Vezměme si paradox
Co je na něm paradoxního? Pokud je tvrzení nepravdivé, pak není pravda, že je nelze dokázat, tedy je lze dokázat, a tak je pravdivé. V případě, že je nepravdivé, došli jsme k rozporu, tvrzení tedy musí být pravdivé. Právě jsme dokázali, že tvrzení je pravdivé. To, co říká, je tedy skutečně pravda, takže je nelze dokázat. Jak je tedy možné, že se nám je podařilo dokázat? Kde je háček v naší úvaze? V tom, že není rádné zaveden pojem dokazatelnosti. Jedním z hlavních cílů matematické logiky je přesné vymezení pojmu důkaz. To se však v nějakém absolutním smyslu nepodařilo, vždy se mluví o dokazatelnosti v nějaké soustavě. Dejme tomu, že máme nějakou soustavu S. Předpokládejme, že soustava S je bezesporná v tom smyslu, že každé tvrzení dokazatelné v soustavě S je skutečně pravdivé. Vezměme si tvrzení
Teď už není vůbec paradoxní, je však přece jen velice zajímavé. Co je na něm zajímavého? Inu je to pravdivé tvrzení, které je v soustavě S nedokazatelné. Je to vlastní zjednodušená formulace Gödelova tvrzení X, na něž můžeme hleděl jako na tvrzení, které prohlašuje svou vlastní nedokazatelnost. Ne ovšem v absolutním smyslu, ale jen v dané soustavě. Ještě dodám něco o dvojitě gödelovské podmínce (...). Gödelův výsledek totiž platí nejen pro gödelovské soustavy (tj. v nichž ke každé definovatelné množině A existuje tvrzeni, které je pravdivé, právě když jeho Gödelovo číslo leží v A), ale i pro soustavy, kterým říkáme dvojitě gödelovské (v těch ke každým dvěma definovatelným množinám A, B existují taková dvě tvrzení X, Y, že X je pravdivé, právě když Gödelovo číslo Y leží v A, a Y je pravdivé, právě když Gödelovo číslo X leží v B). Ve dvojitě gödelovské soustavě můžeme (...) sestrojit takovou dvojici tvrzení X, Y, že X tvrdí, že Y je dokazatelné (tím míním, že X je pravdivé, právě když Y je dokazatelné), a Y tvrdí, že X není dokazatelné, jedno z nich (nevíme které) pak musí být pravdivé a nedokazatelné. Můžeme také sestrojit takovou dvojici X, Y, že X tvrdí, že Y je vyvratitelné a Y tvrdí, že X není vyvratitelné. Odtud pak plyne, že aspoň jedno z nich (nevíme které) je nepravdivé a nevyvratitelné. (...) Sestrojíme takovou dvojici X, Y, že X tvrdí, že Y je dokazatelné a Y tvrdí, Že X je vyvratitelné. Jedno z nich (nevíme které) je pak buď pravdivé a nedokazatelné, nebo nepravdivé a nevyvratitelné (nevíme, která možnost nastane).
TOTO TVRZENÍ NELZE DOKÁZAT
Co je na něm paradoxního? Pokud je tvrzení nepravdivé, pak není pravda, že je nelze dokázat, tedy je lze dokázat, a tak je pravdivé. V případě, že je nepravdivé, došli jsme k rozporu, tvrzení tedy musí být pravdivé. Právě jsme dokázali, že tvrzení je pravdivé. To, co říká, je tedy skutečně pravda, takže je nelze dokázat. Jak je tedy možné, že se nám je podařilo dokázat? Kde je háček v naší úvaze? V tom, že není rádné zaveden pojem dokazatelnosti. Jedním z hlavních cílů matematické logiky je přesné vymezení pojmu důkaz. To se však v nějakém absolutním smyslu nepodařilo, vždy se mluví o dokazatelnosti v nějaké soustavě. Dejme tomu, že máme nějakou soustavu S. Předpokládejme, že soustava S je bezesporná v tom smyslu, že každé tvrzení dokazatelné v soustavě S je skutečně pravdivé. Vezměme si tvrzení
TOTO TVRZENÍ NELZE DOKÁZAT V SOUSTAVĚ S
Teď už není vůbec paradoxní, je však přece jen velice zajímavé. Co je na něm zajímavého? Inu je to pravdivé tvrzení, které je v soustavě S nedokazatelné. Je to vlastní zjednodušená formulace Gödelova tvrzení X, na něž můžeme hleděl jako na tvrzení, které prohlašuje svou vlastní nedokazatelnost. Ne ovšem v absolutním smyslu, ale jen v dané soustavě. Ještě dodám něco o dvojitě gödelovské podmínce (...). Gödelův výsledek totiž platí nejen pro gödelovské soustavy (tj. v nichž ke každé definovatelné množině A existuje tvrzeni, které je pravdivé, právě když jeho Gödelovo číslo leží v A), ale i pro soustavy, kterým říkáme dvojitě gödelovské (v těch ke každým dvěma definovatelným množinám A, B existují taková dvě tvrzení X, Y, že X je pravdivé, právě když Gödelovo číslo Y leží v A, a Y je pravdivé, právě když Gödelovo číslo X leží v B). Ve dvojitě gödelovské soustavě můžeme (...) sestrojit takovou dvojici tvrzení X, Y, že X tvrdí, že Y je dokazatelné (tím míním, že X je pravdivé, právě když Y je dokazatelné), a Y tvrdí, že X není dokazatelné, jedno z nich (nevíme které) pak musí být pravdivé a nedokazatelné. Můžeme také sestrojit takovou dvojici X, Y, že X tvrdí, že Y je vyvratitelné a Y tvrdí, že X není vyvratitelné. Odtud pak plyne, že aspoň jedno z nich (nevíme které) je nepravdivé a nevyvratitelné. (...) Sestrojíme takovou dvojici X, Y, že X tvrdí, že Y je dokazatelné a Y tvrdí, Že X je vyvratitelné. Jedno z nich (nevíme které) je pak buď pravdivé a nedokazatelné, nebo nepravdivé a nevyvratitelné (nevíme, která možnost nastane).
Raymond Merrill Smullyan – Jak se jmenuje tahle knížka
Žádné komentáře:
Okomentovat