Goodsteinovy posloupnosti jsou rekurzivně definovány takto:
1) zvolme přirozené číslo m0 = m
2) převedeme všechna čísla větší jak 2 ve formuli pro výpočet m0 na součet mocnin 2. Např. m0 = 29 = 24 + 23 + 22 + 1 = 222 + 22 + 1 + 22 + 1
3) máme-li formuli pro výpočet mi, formuli pro výpočet mi+1 získáme tak, že všude ve formuli pro mi nahradíme číslo (i + 2) číslem (i + 3), přidáme -1 a upravíme formuli. Např.:
m0 = 222 + 22 + 1 + 22 + 1
m1 = 333 + 33 + 1 + 33 + 1 – 1 = 333 + 33 + 1 + 33
m2 = 444 + 44 + 1 + 44 - 1 = ...
Přesnější definici lze nalézt např. zde. Tato posloupnost, jak vidět, poměrně rychle roste, ale překvapivá Goodsteinova věta říká následující: Pro každé přirozené číslo m existuje přirozené číslo n takové, že mn = 0.
Tvrzení Goodsteinovy věty je pravdivé ve standardním modelu aritmetiky, je tedy bezesporné s axiomy Peanovy aritmetiky. Věta L. Kirbyho a J. Parise ukazuje, že v samotné Peanově aritmetice toto tvrzení nelze dokázat. Jinými slovy, negace Goodsteinovy věty je také bezesporná s axiomy Peanovy aritmetiky. To znamená, že Goodsteinova věta je příkladem tvrzení, které je v Peanově aritmetice nerozhodnutelné, ale je dokazatelné v teorii množin. Z axiomů teorie množin lze tedy o přirozených číslech dokázat více než z axiomů Peanovy aritmetiky. Tato skutečnost se překvapivě odráží i v samotné teorii množin. Teorie konečných množin, která vznikne z teorie množin, nahradíme-li axiom nekonečna jeho negací, je konzervativní rozšíření Peanovy aritmetiky. To znamená, že v teorii konečných množin se o přirozených číslech dají dokázat tytéž věty jako v Peanově aritmetice, tedy Goodsteinova věta zde není dokazatelná. Dostáváme se k zajímavému zjištění, že přijetím či odmítnutím axiomu nekonečna ovlivňuje dokazatelnost tvrzení o přirozených číslech, tedy tvrzení o konečných množinách.
1) zvolme přirozené číslo m0 = m
2) převedeme všechna čísla větší jak 2 ve formuli pro výpočet m0 na součet mocnin 2. Např. m0 = 29 = 24 + 23 + 22 + 1 = 222 + 22 + 1 + 22 + 1
3) máme-li formuli pro výpočet mi, formuli pro výpočet mi+1 získáme tak, že všude ve formuli pro mi nahradíme číslo (i + 2) číslem (i + 3), přidáme -1 a upravíme formuli. Např.:
m0 = 222 + 22 + 1 + 22 + 1
m1 = 333 + 33 + 1 + 33 + 1 – 1 = 333 + 33 + 1 + 33
m2 = 444 + 44 + 1 + 44 - 1 = ...
Přesnější definici lze nalézt např. zde. Tato posloupnost, jak vidět, poměrně rychle roste, ale překvapivá Goodsteinova věta říká následující: Pro každé přirozené číslo m existuje přirozené číslo n takové, že mn = 0.
Tvrzení Goodsteinovy věty je pravdivé ve standardním modelu aritmetiky, je tedy bezesporné s axiomy Peanovy aritmetiky. Věta L. Kirbyho a J. Parise ukazuje, že v samotné Peanově aritmetice toto tvrzení nelze dokázat. Jinými slovy, negace Goodsteinovy věty je také bezesporná s axiomy Peanovy aritmetiky. To znamená, že Goodsteinova věta je příkladem tvrzení, které je v Peanově aritmetice nerozhodnutelné, ale je dokazatelné v teorii množin. Z axiomů teorie množin lze tedy o přirozených číslech dokázat více než z axiomů Peanovy aritmetiky. Tato skutečnost se překvapivě odráží i v samotné teorii množin. Teorie konečných množin, která vznikne z teorie množin, nahradíme-li axiom nekonečna jeho negací, je konzervativní rozšíření Peanovy aritmetiky. To znamená, že v teorii konečných množin se o přirozených číslech dají dokázat tytéž věty jako v Peanově aritmetice, tedy Goodsteinova věta zde není dokazatelná. Dostáváme se k zajímavému zjištění, že přijetím či odmítnutím axiomu nekonečna ovlivňuje dokazatelnost tvrzení o přirozených číslech, tedy tvrzení o konečných množinách.
Bohuslav Balcar, Petr Štěpánek – Teorie množin
Žádné komentáře:
Okomentovat