Federico García Lorca - V některých duších

Hay almas que tienen
azules luceros,
mañanas marchitas
entre hojas del tiempo,
y castos rincones
que guardan un viejo
rumor de nostalgias
y sueños.

Otras almas tienen
dolientes espectros
de pasiones. Frutas
con gusanos. Ecos
de una voz quemada
que viene de lejos
como una corriente
de sombra. Recuerdos
vacíos de llanto
y migajas de besos.

Mi alma está madura
hace mucho tiempo,
y se desmorona
turbia de misterio.
Piedras juveniles
roídas de ensueño
caen sobre las aguas
de mis pensamientos.
Cada piedra dice:
"¡Dios está muy lejos!"

Federico García Lorca - Hay almas que tienen ...

Český překlad je dílem Miloslava Uličného.

V některých duších
jsou modré hvězdy,
v listoví času
povadlé dnění,
a čisté kouty,
ve kterých přežil
starý šum touhy
a snění.

A v jiných duších
ovoce s červy.
Přízraky vášní,
truchlivé scény.
Ozvěny hlasu,
jenž, popálený,
jako proud šera
z daleka letí.
Dávný zvuk pláče,
prach políbení.

Jak dávno zralou
duši mám, nevím
Pod tíhou tajů
rozpadá se mi.
Kameny mládí
zvětralé sněním
padají do vod
mých přemýšlení.
A praví: „Bůh je
daleko v nebi.“

Federico García Lorca - V některých duších ...

Russellův paradox

Co je podstatné u čistého matematického poznání a čím se odlišuje ode všeho jiného poznání a priori, je okolnost, že musí postupovat nikoli pomocí pouhých pojmů, nýbrž tak, že je názorně konstruuje.

Immanuel Kant – Prolegomena ke každé příští metafyzice, jež se bude moci stát vědou

Oponovat Kantově představě, že matematické pravdy nevycházejí analyticky z pojmů, ale jejich pravdivost vidíme pomocí názoru, lze nejlépe tak, že se vytvoří jakási „abeceda“ a mechanizmus, který dovede jednoznačně rozhodnout, která věta čisté matematiky napsaná touto „abecedou“ je pravdivá.

K tomu, aby se taková „abeceda“ dala vytvořit, ovšem zbývala jedna „maličkost“: bylo třeba posbírat a zinventarizovat všechny naše myšlenky a ideje, zjistit, pro které vyjádření nemáme, případně které vyjadřujeme nějak „nevhodně“, a tyto nedostatky a nesrovnalosti odstranit. Problém byl ovšem v tom, že nikdo neměl nejmenší ponětí, jak tohle udělat (...).

Jaroslav Peregrin – Co je to (Fregovská) Logika?

Mnohé kalkuly již pochopitelně existovaly. Ale čistou matematiku např. v Booleově logice v žádném případě v celé své složitosti vystavět nelze. Pojmové písmo, jak říká Gottlob Frege svému formálnímu jazyku, je geniálním pokusem, který se zdál zcela převrátit základy matematiky a zbavit je onoho Kantova názoru. Alespoň do roku 1901, kdy Bertrand Russell napsal Gottlobu Fregovi tento dopis.

Vážený pane kolego!

Již půldruhého roku znám Vaše „Základní zákony aritmetiky“, ale teprve nyní se mi podařilo najít čas na důkladnější studium, které jsem měl v úmyslu Vašim spisům věnovat. Shledal jsem, že jsem s Vámi ve všech hlavních věcech zcela zajedno, zvláště v zavržení každého psychologického momentu v logice a v ocenění významu pojmového písma pro základy matematiky a formální logiky, které lze od sebe ostatně stěží rozlišit. V mnoha jednotlivých otázkách našel jsem u Vás diskuse, rozlišení a definice, o kterých u ostatních logiků není ani zmínka. Zvláště ve věci funkce (§9 Vašeho Pojmového písma) jsem samostatně dospěl do detailu k týmž názorům. Pouze v jediném bodě jsem narazil na obtíž. Tvrdíte, že i funkce může být neurčitým elementem. Myslel jsem si to dříve také, avšak nyní o tom názoru pochybuji, a to s ohledem na následující spor. Budiž w predikát: být predikátem, který nemůže být predikován sám sobě. Může být w predikován sám sobě? Z každé odpovědi vyplývá opak. Proto musíme usoudit, že w není predikát. Právě tak neexistuje žádná třída (jako celek) takových tříd, které samy sobě jakožto celku nenáleží.

Chystám se dokončit knihu o principech matematiky a rád bych v ní o Vašem díle podrobněji pohovořil. Vaše knihy již mám nebo si je brzy koupím; ale byl bych Vám velmi vděčný, kdybyste mi mohl zaslat separáty Vašich článků v různých časopisech. Kdyby to ale nebylo možné, vyrobím si je v knihovně.

Exaktní rozpracování logiky je ve fundamentálních otázkách, kde symboly selhávají, velmi zaostalé; u Vás jsem nalezl to nejlepší, co je mi z naší doby známo, a proto si dovoluji vyjádřit Vám svůj nejhlubší respekt. Je politováníhodné, že jste ještě nedosáhl uveřejnění druhého dílu Vašich Základních zákonů; doufejme, že se tak stane.

S uctivým pozdravem,
Váš nejoddanější
Bertrand Russell

Výše uvedený spor vypadá v Peanově notaci takto:

A = {x;x ∉ x} → (A ∈ A ↔ A ∉ A)

Peanovi jsem o tom napsal, ale zůstal mi dlužen odpověď.

Použitá notace není Peanova, ale přepsal jsem ji do jednodušší notace. Ostatek přeložil Vojtěch Kolman a lze to nalézt v jeho knize Logika Gottloba Frega.

Hegel o povyku proti sofistice

Sein handelndes Wesen ist der ganze Geist, aber als Geist ist er sich seiner nicht bewußt, sondern was er sich bewußt wird, sind solche Gesetze, Regeln, allgemeine Sätze, die ihm im Bewußtsein für wahr gelten; und im Handeln widerlegt er selbst die Borniertheit seines Verstandes. Aber dies Bewußtsein spricht solches bestimmte Sein und das Sein überhaupt als absolutes Wesen aus und heißt dies sein Bewußtsein, seinen Verstand. Wenn der Begriff sich gegen diesen Reichtum, den es an Wahrheit zu besitzen glaubt, wendet und es die Gefahr für seine Wahrheit wittert (denn das Bewußtsein weiß, daß es nur insofern ist, als es Wahrheit hat) und seine festen Wesenheiten ihm verwirrt werden, so wird es aufgebracht; und der Begriff in dieser seiner Beziehung (Realisierung), daß er sich an die gemeinen Wahrheiten macht, zieht sich Haß und Schimpf zu. Dies ist das allgemeine Geschrei gegen die Sophisterei, ein Geschrei des gesunden Menschenverstandes, der sich nicht anders zu helfen weiß.

Georg Wilhelm Friedrich Hegel – Vorlesungen über die Geschichte der Philosophie

Ale prosté rozvažování si přitom není vědomo samo sebe jako ducha; co vstupuje do jeho vědomí, jsou takové určité zákony, pravidla a obecné poučky, jež prostému rozvažování platí jako absolutní pravda, jejichž omezenost ale samo vyvrací svým jednáním. Obrátí-li se pojem proti tomuto bohatství vědomí, o němž se vědomí domnívá, že je mu vlastní, větří v tom prosté vědomí nebezpečí pro své pravdy, bez nichž by nemohlo být. A jsou-li tyto pravdy převráceny, tu se prosté vědomí rozzuří a pojem si vyslouží jeho nenávist a nadávky za to, že se dotkl těchto pravd, aby se mohl uskutečnit. Proto takový všeobecný povyk proti sofistice; je to povyk „zdravého lidského rozumu“, jenž si nedovede jinak pomoci.

Georg Wilhelm Friedrich Hegel – Dějiny filosofie

Tento a další texty v německém originále jsou zde.

Pythagoras ve starověké anekdotě

φησὶ δ' Ἀπολλόδωρος ὁ λογιστικὸς ἑκατόμβην θῦσαι αὐτόν, εὑρόντα ὅτι τοῦ τριγώνου ὀρθογωνίου ἡ ὑποτείνουσα πλευρὰ ἴσον δύναται ταῖς περιεχούσαις. καὶ ἔστιν ἐπίγραμμα οὕτως ἔχον

ἤνυκε Πυθαγόρης τὸ περικλεές· εὕρατο γράμμα
κλεινὸς ἐφ' ᾧ κλεινὴν ἤγαγε βουθυσίην.

Διογένης Λαέρτιος – Βίοι καὶ γνῶμαι τῶν ἐν φιλοσοφίᾳ εὐδοκιμησάντων

Logik Apollodóros o něm poznamenává, že obětoval sto volů když objevil, že u pravoúhlého trojúhelníka je čtverec nad přeponou roven součtu čtverců nad odvěsnami. Zde je onen epigram:

Když Pythagoras rozřešil svůj velkolepý problém,

krev stovky volů prolil.

Diogenes Laertios – O životě a učení slavných filosofů

O jeden význam navíc má epigram jistého Börneho:

Als Pythagoras seinen bekannten Lehrsatz entdeckte, brachte er den Göttern eine Hekatombe dar. Seitdem zittern die Ochsen, sooft eine neue Wahrheit an das Licht kommt.

Aphorismen und Miszellen – Carl Ludwig Börne

Pythagoras obětoval sto volů, když dokázal 47. Eukleidovo tvrzení. Od těch dob se každý vůl třese vždy, když se objevuje nová pravda.

Aforismy a jiné – Carl Ludwig Börne

Česká Wikipedie připisuje tento citát jistému polskému básníkovi Julianu Tuwimovi. Berne je však asi o století starší.

Thúkydidovy Dějiny Peloponnéské války

Thúkydivody Dějiny obsahují mj. i soustu řečí. Především je to proslulá řeč, kterou pronesl Periklés při pohřbu prvních padlých ve válce, a ve které mluví o demokracii.

My totiž máme státní zřízení, které nepotřebuje nic závidět zákonům sousedů, spíš jsme sami příkladem jiným, než abychom druhé napodobovali. Říká se mu demokracie, vláda lidu, protože se opírá o většinu, ne jen o několik málo jednotlivců; podle zákonů mají všichni stejná práva, když jde o soukromé zájmy, pokud však jde o společenský význam, má při vybírání pro veřejné úřady každý přednost podle toho, v čem vyniká, podle schopností, ne podle své příslušnosti k určité skupině. Když je naopak někdo chudý schopen vykonat pro obec něco dobrého, není mu v tom jeho nízké postavení na překážku. Ve vztahu k společnosti žijeme svobodně a stejná svoboda panuje v každodenním vzájemném styku, kde neplatí žádné podezírání, kde se nehněváme na souseda, jestliže něco dělá podle své chuti, a nevyvoláváme mrzutosti, které sice nemusí být škodlivé, vyhlížejí však nepříjemně. V soukromém životě se chováme jeden k druhému bez vzájemného obtěžování a v životě veřejném nepřekračujeme zákony, především ze studu, posloucháme své spoluobčany, kteří právě zastávají úřady, a zákony, především ty, které byly dány na ochranu lidí, jimž bylo ukřivděno, a ty, které jsou sice nepsané, ale jejich porušení přináší podle obecného soudu hanbu.

Thúkydidés – Dějiny Peloponnéské války

Po dvaceti letech války však už situace vypadala zcela jinak.

Stejně však byl ještě svolán lid a rada zvolená hlasováním pomocí bobů, neradili se však o ničem jiném, než o tom, co rozhodli spiklenci, také řečníci byli vybráni z jejich řad a jejich řeči byly předem prodiskutovány. Nikdo z ostatních už proti tomu nemluvil, protože se každý zalekl, když viděl, jak početní jsou spiklenci. A když se někdo odvážil říci něco proti, hned byl nějakým vhodným způsobem sprovozen ze světa a po pachatelích se nepátralo, a bylo-li na někoho podezření, nebylo zaváděno soudní řízení. Lid byl zticha a byl tak zastrašen, že ten, kdo neutrpěl žádné násilí, i když nic neřekl, pokládal za úplnou výhru.

Thúkydidés – Dějiny Peloponnéské války

Goethův Faust a filosofie matematiky

Geschrieben steht: “Im Anfang war das Wort!”
Hier stock ich schon! Wer hilft mir weiter fort?
Ich kann das Wort so hoch unmöglich schätzen,
Ich muß es anders übersetzen,
Wenn ich vom Geiste recht erleuchtet bin.
Geschrieben steht: Im Anfang war der Sinn.
Bedenke wohl die erste Zeile,
Daß deine Feder dich nicht übereile!
Ist es der Sinn, der alles wirkt und schafft?
Es sollte stehn: Im Anfang war die Kraft!
Doch, auch indem ich dieses niederschreibe,
Schon warnt mich was, daß ich dabei nicht bleibe.
Mir hilft der Geist! Auf einmal seh ich Rat
Und schreibe getrost: Im Anfang war die Tat!

Johann Wolfgang Goethe – Faust

Zde: „Na počátku bylo slovo“ čtu.
Ale jak dále? Nesnáz je hned tu.
Nelze mi slovo přec tak v úctě míti.
Musím to jinak přeložiti;
ačli že duch mě řádně osvítil,
stojí tu: Pojem na počátku byl.
Dobře si rozvaž první řádku,
neukvapuj se na počátku!
Že vznikla by z pojmu všechna díla?
Má státi: Na počátku byla síla!
Leč ještě jsem to ani nenapsal,
a cos mě nutká, abych hledal dál.
A náhle osvícen, zřím do hlubin.
Já napíšu: Byl na počátku čin!

Johann Wolfgang Goethe – Faust

Výklad předchozích kapitol byl z jistého úhlu pohledu založen na konfrontaci základních postojů, které se tradičně objevují v otázkách filosofie matematiky, a to především proto, že jsou to základní otázky filosofie vůbec, totiž jak poznáváme svět a jak je toto poznání možné. K jejich přehledné artikulaci nám v tento moment poslouží úvodní Goethův citát a především doprovodné citáty pod ním, po řadě reprezentující
(1) Hilbertův formalismus (na počátku byl znak, smysly vnímatelný artefakt),
(2) Fregův platonismus (na počátku byl smysl znaku, to, co znak vyjadřuje),
(3) Brouwerův mentalismus (na počátku byla síla, původní intuice tvůrčího subjektu) a
(4) Wittgensteinův pragmatismus (na počátku byl čin, lidské jednání, jazyková hra),
se všemi komentáři a výhradami, které jsme k těmto doktrínám a jejich spojování s uvedenými jmény dosud uvedli.

Vojtěch Kolman – Filosofie čísel

Russell o bohatýrství ve vědě a filosofii

V prvé řadě jsem zjistil, že mnohé z běžných filosofických argumentů o matematice (většinou odvozené z Kanta) se zatím staly díky vývoji matematiky neplatnými. Neeuklidovská geometrie rozrušila argumentaci transcendentální estetiky. Weierstrass ukázal, že diferenciální a integrální počet nepotřebuje pojetí nekonečně malé veličiny a že proto vše, co filosofové řekli o takovýchto věcech, jako je spojitost prostoru, času a pochybu, je nutno považovat za čirý omyl. Cantor osvobodil pojetí nekonečného čísla od kontradikce a vypořádal se takto s Kantovými antinomiemi právě tak jako s mnohými antinomiemi Hegelovými. Konečně Frege ukázal, jak se dá aritmetika vyvozovat z teoretické logiky, aniž bychom potřebovali nějaké nové pojmy nebo axiómy, a tím vyvrátil Kantovo tvrzení, že „7 + 5 = 12“ je syntetickým soudem – alespoň v pochopitelné interpretaci tohoto tvrzení. Poněvadž všechny tyto výsledky nebyly získány nějakou bohatýrskou metodou, ale trpělivým zevrubným usuzováním, začal jsem si myslet, že filosofie patrně chybovala tím, že použila bohatýrských prostředků pro léčení intelektuálních nesnází a že by se řešení dalo nalézt prostě jen větší péčí a větší přesností. Toto stanovisko jsem začal postupem času stále horlivěji zastávat. Vedlo mne i k názoru, že snad filosofie jako obor, který se odlišuje od vědy a má svou vlastní metodu, není ničím jiným než neblahým dědictvím po teologii.

Bertrand Russell – Logický atomismus

Russell o příčině

All philosophers, of every school, imagine that causation is one of the fundamental axioms or postulates of science, yet, oddly enough, in advanced sciences such as gravitational astronomy, the word "cause" never occurs. Dr. James Ward, in his Naturalism and Agnosticism, makes this a ground of complaint against physics: the business of those who wish to ascertain the ultimate truth about the world, he apparently thinks, should be the discovery of causes, yet physics never even seeks them. To me it seems that philosophy ought not to assume such legislative functions, and that the reason why physics has ceased to look for causes is that, in fact, there are no such things. The law of causality, I believe, like much that passes muster among philosophers, is a relic of a bygone age, surviving, like the monarchy, only because it is erroneously supposed to do no harm.

Bertrand Russell – On the Notion of Cause

Všichni filosofové z nejrůznějších škol si představují, že kauzalita je jedním ze základních axiómů nebo postulátů vědy, i když, což je zvláštní, se v pokročilejších vědách, jako je například gravitační astronomie, slovo „příčina“ vůbec nevyskytuje. Dr. James Ward ve své práci Naturalism and Agnosticism z toho činí důvod stížnosti proti fyzice: úkolem těch, kteří chtějí zjistit poslední pravdy o světě, jak si zjevně myslí, mělo by být objevování příčin, nicméně fyzika je ani nehledá. Mě se zdá, že filosofie by si neměla přivlastňovat takové legislativní funkce a že důvodem, proč fyzika zanechala vyhledávání příčin, je to, že ve skutečnosti takové věci neexistují. Jsem přesvědčen, že zákon kauzality, podobně jako mnohé z toho, co obstojí v očích filosofů, je relikvie minulých věků, která přežívá jako monarchie jen proto, že se omylem má za to, že neškodí.

Bertrand Russell – O pojmu příčiny

Matematika a logika v Russellově pojetí

První věta prvního odstavce (nepočítaje úvod) Russellovy a Whiteheadovy knihy Principia Mathematica (k nahlédnutí zde) je, jak autoři sami přiznávají, poněkud překvapivá. Zcela jednoduše se zde definuje, co je to čistá matematika. To překvapuje i po více než stu letech.

Pure Mathematics is the class of all propositions of the form "p implies q," (...).

Bertrand Russell, Alfred Whitehead – Principia Mathematica

Čistá matematika je třída všech vět ve formě „z p plyne q“, (...).

Bertrand Russell, Alfred Whitehead – Principia Mathematica

O vztahu logiky a matematiky píše Russell ve svém Úvodu do matematické filosofie. Překlad je od Karla Berky.

Mathematics and logic, historically speaking, have been entirely distinct studies. Mathematics has been connected with science, logic with Greek. But both have developed in modern times: logic has become more mathematical and mathematics has become more logical. (...) If there are still those who do not admit the identity of logic and mathematics, we may challenge them to indicate at what point, in the successive definitions and deductions of Principia Mathematica, they consider that logic ends and mathematics begins. It will then be obvious that any answer must be quite arbitrary. (...) It used to be said that mathematics is the science of “quantity.” “Quantity” is a vague word, but for the sake of argument we may replace it by the word “number.” The statement that mathematics is the science of number would be untrue in two different ways. On the one hand, there are recognised branches of mathematics which have nothing to do with number—all geometry that does not use co-ordinates or measurement (...). On the other hand, through the definition of cardinals, through the theory of induction and ancestral relations, through the general theory of series, and through the definitions of the arithmetical operations, it has become possible to generalise much that used to be proved only in connection with numbers. The result is that what was formerly the single study of Arithmetic has now become divided into a number of separate studies, no one of which is specially concerned with numbers.

Bertrand Russell – Introduction to Mathematical Philosophy

Historicky řečeno byly matematika a logika zcela odlišnými obory. Matematika byla spjata s přírodními vědami, logika s humanitními. Obě se však v moderní době rozvinuly: logika se stala matematičtější a matematika logičtější. (...) Jestliže stále ještě existují lidé, kteří nechtějí uznávat totožnost logiky a matematiky, můžeme je vyzvat, aby nám ukázali, kde v posloupnosti definic a dedukcí v Principia Mathematica končí podle jejich názoru logika a začíná matematika. Pak bude zjevné, že jakákoli odpověď musí být zcela libovolná. (...) Obvykle se říká, že matematika je vědou o „kvantitě“. (...) Avšak tvrzení, že matematika je vědou o číslech, bylo by ze dvou důvodů nepravdivé. Na jedné straně existují uznávaná odvětví matematiky, která nemají s čísly vůbec co dělat, např. každá geometrie, jež nepoužívá souřadnic nebo numerických údajů. (...) Na druhé straně umožnily definice kardinálních čísel, teorie indukce a relací dědičnosti, obecná teorie řad a definice aritmetických operací zobecnit mnohé z toho, co se dříve zpravidla dokazovalo jen ve spojitosti s čísly. V důsledku toho se nyní začala dřívější oblast aritmetiky štěpit v řadu samostatných oborů, z nichž se žádný čísly speciálně nezabývá.

Bertrand Russell – Úvod do matematické filosofie

Russell nebyl od života odtržený matematik; tento text napsal ve vězení, kam se dostal pro své pacifistické názory.

Proč jsou některé tautologie zajímavé a jiné nikoli?

Ayer to připisuje tomu, že některé výroky prostě překračují jistou hranici toho, co může být umězenému rozumu jasné, i když samy o sobě jasné jsou. Celý anglický originál je tady.

But can we really allow that these theorems which fill so many books serve no other purpose than to say in a round about fashion „A =A“? (...) The true explanation is very simple. The power of logic and mathematics to surprise us depends, like their usefulness, on the imitations of our reason. A being whose intellect was infinitely powerful would take no interest in logic and mathematics. For he would be able to see at a glance everything that his definitions implied, and, accordingly, could never learn anything from logical inference which he was not fully conscious of already. But our intellects are not of this order. It is only a minute proportion of the consequences of our definitions that we are able to detect at a glance. Even so simple a tautology as „91 x 79 = 7189“ is beyond the scope of our immediate apprehension. To assure ourselves that „7189“ is synonymous with „91 x 79“ we have to resort to calculation, which is simply a process of tautological transformation that is, a process by which we change the form of expressions without altering their significance.

A. J. Ayer – Language, Truth and Logic

Ale můžeme skutečně připustit, že tyto teorémy, které naplňují tolik knih, neslouží žádnému jinému účelu, než oklikou říkat „A = A“? (...) Skutečné vysvětlení je velice jednoduché. To, že nás logika a matematika dokáží překvapovat, stejně tak jako jejich užitečnost, vychází z omezení našeho rozumu. Bytost, jejíž intelekt by měl nekonečnou moc, by se o logiku a matematiku nezajímala. Byla by totiž schopna jediným pohledem obsáhnout všechny důsledky svých definic, a nemohla by se tudíž z logických odvození nikdy dozvědět nic, co by si už plně neuvědomovala. Ale naše intelekty nejsou tohoto řádu. Jediným pohledem jsme schopni zjistit jenom mizivou část důsledků našich definic. I tak jednoduchá tautologie jako „91 x 79 = 7189“ hranice našeho bezprostředního nahlédnutí přesahuje. Abychom se ujistili, že „7189“ je synonymní s „91 x 79“, musíme se pustit do počítání, které je prostě procesem tautologické transformace – tj. procesem, při němž měníme formu výrazu, aniž bychom měnili jeho význam.

A. J. Ayer – Jazyk, pravda a logika

Popper o pojetí vědy

Chybné pojetí vědy se prozrazuje touhou mít pravdu; neboť to není vlastnictvím vědění, nevyvratitelné pravdy, co činí vědce vědcem, nýbrž jeho trvalé a na důsledky nehledící kritické hledání pravdy. Má být náš postoj resignací? Máme říci, že věda může splnit pouze svůj biologický úkol; že se může přinejlepším osvědčit v praktických aplikacích, které ji mohou koroborovat? Jsou její intelektuální problémy neřešitelné? Nemyslím si to. Věda nikdy nesleduje iluzorní cíl učinit své výpovědi definitivními, ba ani pravděpodobnými. Postupuje spíše k nekonečnému, a přesto dosažitelnému cíly: stálému objevování nových, hlubších a obecnějších problémů a podrobování našich vždy zkusmých odpovědí stále obnovovaným a stále přísnějším testům. (...) Myslím si, že si budeme muset zvyknout na myšlenku, že se na vědu nemůžeme dívat jako na „soubor vědění“, nýbrž spíše jako na systém hypotéz; to znamená na systém odhadů nebo anticipací, které v principu nemohou být zdůvodněny, s nimiž však věda pracuje, dokud tyto hypotézy obstojí v testech, a o nichž nemáme nikdy právo říkat, že jsou „pravdivé“ nebo „více či méně jisté“, ba ani „pravděpodobné“.

Karl Raimund Popper – Logika vědeckého bádání

Aforismy Francise Bacona

Text je ke stažení anglicky zde a latinsky zde.

Rationem humanam, qua utimur ad naturam, anticipationes naturae (quia res temeraria est et praematura), at illam rationem quae debitis modis elicitur a rebus, interpretationem naturae, docendi gratia, vocare consuevimus.

Francis Bacon – Novum Organum

Ponětí lidské, jež nyní máme většinou o přírodě, zovu obvykle „předem utvořeným ponětím o přírodě“ poněvadž jest věcí nerozvážnou a předčasnou.

Francis Bacon – Novum Organum

Intellectus humanus ex proprietate sua facile supponit majorem ordinem et aequalitatem in rebus, quam invenit.

Francis Bacon – Novum Organum

Lidské myšlení předpokládá vyšší míru řádu a souvislostí mezi věcmi, než jaká skutečně existuje.

Francis Bacon – Novum Organum

A ještě variace na známé téma:

Estque intellectus humanus instar speculi inaequalis ad radios rerum, qui suam naturam naturae rerum immiscet, eamque distorquet et inficit.

Francis Bacon – Novum Organum

Lidské myšlení je jako pokřivené zrcadlo, které odráží paprsky nepravidelně, křivě a kazí barvy přirozenosti přírody přimíšením své vlastní přirozenosti.

Francis Bacon – Novum Organum

Esencialismus versus nominalismus u Poppera

Methodological essentialists are inclined to formulate scientific questions in such terms as 'what is matter?' or 'what is force?', or 'what is justice?' and they believe that a penetrating answer to such questions, revealing the real or essential meaning of these terms and thereby the real or true nature of the essences denoted by them, is at least a necessary prerequisite of scientific research, if not its main task. Methodological nominalists, as opposed to this, would put their problems in such terms as 'how does this piece of matter behave?' or 'how does it move in the presence of other bodies?' For methodological nominalists hold that the task of science is only to describe how things behave, and suggest that this is to be done by freely introducing new terms wherever necessary, or by re-defining old terms wherever convenient while cheerfully neglecting their original meaning. For they regard words merely as useful instruments of description.

Karl Raimund Popper – The Poverty of Historicism

Metodologičtí esencialisté mají sklon formulovat své vědecké otázky tímto způsobem: „co je to hmota?“, „co je to síla?“ nebo „co je to spravedlnost?“, a jsou přesvědčeni, že pronikavá odpověď na takovou otázku, odhadující reálný či esenciální význam těchto výrazů – a tudíž reálnou a pravou přirozenost esencí jimi označovaných – je přinejmenším nezbytnou předběžnou podmínkou možnosti vědeckého výzkumu, ne-li jeho hlavním úkolem. Naopak metodičtí nominalisté nastolují problémy asi takto: „jak se tento kus hmoty chová?“ nebo „jak se pohybuje v přítomnosti dalších těles?“. Metodologičtí nominalisté totiž mají za to, že úkolem vědy je pouze popsat, jak se věci chovají, přičemž je možno svobodně zavádět nové výrazy bez ohledu na jejich původní význam. Slova totiž považují pouze za užitečné nástroje popisu.

Karl Raimund Popper – Bída historicismu

V čem se podobá starověká orientální a dnešní středoškolská matematika?

Člověk, který zná matematiku jen ze svých středoškolských studií, většinou matematiku vlastně vůbec nezná. Pokud by někdo o dnešní matematice soudil je se středoškolských učebnic, nejspíš by učinil stejné konstatování, jaké vyslovil Struik ve svých dějinách matematiky. Že to s dnešní matematikou není tak strašné naznačuje, že by to tak strašné nemuselo být ani se starověkou orientální matematikou. I když to nedokazuje nic.

Nowhere in all ancient Oriental mathematics do we find any attempt at what we call a demonstration. No argumentation was presented, but only the prescription of certain rules: “Do such, do so”. We are ignorant of the way in which the theorems were found: for instance, how did the Babylonians become acquainted with the theorem of Pythagoras? Several attempts exist to explain the way in which Egyptians and Babylonians obtained their results, but they are all of a hypothetical nature. To those way have been educated in Euclid’s strict argumentation, the entire Oriental way of reasoning seems at first strange and highly unsatisfactory. But this strangeness wears off when we realize that most of the mathematics we teach our present-day engineers and technicians is still of the “do such, do so” type, without much attempt at rigorous demonstration. Algebra is still being taught in many high schools as a set of rules rather than as a science of deduction. Oriental mathematics, in this respect, never seems to have been emancipated from the millennial influence of the problems in technology and administration, for the use of which it had been invented.

Dirk J. Struik – A concise history of mathematics

Nikde v celé starověké orientální matematice nenalezneme ani pokus o to, čemu říkáme důkaz. Nebyla podávána žádná argumentace, nýbrž jen popis jistých pravidel „udělej to tak a tak“. Není nám známo nic o způsobech, kterými byly věty odvozeny. Odkud třeba Babyloňané znali Pythagorovu větu? Různé snahy po objasnění způsobů, jakými Egypťané a Babyloňané dospěli ke svým výsledkům, však všechny spočívali na hypotézách. Nám, kteří jsme byli odchováni Euklidovou přesnou argumentací, zdá se celý tento orientální způsob myšlení na první pohled podivný a velmi neuspokojivý. Ale tato podivnost zmizí, uvědomíme-li si, že větší díl matematiky, kterou se učí dnešní naši inženýři a technici, je stále typu „udělej to tak a tak“, aniž by se příliš usilovalo o přesný důkaz. Na mnohých vysokých školách se algebra učí spíše jako sbírka pravidel než jako deduktivní věda. Zdá se, že orientální matematika se nikdy neosvobodila od tisíciletého vlivu technických a správních problémů, k jejichž řešení byla vytvořena.

Dirk J. Struik – Dějiny matematiky

Je apriorní nutně pravdivé?

Přísně vzato je následující myšlenka poněkud „vachrlatá“, ale byla by chyba ji proto jednoduše odmítnout.

Všechny hypotézy, všechny teorie jsou geneticky, co do svého vzniku, apriorní, ať už jsou vytvořeny dříve nebo později, ať už jsou součástí dějin druhu anebo součástí našeho individuálního života. Je jen nutno objasnit, že se Kant mýlil, když se domníval, že všechno, co je „a priori“, musí být pravdivé. Hypotézy jsou apriorní: a přesto mohou být nesprávné. Typický příklad: novorozenec očekává, že o něj bude pečováno. To může být tragický omyl a dítě pak zahyne. „A priori“ bylo sice z dobrého důvodu zakotveno v genomu, ale neexistuje žádná záruka, že se očekávání splní.“

Karl Raimund Popper, Konrád Lorenz – Budoucnost je otevřená