Výpočty

Výborná kniha o výpočtech je zde: nb.vse.cz/~cernym/vypocty.pdf. Doporučuji.

Mathesiovy Zpěvy staré Číny

Text je vysázen v LaTeXu, ale zatím jen tak nahrubo. PDF je zde. Ze souboru jsem vynechal osmou část připojenou v padesátých letech a to z estetických důvodů.

Daniel Kehlmann o Gaussovi a neeukleidovských geometriích

Kromě Petra Vopěnky se i Daniel Kehlmann pokusil o románové vysvětlení proč Gauss neoznámil veřejnosti objev neeukleidovské geometrie. Kniha sice právě v citované části obsahuje několik nesrovnalostí, ale to může být zaviněno překladem. Jinak jde o knihu poměrně čtivou.

Má nápad, který ještě nikomu jinému neprozradil. Zdá se mu totiž, že Eukleidovský prostor není, jak se to tvrdí v Kritice čistého rozumu, formou našeho nazírání samého, a to předcházející veškeré smyslové zkušenosti, ale je to spíš fikce. Jen krásný sen! Pravda je skutečně hrozivá. (...) Možná rovnoběžky vůbec neexistují. Možná, že prostor připouští, že můžeme vést jedním bodem nekonečně mnoho rovnoběžek pokud máme danou čáru a vedle ní bod. Jen jedno je ale jisté. Prostor je vrásčitý, zakřivený a velmi podivný. (...) Byl poslán na svět a vybaven rozumem, který téměř vše lidské znemožňuje, v době, kdy je každá práce ještě náročná, namáhavá a špinavá. (...) Myslel na poslední soud. Nevěřil, že se něco takového bude konat. Obžalovaní se mohou hájit. Některé protiotázky by Bohu určitě nebyly příjemné. Hmyz, špína, bolest. Samá nedostatečnost. Dokonce i v případě prostoru a času fušeřina! Pokud bude postaven před soud, má v úmyslu zavést řeč na pár věcí.

Daniel Kehlmann - Vyměřování světa

Russell o Gödelovi a Gödel o sobě a Russellovi

Chodíval jsem do (Einsteinova) domu jednou týdně diskutovat s ním, Gödelem a s Paulim. Tyto diskuse byly v jistém smyslu zklamáním, protože ačkoli všichni tři byli Židé v exilu a kosmopoliticky ladění, zjistil jsem, že všichni mají německý sklon k metafysice (...) Z Gödela se vyklubal nefalšovaný platonista a patrně věřil, že v nebi je uložené věčné "ne", a ctnostní logici se tam s ním posléze setkají.

Bertrand Russell - Autobiografie, IV. díl

Pokud jde o úryvek o mně (v Russellově autobiografii), musím říci (kvůli pravdě), že nejsem Žid (i když si myslím, že tento fakt je zcela nedůležitý), 2) že úryvek budí mylný dojem, že jsem vedl mnoho diskusí s Russelle,, což naprosto není pravda (vzpomínám si jen na jednu). 3) Pokud jde o můj "nefalšovaný" platonismus, není o nic více "nefalšovaný" než Russellův vlastní platonismus z roku 1921, kdy v Üvodu (ke své Matematické filosofii) napal: "Logika se zabývá reálným světem tak skutečně jako zoologie, i když se zabývá jeho abstraktnějšími a obecnějšími jevy". V této době zřejmě nacházel "ne" dokonce v tomto světě, ale později, pod vlivem Wittgensteina, se rozhodl to přehlédnout.

Kurt Gödel

O formálně nerozhodnutelných větách v díle Principia Mathematica a příbuzných systémech I

Pokud potřebujete český překlad článku Kurta Gödela "Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I", napište mi na email gopeith@gmail.com, popř. napište kontakt do diskuse. Jedná se o paralelní německo-český text. Překlad ještě potřebuje nějaké korekce a vyřešení několika problémů s LaTEXem, a proto tu není volně ke stažení. Ale navzdory své nedokonalosti jako učební text určitě poslouží.

Nabobové

Takoví nabobové se vyskytují mezi lidmi svým způsobem vzdělanými, či lépe řečeno mezi lidmi někdy i s dosti značnými znalostmi. Naprostý nevzdělanec, stejně jako opravdový vzdělanec, by nikdy nepřipadl na myšlenku, že již zná vše, co je množné znát. Něco takového může napadnou jen člověka samolibého, jenž navíc z příčiny tvrdé lbi získával své znalosti v potu tváře, takže posléze nabyl přesvědčení, že velikost vynaložené námahy odpovídá velikosti všech moudrostí světa.

Petr Vopěnka – Trýznivé tajemství

Gauss a neeukleidovské geometrie

Následující ukázka je z dopisu, který napsal Gauss (a nebo Gauß) svému příteli Taurinovi (1. pád Taurinus) v roce 1824. Do češtiny přeložil V. J. Hauner a je to čeština, která svou patinou nejlépe odpovídá Gaussově době. Pozměnil jsem text jen málo, a to je proto, aby mu bylo rozumět (např. odpor opravuji na rozpor). Kdo chce, ten si najde původní text v časopise Česká mysl.

Die Annahme, daß die Summe der 3 Winkel kleiner sei als 180°, führt auf eine eigne von der unsrigen (Euclidischen) ganz verschiedene Geometrie, die in sich selbst durchaus consequent ist, und die ich für mich selbst ganz befriedigend ausgebildet habe, so daß ich jede Aufgabe in derselben auflösen kann mit Ausnahme der Bestimmung einer Constante, die sich a priori nicht ausmitteln läßt. Je grösser man diese Constante annimmt, desto mehr nähert man sich der Euclidischen Geometrie und ein unendlich großer Werth macht beide zusammenfallen. Die Sätze jener Geometrie scheinen zum Theil paradox, und dem Ungeübten ungereimt; bei genauerer ruhiger Überlegung findet man aber, daß sie an sich durchaus nichts unmögliches enthalten. So z. B. können die drei Winkel eines Dreiecks so klein werden als man nur will, wenn man nur die Seiten groß genug nehmen darf, dennoch kann der Flächeninhalt eines Dreiecks, wie groß auch die Seiten genommen werden, nie eine bestimmte Grenze überschreiten, ja sie nicht einmahl erreichen. Alle meine Bemühungen einen Widerspruch, eine Inconsequenz in dieser Nicht-Euclidischen Geometrie zu finden sind fruchtlos gewesen, und das Einzige was unserm Verstande darin widersteht, ist daß es, wäre sie wahr, im Raum eine an sich bestimmte (obwohl uns unbekannte) Lineargrösse geben müßte. Aber mir deucht, wir wissen, trotz der Nichts Sagenden Wort-Weisheit der Metaphysiker eigentlich zu wenig oder gar nichts über das wahre Wesen des Raumes, als daß wir etwas uns unnatürlich vorkommendes mit Absolut Unmöglich verwechseln dürfen. Wäre die Nicht-Euclidische Geometrie die wahre, und jene Constante in einigem Verhältniße zu solchen Grössen die im Bereich unsrer Messungen auf der Erde oder am Himmel liegen, so ließe sie sich a posteriori ausmitteln. Ich habe daher wohl zuweilen im Scherz den Wunsch geäußert, daß die Euclidische Geometrie nicht die Wahre wäre, weil wir dann ein absolutes Maass a priori haben würden.

Předpoklad, že součet úhlů v trojúhelníku je menší než 180°, vede ke zvláštní geometrii, zcela rozdílné od naší (eukleidovské) a samé v sobě zcela konzistentní, již jsem pro sebe tak dostatečně vypracoval, že dovedu v ní každou úlohu rozřešiti, vyjímaje určení jisté konstanty, jež se a priori vyšetřiti nedá. Čím větší zvolíme tuto konstantu, tím více se přiblížíme geometrii Eukleidově a při nekonečné hodnotě (konstanty) obě splynou. Poučky oné geometrie zdají se částečně paradoxními a neznalci nesmyslnými; uvážíme-li si však věci klidně a bedlivě, shledáme, že neobsahují nic o sobě nemožného. Tak mohou např. tři úhly trojúhelníka se zmenšiti libovolně, smíme-li jen strany jeho zvoliti dosti velkými; přes to však plocha trojúhelníka, ať volíme strany jakkoli velké, nesmí překročiti určité meze, ba nesmí jí ani dosáhnouti. Veškera moje snaha shledati v této neeukleidovské geometrii rozpor, nedůslednost zůstala marnou, a jediné, co v ní našemu rozumu odporuje, jest, že by, když by byla pravdivá, nutně existovala v prostoru jistá určitá (třebas nám neznámá) lineární veličina. Mně však se zdá, že přes veškeru jalovou slovní moudrost metafysiků víme vlastně příliš málo nebo vůbec nic o pravé podstatě prostoru, i nesmíme stotožňovat s absolutně nemožným, co nám připadá nepřirozeným. Kdyby neeukleidovská geometrie byla pravdivou a ona konstanta v jakémsi poměru k veličinám ležícím na zemi nebo na nebi v dosahu našich měření, dala by se a posteriori vyšetřiti. Proto jsem někdy žertem vyslovil přání, aby eukleidovská geometrie nebyla pravou, poněvadž bychom pak měli a priori absolutní míru.

Proč Gauss své výsledky nepublikoval? Bylo to pro něj ono Trýznivé tajemství? Boylaimu staršímu píše Gauss v roce 1832:

Jetzt Einiges über die Arbeit Deines Sohnes. Wenn ich dam it anfange i dass ich volche nicht loben darf: so wirst Du wohl einen Augenblick stutzen : aber ich kann nicht anders; sie loben hiesse mich selbst loben : denn der ganze Inhalt, der Weg, den Dein Sohn eingeschlagen hat, und die Resultate, zu denen er geführt ist, kommen fast durchgehends mit meinen eigenen, zum Theile seit 30-35 Jahren angestellten Meditationen überein. In der That bin ich dadurch auf das Aeusserste überrascht. Mein Vorsatz war von meiner eigenen Arbeit, von der übrigens
bis jetzt wenig zu Papier gebracht war, bei meinen Lebzeiten gar nichts bekannt werden zu lassen. Die meisten Menschen haben gar nicht den rechten Sinn für das, worauf es dabei ankommt, und ich habe nur wenige Menschen gefunden, die das, was ich ihnen mittheilte, mit besonderm Interesse aufnahmen.

Nyní něco o práci Tvého syna. Zarazíš se na okamžik zajisté, začnu-li tím, že ji nesmím chválit - nemohu jinak, neboť chválit ji, bylo by chválit sama sebe; neboť celý obsah spisu, cesta, jíž se dal Tvůj syn, a výsledky, jichž dospěl, shodují se skorem naprosto s mými vlastními meditacemi, dílem již 30-35 roků starými. Mou zásadou bylo neoznámiti o své práci, z níž ostatně jen málo dosud přeneseno na papír, za svého života ničeho... Naproti tomu bylo mým úmyslem, časem vše tak přenésti na papír, aby to alespoň se mnou jednou nezašlo. – Jsem tudíž velmi překvapen vida, že ta námaha mi nyní bude ušetřena, a největším potěšením je mi, že právě syn mého starého přítele mne tak pozoruhodným způsobem předešel.

2. světová válka znamenala i konec jednoho mýtu

Die reine Zahlentheorie ist dasjenige Gebiet der Mathematik, das noch nie Anwendungen gefunden hat.

David Hilber (1930)

Čistá teorie čísel je taková část matematiky, pro kterou nebude žádná aplikace nalezena.

David Hilber (1930)

Real mathematics has no effect on war. No one has yet discovered any warlike purpose to be served by the theory of numbers or relativity; and it seems unlikely that anyone will do so for many years.

G. H Hardy - A Mathematician’s Apology (1940)

Opravdová matematika nemá žádný vojenský význam. Nikdo zatím neobjevil žádné vojenské využití teorie čísel nebo relativity; a nezdá se, že by k tomu během mnoha dalších let došlo.

G. H Hardy - A Mathematician’s Apology (1940)

It would not be an exaggeration to state that abstract cryptography is identical with abstract mathematics.

Abraham Adrian Albert (1941)

Bez nadsázky lze říci, že abstraktní kryptografie je totožná s abstraktní matematikou.

Abraham Adrian Albert (1941)

Proč Kant mohl pokládat matematické věty za syntetické?

V Kantových dnech byla matematika samotná logicky hluboko pod úrovní matematiky dnešní. Je naprostá pravda, že kdokoli se pokusí odvodit např. Eukleidovu sedmou větu z Eukleidových axiómů bez použití obrazce, zjistí, že je to neproveditelný úkol. V osmnáctém století pravděpodobně neexistoval ani jeden jediný logicky správný exemplář matematického uvažování, chci říci usuzování, ve kterém by byl závěr správně odvozen z autorem explicitně stanovených premis. Protože se však správnost závěru zdála nepochybná, bylo přirozené předpokládat, že matematický důkaz byl něco jiného než logický důkaz. Faktem ale je, že celý rozdíl nespočívá v ničem jiném, než v tom, že matematické důkazy byly zkrátka neplatné. Při důkladnějším zkoumání se ukázalo, že mnohé z vět, jež byly podle Kanta nezpochybnitelnými pravdami, byly ve skutečnosti nepravdivé. A ještě větší třída vět – např. výše zmíněná Eukleidova sedmá věta – může být rigidně odvozena z určitých premis, ačkoli není nijak jasné, zdali jsou tyto premisy samy pravdivé nebo nepravdivé.

Bertrand Russell – Principia Mathematica

Sociální mozek

Pořad, ve kterém František Koukolík vypráví o politickém a sociálním mozku je ke stažení na adrese: http://www.rozhlas.cz/_audio/vstupte-s-mudr-frantiskem-koukolikem-oni-a-my-socialni-mozek--02138259.mp3 .

Logika rozkazovacího způsobu

Klasická logika odpovídá oznamovacímu způsobu. O tom, jaké problémy mohou nastat, pokud se použije na rozkazovací způsob, svědčí následující příklad.

Víme, že v rámci klasické logiky jsou takřka triviálně správné úsudkové formy

A

---

A ∨ B

Bylo by ale rozumné říci, že díky tomu je zjevně platná i následující úsudková forma?

A!

---

(A ∨ B)!

Kladná odpověď je problematická.Konkretizujeme-li A jako výrok Odesíláš dopis a B jako Pálíš dopis, dostaneme úsudek:

Odešli tento dopis!

---

Odešli nebo spal tento dopis!

Vladimír Svoboda, Jaroslav Peregrin – Od jazyka k logice

Přesněji a lépe:

S odlišností interpretace příkazů a norem souvisí i tzv. Rossův paradox, který zároveň ukazuje, že výrokové spojky uvnitř modálních operátorů nelze překládat do přirozeného jazyka prvoplánově. Již v nejslabší námi uvažované deontické logice K je dokazatelná formule

(12) O A → O(A ∨ B).

Interpretujeme-li A jako „pošli tento dopis“ a B jako „spal tento dopis“, vyplývá při naivní interpretaci z (12) nesmyslná, že z příkazu „pošli tento dopis“ vyplývá příkaz „pošli nebo spal tento dopis“. Při správné interpretaci podle naznačené kripkovské sémantiky má však formule (12) rozumný význam (jestliže ve všech deonticky perfektních stavech světa platí A, pak v nich – pochopitelně – platí také A ∨ B).

Libor Běhounek – Formální sémantika logiky modalit

Gödel 1931 – Strukturovaná minirecenze

Název: Gödel 1931

Autoři: Frýdek Jaroslav, Včelař František, Zelinka Ivan

www: http://shop.ben.cz/sk/114177-godel-1931.aspx

Obor: Matematická logika

Co kniha obsahuje: Kniha má dvě části. V první části je výklad a komentář ke článku Kurta Gödela „O nerozhodnutelných větách v díle Principia Mathematica a příbuzných systémech I“ („Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I“). Autoři článek bod po bodu rozebírají a nevynechávají jedinou zajímavou větu, byť by to byla jen poznámka pod čarou. V druhé části je „všechno ostatní“, co se přímo k článku nevztahuje, ale souvisí s Gödelovým dílem a autoři to pokládali za nutné publikovat.

Co kniha neobsahuje: Kniha nezačíná od nuly, není to úvod do matematické logiky. Neobsahuje ani filosofii matematiky. Až na drobné zmínky se kniha zabývá pouze přirozenými čísly 0, 1, ... atd. Vyšší matematiku kniha neobsahuje. Bohužel, kniha neobsahuje původní znění Gödelova článku (ani v příloze). Tento je rozdroben po celé knize.

Doporučená literatura:
Vítězslav Švejdar: Logika: neúplnost, složitost a nutnost (http://www1.cuni.cz/~svejdar/book/LogikaSve2002.pdf)
Petr Štěpánek, Bohuslav Balcar: Teorie množin
Vojtěch Kolman: Logika Gottloba Frega

Klady: Není „o všem“ (tj. o ničem). Kniha se v první části tvořící většinu knihy soustřeďuje výhradně na Gödelův článek. Dokáže tak čtenáři zprostředkovat přímý kontakt s Gödelovým géniem. Tím tvoří velkou výjimku na českém trhu. Ten, kdo zná Gödelovu práci jen ze stručných výtahů, popř. jen z popularizačních knih, nedovede si představit jak nápaditá, tvořivá a přitom poctivá a řemeslně dokonalá Gödelova práce je. I když kniha neobjasňuje zcela všechny podrobnosti (což je dobře – nějaká příjemná práce na čtenáře zbude), přesto je průvodcem dobrým, nebo alespoň nejlepším, s jakým jsem se na českém trhu setkal.

Zápory: Grafika a především typografie, ale to je letitý problém BENu, za to autoři nemohou.

Pro koho kniha je: Pro každého, koho nevyděsí velmi jednoduché rovnice a má zájem o matematiku, výpočetní techniku, kybernetiku, umělou inteligenci, filosofii, anebo o jakýkoli obor vrcholné duševní činnosti. Ale i pro každého, kdo doposud takovéto zájmy nemá, nicméně chce vyzkoušet pravdivost mínění, že právě ona Gödelova práce takovéto zájmy vyvolává.

Pro koho kniha není: Pro toho, kdo o věc nemá skutečný zájem, nechce podstoupit duševní námahu, ale potřebuje jen vybrat pár frází do referátu. Tomu se budou takové věty těžko hledat.

Celkový dojem: Knihu musím rozhodně doporučit.

Filosofie a matematika – Bolzano a Frege

Nicht groß ist in unseren Tagen die Zahl der Philosophen, deren mathematisches Wissen viel über den Satz, daß A gleich A ist, hinausreicht. Noch kleiner ist jedoch die Zahl der Mathematiker, die zuzugestehen bereit sind, daß ihre eigene Wissenschaft durch Hilfe der Philosophie zu einer höheren Stufe der Vollkommenheit erhoben werden könnte (...).

Bernard Bolzano – Versuch einer objectiven Begründung der Lehre von den drei Dimensionen des Raumes

Za našich dnů je jen velmi málo filosofů, jejichž matematické vědění by sahalo dále než k větě, podle níž se A rovná A. Ještě menší počet je však matematiků, kteří jsou ochotni připustit, že by se jejich vlastní věda mohla pozvednout na vyšší stupeň dokonalosti s pomocí filosofie.

Bernard Bolzano – Pokus o objektivní zdůvodnění nauky o třech rozměrech prostoru

Jedenfalls müssen alle Mathematiker aufgegeben werden, die beim Aufstoßen von logischen Ausdrücken wie 'Begriff', 'Beziehung', 'Urtheil' denken: metaphysica sunt, non leguntur! (das ist Metaphysik, so etwas lesen wir nicht!) und ebenso die Philosophen, die beim Anblick einer Formel ausrufen: mathematica sunt, non leguntur! (das ist Mathematik, so etwas lesen wir nicht!)

Gottlob Frege – Grundgesetze der Arithmetik

Je nepochybné, že všichni matematikové, jakmile narazí při čtení na výrazy jako „pojem“, „relace“ či „soud“ vykřiknou „metaphysica sunt, non leguntur!“ (metafysika, to nečteme), zatímco ze strany filosofů spatřících formule zaznívá „mathematica sunt, non leguntur!“ (matematika, to nečteme).

Gottlob Frege – Základy aritmetiky

Goethe a Heidegger - dva citáty

Člověk sám o sobě, pokud užívá svých zdravých smyslů, je největší a nejpřesnější fyzikální přístroj, jaký může existovat, a je právě největším neštěstím novější fyziky, že experimenty jakoby oddšlila od člověka a chce poznávat přírodu pouze v tom, co ukazují přístroje, ba chce tím dokonce omezit a dokázat, co je příroda schopna vykonat.

Johann Wolfang Goethe - Výroky v próze

Heisenbergovou relací neurčitosti je člověk nakonec výslovně zahrnut do umělosti přístrojů a stává se jejich součástí. Z tohoto hlediska může ve všech předmětech potkat už jen sám sebe - ale co je tu pak on "sám"? (Instrumentace!)

Martin Heidegger - Věda a zamyšlení

Timoleón

Huic quidam Laphystius, homo petulans et ingratus, vadimonium cum vellet imponere, quod cum illo se lege agere diceret, et complures concurrissent, qui procacitatem hominis manibus coercere conarentur, Timoleon oravit omnes, ne id facerent. Namque id ut Laphystio et cuivis liceret, se maximos labores summaque adisse pericula. Hanc enim speciem libertatis esse, si omnibus, quod quisque vellet, legibus experiri liceret. Idem, cum quidam Laphystii similis, nomine Demaenetus, in contione populi de rebus gestis eius detrahere coepisset ac nonnulla inveheretur in Timoleonta, dixit nunc demum se voti esse damnatum: namque hoc a diis immortalibus semper precatum, ut talem libertatem restitueret Syracusanis, in qua cuivis liceret, de quo vellet, impune dicere.

Cornelius Nepos – Liber de excellentibud ducibus exterarum gentium

Když chtěl jakýsi Lafystios, člověk drzý a nevděčný, pohánět Tímolóna k soudu, protože, jak říkal, s ním má nějakou při, a sběhlo se mnoho lidí, kteří se snažili pěstmi potrestat opovážlivost toho člověka, prosil Tímoleón všechny, aby to nedělali. Proto totiž on podstoupil všechna nebezpečí a strasti, aby to bylo Lafystovi i komukoliv jinému dovoleno. To je totiž známnkou svobody, jestliže je všem dovoleno se soudit o cokoliv chtějí. Také, když někdo, podobný Lafystovi, jménem Deménetos, začal ve shromáždění lidu zlehčovat jeho činy a velice se na Tímoleónta obořil, řekl Tímoleón, že teprve nyní byly vyslyšeny jeho prosby, neboť toto že vždy žádal od nesmrtelných bohů, aby v Syrákúsách obnovil takovou svobodu, v níž by bylo komukoliv dovoleno beztrestně říkat, cokoliv chce.

Cornelius Nepos – Životopisy slavných vojevůdců

V Plútarchovi lze číst skoro doslova totéž.

Z těch dvou ho Lafystios při jakémsi právním jednání žádal o záruku, přičemž občané tropili hluk a chtěli tomu zabránit, ale Timoleón jim to nedovolil. Prohlásil totiž, že s radostí podstoupil tolik strastí a tolik nebezpečí proto, aby každý občan v Syrakusách, bude-li si to přát, mohl plně užívat zákonů. A potom Démainetos uvedl ve shromáždění lidu mnoho stížností na Timoleontovo vedení války, Timoleón mu vůbec neodpověděl, jen řekl, že je bohům zavázán díky za to, že mu vyplnili, oč prosil, aby totiž na vlastní oči spatřil, jak Syrakusané mají právo svobodně mluvit.

Plútarchos – Životopisy slavných Řeků a Římanů