Hegel o matematice a filosofii

Im mathematischen Erkennen ist die Einsicht ein für die Sache äußerliches Tun; es folgt daraus, daß die wahre Sache dadurch verändert wird. Das Mittel, Konstruktion und Beweis, enthält daher wohl wahre Sätze; aber ebensosehr muß gesagt werden, daß der Inhalt falsch ist. Das Dreieck wird in dem obigen Beispiele zerrissen und seine Teile zu andern Figuren, die die Konstruktion an ihm entstehen läßt, geschlagen. Erst am Ende wird das Dreieck wiederhergestellt, um das es eigentlich zu tun ist, das im Fortgange aus den Augen verloren wurde, und nur in Stücken, die andern Ganzen angehörten, vorkam.--Hier sehen wir also auch die Negativität des Inhalts eintreten, welche eine Falschheit desselben ebensogut genannt werden müßte als in der Bewegung des Begriffs das Verschwinden der festgemeinten Gedanken. Die eigentliche Mangelhaftigkeit dieses Erkennens aber betrifft sowohl das Erkennen selbst als seinen Stoff überhaupt. – Was das Erkennen betrifft, so wird vors erste die Notwendigkeit der Konstruktion nicht eingesehen. Sie geht nicht aus dem Begriffe des Theorems hervor, sondern wird geboten, und man hat dieser Vorschrift, gerade diese Linien, deren unendliche andere gezogen werden könnten, zu ziehen, blindlings zu gehorchen, ohne etwas weiter zu wissen, als den guten Glauben zu haben, daß dies zu Führung des Beweiseszweckmäßig sein werde. Hintennach zeigt sich denn auch diese Zweckmäßigkeit, die deswegen nur eine äußerliche ist, weil sie sich erst hintennach, beim Beweise, zeigt. – Ebenso geht dieser einen Weg, der irgendwo anfängt, man weiß noch nicht in welcher Beziehung auf das Resultat, das herauskommen soll. Sein Fortgang nimmt diese Bestimmungen und Beziehungen auf und läßt andre liegen, ohne daß man unmittelbar einsehe, nach welcher Notwendigkeit; ein äußerer Zweck regiert diese Bewegung. Die Evidenz dieses mangelhaften Erkennens, auf welche die Mathematik stolz ist, und womit sie sich auch gegen die Philosophie brüstet, beruht allein auf der Armut ihres Zwecks und der Mangelhaftigkeit ihres Stoffs, und ist darum von einer Art, die die Philosophie verschmähen muß. – Ihr Zweck oder Begriff ist die Größe. Dies ist gerade das unwesentliche, begrifflose Verhältnis. Die Bewegung des Wissens geht darum auf der Oberfläche vor, berührt nicht die Sache selbst, nicht das Wesen oder den Begriff, und ist deswegen kein Begreifen. – Der Stoff, über den die Mathematik den erfreulichen Schatz von Wahrheiten gewährt, ist der Raum und das Eins. Der Raum ist das Dasein, worin der Begriff seine Unterschiede einschreibt, als in ein leeres, totes Element, worin sie ebenso unbewegt und leblos sind. Das Wirkliche ist nicht ein Räumliches, wie es in der Mathematik betrachtet wird; Mit solcher Unwirklichkeit, als die Dinge der Mathematik sind, gibt sich weder das konkrete sinnliche Anschauen noch die Philosophie ab. In solchem unwirklichen Elemente gibt es denn auch nur unwirkliches Wahres, d.h. fixierte, tote Sätze; bei jedem derselben kann aufgehört werden; der folgende fängt für sich von neuem an, ohne daß der erste sich selbst zum andern fortbewegte und ohne daß auf diese Weise ein notwendiger Zusammenhang durch die Natur der Sache selbst entstünde. –Auch läuft um jenes Prinzips und Elements willen--und hierin besteht das Formelle der mathematischen Evidenz - das Wissen an der Linie der Gleichheit fort. Denn das Tote, weil es sich nicht selbst bewegt, kommt nicht zu Unterschieden des Wesens, nicht zur wesentlichen Entgegensetzung oder Ungleichheit, daher nicht zum Übergange des Entgegengesetzten in das Entgegengesetzte, nicht zur qualitativen, immanenten, nicht zur Selbstbewegung. Denn es ist die Größe, der unwesentliche Unterschied, den die Mathematik allein betrachtet. Daß es der Begriff ist, der den Raum in seine Dimensionen entzweit und die Verbindungen derselben und in denselben bestimmt, davon abstrahiert sie; sie betrachtet z.B. nicht das Verhältnis der Linie zur Fläche; und wo sie den Durchmesser des Kreises mit der Peripherie vergleicht, stößt sie auf die Inkommensurabilität derselben, d.h. ein Verhältnis des Begriffs, ein Unendliches, das ihrer Bestimmung entflieht.

Georg Wilhelm Friedrich Hegel – Phaenomenologie des Geistes

V matematickém poznání je nahlédnutí, jak se věci mají, úkonem pro věc vnějším; z toho vyplývá, že pravá věc se tímto úkonem mění. Prostředek tohoto nahlédnutí, totiž konstrukce a důkaz, obsahuje zajisté pravdivé věty; ale zároveň je nutno také říci, že obsah je nepravdivý. Trojúhelník v příkladě uvedeném shora je roztrhán, jeho části se připojují k jiným obrazcům, které v něm vznikají konstrukcí. Teprve na konci se opět restituuje trojúhelník, ,o který vlastně běží, který byl postupem věci ztracen z očí a vyskytoval se pouze v částech příslušných k jiným celkům. — Zde pozorujeme tedy též, jak vystupuje zápornost obsahu, kterou bychom měli nazývati jeho nepravdivostí, tak jako jí v pohybu pojmu nazýváme zanikání myšlenek považovaných za ustálené. Vlastní nedostatečnost tohoto poznání se týče však právě tak poznání sama jako jeho látky vůbec. — Co se týče poznání, především není myšlenkově jasná nutnost konstrukce. Nevyplývá z pojmu poučky, nýbrž je nám předepsána, a předpisu, abychom vedli právě tyto linie, zatím co by bylo možno vésti nekonečný počet jiných, musíme být slepě poslušní; přitom nemáme jiné vědění než dobrou víru, že to bude účelné k provedení důkazu. Dodatečně se vskutku též ukazuje tato účelnost, která je proto pouze vnější, poněvadž se ukazuje teprve dodatečně při důkazu. Právě tak kráčí důkaz cestou, která odněkud vychází, aniž ještě víme, v jakém je vztahu k výsledku, který má vyjíti. Postup důkazu tato určení a vztahy přijímá a jiné ponechává stranou, aniž nahlížíme bezprostředně, podle jaké nutnosti se to děje; tento pohyb je řízen vnějším účelem. Evidence tohoto nedostatečného poznání, na niž je matematika hrdá a kterou se též pyšní před filosofií, záleží výhradně v tom, že její účel je chudý a její látka nedostatečná, a je tedy toho druhu, který musí filosofie zavrhnouti. — Její účel či pojem je veličina. Právě ta je nebytostným, nepojmovým vztahem. Pohyb vědění odehrává se proto na povrchu, nedotýká se věci samé, nedotýká se bytnosti ani pojmu, a proto není žádným chápáním. — Látka, o níž matematika zaručuje utěšené bohatství pravd, je prostor u jednotka. Prostor je to jsoucno, do něhož pojem zapisuje své rozdíly jako do prázdného mrtvého živlu, v němž tyto rozdíly jsou rovněž nehybné a bez života. Skutečnost není něčím prostorovým, jak na prostor pohlížíme v matematice; s takovou neskutečností, jakou jsou matematické věci, se nezahazuje ani konkrétní smyslový názor, natož filosofie. V takovém neskutečném živlu pak též existuje jen neskutečná pravda, tj. ustálené mrtvé věty; u každé z nich je možno přestati; následující začíná pro sebe od začátku, aniž se první pohybovala sama od sebe k jiné větě a aniž tímto způsobem vznikala povahou věci samé nutná souvislost. — Je také důsledkem onoho principu a živlu — a v tom tkví formálnost matematické evidence — že vědění postupuje po linii rovnosti. Neboť to, co je mrtvé, nedospívá k rozdílům bytnosti, jelikož se samo nepohybuje, nedospívá k bytostnému protikladu či nerovnosti. tudíž ani k přechodu protikladu v protiklad, kvalitativnímu, imanentnímu pohybu, k svéhybnosti. Neboť to, k čemu matematika výhradně přihlíží, je veličinný nebytostný rozdíl. Že to, co rozčleňuje prostor v jeho dimense a určuje spojení dimensí a spojení v dimensích, je pojem, od toho matematika abstrahuje; neuvažuje např. o vztahu mezi linií a plochou; a tam, kde srovnává obvod kruhu s jeho průměrem, naráží na jejich nesouměřitelnost. tj. pojmový vztah, a tím na něco nekonečného, co uniká jejímu určení.

Georg Wilhelm Friedrich Hegel – Fenomenologie ducha

Auf die Frage: „Was ist das Itzt?“ antworten wir also zum Beispiel: „Das Itzt ist die Nacht“. Um die Wahrheit dieser sinnlichen Gewißheit zu prüfen, ist ein einfacher Versuch hinreichend. Wir schreiben diese Wahrheit auf; eine Wahrheit kann durch Aufschreiben nicht verlieren; ebensowenig dadurch, daß wir sie aufbewahren. Sehen wir „itzt, diesen Mittag“, die aufgeschriebene Wahrheit wieder an, so werden wir sagen müssen, daß sie schal geworden ist. (...) Die Sprache aber ist, wie wir sehen, das Wahrhaftere; in ihr widerlegen wir selbst unmittelbar unsere Meinung, und da das Allgemeine das Wahre der sinnlichen Gewißheit ist, und die Sprache nur dieses Wahre ausdrückt, so ist es gar nicht möglich, daß wir ein sinnliches Sein, das wir meinen, je sagen können.

Georg Wilhelm Friedrich Hegel – Phaenomenologie des Geistes

Na otázku: co jest nyní? odpovíme tedy například: Nyní jest noc. K tomu, abychom vyzkoušeli pravdivost této smyslové jistoty, dostačí jednoduchý pokus. Tuto pravdu si napíšeme; napsáním pravda nemůže nic ztratit; ani tím, že si ji uschováme. Podíváme-li se nyní, v toto poledne, znovu na tu napsanou pravdu, budeme musit říci, že vyvanula. (...) Řeč však, jak vidíme, jest pravdivější: v ní vyvracíme bezprostředně sami své míněni; a jelikož všeobecno je pravda smyslové jistoty a ježto řeč vyjadřuje jen tuto pravdu, není vůbec možné, abychom smyslové bytí, které míníme, kdy vyslovili.

Georg Wilhelm Friedrich Hegel – Fenomenologie ducha

Kolapsy civilizací

Záznam přednášky na téma „Kolapsy civilizací“, kterou přednesl Doc. Miroslav Bárta, je ve zvukové podobě ke stažení zde: 1. část, 2.část. Záznamy dalších přednášek jsou zde.

Václav Hořejší o realismu

Václav Hořejší se v pořadu Vstupe! zmínil velmi krátce i o filosofii vědy. Následující text sice nepřispívá k ani filosofii vědy a ani k filosofii matematiky, ale je to zajímavá ukázka toho, jak lze reflektovat svou práci.

Já dokonce mám někdy takový pocit – a vím, že to zní trochu divně –, že geniální skladatelé, kteří složili nějakou skvělou symfonii, ji odněkud vytáhli skoro hotovou, že ji nevymysleli, ale že v tom platónském smyslu existovala ve světě idejí, a oni ji jen vytáhli podobně, jako vytahujeme my přírodovědci tajemství přírody, která existují objektivně, a která jsou někde hotová. A ještě zajímavější je přechod mezi těmito dvěma věcmi a to je matematika. Naprosto abstraktní matematické zákonitosti vypadají, že existují zcela objektivně, nezávisle na vůli matematiků, kteří je v jakémsi abstraktním prostoru nebo světě objevují podobně, jako my přírodovědci objevujeme materiální vztahy a objekty. To mě velmi fascinuje.

Text je trochu upraven, aby se dal dobře číst. Pořad si lze poslechnout zde. Uvedená ukázka je po 21 minutě pořadu.

O co jde v alternativní teorii množin?

Klasické matematické představy jsou dnes kanonizovány v Cantorově teorii množin. Jen ty struktury jsou možné, které mají v této teorii model (Gödelova věta o úplnosti). Tím tato teorie do sebe uzavřela veškerou matematiku. V matematice nesmí být nic, co by nebylo možno v Cantorově teorii modelovat, co by ji překračovat, nebo míjelo. Tedy poněkud volně řečeno, matematika (přesněji filosofie matematiky) se rovná Cantorově teorii množin (přesněji její filosofíi). V tomto zajetí jsou i různé směry kritizující klasickou matematiku, které v podstatě jen Cantorovu teorii množin zužují. Tím ovšem lze proti těmto kritikám vznést do značné míry oprávněnou kritiku, že matematice kladou pouze různé překážky ve formě zákazů a tím ji brání v rozletu. Ostatně i takto různě oklešťovanou matematiku lze v Cantorově teorii modelovat. Tato námitka bývá vznášena i vůči alternativní teorii množin, a to ze strany těch matematiků, kteří základní principy této teorie nepochopili nebo nebyli schopni domyslet.

Petr Vopěnka – O co jde v alternativní teorii množin

Základním pojem, bez něhož nelze alternativní teorii množin charakterizovat, je přirozené nekonečno.

Jsme-li důslední, nezbývám nám než uznat, že v nějaké podobě se nekonečno ukazuje již na velkých množinách a ne až za nimi. Je-li nekonečno aplikovatelné na jisté jevy ukazující se na velkých množinách, pak tam v nějaké podobě již musí být přítomné. Kdyby tam nebylo, nemohli bychom je tam aplikovat, nebo chceme-li, příslušnou situaci v infinitní matematice modelovat. Této podobě nekonečna budeme říkat nekonečno přirozené.

Petr Vopěnka – O co jde v alternativní teorii množin

Základní charakteristikou alternativní teorie množin je záměrné studium přirozeného nekonečna. Nově o alternativní teorii množin pojednává kniha Petra Vopěnky Pojednání o jevech povstávajících na množstvích. Další informace o této knize jsou zde.

Karel Čapek o logických důkazech

Toto slovo je rozšířeno hlavně ve rčení “Dokážu vám to logicky.” Načež následuje výklad, který buď opakuje to, co už je řečeno, a pak je zbytečný, nebo říká něco jiného, a pak je nemístný; v každém případě však je daleko složitější než prvotní věta, která se má dokázat. Obyčejně je “logický důkaz” veden tak, jako by měl odpůrce hlavně unavit a splést; je to taktika strašlivá a obmyslná, plná záhadných chvatů, mostů, kravat a masáží jako řeckořímský zápas. Avšak o řeckořímském logickém důkazu jest jediná pravda, že se nic nedá logicky dokazovat; což vám dokážu logicky. Buď dokazuji své tvrzení samými evidentními soudy; ale kdyby mé tvrzení plynulo evidentně z evidentních vět, bylo by samo evidentní, a tu by ovšem naprosto nepotřebovalo být dokazováno. Nebo dokazuji své tvrzení větami neevidentními, ale pak bych musel logicky dokazovat všechny tyto věty “usque ad infinitum”, jak říkají řeckořímští zápasníci, z čehož logicky plyne, že logický důkaz je nemožný; a není-li tento logický důkaz naprosto přesvědčující, vidíte z toho, že logické dokazování opravdu za nic nestojí. Jediný možný důkaz nějaké obecné pravdy, zásady, kritéria a tak dále je naprosto nelogický. Vyslov nějakou větu, která se ti líbí, a kterou bys tudíž rád považoval za obecnou pravdu. Tuto větu vlož fiktivně do úst svému největšímu nepříteli, kterého nadto považuješ za bezcharakterního osla; bude-li se ti ta věta líbit i pak, je dobrá a drž se jí; neboť nemůže být důkazu mocnějšího než uznání pravdy nepřítelovy.

Karel Čapek – Kritika slov

Antonín Sochor k tomuto uvádí:

K. Čapek zpochybňuje samu podstatu logiky, neboť pojem důkazu je jedním z jejích nejdůležitějších pojmů. Pokud bychom však přijali Čapkovy výhrady, musili bychom revidovat náš přístup k mnohem širší oblasti zahrnující celé lidské rozumové vyvozování. Připomeňme, že Eukleidés (315–271 př. Kr.) ve svých Základech jako prvý vyvozuje z několika axiomů celou nauku (geometrii, ale protože aritmetiku chápe jako součást geometrie, je možno říci, že celou tehdejší matematiku). Deduktivní metoda však neovlivnila pouze matematiku a vědy blízké matematice (např. teoretickou fyziku), ale zasahuje — a to dokonce i ve své formalizované podobě – do velice mnoha oblastí lidského poznání; jako příklad uveďme knihu Barucha Spinozy Ethica more geometrico demonstrata z let 1662–1665, kde je podávána filozofie metodou věta – důkaz). Naštěstí není těžké nahlédnout, že Čapkovy námitky naprosto nereflektují lidskou zkušenost. (...) Parafrázujeme-li jeho úvahu, můžeme také jednoduše „dokázat , že nikdy nedojdeme z Prahy do Prčic: při každém kroku se naše pozice změní jen málo a Prčice jsou od Prahy dost daleko. Chyba Čapkovy úvahy spočívá v tom, že mnoha (byť malými) kroky je možno urazit velkou vzdálenost, což řada účastníků pochodu na uvedené trase prakticky prokázala. Analogicky není možno popřít, že i pomocí evidentních důkazových kroků je možno dojít (je-li jich hodně) k tvrzením značně neevidentním.

Antonín Sochor – Klasická matematická logika

Naprosto stejný text je i v knize dostupné v elektronické podobě zde.

Federico García Lorca - V některých duších

Hay almas que tienen
azules luceros,
mañanas marchitas
entre hojas del tiempo,
y castos rincones
que guardan un viejo
rumor de nostalgias
y sueños.

Otras almas tienen
dolientes espectros
de pasiones. Frutas
con gusanos. Ecos
de una voz quemada
que viene de lejos
como una corriente
de sombra. Recuerdos
vacíos de llanto
y migajas de besos.

Mi alma está madura
hace mucho tiempo,
y se desmorona
turbia de misterio.
Piedras juveniles
roídas de ensueño
caen sobre las aguas
de mis pensamientos.
Cada piedra dice:
"¡Dios está muy lejos!"

Federico García Lorca - Hay almas que tienen ...

Český překlad je dílem Miloslava Uličného.

V některých duších
jsou modré hvězdy,
v listoví času
povadlé dnění,
a čisté kouty,
ve kterých přežil
starý šum touhy
a snění.

A v jiných duších
ovoce s červy.
Přízraky vášní,
truchlivé scény.
Ozvěny hlasu,
jenž, popálený,
jako proud šera
z daleka letí.
Dávný zvuk pláče,
prach políbení.

Jak dávno zralou
duši mám, nevím
Pod tíhou tajů
rozpadá se mi.
Kameny mládí
zvětralé sněním
padají do vod
mých přemýšlení.
A praví: „Bůh je
daleko v nebi.“

Federico García Lorca - V některých duších ...

Russellův paradox

Co je podstatné u čistého matematického poznání a čím se odlišuje ode všeho jiného poznání a priori, je okolnost, že musí postupovat nikoli pomocí pouhých pojmů, nýbrž tak, že je názorně konstruuje.

Immanuel Kant – Prolegomena ke každé příští metafyzice, jež se bude moci stát vědou

Oponovat Kantově představě, že matematické pravdy nevycházejí analyticky z pojmů, ale jejich pravdivost vidíme pomocí názoru, lze nejlépe tak, že se vytvoří jakási „abeceda“ a mechanizmus, který dovede jednoznačně rozhodnout, která věta čisté matematiky napsaná touto „abecedou“ je pravdivá.

K tomu, aby se taková „abeceda“ dala vytvořit, ovšem zbývala jedna „maličkost“: bylo třeba posbírat a zinventarizovat všechny naše myšlenky a ideje, zjistit, pro které vyjádření nemáme, případně které vyjadřujeme nějak „nevhodně“, a tyto nedostatky a nesrovnalosti odstranit. Problém byl ovšem v tom, že nikdo neměl nejmenší ponětí, jak tohle udělat (...).

Jaroslav Peregrin – Co je to (Fregovská) Logika?

Mnohé kalkuly již pochopitelně existovaly. Ale čistou matematiku např. v Booleově logice v žádném případě v celé své složitosti vystavět nelze. Pojmové písmo, jak říká Gottlob Frege svému formálnímu jazyku, je geniálním pokusem, který se zdál zcela převrátit základy matematiky a zbavit je onoho Kantova názoru. Alespoň do roku 1901, kdy Bertrand Russell napsal Gottlobu Fregovi tento dopis.

Vážený pane kolego!

Již půldruhého roku znám Vaše „Základní zákony aritmetiky“, ale teprve nyní se mi podařilo najít čas na důkladnější studium, které jsem měl v úmyslu Vašim spisům věnovat. Shledal jsem, že jsem s Vámi ve všech hlavních věcech zcela zajedno, zvláště v zavržení každého psychologického momentu v logice a v ocenění významu pojmového písma pro základy matematiky a formální logiky, které lze od sebe ostatně stěží rozlišit. V mnoha jednotlivých otázkách našel jsem u Vás diskuse, rozlišení a definice, o kterých u ostatních logiků není ani zmínka. Zvláště ve věci funkce (§9 Vašeho Pojmového písma) jsem samostatně dospěl do detailu k týmž názorům. Pouze v jediném bodě jsem narazil na obtíž. Tvrdíte, že i funkce může být neurčitým elementem. Myslel jsem si to dříve také, avšak nyní o tom názoru pochybuji, a to s ohledem na následující spor. Budiž w predikát: být predikátem, který nemůže být predikován sám sobě. Může být w predikován sám sobě? Z každé odpovědi vyplývá opak. Proto musíme usoudit, že w není predikát. Právě tak neexistuje žádná třída (jako celek) takových tříd, které samy sobě jakožto celku nenáleží.

Chystám se dokončit knihu o principech matematiky a rád bych v ní o Vašem díle podrobněji pohovořil. Vaše knihy již mám nebo si je brzy koupím; ale byl bych Vám velmi vděčný, kdybyste mi mohl zaslat separáty Vašich článků v různých časopisech. Kdyby to ale nebylo možné, vyrobím si je v knihovně.

Exaktní rozpracování logiky je ve fundamentálních otázkách, kde symboly selhávají, velmi zaostalé; u Vás jsem nalezl to nejlepší, co je mi z naší doby známo, a proto si dovoluji vyjádřit Vám svůj nejhlubší respekt. Je politováníhodné, že jste ještě nedosáhl uveřejnění druhého dílu Vašich Základních zákonů; doufejme, že se tak stane.

S uctivým pozdravem,
Váš nejoddanější
Bertrand Russell

Výše uvedený spor vypadá v Peanově notaci takto:

A = {x;x ∉ x} → (A ∈ A ↔ A ∉ A)

Peanovi jsem o tom napsal, ale zůstal mi dlužen odpověď.

Použitá notace není Peanova, ale přepsal jsem ji do jednodušší notace. Ostatek přeložil Vojtěch Kolman a lze to nalézt v jeho knize Logika Gottloba Frega.

Hegel o povyku proti sofistice

Sein handelndes Wesen ist der ganze Geist, aber als Geist ist er sich seiner nicht bewußt, sondern was er sich bewußt wird, sind solche Gesetze, Regeln, allgemeine Sätze, die ihm im Bewußtsein für wahr gelten; und im Handeln widerlegt er selbst die Borniertheit seines Verstandes. Aber dies Bewußtsein spricht solches bestimmte Sein und das Sein überhaupt als absolutes Wesen aus und heißt dies sein Bewußtsein, seinen Verstand. Wenn der Begriff sich gegen diesen Reichtum, den es an Wahrheit zu besitzen glaubt, wendet und es die Gefahr für seine Wahrheit wittert (denn das Bewußtsein weiß, daß es nur insofern ist, als es Wahrheit hat) und seine festen Wesenheiten ihm verwirrt werden, so wird es aufgebracht; und der Begriff in dieser seiner Beziehung (Realisierung), daß er sich an die gemeinen Wahrheiten macht, zieht sich Haß und Schimpf zu. Dies ist das allgemeine Geschrei gegen die Sophisterei, ein Geschrei des gesunden Menschenverstandes, der sich nicht anders zu helfen weiß.

Georg Wilhelm Friedrich Hegel – Vorlesungen über die Geschichte der Philosophie

Ale prosté rozvažování si přitom není vědomo samo sebe jako ducha; co vstupuje do jeho vědomí, jsou takové určité zákony, pravidla a obecné poučky, jež prostému rozvažování platí jako absolutní pravda, jejichž omezenost ale samo vyvrací svým jednáním. Obrátí-li se pojem proti tomuto bohatství vědomí, o němž se vědomí domnívá, že je mu vlastní, větří v tom prosté vědomí nebezpečí pro své pravdy, bez nichž by nemohlo být. A jsou-li tyto pravdy převráceny, tu se prosté vědomí rozzuří a pojem si vyslouží jeho nenávist a nadávky za to, že se dotkl těchto pravd, aby se mohl uskutečnit. Proto takový všeobecný povyk proti sofistice; je to povyk „zdravého lidského rozumu“, jenž si nedovede jinak pomoci.

Georg Wilhelm Friedrich Hegel – Dějiny filosofie

Tento a další texty v německém originále jsou zde.

Pythagoras ve starověké anekdotě

φησὶ δ' Ἀπολλόδωρος ὁ λογιστικὸς ἑκατόμβην θῦσαι αὐτόν, εὑρόντα ὅτι τοῦ τριγώνου ὀρθογωνίου ἡ ὑποτείνουσα πλευρὰ ἴσον δύναται ταῖς περιεχούσαις. καὶ ἔστιν ἐπίγραμμα οὕτως ἔχον

ἤνυκε Πυθαγόρης τὸ περικλεές· εὕρατο γράμμα
κλεινὸς ἐφ' ᾧ κλεινὴν ἤγαγε βουθυσίην.

Διογένης Λαέρτιος – Βίοι καὶ γνῶμαι τῶν ἐν φιλοσοφίᾳ εὐδοκιμησάντων

Logik Apollodóros o něm poznamenává, že obětoval sto volů když objevil, že u pravoúhlého trojúhelníka je čtverec nad přeponou roven součtu čtverců nad odvěsnami. Zde je onen epigram:

Když Pythagoras rozřešil svůj velkolepý problém,

krev stovky volů prolil.

Diogenes Laertios – O životě a učení slavných filosofů

O jeden význam navíc má epigram jistého Börneho:

Als Pythagoras seinen bekannten Lehrsatz entdeckte, brachte er den Göttern eine Hekatombe dar. Seitdem zittern die Ochsen, sooft eine neue Wahrheit an das Licht kommt.

Aphorismen und Miszellen – Carl Ludwig Börne

Pythagoras obětoval sto volů, když dokázal 47. Eukleidovo tvrzení. Od těch dob se každý vůl třese vždy, když se objevuje nová pravda.

Aforismy a jiné – Carl Ludwig Börne

Česká Wikipedie připisuje tento citát jistému polskému básníkovi Julianu Tuwimovi. Berne je však asi o století starší.

Thúkydidovy Dějiny Peloponnéské války

Thúkydivody Dějiny obsahují mj. i soustu řečí. Především je to proslulá řeč, kterou pronesl Periklés při pohřbu prvních padlých ve válce, a ve které mluví o demokracii.

My totiž máme státní zřízení, které nepotřebuje nic závidět zákonům sousedů, spíš jsme sami příkladem jiným, než abychom druhé napodobovali. Říká se mu demokracie, vláda lidu, protože se opírá o většinu, ne jen o několik málo jednotlivců; podle zákonů mají všichni stejná práva, když jde o soukromé zájmy, pokud však jde o společenský význam, má při vybírání pro veřejné úřady každý přednost podle toho, v čem vyniká, podle schopností, ne podle své příslušnosti k určité skupině. Když je naopak někdo chudý schopen vykonat pro obec něco dobrého, není mu v tom jeho nízké postavení na překážku. Ve vztahu k společnosti žijeme svobodně a stejná svoboda panuje v každodenním vzájemném styku, kde neplatí žádné podezírání, kde se nehněváme na souseda, jestliže něco dělá podle své chuti, a nevyvoláváme mrzutosti, které sice nemusí být škodlivé, vyhlížejí však nepříjemně. V soukromém životě se chováme jeden k druhému bez vzájemného obtěžování a v životě veřejném nepřekračujeme zákony, především ze studu, posloucháme své spoluobčany, kteří právě zastávají úřady, a zákony, především ty, které byly dány na ochranu lidí, jimž bylo ukřivděno, a ty, které jsou sice nepsané, ale jejich porušení přináší podle obecného soudu hanbu.

Thúkydidés – Dějiny Peloponnéské války

Po dvaceti letech války však už situace vypadala zcela jinak.

Stejně však byl ještě svolán lid a rada zvolená hlasováním pomocí bobů, neradili se však o ničem jiném, než o tom, co rozhodli spiklenci, také řečníci byli vybráni z jejich řad a jejich řeči byly předem prodiskutovány. Nikdo z ostatních už proti tomu nemluvil, protože se každý zalekl, když viděl, jak početní jsou spiklenci. A když se někdo odvážil říci něco proti, hned byl nějakým vhodným způsobem sprovozen ze světa a po pachatelích se nepátralo, a bylo-li na někoho podezření, nebylo zaváděno soudní řízení. Lid byl zticha a byl tak zastrašen, že ten, kdo neutrpěl žádné násilí, i když nic neřekl, pokládal za úplnou výhru.

Thúkydidés – Dějiny Peloponnéské války

Goethův Faust a filosofie matematiky

Geschrieben steht: “Im Anfang war das Wort!”
Hier stock ich schon! Wer hilft mir weiter fort?
Ich kann das Wort so hoch unmöglich schätzen,
Ich muß es anders übersetzen,
Wenn ich vom Geiste recht erleuchtet bin.
Geschrieben steht: Im Anfang war der Sinn.
Bedenke wohl die erste Zeile,
Daß deine Feder dich nicht übereile!
Ist es der Sinn, der alles wirkt und schafft?
Es sollte stehn: Im Anfang war die Kraft!
Doch, auch indem ich dieses niederschreibe,
Schon warnt mich was, daß ich dabei nicht bleibe.
Mir hilft der Geist! Auf einmal seh ich Rat
Und schreibe getrost: Im Anfang war die Tat!

Johann Wolfgang Goethe – Faust

Zde: „Na počátku bylo slovo“ čtu.
Ale jak dále? Nesnáz je hned tu.
Nelze mi slovo přec tak v úctě míti.
Musím to jinak přeložiti;
ačli že duch mě řádně osvítil,
stojí tu: Pojem na počátku byl.
Dobře si rozvaž první řádku,
neukvapuj se na počátku!
Že vznikla by z pojmu všechna díla?
Má státi: Na počátku byla síla!
Leč ještě jsem to ani nenapsal,
a cos mě nutká, abych hledal dál.
A náhle osvícen, zřím do hlubin.
Já napíšu: Byl na počátku čin!

Johann Wolfgang Goethe – Faust

Výklad předchozích kapitol byl z jistého úhlu pohledu založen na konfrontaci základních postojů, které se tradičně objevují v otázkách filosofie matematiky, a to především proto, že jsou to základní otázky filosofie vůbec, totiž jak poznáváme svět a jak je toto poznání možné. K jejich přehledné artikulaci nám v tento moment poslouží úvodní Goethův citát a především doprovodné citáty pod ním, po řadě reprezentující
(1) Hilbertův formalismus (na počátku byl znak, smysly vnímatelný artefakt),
(2) Fregův platonismus (na počátku byl smysl znaku, to, co znak vyjadřuje),
(3) Brouwerův mentalismus (na počátku byla síla, původní intuice tvůrčího subjektu) a
(4) Wittgensteinův pragmatismus (na počátku byl čin, lidské jednání, jazyková hra),
se všemi komentáři a výhradami, které jsme k těmto doktrínám a jejich spojování s uvedenými jmény dosud uvedli.

Vojtěch Kolman – Filosofie čísel

Russell o bohatýrství ve vědě a filosofii

V prvé řadě jsem zjistil, že mnohé z běžných filosofických argumentů o matematice (většinou odvozené z Kanta) se zatím staly díky vývoji matematiky neplatnými. Neeuklidovská geometrie rozrušila argumentaci transcendentální estetiky. Weierstrass ukázal, že diferenciální a integrální počet nepotřebuje pojetí nekonečně malé veličiny a že proto vše, co filosofové řekli o takovýchto věcech, jako je spojitost prostoru, času a pochybu, je nutno považovat za čirý omyl. Cantor osvobodil pojetí nekonečného čísla od kontradikce a vypořádal se takto s Kantovými antinomiemi právě tak jako s mnohými antinomiemi Hegelovými. Konečně Frege ukázal, jak se dá aritmetika vyvozovat z teoretické logiky, aniž bychom potřebovali nějaké nové pojmy nebo axiómy, a tím vyvrátil Kantovo tvrzení, že „7 + 5 = 12“ je syntetickým soudem – alespoň v pochopitelné interpretaci tohoto tvrzení. Poněvadž všechny tyto výsledky nebyly získány nějakou bohatýrskou metodou, ale trpělivým zevrubným usuzováním, začal jsem si myslet, že filosofie patrně chybovala tím, že použila bohatýrských prostředků pro léčení intelektuálních nesnází a že by se řešení dalo nalézt prostě jen větší péčí a větší přesností. Toto stanovisko jsem začal postupem času stále horlivěji zastávat. Vedlo mne i k názoru, že snad filosofie jako obor, který se odlišuje od vědy a má svou vlastní metodu, není ničím jiným než neblahým dědictvím po teologii.

Bertrand Russell – Logický atomismus

Russell o příčině

All philosophers, of every school, imagine that causation is one of the fundamental axioms or postulates of science, yet, oddly enough, in advanced sciences such as gravitational astronomy, the word "cause" never occurs. Dr. James Ward, in his Naturalism and Agnosticism, makes this a ground of complaint against physics: the business of those who wish to ascertain the ultimate truth about the world, he apparently thinks, should be the discovery of causes, yet physics never even seeks them. To me it seems that philosophy ought not to assume such legislative functions, and that the reason why physics has ceased to look for causes is that, in fact, there are no such things. The law of causality, I believe, like much that passes muster among philosophers, is a relic of a bygone age, surviving, like the monarchy, only because it is erroneously supposed to do no harm.

Bertrand Russell – On the Notion of Cause

Všichni filosofové z nejrůznějších škol si představují, že kauzalita je jedním ze základních axiómů nebo postulátů vědy, i když, což je zvláštní, se v pokročilejších vědách, jako je například gravitační astronomie, slovo „příčina“ vůbec nevyskytuje. Dr. James Ward ve své práci Naturalism and Agnosticism z toho činí důvod stížnosti proti fyzice: úkolem těch, kteří chtějí zjistit poslední pravdy o světě, jak si zjevně myslí, mělo by být objevování příčin, nicméně fyzika je ani nehledá. Mě se zdá, že filosofie by si neměla přivlastňovat takové legislativní funkce a že důvodem, proč fyzika zanechala vyhledávání příčin, je to, že ve skutečnosti takové věci neexistují. Jsem přesvědčen, že zákon kauzality, podobně jako mnohé z toho, co obstojí v očích filosofů, je relikvie minulých věků, která přežívá jako monarchie jen proto, že se omylem má za to, že neškodí.

Bertrand Russell – O pojmu příčiny

Matematika a logika v Russellově pojetí

První věta prvního odstavce (nepočítaje úvod) Russellovy a Whiteheadovy knihy Principia Mathematica (k nahlédnutí zde) je, jak autoři sami přiznávají, poněkud překvapivá. Zcela jednoduše se zde definuje, co je to čistá matematika. To překvapuje i po více než stu letech.

Pure Mathematics is the class of all propositions of the form "p implies q," (...).

Bertrand Russell, Alfred Whitehead – Principia Mathematica

Čistá matematika je třída všech vět ve formě „z p plyne q“, (...).

Bertrand Russell, Alfred Whitehead – Principia Mathematica

O vztahu logiky a matematiky píše Russell ve svém Úvodu do matematické filosofie. Překlad je od Karla Berky.

Mathematics and logic, historically speaking, have been entirely distinct studies. Mathematics has been connected with science, logic with Greek. But both have developed in modern times: logic has become more mathematical and mathematics has become more logical. (...) If there are still those who do not admit the identity of logic and mathematics, we may challenge them to indicate at what point, in the successive definitions and deductions of Principia Mathematica, they consider that logic ends and mathematics begins. It will then be obvious that any answer must be quite arbitrary. (...) It used to be said that mathematics is the science of “quantity.” “Quantity” is a vague word, but for the sake of argument we may replace it by the word “number.” The statement that mathematics is the science of number would be untrue in two different ways. On the one hand, there are recognised branches of mathematics which have nothing to do with number—all geometry that does not use co-ordinates or measurement (...). On the other hand, through the definition of cardinals, through the theory of induction and ancestral relations, through the general theory of series, and through the definitions of the arithmetical operations, it has become possible to generalise much that used to be proved only in connection with numbers. The result is that what was formerly the single study of Arithmetic has now become divided into a number of separate studies, no one of which is specially concerned with numbers.

Bertrand Russell – Introduction to Mathematical Philosophy

Historicky řečeno byly matematika a logika zcela odlišnými obory. Matematika byla spjata s přírodními vědami, logika s humanitními. Obě se však v moderní době rozvinuly: logika se stala matematičtější a matematika logičtější. (...) Jestliže stále ještě existují lidé, kteří nechtějí uznávat totožnost logiky a matematiky, můžeme je vyzvat, aby nám ukázali, kde v posloupnosti definic a dedukcí v Principia Mathematica končí podle jejich názoru logika a začíná matematika. Pak bude zjevné, že jakákoli odpověď musí být zcela libovolná. (...) Obvykle se říká, že matematika je vědou o „kvantitě“. (...) Avšak tvrzení, že matematika je vědou o číslech, bylo by ze dvou důvodů nepravdivé. Na jedné straně existují uznávaná odvětví matematiky, která nemají s čísly vůbec co dělat, např. každá geometrie, jež nepoužívá souřadnic nebo numerických údajů. (...) Na druhé straně umožnily definice kardinálních čísel, teorie indukce a relací dědičnosti, obecná teorie řad a definice aritmetických operací zobecnit mnohé z toho, co se dříve zpravidla dokazovalo jen ve spojitosti s čísly. V důsledku toho se nyní začala dřívější oblast aritmetiky štěpit v řadu samostatných oborů, z nichž se žádný čísly speciálně nezabývá.

Bertrand Russell – Úvod do matematické filosofie

Russell nebyl od života odtržený matematik; tento text napsal ve vězení, kam se dostal pro své pacifistické názory.

Proč jsou některé tautologie zajímavé a jiné nikoli?

Ayer to připisuje tomu, že některé výroky prostě překračují jistou hranici toho, co může být umězenému rozumu jasné, i když samy o sobě jasné jsou. Celý anglický originál je tady.

But can we really allow that these theorems which fill so many books serve no other purpose than to say in a round about fashion „A =A“? (...) The true explanation is very simple. The power of logic and mathematics to surprise us depends, like their usefulness, on the imitations of our reason. A being whose intellect was infinitely powerful would take no interest in logic and mathematics. For he would be able to see at a glance everything that his definitions implied, and, accordingly, could never learn anything from logical inference which he was not fully conscious of already. But our intellects are not of this order. It is only a minute proportion of the consequences of our definitions that we are able to detect at a glance. Even so simple a tautology as „91 x 79 = 7189“ is beyond the scope of our immediate apprehension. To assure ourselves that „7189“ is synonymous with „91 x 79“ we have to resort to calculation, which is simply a process of tautological transformation that is, a process by which we change the form of expressions without altering their significance.

A. J. Ayer – Language, Truth and Logic

Ale můžeme skutečně připustit, že tyto teorémy, které naplňují tolik knih, neslouží žádnému jinému účelu, než oklikou říkat „A = A“? (...) Skutečné vysvětlení je velice jednoduché. To, že nás logika a matematika dokáží překvapovat, stejně tak jako jejich užitečnost, vychází z omezení našeho rozumu. Bytost, jejíž intelekt by měl nekonečnou moc, by se o logiku a matematiku nezajímala. Byla by totiž schopna jediným pohledem obsáhnout všechny důsledky svých definic, a nemohla by se tudíž z logických odvození nikdy dozvědět nic, co by si už plně neuvědomovala. Ale naše intelekty nejsou tohoto řádu. Jediným pohledem jsme schopni zjistit jenom mizivou část důsledků našich definic. I tak jednoduchá tautologie jako „91 x 79 = 7189“ hranice našeho bezprostředního nahlédnutí přesahuje. Abychom se ujistili, že „7189“ je synonymní s „91 x 79“, musíme se pustit do počítání, které je prostě procesem tautologické transformace – tj. procesem, při němž měníme formu výrazu, aniž bychom měnili jeho význam.

A. J. Ayer – Jazyk, pravda a logika