Poznámka Kurta Gödela k intuicionistické logice.

V každé (dobré) učebnici logiky se lze dočíst, že Kurt Gödel dokázal, že pokud neplatí zákon vyloučeného třetího (X nebo ne X), pak musí mít logika nekonečně mnoho pravdivostních hodnot. Každého, kdo něco takového vidí poprvé, musí zákonitě napadnout: Jak se, proboha, dá něco takového dokázat? Jak je u Gödela pravidlem, je v tom malá ale geniální finta. Jeho krátkou, ale důležitou poznámku přikládám. Je to německo-český zrcadlový text (v originále Zum intuitionistischen Aussagenkalkül). Je to jen necelá stránka textu, takže odvahy ke čtení není třeba nějak výjimečně mnoho. Překlad je můj. Veškeré připomínky vítám. Adresa: https://docs.google.com/open?id=0B3pp9Xdhjj-sMWUyZDM1MDktYzYwNy00MTIxLTk1NDMtNDMxMTRjODQ3NGQ4

Je Halting Problem výjimečný?

Mějme nějaký zcela libovolný problém P vyřešený počítačovým programem p se vstupem a. (Cokoli od hledání smyslu, života a vůbec po rozsvícení žárovky, anebo to může být úkol zaseknout se a nedělat nic.) Mějme počítačový program q se vstupem b, který řeší jiný problém. (Nechceme-li vstupy, mohu být příslušná vstupní data tzv. None. Programátoři vědí. Vstupem programu pochopitelně může být i kód programu.) Zápisem x značím kód programu a zápisem x(c) značím volání programu x se vstupem c. Ptejme se nyní: existuje program r, který má-li na vstupu kód x a datum c rozhodne, zda x(c) řeší problém P. Předpokládejme, že program r existuje. Pak lze napsat program (třeba v pythonu):

def  s(d):
    if r(d, d):
        q(b)
    else:
        p(a)

Ptejme se nyní, co udělá s(s)? Pokud s(s) řeší P, pak jej neřeší, protože se spustí q(b). Pokud jej však neřeší, pak jej řeší, protože se spustí p(a). V obou případech tedy dostáváme spor, což je další spor, a tedy program r nemůže existovat.

Pokud je formální systém tak složitý, že může zpracovávat kód jako datum (tzn. ani moc jednoduchý, ani moc složitý), pak není žádný problém rozhodnutelný. Na Halting Problému se to sice dobře ukazuje, ale nemyslím, že by obecný výše uvedený důkaz nějak komplikovaný. Tento důkaz není ani tak podobný Gödelovu/Rosserovu důkazu, protože tam je sebereference, která vede ke sporu s úplností, nikoli s její existencí. V tomto důkazu vede sebereference ke sporu s vlastní existencí. Z epistemického hlediska je tento důkaz podobný spíše diagonálnímu důkazu Cantorovu.

Přímým důsledkem této věty je fakt, že každý řešitelný problém lze řešit nekonečně mnoha navzájem velmi nepodobnými způsoby, jinými slovy, prostor pro kreativitu není omezen. Matematici tuto větu znají v podobě, která používá Gödelovo výrazivo: Množina kódů programu řešící nějaký problém je buď prázdná, nebo nerekursivní. Toto a mnohé jiné se můžete dočíst v připravované knize Michala Černého Výpočty: http://nb.vse.cz/~cernym/vypocty.pdf.

Důkaz 1

https://docs.google.com/document/pub?id=1SRmisGL0hrU6o1JAl2uBMmyvDXD5Xo5_176U5CR9330&embedded=true

Positivní disidentita v 18. století

Nejen zmiňované 18. stol., ale hlavně 20. stol. ve střední Evropě, přineslo zkušenost, že porušování zákona může být někdy i správné či dokonce nezbytné. Prosím, když je někomu víc než 70 let a celý život hlásá úctu k zákonu a nelpění na životě .. atd. vizte Kritóna ..., ale může si společnost dovolit vychovat elitu klepající se strachem před jakýmkoli zákonem? Když se níže hovoří o Rakousku, platí to pochopitelně i na Čechy a Moravu. Možná ještě víc než na to Rakousko.

The far greater number of those books which constitute the libraries of persons distinguished for taste and refinement, not merely in France or England, but even in Rome or Florence, are rigorously condemned, and their entry into Vienna is attended with no left difficulty than dander. It is indeed true, that notwithstanding every prohibition, knowledge insensibly pierces, and gradually diffuses itself over Austrian dominions.

 Nathaniel William Wraxall - Memories of the Courts of Berlin, Dresden, Warsaw and Vienna in the Years 1777, 1778, and 1779

Většina knih, které obsahují knihovny vkusu znalých a vzdělaných lidí nejen ve Francii a v Anglii, ale dokonce i v Římě a ve Florencii, je přísně zakázána a opatřit si je stejně obtížné jako nebezpečné. Je ovšem pravda, že přes všechny zákazy sem vzdělání ponenáhlu proniká a postupně se říší po rakouských zemích.

Nathaniel William Wraxall - Historie dvorů v Berlíně, Drážďanech, Varšavě a ve Vídni z let 1777, 1778 a 1779

Celá kniha (resp. její 2. svazek) je zde. Při čtení bude ze začátku asi působit potíže rozlišování písmen 's' a 'f'. ala na to si časem zvyknete.

Umberto Eco o kritériích vědy

Semiotics must proceed to isolate structures as if a definitive general structure existed; but to be able to do this one must assume that this global structure is a simply regulative hypothesis and that every time structure is described something occurs within the universe of signification which no longer makes it completely reliable. But this condition of imbalance and apparent lack of stability puts semiotics on a par with other disciplines such as physics, governed – as this latter is – by such methodological criteria as the indeterminacy or complementarity principles. Only if it acquires this awareness of its own limits, and avoids aspiring to an absolute form of knowledge, will one be able to consider semiotics as a scientific discipline.

Umberto Eco – A theory of semiotics

Sémiotika musí přistoupit k izolování struktur, jako kdyby existovala definitivní obecná struktura; aby však tohle mohla učinit, je třeba přijmout, že tato globální struktura je jen regulativní hypotézou a že pokaždé, kdy je struktura popisována, dochází uvnitř univerza signifikace k něčemu, co ji již nečiní dokonale spolehlivou. Tato podmínka nerovnováhy a zjevného nedostatku stability staví sémiotiku na stejnou úroveň s jinými disciplinami, jako např. s fyzikou, které se řídí – tak jako právě zmíněná fyzika – takovými metodologickými kritérii, jakými jsou neurčitost nebo principy komplementárnosti. Jedině pokud si budeme vědoma svých vlastních omezení a přestaneme usilovat o absolutní formu vědění, bude sémiotika moci být považována za vědeckou disciplinu. 

Umberto Eco – Teorie sémiotiky

Popularizace vědy a filosofie na BBC

Při vší úctě (která má ovšem klesající tendenci) k českému rozhlasu, takhle by to asi mělo vypadat: http://www.bbc.co.uk/radio4/features/in-our-time/ .

Vážnost matematiky v 13. stol.

Originál je napsaný arabsky, a proto se v tomto případě vzdám předsevzetí citovat původní zdroje. Český text je ze sborníku Křížové výpravy očima arabských kronikářů.

Mimo jiné císař al-Maliku al-Kámilovi poslal několik obtížných otázek z oblasti filosofie, geometrie a matematiky, aby vyzkoušel mudrce z jeho dvora. Sultán dotazy předal šejchovi ‘Alam-ad-Dín Qajsarovi, mistru těchto věd, a zbytek skupině mudrců, kteří na vše odpověděli. (...) Několikrát jsem s ním mluvil a shledal jsem, že se jedná o mimořádného muže, přítele dialektických věd, který uměl nazpaměť všech deset knih Eukleidovy geometrie.

 Ibn Wásil

Když potom přišel čas polední modlitby a zaznělo volání muezzina, všechna jeho pážata a sluhové a jeho učitel, Sicilian, s nímž četl různé kapitoly z (Aristotelovy) Logiky, se zvedli a kanonicky se pomodlili, neboť byli všichni muslimové.

Sibt ibn al-Džauzí

Zenón, Bertrand Russell Petr Vopěnka a nekonečně malé veličiny

Tvrzení, že Zenónův paradox lze jednoduše vyřešit důkazem konečnosti součtu nekonečné řady, je jen důsledek toho, že jsme si jeho paradox(y) právě tak „přeložili“. To je ovšem ten nejprimitivnější překlad, který neslouží ničemu jinému než k jednoduchému a úlevnému odmávnutí složitého a trýznivého problému, aniž by bylo potřeba se zabývat tím, co tento paradox skutečně obsahuje. Tímto obsahem je mj. otázka po povaze kontinua. A tedy i otázka po nekonečně malých veličinách, tj. oněch dx, dy, ..., které alespoň v symbolech v dnešní matematice zůstávají. Pokud však někdo alespoň pro zábavu upravovali diferenciální rovnice jako by šlo o skutečná čísla (jsem jedním z těchto hříšníků), tak nepostupoval v souladu s moderní matematikou. Ale lépe než já to uměl napsat Betrand Russell v roce 1901.

Weierstrass, by strictly banishing from mathematics the use of infinitesimals, has at last shown that we live in an unchanging world, and that the arrow in its flight is truly at rest. Zeno's only error lay in inferring (if he did infer) that, because there is no such thing as a state of change, therefore the world is in the same state at any one time as at any other. This is a consequence which by no means follows; and in this respect, the German mathematician is more constructive than the ingenious Greek. Weierstrass has been able, by embodying his views in mathematics, where familiarity with truth eliminates the vulgar prejudices of common sense, to invest Zeno's paradoxes with the respectable air of platitudes; and if the result is less delightful to the lover of reason than Zeno's bold defiance, it is at any rate more calculated to appease the mass of academic mankind. Zeno was concerned, as a matter of fact, with three problems, each presented by motion, but each more abstract than motion, and capable of a purely arithmetical treatment. These are the problems of the infinitesimal, the infinite, and continuity. To state clearly the difficulties involved, was to accomplish perhaps the hardest part of the philosopher's task. This was done by Zeno. From him to our own day, the finest intellects of each generation in turn attacked the problems, but achieved, broadly speaking, nothing. In our own time, however, three men – Weierstrass, Dedekind, and Cantor – have not merely advanced the three problems, but have completely solved them. The solutions, for those acquainted with mathematics, are so clear as to leave no longer the slightest doubt or difficulty. This achievement is probably the greatest of which our age has to boast; and I know of no age (except perhaps the golden age of Greece) which has a more convincing proof to offer of the transcendent genius of its great men. Of the three problems, that of the infinitesimal was solved by Weierstrass; the solution of the other two was begun by Dedekind, and definitively accomplished by Cantor.

Bertrand Russell – Mathematics And The Metaphysicians

Tím, že Weiestrass z matematiky striktně vymýtil užití nekonečně malých veličin, dospěl posléze k tomu, že žijeme neměnném světě a že letící šíp je skutečně v klidu. Jediný Zenónův omyl spočíval v dedukci toho (jestliže to vůbec učinil), že tedy svět – protože nic takového jako stav změny neexistuje – se nachází v kterémkoli čase v tomtéž stavu. To je důsledek, který z toho rozhodně neplyne, a v tomto ohledu je německý matematik mnohem konstruktivnější než geniální Řek. Tím, že Weiestrass ztělesnil své názory v rouchu matematiky, kde obeznámenost s pravdou eliminuje vulgární předsudky zdravého rozumu, byl s to dodat Zenónovým paradoxům pozoruhodnou tvářnost samozřejmosti, a je-li tento výsledek pro ctitele rozumu méně potěšitelný než Zenónův smělý vzdor, je to rozhodně více zaměřeno k tomu, aby se usmířila masa akademické populace. Zenón se ve skutečnosti zabýval třemi problémy. Každý z nich byl ve spojitosti s pohybem, ale každý z nich byl také abstraktnější než pohyb a dal se zpracovat čistě aritmetickým způsobem. Jsou to problémy nekonečně malého, nekonečně velkého a spojitosti. Stanovit jasně potíže, jež jsou s tím spjaty, znamenalo patrně realizovat největší součást úkolu filosofů. Zenónovi se to podařilo. Od té doby až po dnes se nejlepší myslitelé každé generace s těmito problémy postupně potýkali, ale prakticky bez úspěchu. Tři muži v naší epoše – Weiestrass, Dedekind a Cantor – však tyto problémy nejan rozvinuli, ale také je zcela vyřešili. Pro toho, kdo je obeznámen s matematikou, jsou tato řešení tak jasná, že již neznamenají ani tu nejmenší pochybnost či potíž. To je patrně největší úspěch, kterým se naše století může pochlubit. Neznám jiné století – snad s výjimkou zlatého věku Řecka – které může skýtat přesvědčivější důkaz transcendentního génia svých významných mužů. Z uvedených třech problémů vyřešil Weiestrass problém nekonečně malého; řešení zbylých dvou problémů započal Dedekind a definitivně ja dovršil Cantor. 

Bertrand Russell – Matematika a metafysikové

Opravdu?

Odmítnutí Newtonova a Leibnizova pojetí infinitesimálního kalkulu matematiky devatenáctého a dvacátého století – vyvolané ať už neochotou či neschopností domýšlet a dotvořit základní pojmy, o něž se původní pojetí tohoto kalkulu opíralo – bylo jedním z největších omylů nejen matematiky, ale evropské vědy vůbec. 

 Petr Vopěnka – Calculus infinitesimalis pars prima

O tom, že matematika s nekonečně malými veličinami může existovat, se můžete přesvědčit v knihách Calculus infinitesimalis pars prima/secunda.

Georg Cantor - Über eine elementare Frage der Mannigfaltigkeitslehre (O základním problému vědy o třídách)

Zde si můžete stáhnout v pdf zrcadlové německo-české vydání slavného Cantorova článku s diagonálním důkazem. I když je to poměrně jednoduchý text, činil mi překlad některých pojmů docela potíže. Například jsem se rozhodl překládat slovo "mächtigkeit" jako "třída", i když to by spíše slušelo slovu "klasse". Nabízela se také slova jako "soubor", "množství" nebo "mocnost", ale chtěl jsem, aby to slovo vzbuzovalo dojem něčeho co může být nevyčerpatelně hluboké, ale také něčeho co naopak někdy může být množinou. To současný pojem třída tak nějak splňuje. Mimochodem, říká se, že se Cantor zcela vyhnul slovu množina (menge), ale není to tak docela pravda. Připomínky, opravy a podobně věci prosím do diskuse.

Nepříliš krátký aforismus ze Seneky

Je škoda, že Seneca nebyl ve svých spisech hlubší, protože uměl psát dobře.

(...) nemo se avarum esse intellegit, nemo cupidum. Caeci tamen ducem quaerunt, nos sine duce erramus et dicimus, 'non ego ambitiosus sum, sed nemo aliter Romae potest vivere; non ego sumptuosus sum, sed urbs ipsa magnas impensas exigit; non est meum vitium quod iracundus sum, quod nondum constitui certum genus vitae: adulescentia haec facit'. Quid nos decipimus? non est extrinsecus malum nostrum: intra nos est, in visceribus ipsis sedet, et ideo difficulter ad sanitatem pervenimus quia nos aegrotare nescimus.

 SENECA – EPISTULAE MORALES AD LUCILIUM

Nikdo si neuvědomuje, že je lakomý, nikdo, že je chtivý. Slepci alespoň vyhledávají průvodce, my však bloudíme bez průvodce a říkáme: „Já nejsem ctižádostivý, ale v Římě nemůže nikdo žít jinak. Já nejsem marnotratný, ale město samo si vyžaduje veliké náklady. Není to moje slabost, že jsem hněvivý, že jsem se doposud neustálil v klidném způsobu života; to dělá moje mládí.“ Proč se obelháváme? Naše zlo není vně nás: je v nás, sedí v našich útrobách, a proto se můžeme jen nesnadno uzdravit, protože nevíme o své chorobě.

 Seneca – Listy Luciliovi

Pozvánka na konferenci Beyond AI

http://beyondai.zcu.cz

Aforismus od Michelangela

Non ha l’ottimo artista alcun concetto
c’un marmo solo in sé non circonscriva
col suo superchio, e solo a quello arriva
la man che ubbidisce all’intelletto.

Michelangelo Buonarroti

Nejlepší mistr na nic nepřipadne,
co by sám mramor neobsáhl v sobě
v přebytku hmoty, a k té prapodobě
dorazí ruka, kterou rozum vládne.

Michelangelo Buonarroti

Kružby v tesařství

Několik málo rad, jak kružby (Tracery) navrhovat a zhotovovat lze nalézt ve druhém svazku knihy Radford's Cyclopedia of Construction. Kniha zde, ukázky níže. Na zbytek příjdete sami nebo se inspirujte třeba zde.

Zvláštní povaha a příběh matematiky

Il n'y a sans doute qu'une science pour laquelle on ne puisse distinguer ces différents seuils ni décrire entre eux un pareil ensemble de décalages: les mathématiques, seule pratique discursive qui ait franchi d'un coup le seuil de la positivité, le seuil de l'épistémologisation, celui de la scientificité et celui de la formalisation. La possibilité même de leur existence impliquait que fût donné, d'entrée de jeu ce qui, partout ailleurs, demeure dispersé tout au long de l'histoire : leur positivité première devait constituer une pratique discursive déjà formalisée (même si d'autres formalisations devaient par la suite être opérées). De là le fait que leur instauration soit à la fois si énigmatique (si peu accessible à l'analyse, si resserrée dans la forme du commencement absolu) et si valorisée (puisqu'elle vaut en même temps comme origine et comme fondement); de là le fait que dans le premier geste du premier mathématicien, on ait vu la constitution d'une idéalité qui s'est déployée tout au long de l'histoire et n'a été mise en question que pour être répétée et purifiée; de là le fait que le commencement des mathématiques soit interrogé moins comme un événement historique qu'à titre de principe d'historicité; de là enfin le fait que, pour toutes les autres sciences, on rapporte la description de leur genèse historique, de leurs tâtonnements et de leurs échecs, de leur tardive percée, au modèle méta-historique d'une géométrie émergeant soudain et une fois pour toutes des pratiques triviales de l'arpentage. ... Modèle, les mathématiques l'ont été à coup sûr pour la plupart des discours scientifiques dans leur effort vers la rigueur formelle et la démonstrativité; mais pour l'historien qui interroge le devenir effectif des sciences, elles sont un mauvais exemple, -un exemple qu'on ne saurait en tout cas généraliser.

Michel Foucault – L’Archéologie du savoir

Nepochybně existuje pouze jedna věda, u níž nelze tyto různé prahy rozlišit ani popsat podobný soubor posunů mezi nimi: matematika, jediná diskursivní praxe, která překročila práh pozitivity, práh epistemologizace, práh vědeckosti a práh formalizace najednou. Sama možnost její existence implikuje, že zde již od počátku muselo být dáno to, co ve všech ostatních vědách zůstává rozptýleno po celém čase jejich dějin: její prvotní pozitivita musela být konstituována již formalizovanou diskursivní praxí (i kdyby ostatní formalizace měly být vypracovány až následně). Z toho plyne, že její nástup byl současně tak enigmatický (tak málo přístupný analýze, tak sevřený ve formě absolutního počátku) i tak cenný (neboť je cenný jako původ a současně jako založení); z toho také plyne, že se první gesto prvního matematika chápalo jako ustavení ideality, jež se rozvinula v celých dějinách a byla zpochybňována jen kvůli tomu, aby byla opakována a očišťována; rovněž z toho vyplývá, že počátek matematiky nebyl zkoumán tolik jako historická událost, ale spíš jako princip historičnosti; také z toho plyne, že se v případě ostatních věd popis jejich historické geneze, jejich tápání i jejich nezdarů, jejich pozdního proniknutí vztahuje k metahistorickému modelu geometrie, jež se náhle a jednou pro vždy objevila při triviální praxi vyměřování pozemků. ... Matematika byla zcela jistě pro většinu vědeckých diskursů modelem v jejich snaze o dosažení formální přísnosti a průkaznosti; pro historika, jenž zkoumá skutečný vývoj věd, je však špatným příkladem – příkladem, který by v žádném případě neměl být generalizován.

Michel Foucault – Archeologie vědění

Co dělat, když se objeví třetič

V originále "What to do when the trisector comes". Hezky česky je to "Co dělat, když se objeví třetič".