den psychischen Tatsachen überhaupt. Ganz anders die Arithmetik. Ihr Forschungsgebiet ist bekannt, es ist vollständig und unüberschreitbar bestimmt durch die uns wohlvertraute Reihe idealer Spezies 1, 2, 3 . . . Von individuellen Tatsachen, von zeitlicher Bestimmtheit ist in dieser Sphäre gar keine Rede. Zahlen, Summen und Produkte von Zahlen (und was dergleichen mehr) sind nicht die zufällig hier und dort vor sich gehenden Akte des Zählens, des Summierens und Multiplizierens usw. Selbstverständlich sind sie auch verschieden von den Vorstellungen, in denen sie jeweils vorgestellt werden. Die Zahl Fünf ist nicht meine oder irgend jemandes anderen Zählung der Fünf, sie ist auch nicht meine oder eines anderen Vorstellung der Fünf. In letzterer Hinsicht ist sie möglicher Gegenstand von Vorstellungsakten, in ersterer ist sie die ideale Spezies einer Form, die in gewissen Zählungsakten auf Seiten des in ihnen Objektiven, des konstituierten Kollektivum, ihre konkreten Einzelfälle hat. In jedem Falle ist sie ohne Widersinn nicht als Teil oder Seite des psychischen Erlebnisses, somit nicht als ein Reales zu fassen.

Edmund Husserl – Logische Untersuchungen I.

Navzdory tomuto "psychologickému původu" aritmetických pojmů uznává každý jako chybnou μετάβασις, že by matematické zákony měly být psychologické. Jak to vysvětlit? Zde existuje pouze jedna odpověď. Počítáním a aritmetickým operováním jakožto fakty, jakožto časově probíhajícími psychickými akty, se samozřejmě zabývá psychologie. Je přece empirickou o psychických faktech vůbec. Zcela jinak tomu je v aritmetice. Její výzkumné pole je známé, je úplné a nepřekročitelně určené nám dobře známou řadou ideálních species 1, 2, 3, ... O individuálních faktech, o časové určenosti se v této sféře vůbec nikde nemluví. Čísla, součty a součiny čísel (a podobně) nejsou nahodile tu či onde probíhající akty počítání, sčítání a násobení atd. Také se pochopitelně liší od představ, v nichž si je někdo představuje. Číslo pět není mé či někoho jiného počítání do pěti, není to ani má či někoho jiného představa pětky. Z hlediska představ je číslo pět možným předmětem aktů představování, z hlediska počítání je ideálním spesies, která má v jistých aktech počítání své konkrétní jednotlivé případy - podobně jako např. species barvy červeň v počitkových aktech červené. V každém případě ho nelze, aniž by to bylo protismyslné, pojímat jako část či stránku psychického prožitku, tudíž jako něco reálného.

Edmund Husserl – Logická zkoumání I.

Mathematical Expressions Generator

The following python code generates mathematical expressions using simple (slightly modified) generative grammar.

def gen(grammar, N, N_max, S):
 if N > N_max:
  return []
 result = []
 terminal = True
 for rule in grammar:
  for i in range(0, len(S)):
   ch = S[i]
   if ch == rule[0]:
    Snew = S[0:i] + rule[1] + S[(i + 1):len(S)]
    result = result + gen(grammar, N + 1, N_max, Snew)
    terminal = False
 if terminal:
  return [S]
 return list(set(result))

grammar = [
 ["S", "(S + S)"],
 ["S", "(S * S)"],
 ["S", "(S - S)"],
 ["S", "(-S)"],
 ["S", "x"],
 ["S", "y"],
 ["S", "z"],
 ["S", "0"],
 ["S", "1"],
 ["S", "2"],
 ["S", "3"],
]

for f in gen(grammar, 0, 4, "S"):
 print f

Output:

(y * (-0))
(3 + 1)
((-z) - 2)
((-y) * z)
(-(3 - x))
((-3) - z)
(3 * 1)
...
(-(2 * 2))

Dvě definice nekonečna

Pojem nekonečna se zde týká jen množin. Ale ani v tomto případě není pojem nekonečna jednoznačný, protože existuji přinejmenším dvě definice:

Definice. (Dedekind) Množina a je nekonečná, jestliže existuje množina b ∈ a taková, že existuje bijetkivní zobrazení z množiny b do množiny a.

Definice. (Tarský) Množina a je nekonečná, jestliže existuje ∅ ≠ b ⊆ P(a), kde P(a) je potenční množina množiny a, taková, že b nemá maximální prvek ve smyslu inkluze.

V Zermelo­-Fraenkelově teorii množin je dokazatelné, že každá množina konečná podle Tarského je také konečná podle Dedekinda (...). Máme­li k dispozici axiom výběru, je možno dokázat i druhou implikaci: Jestliže x není konečná podle Tarského, ukážeme matematickou indukcí, že každé přirozené číslo je možno vzájemně jednoznačně zobrazitelné do množiny x. Předpoklad AC zaručí, že množina x má nějakou mohutnost κ ; evidentně ω ∈ κ. Takže množinu ω můžeme vzájemně jednoznačně zobrazit na podmnožinu množiny x a na základě tohoto zobrazení sestrojíme vzájemně jednoznačné zobrazení množiny x na její vlastní část (ω lze vzájemně jednoznačně zobrazit např. na množinu sudých čísel), neboli x není konečná podle Dedekinda.

Antonín Sochor – Metamatematika teorií množin

V ZF je tedy vše v pořádku, protože definice jsou ekvivalentní. ZF teorie množin však není jediná teorie množin.

Naším cílem je nejprve ukázat obecnou metodu konstrukcí interpretací jak teorie množin bez axiomu fundovanosti v teorii množin bez axiomu fundovanosti, tak také interpretací teorie množin s atomy v teorii množin s atomy. Tuto obecnou metodu pak použijeme pro konstrukci tří interpretací, v jejichž smyslu bude po řadě platit:
(1) existuje množina, lineární uspořádání na každé jejíž části je dobrým uspořádáním, a tato množina není konečná podle Tarského, ale je konečná podle Dedekinda (viz dále); navíc tato množina nemá spočetnou část, a tedy neexistuje ani vzájemně jednoznačné zobrazení naší množiny do ω, ani vzájemně jednoznačné zobrazení ω do naší množiny;
(2) existuje množina, kterou lze lineárně uspořádat, kterou však nelze uspořádat dobře;
(3) sjednocení spočetně mnoha spočetných množin nemusí být spočetnou množinou.
Poznamenejme, že z kteréhokoli výše uvedeného tvrzení plyne negace axiomu výběru (...).

Antonín Sochor – Metamatematika teorií množin

Příslušná ukázka z knihy Metamatematika teorií množin je zde.

Důležitý homeomorfismus

Eukleidovský n-rozměrný prostor je množina E_n = {(x₁, ..., x_n) | x_i) ∈ R} a n-rozměrná sféra je množina S_n = {x| x ∈ E_n+1, ||x|| = 1}. Následující tvrzení poskytuje mj. návod, jak si představit situaci, kdy se rovnoběžky protínají v nekonečnu, anebo to, že v nekonečnu se neprotínají jen rovnoběžky, ale všechny přímky v eukleidovském prostoru.

Tvrzení. Buď s libovolný bod sféry S_n. Potom S_n - {s} je homeomorfní s E_n.

Důkaz. (...) Uvažujme zobrazení

E_n →_f S_n - {(0, ..., 0, 1)} →_g E_n

daná předpisy

f(x) = (4 x₁, ..., 4 x_n, x² - 4) / (x² + 4),

kde x² je skalární součin x x,

g(y) = 2(y₁, ..., y_n) / (1 - y^{n + 1}).

Zobrazení f skutečně zobrazuje s E_n do s S_n - {(0, ..., 0, 1)}, protože

||f(x)|| = √(16 x² + x⁴ - 8 x² + 16) / (x² + 4) = 1

a

(x² - 4) / (x² + 4) ≠ 1.

Zobrazení f a g jsou zřejmě spojitá a snadno se ověří, že platí fg(x) = x, gf(x) = x.

Více (o moc více) v knize Podprostory Euklidovských prostorů od Aleše Putra.

Cicero o probabilismu

Occuritur autem nobis, et quidem a doctis et eruditis quaerentibus, satisne constanter facere videamur, qui, cum percipi nihil posse dicamus, tamen et aliis de rebus disserere soleamus et hoc ipso tempore praecepta officii persequamur. Quibus vellem satis cognita esset nostra sententia. Non enim sumus ii, quorum vagetur animus errore nec habeat umquam quid sequatur. Quae enim esset ista mens vel quae vita potius, non modo disputandi, sed etiam vivendi ratione sublata? Nos autem, ut ceteri alia certa, alia incerta esse dicunt, sic ab his dissentientes alia probabilia, contra alia dicimus. Quid est igitur, quod me impediat ea, quae probabilia mihi videantur, sequi, quae contra improbare atque adfirmandi arrogantiam vitantem fugere temeritatem, quae a sapientia dissidet plurimum? Contra autem omnia disputantur a nostris, quod hoc ipsum probabile elucere non possit, nisi ex utraque parte causarum esset facta contentio.

Marcus Tullius Cicero – De officiis

Od lidí vzdělaných však slýchám námitku, zda jednám dosti důsledně, když na jedné straně tvrdím, že o ničem nelze nabýt úplné jistoty, a přece mezi jinými otázkami, o nichž pojednávám, podávám nyní dokonce i předpisy o povinnostech. Velice rád bych těmto lidem objasnil své stanovisko. Nejsem věru z těch, jejichž duch tápe v nejistotě a nemá nikde pevný cíl. Vždyť jaké by to bylo myšlení, jaký by to byl život, kdyby nám byla odňata možnost nejen rozumné výměny názorů, ale vůbec života rozumného! Já se liším od jiných, kteří některé věci nazývají jistými s jiné nejistými, jen tím, že jedny nazývám pravděpodobnými a jiné nikoliv. Co mi tedy brání, abych se nedržel toho, co se mi zdá pravděpodobným, a neodmítal to, co se mi naopak zdá pravděnepodobným, a abych se nevaroval domýšlivé jistoty ve svých tvrzeních, vyhýbaje se tak nerozvážnosti, jež je pravým opakem moudrosti? Naše škola však uvádí všechno v pochybnost jenom proto, že sama pravděpodobnost se nemůže stát zřejmou jinak, než když se zváží důvody uváděné z obou stran.

Marcus Tullius Cicero – O povinnostech

Plútarchos o fyzice a Platónovi

οὐ γὰρ ἠνείχοντο τοὺς φυσικοὺς καὶ μετεωρολέσχας τότε καλουμένους, ὡς εἰς αἰτίας ἀλόγους καὶ δυνάμεις ἀπρονοήτους καὶ κατηναγκασμένα πάθη διατρίβοντας τὸ θεῖον, ἀλλὰ καὶ Πρωταγόρας ἔφυγε, καὶ Ἀναξαγόραν εἱρχθέντα μόλις περιεποιήσατο Περικλῆς, καὶ Σωκράτης, οὐδὲν αὐτῷ τῶν γε τοιούτων προσῆκον, ὅμως ἀπώλετο διὰ φιλοσοφίαν. ὀψὲ δ᾽ ἡ Πλάτωνος ἐκλάμψασα δόξα διὰ τὸν βίον τοῦ ἀνδρός, καὶ ὅτι ταῖς θείαις καὶ κυριωτέραις ἀρχαῖς ὑπέταξε τὰς φυσικὰς ἀνάγκας, ἀφεῖλε τὴν τῶν λόγων τούτων διαβολήν, καὶ τοῖς μαθήμασιν εἰς ἅπαντας ὁδὸν ἐνέδωκεν.

Πλούταρχος – Βίοι παράλληλοι

Tenkrát totiž nesnášeli fyziky a takzvané meteóroleschy, protože prý neuznávají božské působení a mluví místo toho o neočekávaných příčinách, o neprobádaných silách a o nutných důsledcích přírodních zákonů. Prótagoras byl dokonce poslán do vyhnanství, Anaxagoras byl uvězněn a jen s potížemi se Periklovi podařilo osvobodit ho, a Sokrates, třebaže s něčím takovým neměl nic společného, zahynul jen proto, že byl filozof. Teprve později Platónova sláva, která se zaskvěla zásluhou jeho života i proto,že přírodní nutnost podřídil božským principům jako mocnějším, zbavila takové výklady špatné pověsti a otevřela vědám cestu ke všem lidem.

Plútarchos – Životopisy slavných Řeků a Římanů

Překladatel si zřejmě nevěděl rady se slovem μετεωρολέσχας, čemuž se ani nedivím. František Novotný v překladu Platónovy Ústavy toto slovo přeložil jako „oblační tlachalové“. Je to asi z Aristofanovy komedie Oblaka.

Ferdinand Stočes o původnosti Mathesiových Zpěvů staré Číny

Některé básně, které jsem našel u Mathesia, u Henschkeho, ale už ne u žádného opravdového překladatele, ať již britského, amerického, německého, francouzského či ruského, se skvěly a zářili v díle Judity Gautierové. Byl jsem zcela šokován. Vždyť šlo právě o jedny z nejkrásnějších a nejen mnou oblíbených básní. (...) Začalo ve mě klíčit podezření, že záhadná Judita Gautierová byla prostě šprýmařka, a to velmi nadaná, a celý svět se stal tak trochu objetí jejího smyslu pro humor. (...) Mé veliké podezření se změnilo ve skálopevné přesvědčení, když jsem v Hong Kongu narazil na skvělé dílo odborníků hongkongské univerzity (25 Tang Poet’s Index to English Translations). K mému nesmírnému zklamání básně ze Zpěvů staré Číny jako Pavilón z porcelánu, Věčná písmena, Perly a růže, Vítěz se psem a černou korouhví, Na hrob válečníkův a nejspíše i několik jiných jsou výtvory Judity Gautierové.

Ferdinand Stočes – Písně a verše staré Číny

Mathesiovy Zpěvy staré Číny jsou k nahlédnutí zde. Jestliže je někdo tímto Stočesovým odhalením odrazen od jejich četby, nedělá dobře.

Dva základní způsoby uchopení ideálních předmětů matematického studia

Abychom mohli nějaký geometrický objekt nazírat, musíme ho vynořit z prázdnoty, která ho v geometrickém světě obestírá. (...) Vynořování (...) bývá vykládáno dvojím způsobem. Zaprvé: Všechny geometrické objekty jsou již vytvořeny; jejich bytí je trvalé a neměnné. Jsou však zakryty clonou prázdnoty, kterou je třeba odhalovat, chceme-li je nazírat. Vynořování (...) je v tomto případě odstraňování clony, která je přikrývá. Zadruhé: Geometr v této prázdnotě objekty vytváří, a to tak, že si je představuje. Bytí geometrických objektů v tomto případě není trvalé, je však obnovitelné. Vynořování (...) je tedy tvořením. (...) V Eukleidových Základech jsou geometrické objekty uchopeny druhým ze shora uvedených způsobů. (...) Nicméně v Základech jsou natolik zřetelné stopy po platónském myšlení, že z nich lze platónské pojetí geometrie rekonstruovat.

Petr Vopěnka – Úvod do četby Eukleidových základů

Magie a věda podle C. G. Lewise

I have described as a „magician’s bargain“ that process whereby man surrenders object after object, and finally himself, to Nature in return for power. And I meant what I said. The fact that the scientist has succeeded where the magician failed has put such a wide contrast between them in popular thought that the real story of the birth of Science is misunderstood. You will even find people who write about the sixteenth century as if Magic were a medieval survival and Science the new thing that came in to sweep it away. Those who have studied the period know better. There was very little magic in the Middle Ages: the sixteenth and seventeenth centuries are the high noon of magic. The serious magical endeavour and the serious scientific endeavour are twins: one was sickly and died, the other strong and throve. But they were twins. They were born of the same impulse. I allow that some (certainly not all) of the early scientists were actuated by a pure love of knowledge. But if we consider the temper of that age as a whole we can discern the impulse of which I speak. There is something which unites magic and applied science while separating both from the wisdom of earlier ages.

Clive Staple Lewis – The Abolition of Man

Procesu, kdy člověk získává moc podmaňovat si věc za věcí a posléze je toutéž mocí nucen podrobit se přírodě, říkám „čarodějova smlouva“. A stojím za tím, co říkám. Fakt, že věda byla úspěšná tam, kde magie zklamala, vytvořila mezi oběma takovou vzdálenost, že dnes těžko rozumíme okolnostem, za kterých věda vznikla. Dokonce naleznete lidi, kteří píší o 16. století a zastávají názor, že tehdy byla Magie jako středověký přežitek odsunuta do pozadí Vědou. Ti, kteří se tou dobou zabývali, o tom vědí své. Ve středověku bylo velice málo Magie – její vrchol spadá až do 16. a 17. století. Opravdové magické a opravdové vědecké úsilí jsou dvojčata. První bylo nemocné a zemřelo, druhé bylo silné a prospívalo. Ale byla to dvojčata zrozená ze stejného impulsu. Přiznávám, že někteří (ale určitě ne všichni) dávní vědci byli motivováni čistou láskou k vědění. Ale když uvážíte duch té doby, můžeme tento motiv vcelku vypustit. Je tu něco, co sjednocuje magii a a užitou vědu té doby a zároveň je isoluje od „moudrosti“ dávnějších dob.

Clive Staple Lewis – Zničení člověka

Citovanou část přeložil (asi) Václav Cílek a delší ukázku lze nalézt zde.

Bedřich Bridel

V Dušičkové kapli v Kutné Hoře odpočívá Bedřich Bridel (Fridrich Bridel, chcete-li), mj. básník. Životopis i jeho nejznámější báseň Co Bůh? Člověk? snadno najdete na internetu. Poznamenal jsem si jiné jeho verše. Toto je část rozměrné básně Jesličky:

Ó nebesa! Ó hvězdy!
Když se po nebi béřete,
když své míváte sjezdy,
mně moje srdce kradete.

Kolikrát se třpytíte
stříbrnými očičkami,
tolika mě raníte
srdce jakýmis střelami.

Když nastane svítání,
když se skví všecko, když svítí
rosou stříbrnou ranní,
nebe pozdravuje kvítí.

Potom pěkně vychází,
jako kníže postupuje,
po nebi se prochází,
slunce tak den vyměřuje.

Večer se potom blíží,
tu zase v nebeském kraji
měsíc den k zemi blíží,
opět spolu hvězdy hrají.

A další ukázka je z knihy o Ivanovi:

Vítejte pustiny,
v nichžto sám jediný
budu přebývati,
Bohu děkovati.

Vítej širé pole,
vítej i oudolé
u vás budu stálý,
přijměte mne, skály.

Vítej můj pokoji,
odpočnu po boji,
svět má velký rozbroj,
zde jest stálý pokoj.

Vítej má jeskyně,
tys má přítelkyně,
v této já zahradě
budu jako ve hradě.

Vítejte stromové,
moji příbytkové,
královská stolice
budeš borovice.

Vítejte kamení,
mé milé ležení,
nebo mně za oltář
budete neb polštář.

Vítej ó studnice,
budeš má vinice,
připíte bez škody
křišťálové vody.

Vítejte mé vody,
netřeba nádobí,
když vás budu míti,
kde chci, budu píti.

Vítejte hájové,
obydlí májové,
vítejte smrkové,
moji příbytkové.

Bertrand Russell o matematické jistotě

Mnoho lidí pokládá matematiku za vědní disciplinu, ve které je vše zcela jasné a zcela nepochybné. Bertrand Russell, kterému bylo dáno vidět matematiku hodně zblízka, vyjádřil ve svých pamětech jiný názor.

I wanted certainty in the kind of way in which people want religious faith. I thought that certainty is more likely to be found in mathematics than elsewhere. But I discovered that many mathematical demonstrations, which my teachers expected me to accept, were full of fallacies, and that, if certainty were indeed discoverable in mathematics, it would be in a new kind of mathematics, with more solid foundations than those that had hitherto been thought secure. But as the work proceeded, I was continually reminded of the fable about the elephant and the tortoise. Having constructed an elephant upon which the mathematical world could rest, I found the elephant tottering, and proceeded to construct a tortoise to keep the elephant from falling. But the tortoise was no more secure than the elephant, and after some twenty years of very arduous toil, I came to the conclusion that there was nothing more that I could do in the way of making mathematical knowledge indubitable.

Bertrand Russell – Portraits from Memory and Other Essays

Toužil jsem po jistotě způsobem, jakým lidé touží po náboženské víře. Domníval jsem se, že v matematice lze jistotu nalézt spíše než kdekoli jinde. Ale přišel jsem na to, že mnohé matematické důkazy, které mi moji učitelé předkládali k uvěření, byly plné chyb. Jestliže tedy bylo možné nalézt jistotu v matematice, muselo by to být v nějaké nové matematice, stojící na solidních základech, nikoli na těch, které byly až doposud pokládány za bezpečné. Ale jak práce postupovala, pořád se mi vybavovala bajka o slonu a želvě. Jakmile jsem sestrojil slona, na kterém spočíval zbylý matematický svět, zjistil jsem, že se slon potácí, a sestrojil jsem želvu, aby mu pomohla získat rovnováhu. Želva však nebyla o nic stabilnější než slon, a po nějakých dvaceti letech úporné lopoty jsem přišel na to, že již nemohu nijak přispět k tomu, abych matematiku nesrovnalostí zbavil.

Bertrand Russell – Portréty z paměti a jiné eseje

Logika, metalogika a metametalogika

Cíl je navrhnout kalkul použitelný nejen pro logiku, ale pro metalogiku, popř. pro metametalogiku. Návrh tohoto kalkulu vypadá následovně: Odvozovací systém pracuje s pravidly. Odvozovací systém umí pouze zaměnit proměnnou za jinou proměnnou, popř. výraz, a jsou-li splněny předpoklady pravidla a je-li o to žádán, pak vkládá do odvozených pravidel důsledek pravidla. Nic jiného odvozovací systém nedělá.

Pravidla logiky mají pouze důsledky. Jejich předpoklady jsou prázdné, a tedy vždy splněné. První pravidlo logiky je definice pravdy:

TI: A |- [\TRUE]

Proměnná A je proměnná seznamu výroků. Lomítko označuje konstantu. Seznam výroků má formu [a, b, c, ...]. Podle této definice je pravda to, co lze odvodit z každé teorie. Druhé pravidlo je definice nepravdy:

FI: [\FALSE] |- A

Nepravda je tedy to, z čeho lze odvodit každou teorii. Pokus o definici negace vypadá následovně:

NE: [not not a] |- [a]

Tato definice je zatím poněkud diskutabilní. Korektní definice logické spojky and, or, implikace a ekvivalence jsou tyto:

CI: [a, b] |- [a and b]
CE: [a and b] |- [a, b]
DI1: [a] |- [a or b]
DI2: [b] |- [a or b]
DE: [a or b, not b] |- [a]
II: [b] |- [a -> b]
MP: [a -> b, a] |- [b]
MT: [a -> b, not b] |- [not a]
EI: [(a -> b) and (b -> a)] |- [a <-> b]
EE: [a <-> b] |- [a -> b, b -> a]

Axiomy klasické výrokové logiky jsem vtělil do těchto logických pravidel:

PP1: |- [a -> (b -> a)]
PP2: |- [(a -> (b -> c)) -> ((a -> b) -> (a -> c))]
PP3: |- [(not a -> not b) -> (b -> a)]

Axiomy klasické predikátové logiky prvního řádu jsou tyto:

GQI: [SUB(a, x, t)] |- [forall(x, SUB(a, x, t))]
GQE: [forall(x, a)] |- [SUBST(a, x, t)]
EQI: [SUB(a, x, t)] |- [exists(x, SUB(a, x, t))]

SUB zde znamená substituci všech výskytů. Chybí tam ještě obecný případ eliminace existenčního kvantifikátoru. Pro jeho definování je zřejmě nutné zavést nějaký další metalogický prvek.

Zatímco dokazatelnost jsem značil |-, oddělovač předpokladu a důsledku značím ||=. Nemyslím tím sémantický důsledek, který se značí |=, a který nepoužívám. Následuje sada pravidel, které definují, co je dokazatelnost. Následující pravidlo říká, že ze souboru tvrzení lze dokázat jeho podsoubor:

It: A, B, C |- B

Toto pravidlo je jen obecnější forma známého pravidla [a] |- [a]. Můžeme-li něco dokázat, pak můžeme dokázat i o nějaký podsoubor méně:

OM: A |- B, C, D ||- A |- B, D

Pořadí tvrzení v seznamu můžeme zaměnit:

OI: A |- B, C, D, E, F ||- A |- B, E, D, C, F

Dokazatelné ze stejných předpokladů můžeme spojit:

Co: A |- B AND A |- C ||- A |- B, C

Kromě dokazatelnosti by bylo možné uvést i pravidla pro nedokazatelnost (značím |/-). Toto je jen návrh:

Ap1: [\TRUE] |- A ||- A |/- [\FALSE]
Ap2: A |/- B AND C |- A ||- C |/- B
Ap3: A |/- B ||- A |/- [\FALSE]
Ap4: A |/- B AND A |/- C ||- A |/- B, C
Ap5: A |/- B, C, D, E, F ||- A |/- B, E, D, C, F

Dále je možné definovat pravidla, která z definovaných pravidel umožňují odvodit nová pravidla. Jinými slovy: pravidla definující logiku pravidel. Je těžké rozhodnout, zda se ještě jedná o pravidla metalogické, nebo jsou to pravidla metametalogická. Záleží na použití. První pravidlo říká, že pravidla jsou tranzitivní:

MLTr: (A ||- B) AND (B ||- C) ||- (A ||- C)

Je-li pravidlo odvozující z pravidla A pravidlo B a z pravidla B pravidlo A, jsou pravidla záměnná:

MLSUB: (A ||- B) AND (B ||- A) AND C ||- SUB(C, A, B, I)

Proměnná I je proměnná za množinu přirozených čísel, které jsou indexy proměnných, které jsou substituovány. Metalogické AND a OR jsou komutativní:

MLCC: (A AND B) ||- (B AND A)
MLCD: (A OR B) ||- (B OR A)

Nadto platí:

MLDI: A ||- (A OR A)

Metalogické AND a OR mohou být za určitých okolností eliminovány:

MLDE: (A OR B) ||- A
MLCE: (A AND A) ||- A

Pravidlo lze pomocí AND zpřísnit:

MLCI: A ||- (A AND B)

Prázdný předpoklad je vždy splněn:

MLE1: A ||- (||- A)
MLE2: (||- A) ||- A

Nádavkem ještě pravidla o dokazatelnosti a předpokladech pravidel:

MLJo: (A ||- B |- C) AND (D ||- B |- E) ||- (A AND D ||- B |- C, E)
MLPr: (A ||- B |- C) AND (D ||- C |- E) ||- (A AND D ||- B |- E)

Bohužel, uvedený metalogický systém nedovoluje odvodit pravidla, která však odvoditelná jsou. Je to např. pravidlo o dedukci a jeho důsledek pravidlo o důkazu sporem. Lze je však dodefinovat:

Ded: A, [b], C |- [d] AND CLOSED(b) ||- A, C |- [b -> d]
Dis: A, [not b] |- \FALSE ||- A |- [b]

CLOSED(x) je relace, která je splněná, pokud je formule x uzavřená. Zatím je vše jenom v zárodku a bude třeba na tom ještě zapracovat.

David Hilbert o ignorabimus

Wir dürfen nicht denen glauben, die heute mit philosophischer Miene und überlegenem Tone den Kulturuntergang prophezeien und sich in dem Ignorabimus gefallen. Für uns gibt es kein Ignorabimus, und meiner Meinung nach auch für die Naturwissenschaft überhaupt nicht. Statt des törichten Ignorabimus heiße im Gegenteil unsere Losung: Wir müssen wissen, Wir werden wissen.

Neměli bychom věřit těm, kdo dnes s filosofickým nádechem a nadřazeností prorokují úpadek kultury a domýšlivě přijímají princip ignorabimus. Pro nás neexistuje žádné ignorabimus a podle mého názoru neexistuje ani pro přírodovědce. Místo bláhového ignorabimus, budiž naopak naším předsevzetím: Musíme vědět, budeme vědět.

Celý text je tady: http://www.jdm.uni-freiburg.de/JdM_files/Hilbert_Redetext.pdf
Vzácný zvukový proslovu je zde: http://math.sfsu.edu/smith/Documents/HilbertRadio/HilbertRadio.mp3

Plútarchos o matematice a mechanice

První, kdo zaměřil pozornost k oblíbené a slavné mechanice, byli Audoxos a Archytas, když dali pestrost a půvab abstraktní geometrii. Při logicky a konstruktivně nesnadném řešení problému si vypomáhali názorem na příkladech z mechaniky; tak například problém dvou středních úměrných, který je v mnoha příkladech základním prvkem pro kresliče, vyřešil oba pomocí mechanické konstrukce, přičemž z křivek a kuželoseček sestrojili tzv. mesolab. Avšak Platón jejich metody s rozhořčením odmítal, protože prý ničí a ruší největší přednost geometrie, která první uniká z oblasti nehmotných a abstraktních jevů do smyslového světa a znova se zaměstnává tělesy, která již sama o sobě vyžadují mnoho namáhavé řemeslnické činnosti. Tak byla mechanika oddělena od geometrie a také byla po dlouhý čas přezírána i filozofií a pokládána za odvětví válečné techniky.

Plútarchos – Životopisy slavných Řeků a Římanů

Problém dvou středních úměrných lze napsat do rovnice: 1/x = x/y = y/2. Zkonstruovat řešení pomocí pravítka a kružítka není možné.

Plútarchos

O málo světlých stránkách řeckého náboženství svědčí nejen samotná Iliada, ale i tento popis událostí při Xerxově vpádu:

τούτους ἰδὼν Εὐφραντίδης ὁ μάντις, ὡς ἅμα μὲν ἀνέλαμψεν ἐκ τω̂ν ἱερω̂ν μέγα καὶ περιφανὲς πυ̂ρ, ἅμα δὲ πταρμὸς ἐκ δεξιω̂ν ἐσήμηνε, τὸν Θεμιστοκλέα δεξιωσάμενος ἐκέλευσε τω̂ν νεανίσκων κατάρξασθαι καὶ καθιερευ̂σαι πάντας ὠμηστῃ̂ Διονύσῳ προσευξάμενον: οὕτω γὰρ ἅμα σωτηρίαν τε καὶ νίκην ἔσεσθαι τοι̂ς ̔́Ελλησιν. ἐκπλαγέντος δὲ του̂ Θεμιστοκλέους ὡς μέγα τὸ μάντευμα καὶ δεινόν, οἱ̂ον εἴωθεν ἐν μεγάλοις ἀγω̂σι καὶ πράγμασι χαλεποι̂ς, μα̂λλον ἐκ τω̂ν παραλόγων ἤ τω̂ν εὐλόγων τὴν σωτηρίαν ἐλπίζοντες οἱ πολλοὶ τὸν θεὸν ἅμα κοινῃ̂ κατεκαλου̂ντο φωνῃ̂ καὶ τοὺς αἰχμαλώτους τῳ̂ βωμῳ̂ προσαγαγόντες ἠνάγκασαν, ὡς ὁ μάντις ἐκέλευσε, τὴν θυσίαν συντελεσθη̂ναι.

Πλούταρχος – βιοι παραλλελοι

Ve chvíli, kdy je věštec Eufrantides spatřil, vzplála oběť velkým a jasným plamenem a zároveň bylo dáno znamení kýchnutím, které se ozvalo z pravé strany; Eufrantides podal proto Themistoklovi pravici a poručil mu, aby všechny tři jinochy zasvětil bohu a po modlitbě je věnoval masožravému Dionýsovi; tak se prý dostane Řekům záchrany a zároveň vítězství. Themistoklés se zděsil hrozné a neobyčejné věštby, lid však, který, jak tomu bývá ve velkém nebezpečí a za svízelných poměrů, očekával záchranu spíše od věcí nadpřirozených než rozumných, vzýval hromadně boha, přivlekl zajatce k oltáři a vynutil si, aby oběť byla vykonána podle věštcova příkazu.

Plútarchos – Životopisy slavných Řeků a Římanů