Sociální mozek

Pořad, ve kterém František Koukolík vypráví o politickém a sociálním mozku je ke stažení na adrese: http://www.rozhlas.cz/_audio/vstupte-s-mudr-frantiskem-koukolikem-oni-a-my-socialni-mozek--02138259.mp3 .

Logika rozkazovacího způsobu

Klasická logika odpovídá oznamovacímu způsobu. O tom, jaké problémy mohou nastat, pokud se použije na rozkazovací způsob, svědčí následující příklad.

Víme, že v rámci klasické logiky jsou takřka triviálně správné úsudkové formy

A

---

A ∨ B

Bylo by ale rozumné říci, že díky tomu je zjevně platná i následující úsudková forma?

A!

---

(A ∨ B)!

Kladná odpověď je problematická.Konkretizujeme-li A jako výrok Odesíláš dopis a B jako Pálíš dopis, dostaneme úsudek:

Odešli tento dopis!

---

Odešli nebo spal tento dopis!

Vladimír Svoboda, Jaroslav Peregrin – Od jazyka k logice

Přesněji a lépe:

S odlišností interpretace příkazů a norem souvisí i tzv. Rossův paradox, který zároveň ukazuje, že výrokové spojky uvnitř modálních operátorů nelze překládat do přirozeného jazyka prvoplánově. Již v nejslabší námi uvažované deontické logice K je dokazatelná formule

(12) O A → O(A ∨ B).

Interpretujeme-li A jako „pošli tento dopis“ a B jako „spal tento dopis“, vyplývá při naivní interpretaci z (12) nesmyslná, že z příkazu „pošli tento dopis“ vyplývá příkaz „pošli nebo spal tento dopis“. Při správné interpretaci podle naznačené kripkovské sémantiky má však formule (12) rozumný význam (jestliže ve všech deonticky perfektních stavech světa platí A, pak v nich – pochopitelně – platí také A ∨ B).

Libor Běhounek – Formální sémantika logiky modalit

Gödel 1931 – Strukturovaná minirecenze

Název: Gödel 1931

Autoři: Frýdek Jaroslav, Včelař František, Zelinka Ivan

www: http://shop.ben.cz/sk/114177-godel-1931.aspx

Obor: Matematická logika

Co kniha obsahuje: Kniha má dvě části. V první části je výklad a komentář ke článku Kurta Gödela „O nerozhodnutelných větách v díle Principia Mathematica a příbuzných systémech I“ („Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I“). Autoři článek bod po bodu rozebírají a nevynechávají jedinou zajímavou větu, byť by to byla jen poznámka pod čarou. V druhé části je „všechno ostatní“, co se přímo k článku nevztahuje, ale souvisí s Gödelovým dílem a autoři to pokládali za nutné publikovat.

Co kniha neobsahuje: Kniha nezačíná od nuly, není to úvod do matematické logiky. Neobsahuje ani filosofii matematiky. Až na drobné zmínky se kniha zabývá pouze přirozenými čísly 0, 1, ... atd. Vyšší matematiku kniha neobsahuje. Bohužel, kniha neobsahuje původní znění Gödelova článku (ani v příloze). Tento je rozdroben po celé knize.

Doporučená literatura:
Vítězslav Švejdar: Logika: neúplnost, složitost a nutnost (http://www1.cuni.cz/~svejdar/book/LogikaSve2002.pdf)
Petr Štěpánek, Bohuslav Balcar: Teorie množin
Vojtěch Kolman: Logika Gottloba Frega

Klady: Není „o všem“ (tj. o ničem). Kniha se v první části tvořící většinu knihy soustřeďuje výhradně na Gödelův článek. Dokáže tak čtenáři zprostředkovat přímý kontakt s Gödelovým géniem. Tím tvoří velkou výjimku na českém trhu. Ten, kdo zná Gödelovu práci jen ze stručných výtahů, popř. jen z popularizačních knih, nedovede si představit jak nápaditá, tvořivá a přitom poctivá a řemeslně dokonalá Gödelova práce je. I když kniha neobjasňuje zcela všechny podrobnosti (což je dobře – nějaká příjemná práce na čtenáře zbude), přesto je průvodcem dobrým, nebo alespoň nejlepším, s jakým jsem se na českém trhu setkal.

Zápory: Grafika a především typografie, ale to je letitý problém BENu, za to autoři nemohou.

Pro koho kniha je: Pro každého, koho nevyděsí velmi jednoduché rovnice a má zájem o matematiku, výpočetní techniku, kybernetiku, umělou inteligenci, filosofii, anebo o jakýkoli obor vrcholné duševní činnosti. Ale i pro každého, kdo doposud takovéto zájmy nemá, nicméně chce vyzkoušet pravdivost mínění, že právě ona Gödelova práce takovéto zájmy vyvolává.

Pro koho kniha není: Pro toho, kdo o věc nemá skutečný zájem, nechce podstoupit duševní námahu, ale potřebuje jen vybrat pár frází do referátu. Tomu se budou takové věty těžko hledat.

Celkový dojem: Knihu musím rozhodně doporučit.

Filosofie a matematika – Bolzano a Frege

Nicht groß ist in unseren Tagen die Zahl der Philosophen, deren mathematisches Wissen viel über den Satz, daß A gleich A ist, hinausreicht. Noch kleiner ist jedoch die Zahl der Mathematiker, die zuzugestehen bereit sind, daß ihre eigene Wissenschaft durch Hilfe der Philosophie zu einer höheren Stufe der Vollkommenheit erhoben werden könnte (...).

Bernard Bolzano – Versuch einer objectiven Begründung der Lehre von den drei Dimensionen des Raumes

Za našich dnů je jen velmi málo filosofů, jejichž matematické vědění by sahalo dále než k větě, podle níž se A rovná A. Ještě menší počet je však matematiků, kteří jsou ochotni připustit, že by se jejich vlastní věda mohla pozvednout na vyšší stupeň dokonalosti s pomocí filosofie.

Bernard Bolzano – Pokus o objektivní zdůvodnění nauky o třech rozměrech prostoru

Jedenfalls müssen alle Mathematiker aufgegeben werden, die beim Aufstoßen von logischen Ausdrücken wie 'Begriff', 'Beziehung', 'Urtheil' denken: metaphysica sunt, non leguntur! (das ist Metaphysik, so etwas lesen wir nicht!) und ebenso die Philosophen, die beim Anblick einer Formel ausrufen: mathematica sunt, non leguntur! (das ist Mathematik, so etwas lesen wir nicht!)

Gottlob Frege – Grundgesetze der Arithmetik

Je nepochybné, že všichni matematikové, jakmile narazí při čtení na výrazy jako „pojem“, „relace“ či „soud“ vykřiknou „metaphysica sunt, non leguntur!“ (metafysika, to nečteme), zatímco ze strany filosofů spatřících formule zaznívá „mathematica sunt, non leguntur!“ (matematika, to nečteme).

Gottlob Frege – Základy aritmetiky

Goethe a Heidegger - dva citáty

Člověk sám o sobě, pokud užívá svých zdravých smyslů, je největší a nejpřesnější fyzikální přístroj, jaký může existovat, a je právě největším neštěstím novější fyziky, že experimenty jakoby oddšlila od člověka a chce poznávat přírodu pouze v tom, co ukazují přístroje, ba chce tím dokonce omezit a dokázat, co je příroda schopna vykonat.

Johann Wolfang Goethe - Výroky v próze

Heisenbergovou relací neurčitosti je člověk nakonec výslovně zahrnut do umělosti přístrojů a stává se jejich součástí. Z tohoto hlediska může ve všech předmětech potkat už jen sám sebe - ale co je tu pak on "sám"? (Instrumentace!)

Martin Heidegger - Věda a zamyšlení

Timoleón

Huic quidam Laphystius, homo petulans et ingratus, vadimonium cum vellet imponere, quod cum illo se lege agere diceret, et complures concurrissent, qui procacitatem hominis manibus coercere conarentur, Timoleon oravit omnes, ne id facerent. Namque id ut Laphystio et cuivis liceret, se maximos labores summaque adisse pericula. Hanc enim speciem libertatis esse, si omnibus, quod quisque vellet, legibus experiri liceret. Idem, cum quidam Laphystii similis, nomine Demaenetus, in contione populi de rebus gestis eius detrahere coepisset ac nonnulla inveheretur in Timoleonta, dixit nunc demum se voti esse damnatum: namque hoc a diis immortalibus semper precatum, ut talem libertatem restitueret Syracusanis, in qua cuivis liceret, de quo vellet, impune dicere.

Cornelius Nepos – Liber de excellentibud ducibus exterarum gentium

Když chtěl jakýsi Lafystios, člověk drzý a nevděčný, pohánět Tímolóna k soudu, protože, jak říkal, s ním má nějakou při, a sběhlo se mnoho lidí, kteří se snažili pěstmi potrestat opovážlivost toho člověka, prosil Tímoleón všechny, aby to nedělali. Proto totiž on podstoupil všechna nebezpečí a strasti, aby to bylo Lafystovi i komukoliv jinému dovoleno. To je totiž známnkou svobody, jestliže je všem dovoleno se soudit o cokoliv chtějí. Také, když někdo, podobný Lafystovi, jménem Deménetos, začal ve shromáždění lidu zlehčovat jeho činy a velice se na Tímoleónta obořil, řekl Tímoleón, že teprve nyní byly vyslyšeny jeho prosby, neboť toto že vždy žádal od nesmrtelných bohů, aby v Syrákúsách obnovil takovou svobodu, v níž by bylo komukoliv dovoleno beztrestně říkat, cokoliv chce.

Cornelius Nepos – Životopisy slavných vojevůdců

V Plútarchovi lze číst skoro doslova totéž.

Z těch dvou ho Lafystios při jakémsi právním jednání žádal o záruku, přičemž občané tropili hluk a chtěli tomu zabránit, ale Timoleón jim to nedovolil. Prohlásil totiž, že s radostí podstoupil tolik strastí a tolik nebezpečí proto, aby každý občan v Syrakusách, bude-li si to přát, mohl plně užívat zákonů. A potom Démainetos uvedl ve shromáždění lidu mnoho stížností na Timoleontovo vedení války, Timoleón mu vůbec neodpověděl, jen řekl, že je bohům zavázán díky za to, že mu vyplnili, oč prosil, aby totiž na vlastní oči spatřil, jak Syrakusané mají právo svobodně mluvit.

Plútarchos – Životopisy slavných Řeků a Římanů

Chůze

O tom, že pěší pochyb není nejméně efektivní způsob dopravy, ale je to něco, co má svou vlastní hodnotu, svědčí následující vzpomínka na Gottloba Frega.

Von ihm wurde erzählt, daß er, der hier zwar ord. Hon. Prof. war, zum Teil erst nach seinem Tode als ein ganz bedeutender Gelehrter erkannt worden ist. Er wanderte alljährlich zu Fuß mit seinem Hund an die See und schilderte mir gelegentlich, welchen großen Reiz es habe, wenn man ganz allmählich die noch fernen Linien der Berge am Horizont auftauchen wieder verschwinden sehe. Davon habe man sehr viel mehr als von der eiligen Eisenbahnfahrt. Es war sehr interessant, ihm dabei zuzuhören.

Nachlaß Alexander Cartillieri

Vyprávělo se o něm, že - ač byl řádným Honorarordinariem, proslavil se jako významný učenec dílem až po své smrti. Každoročně cestoval pěšky se svým psem k moři a líčil mi příležitostně, jak velké kouzlo mají chvíle, kdy se na horizontu pozvolna vynořují ještě vzdálené linie hor a kdy opět mizí. Z toho má člověk víc nežli ze spěšné jízdy vlakem. Bylo velmi zajímavé mu přitom naslouchat.

Z pozůstalosti Alexandra Cratillieriho

Sarkastický Frege

Celý text je zde na straně 133.

Byl jsem zpočátku příliš zaujat v dříve tak běžném přeceňování přemýšlení. Jen pozvolna jsem se dokázal propracovat k svobodnějšímu stanovisku. Není ve skutečnosti přemýšlení pro vědu častěji spíše překážkou nežli silou pohánějící vpřed? Kolik nepříjemných, vedlejších a cestu křížících otázek nám přemýšlení předhazuje; otázek, které by bez něho jednoduše vůbac nevznikly? Kolik sil je takovýmito otázkami odvráceno od hlavních problémů, a je tak pro pokrok vědy zcela ztraceno? O kolik stručnější, pohodlnější, ano, o kolik jasnější by bylo vše, kdybychom kameny vrhané myšlením do cesty nechali ležet stranou. S nepřemýšlením, tolik spřízněným s Léthé, je také – domnívám se – nalezen balzám, který utiší ony zkraje zmíněné útrapy. Čím déle jsem se zabýval souhrnem nauk, které mě podnítily k tomuto poznání, tím více jsem nabýval přesvědčení, že jejich pěstění zajistí u našich potomků konci devatenáctého století zvláštní slávu.

Gottlob Frege – O číslech pana H. Schuberta

Řeč, jazyk a počítač

Záznam přednášky prof. Eva Hajičové ke stažení zde (1. část) a zde (2. část).

O spravedlnosti

Haec itaque (ut ipsi appellant) bona quisquis patriae acquisierit, hoc est, qui eversis civitatibus, gentibusque deletis, aerarium pecunia referserit, agros ceperit, cives suos locupletiores fecerit; hic laudibus fertur in coelum, in hoc putatur summa et perfecta esse virtus. Qui error non modo populi et imperitorum, sed etiam philosophorum est; qui praecepta quoque dant ad iniustitiam, ne stultitiae ac malitiae disciplinae auctoritas desit.

Lactantius – Divinae Institutiones

Kdo tedy tato „dobra“, jak je oni nazývají, získá pro svou vlast, tzn. kdo vyvrácením obcí nebo zničením národů naplní obecní pokladnu, zabere pole, své spoluobčany učiní bohatšími, ten je vynášen chválou až k nebi – v tom prý je nejvyšší a dokonalá ctnost; to není pouze omyl lidu a nevzdělaných, ale také filosofů, kteří také dávají předpisy pro nespravedlivost, aby hlouposti a špatnosti nechybělo učení a autorita.

Lactantius – Divinae Institutiones

A jak to vypadá v praxi lze nalézt tamtéž.

Omnibus populis qui florerent imperio, et Romanis quoque ipsis qui totius orbis potirentur, si iusti velint esse, hoc est si aliena restituant, ad casa esse redeundum et in egestate ac miseriis iacendum.

Lactantius – Divinae Institutiones

Všechny národy, které vlastní kvetoucí říši, a i samotní Římané, kteří se zmocnili celého světa, museli by, kdyby chtěli být spravedliví, to jest, kdyby obnovili cizí práva, vrátit se do chatrčí a živořit v nouzi a bídě.

Lactantius – Divinae Institutiones

Kam o prádninách?

Do Sázavy na Letní filosofickou školu - Meditace o základech vědy. pozvánka je zde.

Mácha a logika

Mácha nastoupil studia filosofická a opět nový svět se mu otevřel, i nové poznání zjevily se v jeho po vědomostech prahnoucím duchu. Dosáhnuv zralejšího věku, nabyl živější obrazivosti a ráznější povahy. Že se myšlénky jeho pořádaly, že se systematičtějšími a logičtějšími staly, nebylo sice pouze výsledkem učení školního, nicméně přece naň silně působilo. Se zvláštní oblibou zanášel se umnicí neboli logikou, předmět to, jenž každému, byť se jakémukoli učení poddal, základem býti musí. Přednášky tyto, přísnou stručností se nad jiné vyznamenávající, nemálo vábily našeho Hynka, a tím mocněji jej poutaly, čím více poznával, že veškerá vzdělanost, nedostává-li se jí logické spořádanosti, již sama v sobě nedokonalá a vůbec nedostatečná jest. Nikdy na tom nepřestal, čehož mu jeho učitel byl poskytl, nýbrž hleděl dále, než školní učení dosahovalo, a hlouběji nahlížel v tuto základní vědu. Z podobných příčin vábila jej i vyšší matematika, ne však sama sebou, nýbrž jen co hlavní prostředek k bystření ostrovtipu. Láska k logice vedla jej i ve společenském životě – jakákoli rozprávka nelogická byla mu odporná, každá nespořádaná řeč se mu protivila a člověk takto mluvící působil mu dlouho chvíli. Tím mocněji jej vábila stručnost a určitost řeči, se kterou se arci u jiných zřídkakdy potkával.

Úvod povahopisný – Karel Sabina

Python a slovník

Nedařilo se mi do slovníku (dictionary) vložit víc než několik desítek milionů položek. Přitom paměti bylo víc než dost. Proto jsem napsal následující skript na zjištěná maximálního počtu položek, které lze do slovníku uložit.

i = 0
d = {}
try:
while True:
d[i] = i
i = i + 1
except MemoryError:
print i

Výsledný počet je 44739242. V hexadecimální soustavě je to 2AAAAAA, což vypadá podezřele. Upozornění: Skript může způsobit pád některých programů.

Řešení problému:

class Dict2:
 def __init__(self):
  self.dicts = [{}]
 def value(self, k):
  for dict in self.dicts:
   if k in dict:
    return dict[k]
 def isIn(self):
  for dict in self.dicts:
   if k in dict:
    return True
  return False
 def insert(self, k, d):
  for dict in self.dicts:
   if k in dict:
    dict[k] = d
    return
  try:
   self.dicts[0][k] = d
  except MemoryError:
   self.dicts.insert(0, {})
   self.dicts[0][k] = d

i = 0
d = Dict2()
try:
 while True:
  d.insert(i, i)
  i = i + 1
except MemoryError:
 print i

Funkcionální úplnost

V binární logice lze z operátoru NAND nebo NOR sestrojit libovolný jiný operátor, což lze snadno dokázat. Důkaz je uveden v každé knize typu "logik für frauzimmer". Že to jsou jediné operátory, které samotné tvoří funkcionálně úplnou množinu operátorů, lze také dokázat poměrně snadno.

Definice. Funkce je n-Shefferovská (nebo Shefferova), jestliže lze z ní konečným způsobem složit libovolnou funkci , kde .

Věta. Jestliže existuje existuje množina taková, že pro funkci platí , pak funkce není n-Shefferovská.
Důkaz. Pokud předpoklad tvrzení platí, pak nelze žádným způsobem z funkce složit funkci, která by pro nějaké nabývala hodnoty z neprázdné množiny . Proto funkce nemůže být n-Shefferovská.

Důsledek. Jestliže pro některé platí , pak funkce není n-Shefferovská.

Binárních operátorů na množině je jen 16. Ovšem ty, pro které platí , jsou jen čtyři. Dva z nich jsou však jenom unární operátory, které nemohou být 2-Shefferovské. Proto existují jen dvě 2-Shefferovské funkce.

Zajímavá je otázka: Kolik je obecně n-Shefferovskáých funkcí? Žádný vzorec se mi nepodařilo ani vymyslet, ani nalézt. Zdá se, že existuje pro každé konečné alespoň jedna. V oxfordském matematickém slovníku jsem nalezl tento předpis pro n-Shefferovskou funkci:

.

Říkají jí "Wenn funkce", což bude asi nějaké nedorozumění. Důkaz, že se skutečně jedná o n-Shefferovskou funkci jsem zatím nenašel. Pro žádné nekonečné žádná n-Shefferovská funkce neexistuje, protože funkcí je nespočetně mnoho, kdežto konečným způsobem lze složit jen spočetně mnoho funkcí.

Matematika je především drzost

Nowhere, then, on our real line—not at zero, nor to its left nor to its right, not sheltered among the rationals, nor masquerading as an irrational—can there be any number which is the square root of negative one. It is at this point that a deep quality of the mathematical art emerges—let’s call it the Alcibiades Humor. For Alcibiades was the infant terrible of ancient Athenian life at the time of Socrates: handsome and willful, outrageous and heroic, arrogant and playful, disrupter of dis course and envoy of passion to the feast of reason. Plutarch tells us that even as a boy, dicing in the street, he dared an angry carter to run him over—and of course the carter turned back. The Alcibiades Humor in mathematics is just this hubris, this refusal to stop playing when all seems lost.

Robert + Ellen Kaplan – The art of the infinity

Číslo, které je druhou odmocninou z mínus jedné, tedy nemůže být nikde na naší číselné ose – ne v nule, ne nalevo ani napravo od ní, nemůže se ukrývat mezi racionálními čísly, ani se maskovat jako číslo iracionální. Právě v tuto chvíli se vynoří hluboká kvalita matematického umění – nazvěme ji Alkibiadovým humorem. Protože Alkibiadés byl enfant terrible života ve starověkých Athénách v době Sókratově: krásný a tvrdohlavý, skandální a hrdinský, arogantní a hravý narušitel rozmluv a vyslanec vášně na hostině rozumu. Plútarchos nám říká, že když hrál, ještě jako chlapec, na ulici v kostky, vyzval rozzlobeného vozku, aby ho přejel – a vozka samozřejmě svůj vůz obrátil. Alkibiadův humor v matematice je právě tahle arogance, tohle odmítnutí přestat hrát, když se zdá být vše ztraceno.

Robert Kaplan, Ellen Kaplanová – Umění nekonečna