Jde to i přesně

Problém zaokrouhlování je nejen nepřesnost, ale i neplatnost asociativního zákona i když komutativita zůstává neporušena. Např:

(-10¹⁰ + 10^-10) + 10¹⁰ = -10¹⁰ + 10¹⁰ = 0 ≠ (-10¹⁰ + 10¹⁰) + 10^-10 = 10^-10.

Výsledek je tedy nejen nepřesný, ale i pokaždé jiný v závislosti na tom, v jakém pořadí jsou operace vykonávány. Obě nevýhody lze zcela odstranit, pokud se omezíme jen na racionální čísla. To lze v případě řešení soustavy lineárních rovnic, protože řešení soustavy s racionálními koeficienty je opět racionální, což lze snadno dokázat. Přiložený skript je implementace Gaussovy eliminační metody. Řešení (ovšem až na výpis) je zcela přesné bez jakéhokoliv zaokrouhlování, což je zaručeno tím, že racionální číslo je reprezentováno dvěmi čísly celými. Skriptovací jazyk Python nemá kromě omezené paměti jiné omezení na celá čísla.

def codeInt(x):
return [x, 1]

def RatMPrint(A):
for r in A:
 for c in r:
  print float(c[0]) / float(c[1]),
 print

def RatEq(a, b):
return a[0] * b[1] == b[0] * a[1]

def RatAdd(a, b):
return [a[0] * b[1] + b[0] * a[1], a[1] * b[1]]

def RatDiff(a, b):
return [a[0] * b[1] - b[0] * a[1], a[1] * b[1]]

def RatMult(a, b):
return [a[0] * b[0], a[1] * b[1]]

def RatDiv(a, b):
return [a[0] * b[1], a[1] * b[0]]

def RatAbs(a):
return [abs(a[0]), abs(a[1])]

def RatIsGr(a, b):
return a[0] * b[1] > b[0] * a[1]

def RatSize(A):
r = len(A)
c = 0
if r > 0:
 c = len(A[0])
return [r, c]

def RatMGaussJordan(m):
[h, w] = RatSize(m)
for y in range(0, h):
 maxrow = y
 for y2 in range(y + 1, h):    # Find max pivot
  if RatIsGr(RatAbs(m[y2][y]), RatAbs(m[maxrow][y])):
   maxrow = y2
  (m[y], m[maxrow]) = (m[maxrow], m[y])
 if RatEq(m[y][y], codeInt(0)):     # Singular?
  return False
 for y2 in range(y + 1, h):    # Eliminate column y
  c = RatDiv(m[y2][y], m[y][y])
  for x in range(y, w):
   m[y2][x] = RatDiff(m[y2][x], RatMult(m[y][x], c))
for y in range(h-1, 0-1, -1): # Backsubstitute
 c  = m[y][y]
 for y2 in range(0, y):
  for x in range(w - 1, y - 1, -1):
   m[y2][x] =  RatDiff(m[y2][x], RatMult(m[y][x], RatDiv(m[y2][y], c)))
 m[y][y] = RatDiv(m[y][y], c)
 for x in range(h, w):       # Normalize row y
  m[y][x] = RatDiv(m[y][x], c)
return True

#*******************************************************************************

m = [[codeInt(1), codeInt(2), codeInt(0)],
   [codeInt(3), codeInt(4), codeInt(1)]]
if RatMGaussJordan(m):
RatMPrint(m)

K čemu je intenzionální logika?

Využitelnost klasické logiky pro sémantickou analýzu skutečného jazyka je z tohoto i z dalších důvodů značně omezená: klasickým příkladem, který se jako ilustrace nedostatečnosti této logiky uvádí, je věta John hledá jednorožce (Montague, 1974), kterou můžeme v českém kulturním kontextu nahradit větou Honza hledá draka. Přímočará logická analýza této věty v rámci tradiční logiky vede k formuli

∃x. Hledá(Honza,x) & Drak(x),

ze které ovšem přímo vyplývá

∃x. Drak(x).

To znamená, že kdyby byla tato analýza správná, bylo by možné hledat draka jedině tehdy, kdyby nějací draci existovali. Jednou z cest, jak tento model „vylepšit“, je přejít od této klasické, extenzionální logiky k logice intenzionální.

Jaroslav Peregrin – Pavel Tichý a jeho logika

Xenofón o tom, jak se dělá moc

Dostat se k moci je nejjednodušší v době krize, kdy je třeba rychlých a rázných řešení. K upevnění moci je jen jediná věc lepší než obyčejný teror, a to teror, který má alespoň na začátku zdání legálnosti nebo dokonce podpory lidu.

Jakmile byly v Athénách strženy Dlouhé zdi a opevnění okolo Pirea, došlo k volbě třiceti mužů. Ale ačkoli byli zvoleni proto, aby sepsali zákony, podle nichž by se řídil veřejný život, jejich sepsání a vyhlášení stále oddalovali. Podle svého vlastního mínění ustanovili pouze radu a ostatní úřady. Potom dali nejprve zatýkat a soudit k trestu smrti občany, o nichž bylo obecně známo, že se za demokratické vlády živili udavačstvím a vydírali aristokraty. A rada je ochotně odsuzovala a vůbec se proto netrápili ani ostatní, kteří bezpečně věděli, že nepatří k odsuzovaným.

Xenofón – Řecké dějiny

Pozvání vojenské posádky ze „spřátelené“ mocnosti není nic nového.

Když potom začali členové třicítky uvažovat, jak by mohli svého postavení ve veřejném životě využívat k prosazení vlastních zájmů, poslali nejprve do Lakedaimonu Aischina a Aristotela a podařilo se jim přemluvit Lýsandra, že v zájmu třicítky prosadí, aby je podporovala lakedaimonská posádka, dokud neodstraní rozvratníky a neupevní své zřízení. Slibovali, že sami ponesou náklady na hmotné zajištění posádky. Lýsandros se dal přemluvit a prosadil, aby k nim byla poslána posádka v čele s Kallibiem. Jakmile dostali posádku, všemožně zahrnovali Kallibia náklonností a podporou, aby souhlasil s veškerým jejich jednáním. A poněvadž s nimi posílal některé ze stráží, zatýkali již každého podle své vůle, a ne snad jen málo významné rozvratníky, nýbrž i ty, kteří – jak se domnívali – se nedají přimět k trpné nečinnosti a kteří by se mohli pokusit o odpor získat co nejširší dobrovolnou pomoc.

Xenofón – Řecké dějiny

Také je třeba hledat nepřítele a to i ve vlastních řadách.

Členové rady! Soudí-li někdo z vás, že umírá více občanů, nežli si žádá nynější čas, nechť uváží, že takovéto věci se dějí všude, kde dochází ke změně státního zřízení. Je zcela zákonité, že také u nás máme neobyčejně mnoho nepřítel, poněvadž přetváříme stát v oligarchii, a pak – žijeme v Athénách, nejlidnatějším řeckém městě, ve kterém se odedávna pěstuje svobodná vláda lidu. Poněvadž jsme však toho názoru, že pro nás i pro vás je demokracie nepřijatelná, a poněvadž dále víme, že demokraté nikdy nebudou nakloněny Lakedaimoňanům, kteří nás zachránili, ale že jim naopak zůstanou věrni aristokraté, proto zavádíme toto uspořádání státu se souhlasem Lakedaimoňanů. A zjistíme-li odpůrce oligarchie, podle svých sil jej odstraňujeme. Podle našeho názoru je však naprosto spravedlivé, aby byl především potrestán každý, kdo přímo mezi námi toto zřízení poškozuje.

Xenofón – Řecké dějiny

Odkaz na Bolzana

Bolzanovy Paradoxy nekonečna v pdf jsou ke stažení na adrese http://dml.cz/handle/10338.dmlcz/400001.

Bertrand Russell o naivním realismu

We all start from "naive realism'', i.e., the doctrine that things are what they seem. We think that grass is green, that stones are hard, and that snow is cold. But physics assures us that the greenness of grass, the hardness of stones, and the coldness of snow, are not the greenness, hardness, and coldness that we know in our own experience, but something very different. The observer, when he seems to himself to be observing a stone, is really, if physics is to be believed, observing the effects of the stone upon himself. Thus science seems to be at war with itself: when it most means to be objective, it finds itself plunged into subjectivity against its will. Naive realism leads to physics, and physics, if true, shows that naive realism is false naive realism, if true, is false: therefore it is false. And the behaviourist, when he thinks he is recording observations about the outer world, is really recording observations about what is happening in him.

Bertrand Russell – An Inquiry into Meaning and Truth

My všichni vycházíme z „naivního realismu“, tj. z učení, že věci jsou tím, čím se zdají být. Myslíme si, že tráva je zelená, že kameny jsou tvrdé a sníh je studený. Ale fyzika nás přesvědčuje o tom, že zelenost trávy, tvrdost kamenů a chladnost sněhu nejsou zeleností, tvrdostí a chladnost, které známe z naší vlastní zkušenosti, nýbrž něčím velmi odlišným. Když se pozorovateli zdá, že pozoruje kámen, pozoruje ve skutečnosti – má-li se věřit fyzice – účinky kamene na sebe sama. Tak se zdá, že věda vede válku sama proti sobě: když se nejvíce domnívá, že je objektivní, zjišťuje, že vězí proti své vůli v subjektivitě. Naivní realismus vede k fyzice a fyzika, pokud je pravdivá, ukazuje, že naivní realismus je nepravdivý. Proto je-li naivní realismus pravdivý, je nepravdivý, je tedy nepravdivý. A tak když si behaviorista myslí, že zaznamenává pozorování o vnějším světě, zaznamenává ve skutečnosti pozorování o tom, co se děje v něm.

Bertrand Russell – Zkoumání o smyslu a pravdivosti

Hegel o matematice a filosofii

Im mathematischen Erkennen ist die Einsicht ein für die Sache äußerliches Tun; es folgt daraus, daß die wahre Sache dadurch verändert wird. Das Mittel, Konstruktion und Beweis, enthält daher wohl wahre Sätze; aber ebensosehr muß gesagt werden, daß der Inhalt falsch ist. Das Dreieck wird in dem obigen Beispiele zerrissen und seine Teile zu andern Figuren, die die Konstruktion an ihm entstehen läßt, geschlagen. Erst am Ende wird das Dreieck wiederhergestellt, um das es eigentlich zu tun ist, das im Fortgange aus den Augen verloren wurde, und nur in Stücken, die andern Ganzen angehörten, vorkam.--Hier sehen wir also auch die Negativität des Inhalts eintreten, welche eine Falschheit desselben ebensogut genannt werden müßte als in der Bewegung des Begriffs das Verschwinden der festgemeinten Gedanken. Die eigentliche Mangelhaftigkeit dieses Erkennens aber betrifft sowohl das Erkennen selbst als seinen Stoff überhaupt. – Was das Erkennen betrifft, so wird vors erste die Notwendigkeit der Konstruktion nicht eingesehen. Sie geht nicht aus dem Begriffe des Theorems hervor, sondern wird geboten, und man hat dieser Vorschrift, gerade diese Linien, deren unendliche andere gezogen werden könnten, zu ziehen, blindlings zu gehorchen, ohne etwas weiter zu wissen, als den guten Glauben zu haben, daß dies zu Führung des Beweiseszweckmäßig sein werde. Hintennach zeigt sich denn auch diese Zweckmäßigkeit, die deswegen nur eine äußerliche ist, weil sie sich erst hintennach, beim Beweise, zeigt. – Ebenso geht dieser einen Weg, der irgendwo anfängt, man weiß noch nicht in welcher Beziehung auf das Resultat, das herauskommen soll. Sein Fortgang nimmt diese Bestimmungen und Beziehungen auf und läßt andre liegen, ohne daß man unmittelbar einsehe, nach welcher Notwendigkeit; ein äußerer Zweck regiert diese Bewegung. Die Evidenz dieses mangelhaften Erkennens, auf welche die Mathematik stolz ist, und womit sie sich auch gegen die Philosophie brüstet, beruht allein auf der Armut ihres Zwecks und der Mangelhaftigkeit ihres Stoffs, und ist darum von einer Art, die die Philosophie verschmähen muß. – Ihr Zweck oder Begriff ist die Größe. Dies ist gerade das unwesentliche, begrifflose Verhältnis. Die Bewegung des Wissens geht darum auf der Oberfläche vor, berührt nicht die Sache selbst, nicht das Wesen oder den Begriff, und ist deswegen kein Begreifen. – Der Stoff, über den die Mathematik den erfreulichen Schatz von Wahrheiten gewährt, ist der Raum und das Eins. Der Raum ist das Dasein, worin der Begriff seine Unterschiede einschreibt, als in ein leeres, totes Element, worin sie ebenso unbewegt und leblos sind. Das Wirkliche ist nicht ein Räumliches, wie es in der Mathematik betrachtet wird; Mit solcher Unwirklichkeit, als die Dinge der Mathematik sind, gibt sich weder das konkrete sinnliche Anschauen noch die Philosophie ab. In solchem unwirklichen Elemente gibt es denn auch nur unwirkliches Wahres, d.h. fixierte, tote Sätze; bei jedem derselben kann aufgehört werden; der folgende fängt für sich von neuem an, ohne daß der erste sich selbst zum andern fortbewegte und ohne daß auf diese Weise ein notwendiger Zusammenhang durch die Natur der Sache selbst entstünde. –Auch läuft um jenes Prinzips und Elements willen--und hierin besteht das Formelle der mathematischen Evidenz - das Wissen an der Linie der Gleichheit fort. Denn das Tote, weil es sich nicht selbst bewegt, kommt nicht zu Unterschieden des Wesens, nicht zur wesentlichen Entgegensetzung oder Ungleichheit, daher nicht zum Übergange des Entgegengesetzten in das Entgegengesetzte, nicht zur qualitativen, immanenten, nicht zur Selbstbewegung. Denn es ist die Größe, der unwesentliche Unterschied, den die Mathematik allein betrachtet. Daß es der Begriff ist, der den Raum in seine Dimensionen entzweit und die Verbindungen derselben und in denselben bestimmt, davon abstrahiert sie; sie betrachtet z.B. nicht das Verhältnis der Linie zur Fläche; und wo sie den Durchmesser des Kreises mit der Peripherie vergleicht, stößt sie auf die Inkommensurabilität derselben, d.h. ein Verhältnis des Begriffs, ein Unendliches, das ihrer Bestimmung entflieht.

Georg Wilhelm Friedrich Hegel – Phaenomenologie des Geistes

V matematickém poznání je nahlédnutí, jak se věci mají, úkonem pro věc vnějším; z toho vyplývá, že pravá věc se tímto úkonem mění. Prostředek tohoto nahlédnutí, totiž konstrukce a důkaz, obsahuje zajisté pravdivé věty; ale zároveň je nutno také říci, že obsah je nepravdivý. Trojúhelník v příkladě uvedeném shora je roztrhán, jeho části se připojují k jiným obrazcům, které v něm vznikají konstrukcí. Teprve na konci se opět restituuje trojúhelník, ,o který vlastně běží, který byl postupem věci ztracen z očí a vyskytoval se pouze v částech příslušných k jiným celkům. — Zde pozorujeme tedy též, jak vystupuje zápornost obsahu, kterou bychom měli nazývati jeho nepravdivostí, tak jako jí v pohybu pojmu nazýváme zanikání myšlenek považovaných za ustálené. Vlastní nedostatečnost tohoto poznání se týče však právě tak poznání sama jako jeho látky vůbec. — Co se týče poznání, především není myšlenkově jasná nutnost konstrukce. Nevyplývá z pojmu poučky, nýbrž je nám předepsána, a předpisu, abychom vedli právě tyto linie, zatím co by bylo možno vésti nekonečný počet jiných, musíme být slepě poslušní; přitom nemáme jiné vědění než dobrou víru, že to bude účelné k provedení důkazu. Dodatečně se vskutku též ukazuje tato účelnost, která je proto pouze vnější, poněvadž se ukazuje teprve dodatečně při důkazu. Právě tak kráčí důkaz cestou, která odněkud vychází, aniž ještě víme, v jakém je vztahu k výsledku, který má vyjíti. Postup důkazu tato určení a vztahy přijímá a jiné ponechává stranou, aniž nahlížíme bezprostředně, podle jaké nutnosti se to děje; tento pohyb je řízen vnějším účelem. Evidence tohoto nedostatečného poznání, na niž je matematika hrdá a kterou se též pyšní před filosofií, záleží výhradně v tom, že její účel je chudý a její látka nedostatečná, a je tedy toho druhu, který musí filosofie zavrhnouti. — Její účel či pojem je veličina. Právě ta je nebytostným, nepojmovým vztahem. Pohyb vědění odehrává se proto na povrchu, nedotýká se věci samé, nedotýká se bytnosti ani pojmu, a proto není žádným chápáním. — Látka, o níž matematika zaručuje utěšené bohatství pravd, je prostor u jednotka. Prostor je to jsoucno, do něhož pojem zapisuje své rozdíly jako do prázdného mrtvého živlu, v němž tyto rozdíly jsou rovněž nehybné a bez života. Skutečnost není něčím prostorovým, jak na prostor pohlížíme v matematice; s takovou neskutečností, jakou jsou matematické věci, se nezahazuje ani konkrétní smyslový názor, natož filosofie. V takovém neskutečném živlu pak též existuje jen neskutečná pravda, tj. ustálené mrtvé věty; u každé z nich je možno přestati; následující začíná pro sebe od začátku, aniž se první pohybovala sama od sebe k jiné větě a aniž tímto způsobem vznikala povahou věci samé nutná souvislost. — Je také důsledkem onoho principu a živlu — a v tom tkví formálnost matematické evidence — že vědění postupuje po linii rovnosti. Neboť to, co je mrtvé, nedospívá k rozdílům bytnosti, jelikož se samo nepohybuje, nedospívá k bytostnému protikladu či nerovnosti. tudíž ani k přechodu protikladu v protiklad, kvalitativnímu, imanentnímu pohybu, k svéhybnosti. Neboť to, k čemu matematika výhradně přihlíží, je veličinný nebytostný rozdíl. Že to, co rozčleňuje prostor v jeho dimense a určuje spojení dimensí a spojení v dimensích, je pojem, od toho matematika abstrahuje; neuvažuje např. o vztahu mezi linií a plochou; a tam, kde srovnává obvod kruhu s jeho průměrem, naráží na jejich nesouměřitelnost. tj. pojmový vztah, a tím na něco nekonečného, co uniká jejímu určení.

Georg Wilhelm Friedrich Hegel – Fenomenologie ducha

Auf die Frage: „Was ist das Itzt?“ antworten wir also zum Beispiel: „Das Itzt ist die Nacht“. Um die Wahrheit dieser sinnlichen Gewißheit zu prüfen, ist ein einfacher Versuch hinreichend. Wir schreiben diese Wahrheit auf; eine Wahrheit kann durch Aufschreiben nicht verlieren; ebensowenig dadurch, daß wir sie aufbewahren. Sehen wir „itzt, diesen Mittag“, die aufgeschriebene Wahrheit wieder an, so werden wir sagen müssen, daß sie schal geworden ist. (...) Die Sprache aber ist, wie wir sehen, das Wahrhaftere; in ihr widerlegen wir selbst unmittelbar unsere Meinung, und da das Allgemeine das Wahre der sinnlichen Gewißheit ist, und die Sprache nur dieses Wahre ausdrückt, so ist es gar nicht möglich, daß wir ein sinnliches Sein, das wir meinen, je sagen können.

Georg Wilhelm Friedrich Hegel – Phaenomenologie des Geistes

Na otázku: co jest nyní? odpovíme tedy například: Nyní jest noc. K tomu, abychom vyzkoušeli pravdivost této smyslové jistoty, dostačí jednoduchý pokus. Tuto pravdu si napíšeme; napsáním pravda nemůže nic ztratit; ani tím, že si ji uschováme. Podíváme-li se nyní, v toto poledne, znovu na tu napsanou pravdu, budeme musit říci, že vyvanula. (...) Řeč však, jak vidíme, jest pravdivější: v ní vyvracíme bezprostředně sami své míněni; a jelikož všeobecno je pravda smyslové jistoty a ježto řeč vyjadřuje jen tuto pravdu, není vůbec možné, abychom smyslové bytí, které míníme, kdy vyslovili.

Georg Wilhelm Friedrich Hegel – Fenomenologie ducha

Kolapsy civilizací

Záznam přednášky na téma „Kolapsy civilizací“, kterou přednesl Doc. Miroslav Bárta, je ve zvukové podobě ke stažení zde: 1. část, 2.část. Záznamy dalších přednášek jsou zde.

Václav Hořejší o realismu

Václav Hořejší se v pořadu Vstupe! zmínil velmi krátce i o filosofii vědy. Následující text sice nepřispívá k ani filosofii vědy a ani k filosofii matematiky, ale je to zajímavá ukázka toho, jak lze reflektovat svou práci.

Já dokonce mám někdy takový pocit – a vím, že to zní trochu divně –, že geniální skladatelé, kteří složili nějakou skvělou symfonii, ji odněkud vytáhli skoro hotovou, že ji nevymysleli, ale že v tom platónském smyslu existovala ve světě idejí, a oni ji jen vytáhli podobně, jako vytahujeme my přírodovědci tajemství přírody, která existují objektivně, a která jsou někde hotová. A ještě zajímavější je přechod mezi těmito dvěma věcmi a to je matematika. Naprosto abstraktní matematické zákonitosti vypadají, že existují zcela objektivně, nezávisle na vůli matematiků, kteří je v jakémsi abstraktním prostoru nebo světě objevují podobně, jako my přírodovědci objevujeme materiální vztahy a objekty. To mě velmi fascinuje.

Text je trochu upraven, aby se dal dobře číst. Pořad si lze poslechnout zde. Uvedená ukázka je po 21 minutě pořadu.

O co jde v alternativní teorii množin?

Klasické matematické představy jsou dnes kanonizovány v Cantorově teorii množin. Jen ty struktury jsou možné, které mají v této teorii model (Gödelova věta o úplnosti). Tím tato teorie do sebe uzavřela veškerou matematiku. V matematice nesmí být nic, co by nebylo možno v Cantorově teorii modelovat, co by ji překračovat, nebo míjelo. Tedy poněkud volně řečeno, matematika (přesněji filosofie matematiky) se rovná Cantorově teorii množin (přesněji její filosofíi). V tomto zajetí jsou i různé směry kritizující klasickou matematiku, které v podstatě jen Cantorovu teorii množin zužují. Tím ovšem lze proti těmto kritikám vznést do značné míry oprávněnou kritiku, že matematice kladou pouze různé překážky ve formě zákazů a tím ji brání v rozletu. Ostatně i takto různě oklešťovanou matematiku lze v Cantorově teorii modelovat. Tato námitka bývá vznášena i vůči alternativní teorii množin, a to ze strany těch matematiků, kteří základní principy této teorie nepochopili nebo nebyli schopni domyslet.

Petr Vopěnka – O co jde v alternativní teorii množin

Základním pojem, bez něhož nelze alternativní teorii množin charakterizovat, je přirozené nekonečno.

Jsme-li důslední, nezbývám nám než uznat, že v nějaké podobě se nekonečno ukazuje již na velkých množinách a ne až za nimi. Je-li nekonečno aplikovatelné na jisté jevy ukazující se na velkých množinách, pak tam v nějaké podobě již musí být přítomné. Kdyby tam nebylo, nemohli bychom je tam aplikovat, nebo chceme-li, příslušnou situaci v infinitní matematice modelovat. Této podobě nekonečna budeme říkat nekonečno přirozené.

Petr Vopěnka – O co jde v alternativní teorii množin

Základní charakteristikou alternativní teorie množin je záměrné studium přirozeného nekonečna. Nově o alternativní teorii množin pojednává kniha Petra Vopěnky Pojednání o jevech povstávajících na množstvích. Další informace o této knize jsou zde.

Karel Čapek o logických důkazech

Toto slovo je rozšířeno hlavně ve rčení “Dokážu vám to logicky.” Načež následuje výklad, který buď opakuje to, co už je řečeno, a pak je zbytečný, nebo říká něco jiného, a pak je nemístný; v každém případě však je daleko složitější než prvotní věta, která se má dokázat. Obyčejně je “logický důkaz” veden tak, jako by měl odpůrce hlavně unavit a splést; je to taktika strašlivá a obmyslná, plná záhadných chvatů, mostů, kravat a masáží jako řeckořímský zápas. Avšak o řeckořímském logickém důkazu jest jediná pravda, že se nic nedá logicky dokazovat; což vám dokážu logicky. Buď dokazuji své tvrzení samými evidentními soudy; ale kdyby mé tvrzení plynulo evidentně z evidentních vět, bylo by samo evidentní, a tu by ovšem naprosto nepotřebovalo být dokazováno. Nebo dokazuji své tvrzení větami neevidentními, ale pak bych musel logicky dokazovat všechny tyto věty “usque ad infinitum”, jak říkají řeckořímští zápasníci, z čehož logicky plyne, že logický důkaz je nemožný; a není-li tento logický důkaz naprosto přesvědčující, vidíte z toho, že logické dokazování opravdu za nic nestojí. Jediný možný důkaz nějaké obecné pravdy, zásady, kritéria a tak dále je naprosto nelogický. Vyslov nějakou větu, která se ti líbí, a kterou bys tudíž rád považoval za obecnou pravdu. Tuto větu vlož fiktivně do úst svému největšímu nepříteli, kterého nadto považuješ za bezcharakterního osla; bude-li se ti ta věta líbit i pak, je dobrá a drž se jí; neboť nemůže být důkazu mocnějšího než uznání pravdy nepřítelovy.

Karel Čapek – Kritika slov

Antonín Sochor k tomuto uvádí:

K. Čapek zpochybňuje samu podstatu logiky, neboť pojem důkazu je jedním z jejích nejdůležitějších pojmů. Pokud bychom však přijali Čapkovy výhrady, musili bychom revidovat náš přístup k mnohem širší oblasti zahrnující celé lidské rozumové vyvozování. Připomeňme, že Eukleidés (315–271 př. Kr.) ve svých Základech jako prvý vyvozuje z několika axiomů celou nauku (geometrii, ale protože aritmetiku chápe jako součást geometrie, je možno říci, že celou tehdejší matematiku). Deduktivní metoda však neovlivnila pouze matematiku a vědy blízké matematice (např. teoretickou fyziku), ale zasahuje — a to dokonce i ve své formalizované podobě – do velice mnoha oblastí lidského poznání; jako příklad uveďme knihu Barucha Spinozy Ethica more geometrico demonstrata z let 1662–1665, kde je podávána filozofie metodou věta – důkaz). Naštěstí není těžké nahlédnout, že Čapkovy námitky naprosto nereflektují lidskou zkušenost. (...) Parafrázujeme-li jeho úvahu, můžeme také jednoduše „dokázat , že nikdy nedojdeme z Prahy do Prčic: při každém kroku se naše pozice změní jen málo a Prčice jsou od Prahy dost daleko. Chyba Čapkovy úvahy spočívá v tom, že mnoha (byť malými) kroky je možno urazit velkou vzdálenost, což řada účastníků pochodu na uvedené trase prakticky prokázala. Analogicky není možno popřít, že i pomocí evidentních důkazových kroků je možno dojít (je-li jich hodně) k tvrzením značně neevidentním.

Antonín Sochor – Klasická matematická logika

Naprosto stejný text je i v knize dostupné v elektronické podobě zde.

Federico García Lorca - V některých duších

Hay almas que tienen
azules luceros,
mañanas marchitas
entre hojas del tiempo,
y castos rincones
que guardan un viejo
rumor de nostalgias
y sueños.

Otras almas tienen
dolientes espectros
de pasiones. Frutas
con gusanos. Ecos
de una voz quemada
que viene de lejos
como una corriente
de sombra. Recuerdos
vacíos de llanto
y migajas de besos.

Mi alma está madura
hace mucho tiempo,
y se desmorona
turbia de misterio.
Piedras juveniles
roídas de ensueño
caen sobre las aguas
de mis pensamientos.
Cada piedra dice:
"¡Dios está muy lejos!"

Federico García Lorca - Hay almas que tienen ...

Český překlad je dílem Miloslava Uličného.

V některých duších
jsou modré hvězdy,
v listoví času
povadlé dnění,
a čisté kouty,
ve kterých přežil
starý šum touhy
a snění.

A v jiných duších
ovoce s červy.
Přízraky vášní,
truchlivé scény.
Ozvěny hlasu,
jenž, popálený,
jako proud šera
z daleka letí.
Dávný zvuk pláče,
prach políbení.

Jak dávno zralou
duši mám, nevím
Pod tíhou tajů
rozpadá se mi.
Kameny mládí
zvětralé sněním
padají do vod
mých přemýšlení.
A praví: „Bůh je
daleko v nebi.“

Federico García Lorca - V některých duších ...

Russellův paradox

Co je podstatné u čistého matematického poznání a čím se odlišuje ode všeho jiného poznání a priori, je okolnost, že musí postupovat nikoli pomocí pouhých pojmů, nýbrž tak, že je názorně konstruuje.

Immanuel Kant – Prolegomena ke každé příští metafyzice, jež se bude moci stát vědou

Oponovat Kantově představě, že matematické pravdy nevycházejí analyticky z pojmů, ale jejich pravdivost vidíme pomocí názoru, lze nejlépe tak, že se vytvoří jakási „abeceda“ a mechanizmus, který dovede jednoznačně rozhodnout, která věta čisté matematiky napsaná touto „abecedou“ je pravdivá.

K tomu, aby se taková „abeceda“ dala vytvořit, ovšem zbývala jedna „maličkost“: bylo třeba posbírat a zinventarizovat všechny naše myšlenky a ideje, zjistit, pro které vyjádření nemáme, případně které vyjadřujeme nějak „nevhodně“, a tyto nedostatky a nesrovnalosti odstranit. Problém byl ovšem v tom, že nikdo neměl nejmenší ponětí, jak tohle udělat (...).

Jaroslav Peregrin – Co je to (Fregovská) Logika?

Mnohé kalkuly již pochopitelně existovaly. Ale čistou matematiku např. v Booleově logice v žádném případě v celé své složitosti vystavět nelze. Pojmové písmo, jak říká Gottlob Frege svému formálnímu jazyku, je geniálním pokusem, který se zdál zcela převrátit základy matematiky a zbavit je onoho Kantova názoru. Alespoň do roku 1901, kdy Bertrand Russell napsal Gottlobu Fregovi tento dopis.

Vážený pane kolego!

Již půldruhého roku znám Vaše „Základní zákony aritmetiky“, ale teprve nyní se mi podařilo najít čas na důkladnější studium, které jsem měl v úmyslu Vašim spisům věnovat. Shledal jsem, že jsem s Vámi ve všech hlavních věcech zcela zajedno, zvláště v zavržení každého psychologického momentu v logice a v ocenění významu pojmového písma pro základy matematiky a formální logiky, které lze od sebe ostatně stěží rozlišit. V mnoha jednotlivých otázkách našel jsem u Vás diskuse, rozlišení a definice, o kterých u ostatních logiků není ani zmínka. Zvláště ve věci funkce (§9 Vašeho Pojmového písma) jsem samostatně dospěl do detailu k týmž názorům. Pouze v jediném bodě jsem narazil na obtíž. Tvrdíte, že i funkce může být neurčitým elementem. Myslel jsem si to dříve také, avšak nyní o tom názoru pochybuji, a to s ohledem na následující spor. Budiž w predikát: být predikátem, který nemůže být predikován sám sobě. Může být w predikován sám sobě? Z každé odpovědi vyplývá opak. Proto musíme usoudit, že w není predikát. Právě tak neexistuje žádná třída (jako celek) takových tříd, které samy sobě jakožto celku nenáleží.

Chystám se dokončit knihu o principech matematiky a rád bych v ní o Vašem díle podrobněji pohovořil. Vaše knihy již mám nebo si je brzy koupím; ale byl bych Vám velmi vděčný, kdybyste mi mohl zaslat separáty Vašich článků v různých časopisech. Kdyby to ale nebylo možné, vyrobím si je v knihovně.

Exaktní rozpracování logiky je ve fundamentálních otázkách, kde symboly selhávají, velmi zaostalé; u Vás jsem nalezl to nejlepší, co je mi z naší doby známo, a proto si dovoluji vyjádřit Vám svůj nejhlubší respekt. Je politováníhodné, že jste ještě nedosáhl uveřejnění druhého dílu Vašich Základních zákonů; doufejme, že se tak stane.

S uctivým pozdravem,
Váš nejoddanější
Bertrand Russell

Výše uvedený spor vypadá v Peanově notaci takto:

A = {x;x ∉ x} → (A ∈ A ↔ A ∉ A)

Peanovi jsem o tom napsal, ale zůstal mi dlužen odpověď.

Použitá notace není Peanova, ale přepsal jsem ji do jednodušší notace. Ostatek přeložil Vojtěch Kolman a lze to nalézt v jeho knize Logika Gottloba Frega.

Hegel o povyku proti sofistice

Sein handelndes Wesen ist der ganze Geist, aber als Geist ist er sich seiner nicht bewußt, sondern was er sich bewußt wird, sind solche Gesetze, Regeln, allgemeine Sätze, die ihm im Bewußtsein für wahr gelten; und im Handeln widerlegt er selbst die Borniertheit seines Verstandes. Aber dies Bewußtsein spricht solches bestimmte Sein und das Sein überhaupt als absolutes Wesen aus und heißt dies sein Bewußtsein, seinen Verstand. Wenn der Begriff sich gegen diesen Reichtum, den es an Wahrheit zu besitzen glaubt, wendet und es die Gefahr für seine Wahrheit wittert (denn das Bewußtsein weiß, daß es nur insofern ist, als es Wahrheit hat) und seine festen Wesenheiten ihm verwirrt werden, so wird es aufgebracht; und der Begriff in dieser seiner Beziehung (Realisierung), daß er sich an die gemeinen Wahrheiten macht, zieht sich Haß und Schimpf zu. Dies ist das allgemeine Geschrei gegen die Sophisterei, ein Geschrei des gesunden Menschenverstandes, der sich nicht anders zu helfen weiß.

Georg Wilhelm Friedrich Hegel – Vorlesungen über die Geschichte der Philosophie

Ale prosté rozvažování si přitom není vědomo samo sebe jako ducha; co vstupuje do jeho vědomí, jsou takové určité zákony, pravidla a obecné poučky, jež prostému rozvažování platí jako absolutní pravda, jejichž omezenost ale samo vyvrací svým jednáním. Obrátí-li se pojem proti tomuto bohatství vědomí, o němž se vědomí domnívá, že je mu vlastní, větří v tom prosté vědomí nebezpečí pro své pravdy, bez nichž by nemohlo být. A jsou-li tyto pravdy převráceny, tu se prosté vědomí rozzuří a pojem si vyslouží jeho nenávist a nadávky za to, že se dotkl těchto pravd, aby se mohl uskutečnit. Proto takový všeobecný povyk proti sofistice; je to povyk „zdravého lidského rozumu“, jenž si nedovede jinak pomoci.

Georg Wilhelm Friedrich Hegel – Dějiny filosofie

Tento a další texty v německém originále jsou zde.

Pythagoras ve starověké anekdotě

φησὶ δ' Ἀπολλόδωρος ὁ λογιστικὸς ἑκατόμβην θῦσαι αὐτόν, εὑρόντα ὅτι τοῦ τριγώνου ὀρθογωνίου ἡ ὑποτείνουσα πλευρὰ ἴσον δύναται ταῖς περιεχούσαις. καὶ ἔστιν ἐπίγραμμα οὕτως ἔχον

ἤνυκε Πυθαγόρης τὸ περικλεές· εὕρατο γράμμα
κλεινὸς ἐφ' ᾧ κλεινὴν ἤγαγε βουθυσίην.

Διογένης Λαέρτιος – Βίοι καὶ γνῶμαι τῶν ἐν φιλοσοφίᾳ εὐδοκιμησάντων

Logik Apollodóros o něm poznamenává, že obětoval sto volů když objevil, že u pravoúhlého trojúhelníka je čtverec nad přeponou roven součtu čtverců nad odvěsnami. Zde je onen epigram:

Když Pythagoras rozřešil svůj velkolepý problém,

krev stovky volů prolil.

Diogenes Laertios – O životě a učení slavných filosofů

O jeden význam navíc má epigram jistého Börneho:

Als Pythagoras seinen bekannten Lehrsatz entdeckte, brachte er den Göttern eine Hekatombe dar. Seitdem zittern die Ochsen, sooft eine neue Wahrheit an das Licht kommt.

Aphorismen und Miszellen – Carl Ludwig Börne

Pythagoras obětoval sto volů, když dokázal 47. Eukleidovo tvrzení. Od těch dob se každý vůl třese vždy, když se objevuje nová pravda.

Aforismy a jiné – Carl Ludwig Börne

Česká Wikipedie připisuje tento citát jistému polskému básníkovi Julianu Tuwimovi. Berne je však asi o století starší.

Thúkydidovy Dějiny Peloponnéské války

Thúkydivody Dějiny obsahují mj. i soustu řečí. Především je to proslulá řeč, kterou pronesl Periklés při pohřbu prvních padlých ve válce, a ve které mluví o demokracii.

My totiž máme státní zřízení, které nepotřebuje nic závidět zákonům sousedů, spíš jsme sami příkladem jiným, než abychom druhé napodobovali. Říká se mu demokracie, vláda lidu, protože se opírá o většinu, ne jen o několik málo jednotlivců; podle zákonů mají všichni stejná práva, když jde o soukromé zájmy, pokud však jde o společenský význam, má při vybírání pro veřejné úřady každý přednost podle toho, v čem vyniká, podle schopností, ne podle své příslušnosti k určité skupině. Když je naopak někdo chudý schopen vykonat pro obec něco dobrého, není mu v tom jeho nízké postavení na překážku. Ve vztahu k společnosti žijeme svobodně a stejná svoboda panuje v každodenním vzájemném styku, kde neplatí žádné podezírání, kde se nehněváme na souseda, jestliže něco dělá podle své chuti, a nevyvoláváme mrzutosti, které sice nemusí být škodlivé, vyhlížejí však nepříjemně. V soukromém životě se chováme jeden k druhému bez vzájemného obtěžování a v životě veřejném nepřekračujeme zákony, především ze studu, posloucháme své spoluobčany, kteří právě zastávají úřady, a zákony, především ty, které byly dány na ochranu lidí, jimž bylo ukřivděno, a ty, které jsou sice nepsané, ale jejich porušení přináší podle obecného soudu hanbu.

Thúkydidés – Dějiny Peloponnéské války

Po dvaceti letech války však už situace vypadala zcela jinak.

Stejně však byl ještě svolán lid a rada zvolená hlasováním pomocí bobů, neradili se však o ničem jiném, než o tom, co rozhodli spiklenci, také řečníci byli vybráni z jejich řad a jejich řeči byly předem prodiskutovány. Nikdo z ostatních už proti tomu nemluvil, protože se každý zalekl, když viděl, jak početní jsou spiklenci. A když se někdo odvážil říci něco proti, hned byl nějakým vhodným způsobem sprovozen ze světa a po pachatelích se nepátralo, a bylo-li na někoho podezření, nebylo zaváděno soudní řízení. Lid byl zticha a byl tak zastrašen, že ten, kdo neutrpěl žádné násilí, i když nic neřekl, pokládal za úplnou výhru.

Thúkydidés – Dějiny Peloponnéské války

Goethův Faust a filosofie matematiky

Geschrieben steht: “Im Anfang war das Wort!”
Hier stock ich schon! Wer hilft mir weiter fort?
Ich kann das Wort so hoch unmöglich schätzen,
Ich muß es anders übersetzen,
Wenn ich vom Geiste recht erleuchtet bin.
Geschrieben steht: Im Anfang war der Sinn.
Bedenke wohl die erste Zeile,
Daß deine Feder dich nicht übereile!
Ist es der Sinn, der alles wirkt und schafft?
Es sollte stehn: Im Anfang war die Kraft!
Doch, auch indem ich dieses niederschreibe,
Schon warnt mich was, daß ich dabei nicht bleibe.
Mir hilft der Geist! Auf einmal seh ich Rat
Und schreibe getrost: Im Anfang war die Tat!

Johann Wolfgang Goethe – Faust

Zde: „Na počátku bylo slovo“ čtu.
Ale jak dále? Nesnáz je hned tu.
Nelze mi slovo přec tak v úctě míti.
Musím to jinak přeložiti;
ačli že duch mě řádně osvítil,
stojí tu: Pojem na počátku byl.
Dobře si rozvaž první řádku,
neukvapuj se na počátku!
Že vznikla by z pojmu všechna díla?
Má státi: Na počátku byla síla!
Leč ještě jsem to ani nenapsal,
a cos mě nutká, abych hledal dál.
A náhle osvícen, zřím do hlubin.
Já napíšu: Byl na počátku čin!

Johann Wolfgang Goethe – Faust

Výklad předchozích kapitol byl z jistého úhlu pohledu založen na konfrontaci základních postojů, které se tradičně objevují v otázkách filosofie matematiky, a to především proto, že jsou to základní otázky filosofie vůbec, totiž jak poznáváme svět a jak je toto poznání možné. K jejich přehledné artikulaci nám v tento moment poslouží úvodní Goethův citát a především doprovodné citáty pod ním, po řadě reprezentující
(1) Hilbertův formalismus (na počátku byl znak, smysly vnímatelný artefakt),
(2) Fregův platonismus (na počátku byl smysl znaku, to, co znak vyjadřuje),
(3) Brouwerův mentalismus (na počátku byla síla, původní intuice tvůrčího subjektu) a
(4) Wittgensteinův pragmatismus (na počátku byl čin, lidské jednání, jazyková hra),
se všemi komentáři a výhradami, které jsme k těmto doktrínám a jejich spojování s uvedenými jmény dosud uvedli.

Vojtěch Kolman – Filosofie čísel

Russell o bohatýrství ve vědě a filosofii

V prvé řadě jsem zjistil, že mnohé z běžných filosofických argumentů o matematice (většinou odvozené z Kanta) se zatím staly díky vývoji matematiky neplatnými. Neeuklidovská geometrie rozrušila argumentaci transcendentální estetiky. Weierstrass ukázal, že diferenciální a integrální počet nepotřebuje pojetí nekonečně malé veličiny a že proto vše, co filosofové řekli o takovýchto věcech, jako je spojitost prostoru, času a pochybu, je nutno považovat za čirý omyl. Cantor osvobodil pojetí nekonečného čísla od kontradikce a vypořádal se takto s Kantovými antinomiemi právě tak jako s mnohými antinomiemi Hegelovými. Konečně Frege ukázal, jak se dá aritmetika vyvozovat z teoretické logiky, aniž bychom potřebovali nějaké nové pojmy nebo axiómy, a tím vyvrátil Kantovo tvrzení, že „7 + 5 = 12“ je syntetickým soudem – alespoň v pochopitelné interpretaci tohoto tvrzení. Poněvadž všechny tyto výsledky nebyly získány nějakou bohatýrskou metodou, ale trpělivým zevrubným usuzováním, začal jsem si myslet, že filosofie patrně chybovala tím, že použila bohatýrských prostředků pro léčení intelektuálních nesnází a že by se řešení dalo nalézt prostě jen větší péčí a větší přesností. Toto stanovisko jsem začal postupem času stále horlivěji zastávat. Vedlo mne i k názoru, že snad filosofie jako obor, který se odlišuje od vědy a má svou vlastní metodu, není ničím jiným než neblahým dědictvím po teologii.

Bertrand Russell – Logický atomismus

Russell o příčině

All philosophers, of every school, imagine that causation is one of the fundamental axioms or postulates of science, yet, oddly enough, in advanced sciences such as gravitational astronomy, the word "cause" never occurs. Dr. James Ward, in his Naturalism and Agnosticism, makes this a ground of complaint against physics: the business of those who wish to ascertain the ultimate truth about the world, he apparently thinks, should be the discovery of causes, yet physics never even seeks them. To me it seems that philosophy ought not to assume such legislative functions, and that the reason why physics has ceased to look for causes is that, in fact, there are no such things. The law of causality, I believe, like much that passes muster among philosophers, is a relic of a bygone age, surviving, like the monarchy, only because it is erroneously supposed to do no harm.

Bertrand Russell – On the Notion of Cause

Všichni filosofové z nejrůznějších škol si představují, že kauzalita je jedním ze základních axiómů nebo postulátů vědy, i když, což je zvláštní, se v pokročilejších vědách, jako je například gravitační astronomie, slovo „příčina“ vůbec nevyskytuje. Dr. James Ward ve své práci Naturalism and Agnosticism z toho činí důvod stížnosti proti fyzice: úkolem těch, kteří chtějí zjistit poslední pravdy o světě, jak si zjevně myslí, mělo by být objevování příčin, nicméně fyzika je ani nehledá. Mě se zdá, že filosofie by si neměla přivlastňovat takové legislativní funkce a že důvodem, proč fyzika zanechala vyhledávání příčin, je to, že ve skutečnosti takové věci neexistují. Jsem přesvědčen, že zákon kauzality, podobně jako mnohé z toho, co obstojí v očích filosofů, je relikvie minulých věků, která přežívá jako monarchie jen proto, že se omylem má za to, že neškodí.

Bertrand Russell – O pojmu příčiny

Matematika a logika v Russellově pojetí

První věta prvního odstavce (nepočítaje úvod) Russellovy a Whiteheadovy knihy Principia Mathematica (k nahlédnutí zde) je, jak autoři sami přiznávají, poněkud překvapivá. Zcela jednoduše se zde definuje, co je to čistá matematika. To překvapuje i po více než stu letech.

Pure Mathematics is the class of all propositions of the form "p implies q," (...).

Bertrand Russell, Alfred Whitehead – Principia Mathematica

Čistá matematika je třída všech vět ve formě „z p plyne q“, (...).

Bertrand Russell, Alfred Whitehead – Principia Mathematica

O vztahu logiky a matematiky píše Russell ve svém Úvodu do matematické filosofie. Překlad je od Karla Berky.

Mathematics and logic, historically speaking, have been entirely distinct studies. Mathematics has been connected with science, logic with Greek. But both have developed in modern times: logic has become more mathematical and mathematics has become more logical. (...) If there are still those who do not admit the identity of logic and mathematics, we may challenge them to indicate at what point, in the successive definitions and deductions of Principia Mathematica, they consider that logic ends and mathematics begins. It will then be obvious that any answer must be quite arbitrary. (...) It used to be said that mathematics is the science of “quantity.” “Quantity” is a vague word, but for the sake of argument we may replace it by the word “number.” The statement that mathematics is the science of number would be untrue in two different ways. On the one hand, there are recognised branches of mathematics which have nothing to do with number—all geometry that does not use co-ordinates or measurement (...). On the other hand, through the definition of cardinals, through the theory of induction and ancestral relations, through the general theory of series, and through the definitions of the arithmetical operations, it has become possible to generalise much that used to be proved only in connection with numbers. The result is that what was formerly the single study of Arithmetic has now become divided into a number of separate studies, no one of which is specially concerned with numbers.

Bertrand Russell – Introduction to Mathematical Philosophy

Historicky řečeno byly matematika a logika zcela odlišnými obory. Matematika byla spjata s přírodními vědami, logika s humanitními. Obě se však v moderní době rozvinuly: logika se stala matematičtější a matematika logičtější. (...) Jestliže stále ještě existují lidé, kteří nechtějí uznávat totožnost logiky a matematiky, můžeme je vyzvat, aby nám ukázali, kde v posloupnosti definic a dedukcí v Principia Mathematica končí podle jejich názoru logika a začíná matematika. Pak bude zjevné, že jakákoli odpověď musí být zcela libovolná. (...) Obvykle se říká, že matematika je vědou o „kvantitě“. (...) Avšak tvrzení, že matematika je vědou o číslech, bylo by ze dvou důvodů nepravdivé. Na jedné straně existují uznávaná odvětví matematiky, která nemají s čísly vůbec co dělat, např. každá geometrie, jež nepoužívá souřadnic nebo numerických údajů. (...) Na druhé straně umožnily definice kardinálních čísel, teorie indukce a relací dědičnosti, obecná teorie řad a definice aritmetických operací zobecnit mnohé z toho, co se dříve zpravidla dokazovalo jen ve spojitosti s čísly. V důsledku toho se nyní začala dřívější oblast aritmetiky štěpit v řadu samostatných oborů, z nichž se žádný čísly speciálně nezabývá.

Bertrand Russell – Úvod do matematické filosofie

Russell nebyl od života odtržený matematik; tento text napsal ve vězení, kam se dostal pro své pacifistické názory.

Proč jsou některé tautologie zajímavé a jiné nikoli?

Ayer to připisuje tomu, že některé výroky prostě překračují jistou hranici toho, co může být umězenému rozumu jasné, i když samy o sobě jasné jsou. Celý anglický originál je tady.

But can we really allow that these theorems which fill so many books serve no other purpose than to say in a round about fashion „A =A“? (...) The true explanation is very simple. The power of logic and mathematics to surprise us depends, like their usefulness, on the imitations of our reason. A being whose intellect was infinitely powerful would take no interest in logic and mathematics. For he would be able to see at a glance everything that his definitions implied, and, accordingly, could never learn anything from logical inference which he was not fully conscious of already. But our intellects are not of this order. It is only a minute proportion of the consequences of our definitions that we are able to detect at a glance. Even so simple a tautology as „91 x 79 = 7189“ is beyond the scope of our immediate apprehension. To assure ourselves that „7189“ is synonymous with „91 x 79“ we have to resort to calculation, which is simply a process of tautological transformation that is, a process by which we change the form of expressions without altering their significance.

A. J. Ayer – Language, Truth and Logic

Ale můžeme skutečně připustit, že tyto teorémy, které naplňují tolik knih, neslouží žádnému jinému účelu, než oklikou říkat „A = A“? (...) Skutečné vysvětlení je velice jednoduché. To, že nás logika a matematika dokáží překvapovat, stejně tak jako jejich užitečnost, vychází z omezení našeho rozumu. Bytost, jejíž intelekt by měl nekonečnou moc, by se o logiku a matematiku nezajímala. Byla by totiž schopna jediným pohledem obsáhnout všechny důsledky svých definic, a nemohla by se tudíž z logických odvození nikdy dozvědět nic, co by si už plně neuvědomovala. Ale naše intelekty nejsou tohoto řádu. Jediným pohledem jsme schopni zjistit jenom mizivou část důsledků našich definic. I tak jednoduchá tautologie jako „91 x 79 = 7189“ hranice našeho bezprostředního nahlédnutí přesahuje. Abychom se ujistili, že „7189“ je synonymní s „91 x 79“, musíme se pustit do počítání, které je prostě procesem tautologické transformace – tj. procesem, při němž měníme formu výrazu, aniž bychom měnili jeho význam.

A. J. Ayer – Jazyk, pravda a logika

Popper o pojetí vědy

Chybné pojetí vědy se prozrazuje touhou mít pravdu; neboť to není vlastnictvím vědění, nevyvratitelné pravdy, co činí vědce vědcem, nýbrž jeho trvalé a na důsledky nehledící kritické hledání pravdy. Má být náš postoj resignací? Máme říci, že věda může splnit pouze svůj biologický úkol; že se může přinejlepším osvědčit v praktických aplikacích, které ji mohou koroborovat? Jsou její intelektuální problémy neřešitelné? Nemyslím si to. Věda nikdy nesleduje iluzorní cíl učinit své výpovědi definitivními, ba ani pravděpodobnými. Postupuje spíše k nekonečnému, a přesto dosažitelnému cíly: stálému objevování nových, hlubších a obecnějších problémů a podrobování našich vždy zkusmých odpovědí stále obnovovaným a stále přísnějším testům. (...) Myslím si, že si budeme muset zvyknout na myšlenku, že se na vědu nemůžeme dívat jako na „soubor vědění“, nýbrž spíše jako na systém hypotéz; to znamená na systém odhadů nebo anticipací, které v principu nemohou být zdůvodněny, s nimiž však věda pracuje, dokud tyto hypotézy obstojí v testech, a o nichž nemáme nikdy právo říkat, že jsou „pravdivé“ nebo „více či méně jisté“, ba ani „pravděpodobné“.

Karl Raimund Popper – Logika vědeckého bádání

Aforismy Francise Bacona

Text je ke stažení anglicky zde a latinsky zde.

Rationem humanam, qua utimur ad naturam, anticipationes naturae (quia res temeraria est et praematura), at illam rationem quae debitis modis elicitur a rebus, interpretationem naturae, docendi gratia, vocare consuevimus.

Francis Bacon – Novum Organum

Ponětí lidské, jež nyní máme většinou o přírodě, zovu obvykle „předem utvořeným ponětím o přírodě“ poněvadž jest věcí nerozvážnou a předčasnou.

Francis Bacon – Novum Organum

Intellectus humanus ex proprietate sua facile supponit majorem ordinem et aequalitatem in rebus, quam invenit.

Francis Bacon – Novum Organum

Lidské myšlení předpokládá vyšší míru řádu a souvislostí mezi věcmi, než jaká skutečně existuje.

Francis Bacon – Novum Organum

A ještě variace na známé téma:

Estque intellectus humanus instar speculi inaequalis ad radios rerum, qui suam naturam naturae rerum immiscet, eamque distorquet et inficit.

Francis Bacon – Novum Organum

Lidské myšlení je jako pokřivené zrcadlo, které odráží paprsky nepravidelně, křivě a kazí barvy přirozenosti přírody přimíšením své vlastní přirozenosti.

Francis Bacon – Novum Organum

Esencialismus versus nominalismus u Poppera

Methodological essentialists are inclined to formulate scientific questions in such terms as 'what is matter?' or 'what is force?', or 'what is justice?' and they believe that a penetrating answer to such questions, revealing the real or essential meaning of these terms and thereby the real or true nature of the essences denoted by them, is at least a necessary prerequisite of scientific research, if not its main task. Methodological nominalists, as opposed to this, would put their problems in such terms as 'how does this piece of matter behave?' or 'how does it move in the presence of other bodies?' For methodological nominalists hold that the task of science is only to describe how things behave, and suggest that this is to be done by freely introducing new terms wherever necessary, or by re-defining old terms wherever convenient while cheerfully neglecting their original meaning. For they regard words merely as useful instruments of description.

Karl Raimund Popper – The Poverty of Historicism

Metodologičtí esencialisté mají sklon formulovat své vědecké otázky tímto způsobem: „co je to hmota?“, „co je to síla?“ nebo „co je to spravedlnost?“, a jsou přesvědčeni, že pronikavá odpověď na takovou otázku, odhadující reálný či esenciální význam těchto výrazů – a tudíž reálnou a pravou přirozenost esencí jimi označovaných – je přinejmenším nezbytnou předběžnou podmínkou možnosti vědeckého výzkumu, ne-li jeho hlavním úkolem. Naopak metodičtí nominalisté nastolují problémy asi takto: „jak se tento kus hmoty chová?“ nebo „jak se pohybuje v přítomnosti dalších těles?“. Metodologičtí nominalisté totiž mají za to, že úkolem vědy je pouze popsat, jak se věci chovají, přičemž je možno svobodně zavádět nové výrazy bez ohledu na jejich původní význam. Slova totiž považují pouze za užitečné nástroje popisu.

Karl Raimund Popper – Bída historicismu

V čem se podobá starověká orientální a dnešní středoškolská matematika?

Člověk, který zná matematiku jen ze svých středoškolských studií, většinou matematiku vlastně vůbec nezná. Pokud by někdo o dnešní matematice soudil je se středoškolských učebnic, nejspíš by učinil stejné konstatování, jaké vyslovil Struik ve svých dějinách matematiky. Že to s dnešní matematikou není tak strašné naznačuje, že by to tak strašné nemuselo být ani se starověkou orientální matematikou. I když to nedokazuje nic.

Nowhere in all ancient Oriental mathematics do we find any attempt at what we call a demonstration. No argumentation was presented, but only the prescription of certain rules: “Do such, do so”. We are ignorant of the way in which the theorems were found: for instance, how did the Babylonians become acquainted with the theorem of Pythagoras? Several attempts exist to explain the way in which Egyptians and Babylonians obtained their results, but they are all of a hypothetical nature. To those way have been educated in Euclid’s strict argumentation, the entire Oriental way of reasoning seems at first strange and highly unsatisfactory. But this strangeness wears off when we realize that most of the mathematics we teach our present-day engineers and technicians is still of the “do such, do so” type, without much attempt at rigorous demonstration. Algebra is still being taught in many high schools as a set of rules rather than as a science of deduction. Oriental mathematics, in this respect, never seems to have been emancipated from the millennial influence of the problems in technology and administration, for the use of which it had been invented.

Dirk J. Struik – A concise history of mathematics

Nikde v celé starověké orientální matematice nenalezneme ani pokus o to, čemu říkáme důkaz. Nebyla podávána žádná argumentace, nýbrž jen popis jistých pravidel „udělej to tak a tak“. Není nám známo nic o způsobech, kterými byly věty odvozeny. Odkud třeba Babyloňané znali Pythagorovu větu? Různé snahy po objasnění způsobů, jakými Egypťané a Babyloňané dospěli ke svým výsledkům, však všechny spočívali na hypotézách. Nám, kteří jsme byli odchováni Euklidovou přesnou argumentací, zdá se celý tento orientální způsob myšlení na první pohled podivný a velmi neuspokojivý. Ale tato podivnost zmizí, uvědomíme-li si, že větší díl matematiky, kterou se učí dnešní naši inženýři a technici, je stále typu „udělej to tak a tak“, aniž by se příliš usilovalo o přesný důkaz. Na mnohých vysokých školách se algebra učí spíše jako sbírka pravidel než jako deduktivní věda. Zdá se, že orientální matematika se nikdy neosvobodila od tisíciletého vlivu technických a správních problémů, k jejichž řešení byla vytvořena.

Dirk J. Struik – Dějiny matematiky

Je apriorní nutně pravdivé?

Přísně vzato je následující myšlenka poněkud „vachrlatá“, ale byla by chyba ji proto jednoduše odmítnout.

Všechny hypotézy, všechny teorie jsou geneticky, co do svého vzniku, apriorní, ať už jsou vytvořeny dříve nebo později, ať už jsou součástí dějin druhu anebo součástí našeho individuálního života. Je jen nutno objasnit, že se Kant mýlil, když se domníval, že všechno, co je „a priori“, musí být pravdivé. Hypotézy jsou apriorní: a přesto mohou být nesprávné. Typický příklad: novorozenec očekává, že o něj bude pečováno. To může být tragický omyl a dítě pak zahyne. „A priori“ bylo sice z dobrého důvodu zakotveno v genomu, ale neexistuje žádná záruka, že se očekávání splní.“

Karl Raimund Popper, Konrád Lorenz – Budoucnost je otevřená

Popper o tradici kritické diskuse

Následující výpisek je ze skvělého textu Vojtěcha Kolmana. Celé je to zde.

V čem spočívá tajemství řeckých učenců? Jaké podmínky umožnily vznik fenoménu, na nějž se v jeho podstatných rysech nezmohla žádná z civilizací po dalších tisíc let? Jak je možné, že v poměrně krátkém období mezi Thalétem a Platónem existoval v každé generaci nový originální a hluboký pokus o výklad světa? Popperova odpověď je výmluvná: příčinou rozkvětu řeckého génia byla nově vzniklá tradice – tradice kritické diskuse. Většina škol civilizací dávnověku měla více či méně religiózní charakter. Úkolem takovéto školy byla sotva kritika, ale spíše udržování tradice, nauky zakladatele, její předání dalším generacím. Jakákoli nová myšlenka je tedy nutně považována za kacířství a vede k rozkolu. Ale ani kacíř nechce vlastně nic jiného než návrat k myšlenkám zakladatele – jen má jiné mínění o jejich výkladu. Škola tohoto typu proto může být stěží živnou půdou nových a odvážných myšlenek. Náboženství pěstuje tradici dogmatickou, s kritickým myšlením zcela neslučitelnou. Jeho hlavními nástroji nejsou argumenty, ale články víry a anatémata. Kreativita a fantazie řeckých škol byla s výše načrtnutým v úplném rozporu. Anaximandros kritizoval svého učitele Thaléta, jednoho ze sedmi mudrců; v tradici nenacházíme ani náznak rozkolu. Je-li Popperova domněnka správná, založil Thalés tím, že dokázal unést kritiku, nový typus školy a tradice. Ta, narozdíl od spojitosti religiózních škol, vedla k pluralitě nauk, které pak mohly pomocí kritické diskuse usilovat o přiblížení k pravdě. Rozvojem a problematizací argumentačních postupů byl následně iniciován vznik logiky.

Vojtěch Kolman – Karl R. Popper „Logika jako organon kritiky“

Kolman cituje Poppera. Citovaná kniha je zde. Citována je str. 218. Citovaný text je tento:

Die Geschichte der Griechischen Philosophie von Thales bis zu Platon ist großartig. Sie ist fast zu schön, um wahr zu sein. In jeder Generation finden wir eine neue Philosophie, eine neue Kosmologie von atemberaubender Originalität und Tiefe. Wie war das möglich? Es gibt natürlich keine Erklärung für Origiinaletät und Tiefe. Aber man kann versuchen. Was war das Geheimnis der Denker des Altertums? Ich vermute, daß es eine neuentstandene Tradition war – die Tradition der kritischen diskussion. Ich will versuchen, das Problem etwas schärfer zu fassen. In allen oder fast allen Zivilisationen – oder in fast allen – finden wir so etwas wie religiöse und kosmologische Lehren, und in vielen Gesellschaften finden wir Schulen.

Karl Raimund Popper, Gretl Albert – Vermutungen und Widerlegungen

Polya o tázání

The mathematician as the naturalist, in testing some consequence of a conjectural general law by a new observation, addresses a question to Nature: I suspect that this law is true. Is it true?” If the consequence is clearly refuted, the law cannot be true. If the consequence is clearly verified, there is some indication that the law may be true. Nature may answer Yes or No, but it whispers one answer and thunders the other. Its Yes is provisional, its No is definitive.

George Polya – Mathematics and Plausible Reasoning

Matematik, podobně jako přírodovědec, ověřuje některé důsledky předpokládaného obecného zákona pomocí nového pozorování a obrací se na Přírodu s otázkou: „Mám podezření, že tento zákon platí. Platí opravdu?“ Jestliže nějaký důsledek zákon jasně vyvrací, pak tento zákon nemůže být pravdivý. Jestliže důsledek zákon jasně potvrzuje, pak máme určitou indikaci toho, že by zákon mohl být pravdivý. Příroda odpovídá „Ano“ nebo „Ne“, ale jednu odpověď šeptá a druhou křičí; její „Ano“ je podmíněné, její „Ne“ definitivní.

George Polya – Matematika a plausibilní uvažování

Anabaze

K tomuto zápisku mě nepodnítil autor ani překladatel, ale neznámý předchozí majitel knihy. Tento v Xenofontově Anabazi podtrhal několik málo míst, kde se Xenofón zmiňuje o řeckém náboženství. Nadšení většiny podtrhavačů naštěstí vyprchá během překladatelovy předmluvy, ale v mé knize je podtrháváno až do konce důsledně až na dvě zmínky, které byly opominuty. A domnívám se, že nikoli bezděčně, protože jako jediné nejsou tomuto náboženství příznivé. Zatímco první je úsměvná, druhá prokazuje bezmála zhoubnou pověrčivost. Dovolím si tedy malou schválnost a uvedu právě tyto dvě zmínky.

Tehdy pravil kterýsi z věštců, že je třeba větru obětovat, a tak se obětovalo. Všem se potom zdálo, že vítr polevil ve své prudkosti.

Xenofón – Anabaze

Vojáci již chodili před Xenofontův stan a volali, že nemají co jíst. On však prohlásil, že nevyrazí, pokud obětní znamení nedají souhlas.

Xenofón – Anabaze

O ideálu krásy

Jemand hat tausend erwachsene Mannspersonen gesehen. Will er nun über die vergleichungsweise zu schätzende Normalgröße urteilen, so läßt (meiner Meinung nach) die Einbildungskraft eine große Zahl der Bilder (vielleicht alle jene tausend) auf einander fallen; und, wenn es mir erlaubt ist, hiebei die Analogie der optischen Darstellung anzuwenden, in dem Raum, wo die meisten sich vereinigen, und innerhalb dem Umrisse, wo der Platz mit der am stärksten aufgetragenen Farbe illuminiert ist, da wird die mittlere Größe kenntlich, die sowohl der Höhe als Breite nach von den äußersten Grenzen der größten und kleinsten Staturen gleich weit entfernt ist; und dies ist die Statur für einen schönen Mann. (Man könnte ebendasselbe mechanisch herausbekommen, wenn man alle tausend mäße, ihre Höhen unter sich und Breiten (und Dicken) für sich zusammen addierte, und die Summe durch tausend dividierte. Allein die Einbildungskraft tut ebendieses durch einen dynamischen Effekt, der aus der vielfältigen Auffassung solcher Gestalten auf das Organ des innern Sinnes entspringt.) Wenn nun auf ähnliche Art für diesen mittlern Mann der mittlere Kopf, für diesen die mittlere Nase usw. gesucht wird, so liegt diese Gestalt der Normalidee des schönen Mannes, in dem Lande, wo diese Vergleichung angestellt wird, zum Grunde;

Immanuel Kant – Kritik der Urtheilskraft

Někdo viděl tisíc dospělých mužů. Chce-li nyní soudit o jejich normální velikosti, jež má být odhadnuta srovnáním, pak obrazotvornost (podle mého mínění) klade na sebe velký počet obrazů (možná všech tisíc); bude-li mi dovoleno použít zde analogie optického znázornění, v prostoru, kde se jich spojuje nejvíce, a uvnitř obrysu, kde je iluminováno místo s nejsilněji nanesenou barvou, tam je znatelná střední velikost, která je co do výšky i šířky vzdálena stejně od nejzazších hranic největších a nejmenších postav, a to je postava krásného muže. (Totéž by se dalo zjistit i mechanicky, kdybychom změřili všech tisíc, sečetli mezi sebou jejich výšky a zvlášť šířky (a tloušťky) a sumu dělili tisícem. Obrazotvornost to však provádí dynamickým efektem, který vzniká z mnohonásobného uchopení v orgánu vnitřního smyslu.) Jestliže je nyní podobným způsobem hledána pro toho středního muže střední hlava, pro tuto střední nos atd., pak jsou tyto proporce základem ideje normy krásného muže v té zemi, kde je srovnání prováděno.

Immanuel Kant – Kritika soudnosti

Co je to osvícenství?

Aufklärung ist der Ausgang des Menschen aus seiner selbst verschuldeten Unmündigkeit. Unmündigkeit ist das Unvermögen, sich seines Verstandes ohne Leitung eines anderen zu bedienen. Selbstverschuldet ist diese Unmündigkeit, wenn die Ursache derselben nicht am Mangel des Verstandes, sondern der Entschließung und des Muthes liegt, sich seiner ohne Leitung eines anderen zu bedienen. Sapere aude! Habe Muth dich deines eigenen Verstandes zu bedienen! ist also der Wahlspruch der Aufklärung. Faulheit und Feigheit sind die Ursachen, warum ein so großer Theil der Menschen, nachdem sie die Natur längst von fremder Leitung frei gesprochen, dennoch gerne Zeitlebens unmündig bleiben; und warum es Anderen so leicht wird, sich zu deren Vormündern aufzuwerfen. Es ist so bequem, unmündig zu sein. Habe ich ein Buch, das für mich Verstand hat, einen Seelsorger, der für mich Gewissen hat, einen Arzt der für mich die Diät beurtheilt, u. s. w. so brauche ich mich ja nicht selbst zu bemühen. Ich habe nicht nöthig zu denken, wenn ich nur bezahlen kann; andere werden das verdrießliche Geschäft schon für mich übernehmen. Daß der bei weitem größte Theil der Menschen (darunter das ganze schöne Geschlecht) den Schritt zur Mündigkeit, außer dem daß er beschwerlich ist, auch für sehr gefährlich halte (...).

Immanuel Kant – Beantwortung der Frage: Was ist Aufklärung?

Osvícenství je vystoupení člověka z nesvéprávnosti, kterou si sám způsobil. Ona nesvéprávnost je neschopnost vládnout sám svým vlastním rozumem bez cizího dozoru. Tuto nesvéprávnost jsme si způsobili sami, pakliže její příčina není nedostatečnost rozumu, ale je jí nedostatek rozhodnosti a odvahy používat rozum bez cizího vedení. Sapere aude! „Měj odvahu používat vlastní rozum!“ – to je heslo osvícenství. Kvůli lenosti a zbabělosti zůstala velká část lidstva raději nesvéprávná i přesto, že ji příroda zbavila závislosti. To kvůli lenosti a zbabělosti je pro jiné tak snadné uzurpovat si roli hlídače. Je to tak pohodlné zůstat nedospělým! Když mám knihu, která mi stanovuje význam, pastora, který pečuje o mé svědomí, doktora, který bdí nad mou stravou, nepotřebuji vynakládat vlastní síly. Nic mě nenutí myslet; když můžu, zaplatím si a jiní převezmou nezáviděníhodnou práci. Hlídači, kteří byli tak laskavi a převzali vrchní vedení, se postarají o to, aby daleko největší část lidstva, včetně celého „krásného pohlaví“, považovala krok ke zralosti nejen za těžký, ale také za velice nebezpečný (...).

Immanuel Kant – Odpověď na otázku: Co je to osvícenství?

Platón a věda

To, co dnes v našem pregnantním smyslu označujeme jako vědu, není vědou v historicky nejstarším smyslu přímo se uplatňujícího teoretického rozumu. Jen v určitém volném smyslu označujeme jako vědy filosofie předplatónské epochy nebo podobné kulturní útvary jiných národů a dob. Zůstávají pro nás platné jen jako předběžné formy, předstupně vědy. Věda v novém smyslu vyrůstá nejprve z platónského zdůvodnění logiky jako místa zkoumání bytostných požadavků „pravého“ vědění a „pravé“ vědy, a tudíž jako místa stanovování norem, v souladu s nimiž může být budována věda vědomě zaměřená na stálou normativní správnost a vědomě zdůvodňující svoji metodu a teorii. Svou intencí je toto logické zdůvodnění veskrze zdůvodněním z čistých principů. Věda v platónském smyslu nechce tedy už být pouze naivní činností z čistě teoretického zájmu. Činí si nárok na to, že každý krok, který činí, principiálně zdůvodní v jeho správnosti, v jeho nutné platnosti. Původní smysl přitom tedy spočívá v tom, že fakticky uplatňované metodě a faktickému utváření vědy předchází a prakticky je řídí principiální logický náhled čerpaný z čisté ideje možného poznání a metody poznání vůbec, nikoli ale v tom, že by se za normu smělo vydávat faktum nějak v naivitě vyrostlé metody a vědy, když jde o správné formování vědeckého názoru.

Edmund Husserl – Formální a transcendentální logika

Goodsteinova věta a axióm nekonečna

Goodsteinovy posloupnosti jsou rekurzivně definovány takto:
1) zvolme přirozené číslo m₀ = m
2) převedeme všechna čísla větší jak 2 ve formuli pro výpočet m₀ na součet mocnin 2. Např. m₀ = 29 = 2⁴ + 2³ + 2² + 1 = 2²² + 2^{2 + 1} + 2² + 1
3) máme-li formuli pro výpočet m_i, formuli pro výpočet m_i+1 získáme tak, že všude ve formuli pro m_i nahradíme číslo (i + 2) číslem (i + 3), přidáme -1 a upravíme formuli. Např.:
m₀ = 2²² + 2^{2 + 1} + 2² + 1
m₁ = 3³³ + 3^{3 + 1} + 3³ + 1 – 1 = 3³³ + 3^{3 + 1} + 3³
m₂ = 4⁴⁴ + 4^{4 + 1} + 4⁴ - 1 = ...

Přesnější definici lze nalézt např. zde. Tato posloupnost, jak vidět, poměrně rychle roste, ale překvapivá Goodsteinova věta říká následující: Pro každé přirozené číslo m existuje přirozené číslo n takové, že m_n = 0.

Tvrzení Goodsteinovy věty je pravdivé ve standardním modelu aritmetiky, je tedy bezesporné s axiomy Peanovy aritmetiky. Věta L. Kirbyho a J. Parise ukazuje, že v samotné Peanově aritmetice toto tvrzení nelze dokázat. Jinými slovy, negace Goodsteinovy věty je také bezesporná s axiomy Peanovy aritmetiky. To znamená, že Goodsteinova věta je příkladem tvrzení, které je v Peanově aritmetice nerozhodnutelné, ale je dokazatelné v teorii množin. Z axiomů teorie množin lze tedy o přirozených číslech dokázat více než z axiomů Peanovy aritmetiky. Tato skutečnost se překvapivě odráží i v samotné teorii množin. Teorie konečných množin, která vznikne z teorie množin, nahradíme-li axiom nekonečna jeho negací, je konzervativní rozšíření Peanovy aritmetiky. To znamená, že v teorii konečných množin se o přirozených číslech dají dokázat tytéž věty jako v Peanově aritmetice, tedy Goodsteinova věta zde není dokazatelná. Dostáváme se k zajímavému zjištění, že přijetím či odmítnutím axiomu nekonečna ovlivňuje dokazatelnost tvrzení o přirozených číslech, tedy tvrzení o konečných množinách.

Bohuslav Balcar, Petr Štěpánek – Teorie množin

Kolman o Bolzanově důkazu věty o mezihodnotě

V (...) okamžiku nejistoty o smysluplnosti logistických metod vstupuje do hry oficiální legenda. V ní jsme v první řadě vyzváni nahlížet význam rekurzivního teorému jako pokračování Bolzanova systematického úsilí o vytlačení názoru ze základů matematiky, např. v rámci důkazu o mezihodnotě. Teze jsou přitom následující:
1) Bolzano zbavil svými analytickými důkazy kalkulus potřeby geometrické opory, tj. závislosti na kantovském názoru prostoru.
2) Frege a Dedekind učinili totéž pro názor času, jehož role v aritmetice souvisí podle Kanta právě s rekurzivním, postupným zaváděním pojmů. Objekty či funkce nejsou definovány naráz, ale v konsekvencích fázích, odvolávajících se na fáze již realizované.
3) V podstatě se jedná o vytěsnění potenciálního nekonečna ve prospěch nekonečna aktuálního.
Tento příběh je ale jenom jiným dokladem toho, že se dějiny píší z pozic vítězů. Přitom jsme již naznačili, proč je tato pozice pochybná a zmíněné vítězství se může snadno ukázat jako vítězství Pyrrhovo:
4) Bolzano ve skutečnosti nemohl dokázat, že má každá spojitá funkce na kontinuu vlastnost mezihodnoty (intermediate-value property), protože nedisponoval jasným pojmem kontinua, a tedy pojmem aritmetické pravdy.

Vojtěch Kolman – Filosofie čísla

Otokar Březina – Stavitelé chrámu

Viděli jsme zástupy nesčíslné. Ponurou majestátností věcí
kráčeli smutni. Cizí byly si duše, jak by každá z jiného světa
po tajemném ztroskotání zachránila zem.
I snily o svých ztrátách.

O samotách uprostřed magických lesů, nad nimiž slunce
podobno ptáku se zlatými křídly nekonečnými brázdilo éter;
celým vesmírem letěla jeho píseň o slávě a života harmonického,
o zázracích tvůrčího jitra v zahradách země a podmořských nížin,
v modrých prériích vzduchu a vody:
v oceány se sklánělo v žízni a pijíc rozvlnilo je bouří,
v jeskyně ametystové pod ledovci západů do hnízda horských růží šlo spáti
a jeho sen viditelný, hra tisíců bratrských sluncí,
tančících v rytmech hudby melancholické, vznášel se nekonečnostmi
zářící láskou. Noc dávala hovořit květům o jejich léčivé síle
a opojení, jež dřímá v hroznech a máku. Znali jemná slova,
jež jako rozhozené zrní lákají ptáky. A zvířata lesní,
která neokusila krve, je přítulně navštěvovala.

Snili o městech, jež vládnou nad zeměmi. O rozkoši práce,
slavnostním zvonění kladiv, zkrocení ohně, závratích boje,
signálech jízdy, sladkosti nebezpečenství, hrdosti dávajících,
smělosti ruky, jež hází tajemné sítě nad národy,
a o slovech, jež jako smolné věnce padají na města nepřátelská.

O pýše orlů na horách osamělých, jejichž vířící křídla
rychlosti letu zdají se nehybně ztuhlá jak z kovu
a stačí zrakům protínajícím soumračný vesmír jak hvězdy.

O rozkoši zničení, triumfální jízdě cyklónů nad rovinami,
požárech lesů, ledových vichřicích pólů, o démonickém výsměchu živlů,
které v řinčení přetrhaných řetězů blesky vybíjejí se v chaos.

O tragické žízni hledajících, honbě, která tajemství stíhá
cestami nesčetných světů, ústících v jediném světě,
zmateně pobíhá tisíciletími, číhá na předvěkých pohřebištích
a jako na skoby řeřavé ještě, dokuté právě posledním úderem kladiv,
na slunce věší svá tenata neviditelná
a lovecké sítě spouští v plamenná moře, která je tráví
jak pavučiny. A odsouzená hledati věčně
mate se mlčeními, která si kolem ní odpovídají
v magických dotknutích rukou, v agónii mučených zvířat,
v početí zakrytém blesky, v šílenství ztrhaných zraků i v pýše
zahrabávající do země stopy, jimiž jsi kráčel.

Snili o rozkoších nejistoty a hry, rozčilení tržišť,
o zmatku tisíce jazyků, pokřikem plnících duši jak přístaviště,
kam ze všech moří se vracejí lodě a kde orgie bázní,
nadějí, krve a hříchu přehlušují hukot moří
a pozdravnou střelbu a orchestry přijíždějících.

A večer o sladkosti hudby táhnoucí nábřežími
jak éterná mlha, do níž se stápí tisíce světel,
nad řekami, jež jako žíly studené záře zdají se prýštit
z měsíce. O ženách záhadných, zemdlených tíží své krásy,
jež volají milence písněmi zádumčivými. A jejich šepot
a vlnění šatů zdá se zakleto v květech a dřímotě keřů:
bílé, ve fosforném jiskření drahokamů a rtů, halí se v soumrak,
jak by jich ruce, s pohyby hadů uspávaných kouzlem,
házely zrní magické vůně v srdce zapálená jich zraky
a v omamném kouři k odpovědi vyvolávaly duše mrtvých.

Ale nejposlednější ze všech (jak jsme zakvíleli láskou!)
miliony vyděděných, mravenci, kteří vyhrnuli se z lomů,
otroci, kteří plíží se žitím jak sady zapovězenými,
táhli kolem nás mlčky. Umdlená jejich duše neměla snů.
Jen jiskření očí při úderu rány neočekávané
viděli nad sebou klenutí nebes, zčernalé soumrakem věků,
jako strop ponuré dílny, zčazené prací tisíciletou:
dmychali větry do výhní pod obzorem, v Gehennu rudého žáru,
kde celé pralesy vyvrácené zdály se praskat vln ohnivou tíží,
a jako bubliny, vyfouklé ze skla, blankyty země objímající,
hrající duhou a modrem, kopule éterných paláců štěstí,
okna na vrcholu klenby pro světlo s výše, se tavily v páře
a kroužily pěnou po hladinách varu připraveného,
jehož reflex přes celý hvězdnatý zenit se šířil
a v sazích mraků se chytal jak zlatý písek slepený krví:
gigantské pohybující se stíny promítaly se na něm
jak obraz tajemného zápasu kolem věčných ohňů.

Mezi nimi šli stavitelé tvého chrámu. Ti jediní ze všech
poznávali se znameními. Jako slib jiných nebes a země
viděli hrůzu a nádheru věcí. V plnosti nesčíslných forem
cítili prvotní napětí tvého tvůrčího dechu,
jež jako Eliášovo světlo ze všech nejvyšších linií krásy se jiskří
nad krajinami oblaky věků zatíženými
a ranami blesků ochromí zčernalou ruku odvážlivého.
Vykoupením tajemné viny byla jim bolest a práce.
Jistotu cesty vnitřní radost, nepohnutá, bílá a silná jako slunce,
jež, třeba neviditelné uprostřed bouře a noci,
dle věčného zákona vládne zemí. Vítězů matku a sestru
ve květu tisíciletí, na rtech zardění jitřní, vítali ženu,
a souhvězdí letní Orel, Labuť, Delfín a Lyra
vstávala v záři do jejich nocí, po dni, který se dloužil.
K miliónům trpících bratří bylo poslání jejich
jako najmutí dělníků k stavbě. Ale aby žhavější byla
slova najímajících a ruce odměňujících horkostí touhy,
tvá spravedlnost, silná a vládnoucí smrtí,
rtům jejich odňala vzpomínku na všechnu sladkost země.

Stekeler o existenci množinových jsoucen

Následující text jsem nalezl v knize Vojtěcha Kolmana Filosofie čísla. Část originálu si lze přečíst zde na str. 355.

Naivní teorie množin zde nevidí žádný problém; jednoduše dělá, jako by bylo jasné, co je množina čísel, takže může být považován za „daný“ jak obor 2^N, tak hierarchický obor V „všech množin“ a „přirozený“ vztah ∈. Avšak tento postoj připomíná – obrazně řečeno – chování zoologa, jenž věří na existenci jednorožců (≅ standardní model) a „zkoumá“ jejich vlastnosti. Formalista pak sice také věří na jednorožce, ale ne na jedinečnost druhu. (...) Oba, platonista i formalista ale zakládají své popisy vlastností jednorožců na vlastnostech věcí, které známe: na vlastnostech koní (konečných nebo rozhodnutelných množin nebo množin získaných „abstrakcí“ z korektně vystavěných a sémanticky ohodnocených větných forem) a zvířat s jedním rohem (na existenci potenčních a výběrových množin v patřičně „neškodných“, např. konečných oborech). Tyto vlastnosti pak slučují do pojmu jednorožce, množinového modelu teorie množin. Jeho „existence“ je historicky zdůvodněna tím, že neexistence jednorožců nebyla dodnes – přes intenzivní pátrání – dokázána a že se ještě mohou objevit např. na Marsu nebo na vzdálené hvězdě. Kromě toho se koncept jednorožce (teorie množin) báječně osvědčil při vyvozování pravdivých soudů o koních a nosorožcích (v aritmetice a analýze).

Pirmin Stekeler-Weithofer – Základní problém logiky

Dva logické stroje

První stroj lze nalézt ve Smullyanově knize Navěky nerozhodnuto. Stroj používá pouze těchto šest symbolů: P, → ⊥, (, ) a R. Stroj tiskne věty složené z těchto znaků. Věta a pravdivá věta je definována pomocí těchto pravidel:

(1) ⊥ je věta. Tato věta je nepravdivá.

(2) Jestliže je X a Y věta, pak je (X → Y) také věta. Tato věta je pravdivá, jestliže je pravdivá Y nebo není nepravdivá X.

(3) Pro každou větu X je věta i PX. Tato věta je pravdivá, jestliže stroj může vytisknout X.

(4) Kro každé dvě věty X a Y je (X R Y) také věta. Tato věta je pravdivá, jestliže stroj může vytisknout ((X R X) → Y).

Axiómy stroje jsou tyto:

(I) Všechny tautologie.

(II) Všechny věty ve tvaru P(X → Y) → (PX → Y).

(III) Všechny věty ve tvaru PX → PPX.

(IV) Všechny věty ve tvaru (X R Y) ↔ P((X R X) → Y).

Použitá spojka A ↔ B je zkratka za (((A → B) → ((B → A) → ⊥)) → ⊥).

Operační pravidla tohoto stroje jsou:

(A) Může být vytištěn jakýkoli axióm.

(B) Jestliže byla vytištěna věta X a věta (X → Y), pak stroj může vytisknout větu Y.

(C) Jestliže byla vytištěna věta X, stroj může vytisknout PX.

Všechny axiómy jsou pravdivé. Lze se snadno přesvědčit, že stroj může vytisknout jen pravdivé věty. Stroj je tedy bezesporný. Zkoumejme dále tento stroj. Pro libovolné dvě věty X a Y podle (IV) platí, že věta

(X R Y) ↔ P((X R X) → Y)

může být vytištěna. Platí to tedy i pro X = Y. Stroj tedy může vytisknout

(X R X) ↔ P((X R X) → X).

Tudíž podle (4) stroj může vytisknout i větu

(X R X → X) ↔ (P((X R X) → X) → X)

Zvolme nyní za X větu ⊥. Zkrátím-li (A → ⊥) jako, ¬A a větu (⊥ R ⊥ → ⊥) na G, pak lze napsat, že stroj může vytisknout

G ↔ (¬PG).

Tato věta je pravdivá, jestliže stroj nikdy větu G nevytiskne. A protože stroj tiskne jen pravdivé věty, stroj nikdy větu G nevytiskne. Přitom věta G je pravdivá. Smullyan větě G říká z pochopitelného důvodu věta Gödelova.

Jiný a jednodušší stroj lze nalézt ve Smullyanově knize Gödel’s Incompleteness Theorems. Stroj používá pět znaků: P, N, ~, ( a ). Závorky nemusí párovat. Řetězec P(x) znamená, že x je tisknutelný. Řetězec ~P(x) znamená, že x je netisknutelný. Norma řetězce x je řetězec x(x). Řetězec PN(x) znamená, že norma řetězce x je tisknutelná, a ~PN(x) znamená, že norma x je netisknutelná. Předpokládejme, že stroj tiskne jen pravdivé řetězce. Mějme řetězec ~PN(~PN). Tato věta znamená, že norma ~PN je netisknutelná. Norma ~PN je řetězec ~PN(~PN). Věta tedy sama o sobě říká, že je netisknutelná. Ale ani řetězec PN(~PN) není tisknutelný, protože pak by byl tisknutelný i ~PN(~PN) a stroj by se dostal do sporu sám se sebou. Řetězec ~PN(~PN) ani PN(~PN) stroj nevytiskne, ať už ho naprogramujeme jakkoli. Máme tu jasný příklad nerozhodnutelného tvrzení. Podívejme se ještě na větu ~P(~PN(~PN)). Tento řetězec už stroj vytisknout může. Stejně tak řetězec ~P(PN(~PN)). Tedy stroj, stejně jako v předchozím případě, věty o tom, že existuje nerozhodnutelný problém, stroj rozhodnout může.

Popisy těchto strojů nejsou ekvivalentní první Gödelově větě o neúplnosti, ale mají některé společné prvky.