Proč jsou některé tautologie zajímavé a jiné nikoli?

Ayer to připisuje tomu, že některé výroky prostě překračují jistou hranici toho, co může být umězenému rozumu jasné, i když samy o sobě jasné jsou. Celý anglický originál je tady.

But can we really allow that these theorems which fill so many books serve no other purpose than to say in a round about fashion „A =A“? (...) The true explanation is very simple. The power of logic and mathematics to surprise us depends, like their usefulness, on the imitations of our reason. A being whose intellect was infinitely powerful would take no interest in logic and mathematics. For he would be able to see at a glance everything that his definitions implied, and, accordingly, could never learn anything from logical inference which he was not fully conscious of already. But our intellects are not of this order. It is only a minute proportion of the consequences of our definitions that we are able to detect at a glance. Even so simple a tautology as „91 x 79 = 7189“ is beyond the scope of our immediate apprehension. To assure ourselves that „7189“ is synonymous with „91 x 79“ we have to resort to calculation, which is simply a process of tautological transformation that is, a process by which we change the form of expressions without altering their significance.

A. J. Ayer – Language, Truth and Logic

Ale můžeme skutečně připustit, že tyto teorémy, které naplňují tolik knih, neslouží žádnému jinému účelu, než oklikou říkat „A = A“? (...) Skutečné vysvětlení je velice jednoduché. To, že nás logika a matematika dokáží překvapovat, stejně tak jako jejich užitečnost, vychází z omezení našeho rozumu. Bytost, jejíž intelekt by měl nekonečnou moc, by se o logiku a matematiku nezajímala. Byla by totiž schopna jediným pohledem obsáhnout všechny důsledky svých definic, a nemohla by se tudíž z logických odvození nikdy dozvědět nic, co by si už plně neuvědomovala. Ale naše intelekty nejsou tohoto řádu. Jediným pohledem jsme schopni zjistit jenom mizivou část důsledků našich definic. I tak jednoduchá tautologie jako „91 x 79 = 7189“ hranice našeho bezprostředního nahlédnutí přesahuje. Abychom se ujistili, že „7189“ je synonymní s „91 x 79“, musíme se pustit do počítání, které je prostě procesem tautologické transformace – tj. procesem, při němž měníme formu výrazu, aniž bychom měnili jeho význam.

A. J. Ayer – Jazyk, pravda a logika

Popper o pojetí vědy

Chybné pojetí vědy se prozrazuje touhou mít pravdu; neboť to není vlastnictvím vědění, nevyvratitelné pravdy, co činí vědce vědcem, nýbrž jeho trvalé a na důsledky nehledící kritické hledání pravdy. Má být náš postoj resignací? Máme říci, že věda může splnit pouze svůj biologický úkol; že se může přinejlepším osvědčit v praktických aplikacích, které ji mohou koroborovat? Jsou její intelektuální problémy neřešitelné? Nemyslím si to. Věda nikdy nesleduje iluzorní cíl učinit své výpovědi definitivními, ba ani pravděpodobnými. Postupuje spíše k nekonečnému, a přesto dosažitelnému cíly: stálému objevování nových, hlubších a obecnějších problémů a podrobování našich vždy zkusmých odpovědí stále obnovovaným a stále přísnějším testům. (...) Myslím si, že si budeme muset zvyknout na myšlenku, že se na vědu nemůžeme dívat jako na „soubor vědění“, nýbrž spíše jako na systém hypotéz; to znamená na systém odhadů nebo anticipací, které v principu nemohou být zdůvodněny, s nimiž však věda pracuje, dokud tyto hypotézy obstojí v testech, a o nichž nemáme nikdy právo říkat, že jsou „pravdivé“ nebo „více či méně jisté“, ba ani „pravděpodobné“.

Karl Raimund Popper – Logika vědeckého bádání

Aforismy Francise Bacona

Text je ke stažení anglicky zde a latinsky zde.

Rationem humanam, qua utimur ad naturam, anticipationes naturae (quia res temeraria est et praematura), at illam rationem quae debitis modis elicitur a rebus, interpretationem naturae, docendi gratia, vocare consuevimus.

Francis Bacon – Novum Organum

Ponětí lidské, jež nyní máme většinou o přírodě, zovu obvykle „předem utvořeným ponětím o přírodě“ poněvadž jest věcí nerozvážnou a předčasnou.

Francis Bacon – Novum Organum

Intellectus humanus ex proprietate sua facile supponit majorem ordinem et aequalitatem in rebus, quam invenit.

Francis Bacon – Novum Organum

Lidské myšlení předpokládá vyšší míru řádu a souvislostí mezi věcmi, než jaká skutečně existuje.

Francis Bacon – Novum Organum

A ještě variace na známé téma:

Estque intellectus humanus instar speculi inaequalis ad radios rerum, qui suam naturam naturae rerum immiscet, eamque distorquet et inficit.

Francis Bacon – Novum Organum

Lidské myšlení je jako pokřivené zrcadlo, které odráží paprsky nepravidelně, křivě a kazí barvy přirozenosti přírody přimíšením své vlastní přirozenosti.

Francis Bacon – Novum Organum

Esencialismus versus nominalismus u Poppera

Methodological essentialists are inclined to formulate scientific questions in such terms as 'what is matter?' or 'what is force?', or 'what is justice?' and they believe that a penetrating answer to such questions, revealing the real or essential meaning of these terms and thereby the real or true nature of the essences denoted by them, is at least a necessary prerequisite of scientific research, if not its main task. Methodological nominalists, as opposed to this, would put their problems in such terms as 'how does this piece of matter behave?' or 'how does it move in the presence of other bodies?' For methodological nominalists hold that the task of science is only to describe how things behave, and suggest that this is to be done by freely introducing new terms wherever necessary, or by re-defining old terms wherever convenient while cheerfully neglecting their original meaning. For they regard words merely as useful instruments of description.

Karl Raimund Popper – The Poverty of Historicism

Metodologičtí esencialisté mají sklon formulovat své vědecké otázky tímto způsobem: „co je to hmota?“, „co je to síla?“ nebo „co je to spravedlnost?“, a jsou přesvědčeni, že pronikavá odpověď na takovou otázku, odhadující reálný či esenciální význam těchto výrazů – a tudíž reálnou a pravou přirozenost esencí jimi označovaných – je přinejmenším nezbytnou předběžnou podmínkou možnosti vědeckého výzkumu, ne-li jeho hlavním úkolem. Naopak metodičtí nominalisté nastolují problémy asi takto: „jak se tento kus hmoty chová?“ nebo „jak se pohybuje v přítomnosti dalších těles?“. Metodologičtí nominalisté totiž mají za to, že úkolem vědy je pouze popsat, jak se věci chovají, přičemž je možno svobodně zavádět nové výrazy bez ohledu na jejich původní význam. Slova totiž považují pouze za užitečné nástroje popisu.

Karl Raimund Popper – Bída historicismu

V čem se podobá starověká orientální a dnešní středoškolská matematika?

Člověk, který zná matematiku jen ze svých středoškolských studií, většinou matematiku vlastně vůbec nezná. Pokud by někdo o dnešní matematice soudil je se středoškolských učebnic, nejspíš by učinil stejné konstatování, jaké vyslovil Struik ve svých dějinách matematiky. Že to s dnešní matematikou není tak strašné naznačuje, že by to tak strašné nemuselo být ani se starověkou orientální matematikou. I když to nedokazuje nic.

Nowhere in all ancient Oriental mathematics do we find any attempt at what we call a demonstration. No argumentation was presented, but only the prescription of certain rules: “Do such, do so”. We are ignorant of the way in which the theorems were found: for instance, how did the Babylonians become acquainted with the theorem of Pythagoras? Several attempts exist to explain the way in which Egyptians and Babylonians obtained their results, but they are all of a hypothetical nature. To those way have been educated in Euclid’s strict argumentation, the entire Oriental way of reasoning seems at first strange and highly unsatisfactory. But this strangeness wears off when we realize that most of the mathematics we teach our present-day engineers and technicians is still of the “do such, do so” type, without much attempt at rigorous demonstration. Algebra is still being taught in many high schools as a set of rules rather than as a science of deduction. Oriental mathematics, in this respect, never seems to have been emancipated from the millennial influence of the problems in technology and administration, for the use of which it had been invented.

Dirk J. Struik – A concise history of mathematics

Nikde v celé starověké orientální matematice nenalezneme ani pokus o to, čemu říkáme důkaz. Nebyla podávána žádná argumentace, nýbrž jen popis jistých pravidel „udělej to tak a tak“. Není nám známo nic o způsobech, kterými byly věty odvozeny. Odkud třeba Babyloňané znali Pythagorovu větu? Různé snahy po objasnění způsobů, jakými Egypťané a Babyloňané dospěli ke svým výsledkům, však všechny spočívali na hypotézách. Nám, kteří jsme byli odchováni Euklidovou přesnou argumentací, zdá se celý tento orientální způsob myšlení na první pohled podivný a velmi neuspokojivý. Ale tato podivnost zmizí, uvědomíme-li si, že větší díl matematiky, kterou se učí dnešní naši inženýři a technici, je stále typu „udělej to tak a tak“, aniž by se příliš usilovalo o přesný důkaz. Na mnohých vysokých školách se algebra učí spíše jako sbírka pravidel než jako deduktivní věda. Zdá se, že orientální matematika se nikdy neosvobodila od tisíciletého vlivu technických a správních problémů, k jejichž řešení byla vytvořena.

Dirk J. Struik – Dějiny matematiky

Je apriorní nutně pravdivé?

Přísně vzato je následující myšlenka poněkud „vachrlatá“, ale byla by chyba ji proto jednoduše odmítnout.

Všechny hypotézy, všechny teorie jsou geneticky, co do svého vzniku, apriorní, ať už jsou vytvořeny dříve nebo později, ať už jsou součástí dějin druhu anebo součástí našeho individuálního života. Je jen nutno objasnit, že se Kant mýlil, když se domníval, že všechno, co je „a priori“, musí být pravdivé. Hypotézy jsou apriorní: a přesto mohou být nesprávné. Typický příklad: novorozenec očekává, že o něj bude pečováno. To může být tragický omyl a dítě pak zahyne. „A priori“ bylo sice z dobrého důvodu zakotveno v genomu, ale neexistuje žádná záruka, že se očekávání splní.“

Karl Raimund Popper, Konrád Lorenz – Budoucnost je otevřená

Popper o tradici kritické diskuse

Následující výpisek je ze skvělého textu Vojtěcha Kolmana. Celé je to zde.

V čem spočívá tajemství řeckých učenců? Jaké podmínky umožnily vznik fenoménu, na nějž se v jeho podstatných rysech nezmohla žádná z civilizací po dalších tisíc let? Jak je možné, že v poměrně krátkém období mezi Thalétem a Platónem existoval v každé generaci nový originální a hluboký pokus o výklad světa? Popperova odpověď je výmluvná: příčinou rozkvětu řeckého génia byla nově vzniklá tradice – tradice kritické diskuse. Většina škol civilizací dávnověku měla více či méně religiózní charakter. Úkolem takovéto školy byla sotva kritika, ale spíše udržování tradice, nauky zakladatele, její předání dalším generacím. Jakákoli nová myšlenka je tedy nutně považována za kacířství a vede k rozkolu. Ale ani kacíř nechce vlastně nic jiného než návrat k myšlenkám zakladatele – jen má jiné mínění o jejich výkladu. Škola tohoto typu proto může být stěží živnou půdou nových a odvážných myšlenek. Náboženství pěstuje tradici dogmatickou, s kritickým myšlením zcela neslučitelnou. Jeho hlavními nástroji nejsou argumenty, ale články víry a anatémata. Kreativita a fantazie řeckých škol byla s výše načrtnutým v úplném rozporu. Anaximandros kritizoval svého učitele Thaléta, jednoho ze sedmi mudrců; v tradici nenacházíme ani náznak rozkolu. Je-li Popperova domněnka správná, založil Thalés tím, že dokázal unést kritiku, nový typus školy a tradice. Ta, narozdíl od spojitosti religiózních škol, vedla k pluralitě nauk, které pak mohly pomocí kritické diskuse usilovat o přiblížení k pravdě. Rozvojem a problematizací argumentačních postupů byl následně iniciován vznik logiky.

Vojtěch Kolman – Karl R. Popper „Logika jako organon kritiky“

Kolman cituje Poppera. Citovaná kniha je zde. Citována je str. 218. Citovaný text je tento:

Die Geschichte der Griechischen Philosophie von Thales bis zu Platon ist großartig. Sie ist fast zu schön, um wahr zu sein. In jeder Generation finden wir eine neue Philosophie, eine neue Kosmologie von atemberaubender Originalität und Tiefe. Wie war das möglich? Es gibt natürlich keine Erklärung für Origiinaletät und Tiefe. Aber man kann versuchen. Was war das Geheimnis der Denker des Altertums? Ich vermute, daß es eine neuentstandene Tradition war – die Tradition der kritischen diskussion. Ich will versuchen, das Problem etwas schärfer zu fassen. In allen oder fast allen Zivilisationen – oder in fast allen – finden wir so etwas wie religiöse und kosmologische Lehren, und in vielen Gesellschaften finden wir Schulen.

Karl Raimund Popper, Gretl Albert – Vermutungen und Widerlegungen

Polya o tázání

The mathematician as the naturalist, in testing some consequence of a conjectural general law by a new observation, addresses a question to Nature: I suspect that this law is true. Is it true?” If the consequence is clearly refuted, the law cannot be true. If the consequence is clearly verified, there is some indication that the law may be true. Nature may answer Yes or No, but it whispers one answer and thunders the other. Its Yes is provisional, its No is definitive.

George Polya – Mathematics and Plausible Reasoning

Matematik, podobně jako přírodovědec, ověřuje některé důsledky předpokládaného obecného zákona pomocí nového pozorování a obrací se na Přírodu s otázkou: „Mám podezření, že tento zákon platí. Platí opravdu?“ Jestliže nějaký důsledek zákon jasně vyvrací, pak tento zákon nemůže být pravdivý. Jestliže důsledek zákon jasně potvrzuje, pak máme určitou indikaci toho, že by zákon mohl být pravdivý. Příroda odpovídá „Ano“ nebo „Ne“, ale jednu odpověď šeptá a druhou křičí; její „Ano“ je podmíněné, její „Ne“ definitivní.

George Polya – Matematika a plausibilní uvažování

Anabaze

K tomuto zápisku mě nepodnítil autor ani překladatel, ale neznámý předchozí majitel knihy. Tento v Xenofontově Anabazi podtrhal několik málo míst, kde se Xenofón zmiňuje o řeckém náboženství. Nadšení většiny podtrhavačů naštěstí vyprchá během překladatelovy předmluvy, ale v mé knize je podtrháváno až do konce důsledně až na dvě zmínky, které byly opominuty. A domnívám se, že nikoli bezděčně, protože jako jediné nejsou tomuto náboženství příznivé. Zatímco první je úsměvná, druhá prokazuje bezmála zhoubnou pověrčivost. Dovolím si tedy malou schválnost a uvedu právě tyto dvě zmínky.

Tehdy pravil kterýsi z věštců, že je třeba větru obětovat, a tak se obětovalo. Všem se potom zdálo, že vítr polevil ve své prudkosti.

Xenofón – Anabaze

Vojáci již chodili před Xenofontův stan a volali, že nemají co jíst. On však prohlásil, že nevyrazí, pokud obětní znamení nedají souhlas.

Xenofón – Anabaze

O ideálu krásy

Jemand hat tausend erwachsene Mannspersonen gesehen. Will er nun über die vergleichungsweise zu schätzende Normalgröße urteilen, so läßt (meiner Meinung nach) die Einbildungskraft eine große Zahl der Bilder (vielleicht alle jene tausend) auf einander fallen; und, wenn es mir erlaubt ist, hiebei die Analogie der optischen Darstellung anzuwenden, in dem Raum, wo die meisten sich vereinigen, und innerhalb dem Umrisse, wo der Platz mit der am stärksten aufgetragenen Farbe illuminiert ist, da wird die mittlere Größe kenntlich, die sowohl der Höhe als Breite nach von den äußersten Grenzen der größten und kleinsten Staturen gleich weit entfernt ist; und dies ist die Statur für einen schönen Mann. (Man könnte ebendasselbe mechanisch herausbekommen, wenn man alle tausend mäße, ihre Höhen unter sich und Breiten (und Dicken) für sich zusammen addierte, und die Summe durch tausend dividierte. Allein die Einbildungskraft tut ebendieses durch einen dynamischen Effekt, der aus der vielfältigen Auffassung solcher Gestalten auf das Organ des innern Sinnes entspringt.) Wenn nun auf ähnliche Art für diesen mittlern Mann der mittlere Kopf, für diesen die mittlere Nase usw. gesucht wird, so liegt diese Gestalt der Normalidee des schönen Mannes, in dem Lande, wo diese Vergleichung angestellt wird, zum Grunde;

Immanuel Kant – Kritik der Urtheilskraft

Někdo viděl tisíc dospělých mužů. Chce-li nyní soudit o jejich normální velikosti, jež má být odhadnuta srovnáním, pak obrazotvornost (podle mého mínění) klade na sebe velký počet obrazů (možná všech tisíc); bude-li mi dovoleno použít zde analogie optického znázornění, v prostoru, kde se jich spojuje nejvíce, a uvnitř obrysu, kde je iluminováno místo s nejsilněji nanesenou barvou, tam je znatelná střední velikost, která je co do výšky i šířky vzdálena stejně od nejzazších hranic největších a nejmenších postav, a to je postava krásného muže. (Totéž by se dalo zjistit i mechanicky, kdybychom změřili všech tisíc, sečetli mezi sebou jejich výšky a zvlášť šířky (a tloušťky) a sumu dělili tisícem. Obrazotvornost to však provádí dynamickým efektem, který vzniká z mnohonásobného uchopení v orgánu vnitřního smyslu.) Jestliže je nyní podobným způsobem hledána pro toho středního muže střední hlava, pro tuto střední nos atd., pak jsou tyto proporce základem ideje normy krásného muže v té zemi, kde je srovnání prováděno.

Immanuel Kant – Kritika soudnosti

Co je to osvícenství?

Aufklärung ist der Ausgang des Menschen aus seiner selbst verschuldeten Unmündigkeit. Unmündigkeit ist das Unvermögen, sich seines Verstandes ohne Leitung eines anderen zu bedienen. Selbstverschuldet ist diese Unmündigkeit, wenn die Ursache derselben nicht am Mangel des Verstandes, sondern der Entschließung und des Muthes liegt, sich seiner ohne Leitung eines anderen zu bedienen. Sapere aude! Habe Muth dich deines eigenen Verstandes zu bedienen! ist also der Wahlspruch der Aufklärung. Faulheit und Feigheit sind die Ursachen, warum ein so großer Theil der Menschen, nachdem sie die Natur längst von fremder Leitung frei gesprochen, dennoch gerne Zeitlebens unmündig bleiben; und warum es Anderen so leicht wird, sich zu deren Vormündern aufzuwerfen. Es ist so bequem, unmündig zu sein. Habe ich ein Buch, das für mich Verstand hat, einen Seelsorger, der für mich Gewissen hat, einen Arzt der für mich die Diät beurtheilt, u. s. w. so brauche ich mich ja nicht selbst zu bemühen. Ich habe nicht nöthig zu denken, wenn ich nur bezahlen kann; andere werden das verdrießliche Geschäft schon für mich übernehmen. Daß der bei weitem größte Theil der Menschen (darunter das ganze schöne Geschlecht) den Schritt zur Mündigkeit, außer dem daß er beschwerlich ist, auch für sehr gefährlich halte (...).

Immanuel Kant – Beantwortung der Frage: Was ist Aufklärung?

Osvícenství je vystoupení člověka z nesvéprávnosti, kterou si sám způsobil. Ona nesvéprávnost je neschopnost vládnout sám svým vlastním rozumem bez cizího dozoru. Tuto nesvéprávnost jsme si způsobili sami, pakliže její příčina není nedostatečnost rozumu, ale je jí nedostatek rozhodnosti a odvahy používat rozum bez cizího vedení. Sapere aude! „Měj odvahu používat vlastní rozum!“ – to je heslo osvícenství. Kvůli lenosti a zbabělosti zůstala velká část lidstva raději nesvéprávná i přesto, že ji příroda zbavila závislosti. To kvůli lenosti a zbabělosti je pro jiné tak snadné uzurpovat si roli hlídače. Je to tak pohodlné zůstat nedospělým! Když mám knihu, která mi stanovuje význam, pastora, který pečuje o mé svědomí, doktora, který bdí nad mou stravou, nepotřebuji vynakládat vlastní síly. Nic mě nenutí myslet; když můžu, zaplatím si a jiní převezmou nezáviděníhodnou práci. Hlídači, kteří byli tak laskavi a převzali vrchní vedení, se postarají o to, aby daleko největší část lidstva, včetně celého „krásného pohlaví“, považovala krok ke zralosti nejen za těžký, ale také za velice nebezpečný (...).

Immanuel Kant – Odpověď na otázku: Co je to osvícenství?

Platón a věda

To, co dnes v našem pregnantním smyslu označujeme jako vědu, není vědou v historicky nejstarším smyslu přímo se uplatňujícího teoretického rozumu. Jen v určitém volném smyslu označujeme jako vědy filosofie předplatónské epochy nebo podobné kulturní útvary jiných národů a dob. Zůstávají pro nás platné jen jako předběžné formy, předstupně vědy. Věda v novém smyslu vyrůstá nejprve z platónského zdůvodnění logiky jako místa zkoumání bytostných požadavků „pravého“ vědění a „pravé“ vědy, a tudíž jako místa stanovování norem, v souladu s nimiž může být budována věda vědomě zaměřená na stálou normativní správnost a vědomě zdůvodňující svoji metodu a teorii. Svou intencí je toto logické zdůvodnění veskrze zdůvodněním z čistých principů. Věda v platónském smyslu nechce tedy už být pouze naivní činností z čistě teoretického zájmu. Činí si nárok na to, že každý krok, který činí, principiálně zdůvodní v jeho správnosti, v jeho nutné platnosti. Původní smysl přitom tedy spočívá v tom, že fakticky uplatňované metodě a faktickému utváření vědy předchází a prakticky je řídí principiální logický náhled čerpaný z čisté ideje možného poznání a metody poznání vůbec, nikoli ale v tom, že by se za normu smělo vydávat faktum nějak v naivitě vyrostlé metody a vědy, když jde o správné formování vědeckého názoru.

Edmund Husserl – Formální a transcendentální logika

Goodsteinova věta a axióm nekonečna

Goodsteinovy posloupnosti jsou rekurzivně definovány takto:
1) zvolme přirozené číslo m₀ = m
2) převedeme všechna čísla větší jak 2 ve formuli pro výpočet m₀ na součet mocnin 2. Např. m₀ = 29 = 2⁴ + 2³ + 2² + 1 = 2²² + 2^{2 + 1} + 2² + 1
3) máme-li formuli pro výpočet m_i, formuli pro výpočet m_i+1 získáme tak, že všude ve formuli pro m_i nahradíme číslo (i + 2) číslem (i + 3), přidáme -1 a upravíme formuli. Např.:
m₀ = 2²² + 2^{2 + 1} + 2² + 1
m₁ = 3³³ + 3^{3 + 1} + 3³ + 1 – 1 = 3³³ + 3^{3 + 1} + 3³
m₂ = 4⁴⁴ + 4^{4 + 1} + 4⁴ - 1 = ...

Přesnější definici lze nalézt např. zde. Tato posloupnost, jak vidět, poměrně rychle roste, ale překvapivá Goodsteinova věta říká následující: Pro každé přirozené číslo m existuje přirozené číslo n takové, že m_n = 0.

Tvrzení Goodsteinovy věty je pravdivé ve standardním modelu aritmetiky, je tedy bezesporné s axiomy Peanovy aritmetiky. Věta L. Kirbyho a J. Parise ukazuje, že v samotné Peanově aritmetice toto tvrzení nelze dokázat. Jinými slovy, negace Goodsteinovy věty je také bezesporná s axiomy Peanovy aritmetiky. To znamená, že Goodsteinova věta je příkladem tvrzení, které je v Peanově aritmetice nerozhodnutelné, ale je dokazatelné v teorii množin. Z axiomů teorie množin lze tedy o přirozených číslech dokázat více než z axiomů Peanovy aritmetiky. Tato skutečnost se překvapivě odráží i v samotné teorii množin. Teorie konečných množin, která vznikne z teorie množin, nahradíme-li axiom nekonečna jeho negací, je konzervativní rozšíření Peanovy aritmetiky. To znamená, že v teorii konečných množin se o přirozených číslech dají dokázat tytéž věty jako v Peanově aritmetice, tedy Goodsteinova věta zde není dokazatelná. Dostáváme se k zajímavému zjištění, že přijetím či odmítnutím axiomu nekonečna ovlivňuje dokazatelnost tvrzení o přirozených číslech, tedy tvrzení o konečných množinách.

Bohuslav Balcar, Petr Štěpánek – Teorie množin

Kolman o Bolzanově důkazu věty o mezihodnotě

V (...) okamžiku nejistoty o smysluplnosti logistických metod vstupuje do hry oficiální legenda. V ní jsme v první řadě vyzváni nahlížet význam rekurzivního teorému jako pokračování Bolzanova systematického úsilí o vytlačení názoru ze základů matematiky, např. v rámci důkazu o mezihodnotě. Teze jsou přitom následující:
1) Bolzano zbavil svými analytickými důkazy kalkulus potřeby geometrické opory, tj. závislosti na kantovském názoru prostoru.
2) Frege a Dedekind učinili totéž pro názor času, jehož role v aritmetice souvisí podle Kanta právě s rekurzivním, postupným zaváděním pojmů. Objekty či funkce nejsou definovány naráz, ale v konsekvencích fázích, odvolávajících se na fáze již realizované.
3) V podstatě se jedná o vytěsnění potenciálního nekonečna ve prospěch nekonečna aktuálního.
Tento příběh je ale jenom jiným dokladem toho, že se dějiny píší z pozic vítězů. Přitom jsme již naznačili, proč je tato pozice pochybná a zmíněné vítězství se může snadno ukázat jako vítězství Pyrrhovo:
4) Bolzano ve skutečnosti nemohl dokázat, že má každá spojitá funkce na kontinuu vlastnost mezihodnoty (intermediate-value property), protože nedisponoval jasným pojmem kontinua, a tedy pojmem aritmetické pravdy.

Vojtěch Kolman – Filosofie čísla

Otokar Březina – Stavitelé chrámu

Viděli jsme zástupy nesčíslné. Ponurou majestátností věcí
kráčeli smutni. Cizí byly si duše, jak by každá z jiného světa
po tajemném ztroskotání zachránila zem.
I snily o svých ztrátách.

O samotách uprostřed magických lesů, nad nimiž slunce
podobno ptáku se zlatými křídly nekonečnými brázdilo éter;
celým vesmírem letěla jeho píseň o slávě a života harmonického,
o zázracích tvůrčího jitra v zahradách země a podmořských nížin,
v modrých prériích vzduchu a vody:
v oceány se sklánělo v žízni a pijíc rozvlnilo je bouří,
v jeskyně ametystové pod ledovci západů do hnízda horských růží šlo spáti
a jeho sen viditelný, hra tisíců bratrských sluncí,
tančících v rytmech hudby melancholické, vznášel se nekonečnostmi
zářící láskou. Noc dávala hovořit květům o jejich léčivé síle
a opojení, jež dřímá v hroznech a máku. Znali jemná slova,
jež jako rozhozené zrní lákají ptáky. A zvířata lesní,
která neokusila krve, je přítulně navštěvovala.

Snili o městech, jež vládnou nad zeměmi. O rozkoši práce,
slavnostním zvonění kladiv, zkrocení ohně, závratích boje,
signálech jízdy, sladkosti nebezpečenství, hrdosti dávajících,
smělosti ruky, jež hází tajemné sítě nad národy,
a o slovech, jež jako smolné věnce padají na města nepřátelská.

O pýše orlů na horách osamělých, jejichž vířící křídla
rychlosti letu zdají se nehybně ztuhlá jak z kovu
a stačí zrakům protínajícím soumračný vesmír jak hvězdy.

O rozkoši zničení, triumfální jízdě cyklónů nad rovinami,
požárech lesů, ledových vichřicích pólů, o démonickém výsměchu živlů,
které v řinčení přetrhaných řetězů blesky vybíjejí se v chaos.

O tragické žízni hledajících, honbě, která tajemství stíhá
cestami nesčetných světů, ústících v jediném světě,
zmateně pobíhá tisíciletími, číhá na předvěkých pohřebištích
a jako na skoby řeřavé ještě, dokuté právě posledním úderem kladiv,
na slunce věší svá tenata neviditelná
a lovecké sítě spouští v plamenná moře, která je tráví
jak pavučiny. A odsouzená hledati věčně
mate se mlčeními, která si kolem ní odpovídají
v magických dotknutích rukou, v agónii mučených zvířat,
v početí zakrytém blesky, v šílenství ztrhaných zraků i v pýše
zahrabávající do země stopy, jimiž jsi kráčel.

Snili o rozkoších nejistoty a hry, rozčilení tržišť,
o zmatku tisíce jazyků, pokřikem plnících duši jak přístaviště,
kam ze všech moří se vracejí lodě a kde orgie bázní,
nadějí, krve a hříchu přehlušují hukot moří
a pozdravnou střelbu a orchestry přijíždějících.

A večer o sladkosti hudby táhnoucí nábřežími
jak éterná mlha, do níž se stápí tisíce světel,
nad řekami, jež jako žíly studené záře zdají se prýštit
z měsíce. O ženách záhadných, zemdlených tíží své krásy,
jež volají milence písněmi zádumčivými. A jejich šepot
a vlnění šatů zdá se zakleto v květech a dřímotě keřů:
bílé, ve fosforném jiskření drahokamů a rtů, halí se v soumrak,
jak by jich ruce, s pohyby hadů uspávaných kouzlem,
házely zrní magické vůně v srdce zapálená jich zraky
a v omamném kouři k odpovědi vyvolávaly duše mrtvých.

Ale nejposlednější ze všech (jak jsme zakvíleli láskou!)
miliony vyděděných, mravenci, kteří vyhrnuli se z lomů,
otroci, kteří plíží se žitím jak sady zapovězenými,
táhli kolem nás mlčky. Umdlená jejich duše neměla snů.
Jen jiskření očí při úderu rány neočekávané
viděli nad sebou klenutí nebes, zčernalé soumrakem věků,
jako strop ponuré dílny, zčazené prací tisíciletou:
dmychali větry do výhní pod obzorem, v Gehennu rudého žáru,
kde celé pralesy vyvrácené zdály se praskat vln ohnivou tíží,
a jako bubliny, vyfouklé ze skla, blankyty země objímající,
hrající duhou a modrem, kopule éterných paláců štěstí,
okna na vrcholu klenby pro světlo s výše, se tavily v páře
a kroužily pěnou po hladinách varu připraveného,
jehož reflex přes celý hvězdnatý zenit se šířil
a v sazích mraků se chytal jak zlatý písek slepený krví:
gigantské pohybující se stíny promítaly se na něm
jak obraz tajemného zápasu kolem věčných ohňů.

Mezi nimi šli stavitelé tvého chrámu. Ti jediní ze všech
poznávali se znameními. Jako slib jiných nebes a země
viděli hrůzu a nádheru věcí. V plnosti nesčíslných forem
cítili prvotní napětí tvého tvůrčího dechu,
jež jako Eliášovo světlo ze všech nejvyšších linií krásy se jiskří
nad krajinami oblaky věků zatíženými
a ranami blesků ochromí zčernalou ruku odvážlivého.
Vykoupením tajemné viny byla jim bolest a práce.
Jistotu cesty vnitřní radost, nepohnutá, bílá a silná jako slunce,
jež, třeba neviditelné uprostřed bouře a noci,
dle věčného zákona vládne zemí. Vítězů matku a sestru
ve květu tisíciletí, na rtech zardění jitřní, vítali ženu,
a souhvězdí letní Orel, Labuť, Delfín a Lyra
vstávala v záři do jejich nocí, po dni, který se dloužil.
K miliónům trpících bratří bylo poslání jejich
jako najmutí dělníků k stavbě. Ale aby žhavější byla
slova najímajících a ruce odměňujících horkostí touhy,
tvá spravedlnost, silná a vládnoucí smrtí,
rtům jejich odňala vzpomínku na všechnu sladkost země.