Pro konečné množiny platí, že množina všech jejich podmnožin má větší počet prvků, než původní množina, což je tak jasné, že to nepotřebuje důkaz, ale pro puntičkáře nabízím tento:
Mějme konečnou množinu M = {a, b, c, ...}. Množina všech podmnožin ℘(M) musí kromě jiného obsahovat neprázdné množiny {a}, {b}, {c}, ..., kterých je stejně jako prvků množiny M. Kromě toho obsahuje i prázdnou množinu. Počet prvků ℘(M) je tedy alespoň o 1 větší než počet M.
Lze i snadno vypočítat kolik. Každou podmnožinu množiny s n různými prvky lze reprezentovat jako posloupnost (p1, p2, ..., pn), kde pi je 0 nebo 1 podle toho, zda i-tý prvek do podmnožiny patří nebo ne. Tudíž počet prvků ℘(M) je 2n.
U nekonečných množin je třeba pracovat s pojmy opatrněji. Snad nikdo nebude protestovat proti tomu, že jestliže existuje zobrazení 1 ku 1 prvků jedné množiny na prvky množiny druhé, pak mají tyto množiny stejnou mohutnost. Hilbertův nekonečný hotel je brilantní ukázkou, že leckteré různorodé nekonečné množiny mají stejnou mohutnost. Ukazuje např., že sudých čísel je stejně jako všech přirozených čísel, protože existuje ono zobrazení 1 ku 1:
1:2, 2:4, 3:6, ..., n:(2n), ...
Mají tedy všechny nekonečné množiny stejnou mohutnost? Tzv. diagonálním důkazem se lze přesvědčit, že ne. Tento důkaz je důkaz sporem. Tento druh důkazu ukazuje, že z negace tvrzení vyplývají sporná tvrzení, a proto musí být negace nepravdivá. A jak je to s počtem všech podmnožin nekonečné množiny? Označím-li N množinu přirozených čísel N = {0, 1, 2, ...}, pak je každá podmnožina N reprezentována nekonečnou posloupností nul a jedniček. Tyto nekonečné posloupnosti nelze očíslovat přirozenými čísly, protože pro každé očíslování všech posloupností
0: p0,0, p0,1, p0,2, p0,3, ...
1: p1,0, p1,1, p1,2, p1,3, ...
2: p2,0, p2,1, p2,2, p2,3, ...
3: p3,0, p3,1, p3,2, p3,3, ...
...
3: p3,0, p3,1, p3,2, p3,3, ...
...
existuje podmnožina reprezentovaná posloupností
q0, q1, q2, q3, ...,
kde qi = (1 - pi,i), která se od každého prvku tohoto očíslování liší alespoň v jednom konečném místě, a tedy nepatří do takto očíslované množiny, což je spor. Množina všech podmnožin přirozených čísel je tedy mohutnější než mohutnost množiny přirozených čísel. Jinými slovy platí
2ℵ0 > ℵ0.
Toto tvrzení lze zobecnit do následující věty
2ℵn > ℵn.
O tom všem vypráví následující článek Georga Ferdinanda Ludwiga Philipa Cantora nazvaný "Über ein elementare Frage der Mannigfaltigkeitslehre", který byl publikován v roce 1891, a který se pro svou jednoduchost a srozumitelnost dostává do základní literatury i nematematiků. Tato Cantorova práce ukazuje, že neexistuje jen jediná nekonečná mohutnost, a ukazuje alespoň kousek z Cantorova nebe.
V článku nazvaném "O vlastnosti souhrnů všech reálných algebraických čísel: ("Über eine Eigenschaft des Inbegriffs aller reellen algebraischen Zahlen" - In Journ. Math. Bd. 77, S. 258) se - pravděpodobně poprvé - objevuje důkaz tvrzení, že existuje nekonečná třída, kterou nelze jedna ku jedné přiřadit ke všem konečným celým číslům, neboli, jak jsem si zvykl říkat, která nemá mohutnost posloupnosti čísel 1, 2, 3, ... , ν , .... Z tohoto tvrzení dokázaného v §2 např. plyne, že třída všech reálných čísel v libovolném intervalu (α ... β) nemůže být seřazena v posloupnost
ω1, ω2, ... , ων , ....
Avšak existuje důkaz, který je mnohem jednodušší, a ve kterém nejsou brány do úvahy vlastnosti iracionálních čísel.
Nechť jsou tedy m a w dva rozdílné znaky a uvažujeme soubor M prvků
E = (x1, x2, ..., xν, ... ),
který závisí na nekonečném množství složek x1, x2, ... , xν , ..., kde každá složka je buď m nebo w. Budiž M třída všech možných E.
Do M patří následující tři prvky:
EI = (m,m,m,m, ... ),
EII = (w,w,w,w, ... ),
EIII = (m,w,m,w, ... ).
Chci dokázat, že třída M nemá mohutnost posloupnosti 1, 2, ... , ν, ....
Plyne to z následujícíto tvrzení:
"Jestliže E1, E2, ... , Eν , ... je libovolná spočetně nekonečná posloupnost prvků třídy M, pak vždy existuje prvek E0 třídy M, který není žádným prvkem Eν."
Důkaz předpokládá tuto posloupnost:
E1 = (a1,1, a1,2, ... , a1,ν, ... ),
E2 = (a2,1, a2,2, ... , a2,ν , ... ),
...
Eμ = (aμ,1, aμ,2, ... , aμ,ν , ... ),
...
E2 = (a2,1, a2,2, ... , a2,ν , ... ),
...
Eμ = (aμ,1, aμ,2, ... , aμ,ν , ... ),
...
kde znak aμ,ν je buď m anebo w. Pak existuje posloupnost b1, b2, ... , bν ,... definovaná tak, že bν je také buď m anebo w, ale je vždy různá od aν,ν. A tedy, je-li aν,ν = m, je bν = w, a naopak.
Uvažujme nyní prvek třídy M
E0 = (b1, b2, b3, ... )
a přímo vidíme, že rovnost
E0 = Eν
nemůže nastat pro žádné přirozené číslo μ, protože by jinak pro nějaké μ platila pro všechny hodnoty ν rovnost
bν = aμ,ν,
a tedy ve speciálním případě by platila rovnost
bμ = aμ,μ,
což je spor s definicí bν. Z tohoto tvrzení bezprostředně plyne, že mohutnost všech prvků M nemůže být seřazena v posloupnost E1, E2, ... , Eν, ..., protože jinak bychom dostali spor, jelikož by objekt E0 zároveň byl i nebyl prvkem M.
To, čím tento důkaz překvapuje, je nejen jeho jednoduchost, ale především je to uvedený princip, který lze přímo použít k důkazu obecnějšího tvrzení, že mohutnosti tříd nemají žádné maximum, neboli, že ke každé zvolené třídě L existuje jiná třída M, jejíž mohutnost je větší než mohutnost L.
Nechť je např. L lineárně uspořádané spojitá třída jako třeba třída všech reálných čísel, který jsou ≥ 0 a ≤ 1. Označme M třídu všech funkcí proměnné x, které nabývají jen hodnoty 0 nebo 1, přičemž x je proměnná pro všechna reálná čísla jež jsou ≥ 0 a ≤ 1.
Třída M nemůže mít menší mohutnost než L, protože existují třídy prvků M mající stejnou mohutnost jako L. Je to např. třída tvořená funkcemi proměnné x, kteréžto funkce nabývají hodnotu 1 v jednom jediném bodě x0 a pro ostatní x nabývají hodnotu 0.
Ale třída M nemůže mít ani stejnou mohutnost jako L. Pokud by bylo možné třídu M srovnat s hodnotami proměnné z, pak by bylo možné reprezentovat M jako funkci obou proměnných x a z
φ(x, z),
takovou, že pro určitou hodnotu proměnné z dostaneme prvek f(x) = φ(x, z) třídy M, a zároveň pro každou f(x) z třídy M by odpovídala φ(x, z) pro jedinečnou volbu hodnoty z.Což je opět spor. Jestliže je g(x) je funkce proměnné x nabývající jen hodnot 0 a 1, která je pro všechny hodnoty x různá od φ(x, z), pak je g(x) jednak prvek M, a jednak pro žádnou hodnotu z = z0 nelze tuto funkci definovat jako φ(x, z), protože φ(x0, z0) je vždy různé od g(z0).
Jelikož mohutnost třídy M není ani menší ani rovna mohutnosti L, musí být tato mohutnost větší než mohutnost L. (Viz Crelles Journal Bd. 84, S. 242.)
V článku "Základy obecných tříd" ("Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitlehre") (Leipzig 1883) jsem jiným způsobem dokázal, že mohutnosti nemají maximum. Dokonce jsem dokázal, že třída všech mohutností, když ji uspořádáme podle velikostí, je dobře "dobře uspořádaná", že ke každé mohutnosti existuje mohutnost větší, a také že ke každé shora neohraničené třídě mohutností existuje ještě větší mohutnost.
Tyto mohutnosti představují jediné a nutné zobecnění konečných kardinálních čísel a nejsou tedy než aktuálně nekonečně velká kardinální čísla a patří jim stejné bytí a ostrost jako oněm konečným.Pouze zákony, jimž podléhají, nazvané teorie čísel, se částečně liší od zákonů univerza konečných čísel.
Další objevy v této oblasti přijdou v budoucnu.
