Je matematika psychologie?

Na chemii se (s přimhouřením jednoho oka) můžeme dívat jako na speciální část fyziky, ale, ačkoli jsou sochy dělané z kamene, není sochařství mineralogie. Matematická práce je nepochybně výsledkem činnosti lidské psychiky. Je to s matematikou jako s chemií, nebo jako se sochařstvím. Husserl nabízí takovouto odpověď:

Und trotz dieses "psychologischen Ursprungs" der arithmetischen Begriffe erkennt es jeder als eine fehlerhafte μετάβασις an, daß die mathematischen Gesetze psychologische sein sollen. Wie ist das zu erklären? Hier gibt es nur eine Antwort. Mit dem Zählen und dem arithmetischen Operieren als Tatsachen, als zeitlich verlaufenden psychischen Akten, hat es natürlich die Psychologie zu tun. Sie ist ja die empirische Wissenschaft von den psychischen Tatsachen überhaupt. Ganz anders die Arithmetik. Ihr Forschungsgebiet ist bekannt, es ist vollständig und unüberschreitbar bestimmt durch die uns wohlvertraute Reihe idealer Spezies 1, 2, 3 . . . Von individuellen Tatsachen, von zeitlicher Bestimmtheit ist in dieser Sphäre gar keine Rede. Zahlen, Summen und Produkte von Zahlen (und was dergleichen mehr) sind nicht die zufällig hier und dort vor sich gehenden Akte des Zählens, des Summierens und Multiplizierens usw. Selbstverständlich sind sie auch verschieden von den Vorstellungen, in denen sie jeweils vorgestellt werden. Die Zahl Fünf ist nicht meine oder irgend jemandes anderen Zählung der Fünf, sie ist auch nicht meine oder eines anderen Vorstellung der Fünf. In letzterer Hinsicht ist sie möglicher Gegenstand von Vorstellungsakten, in ersterer ist sie die ideale Spezies einer Form, die in gewissen Zählungsakten auf Seiten des in ihnen Objektiven, des konstituierten Kollektivum, ihre konkreten Einzelfälle hat. In jedem Falle ist sie ohne Widersinn nicht als Teil oder Seite des psychischen Erlebnisses, somit nicht als ein Reales zu fassen.

Edmund Husserl – Logische Untersuchungen I.

Navzdory tomuto "psychologickému původu" aritmetických pojmů uznává každý jako chybnou μετάβασις, že by matematické zákony měly být psychologické. Jak to vysvětlit? Zde existuje pouze jedna odpověď. Počítáním a aritmetickým operováním jakožto fakty, jakožto časově probíhajícími psychickými akty, se samozřejmě zabývá psychologie. Je přece empirickou o psychických faktech vůbec. Zcela jinak tomu je v aritmetice. Její výzkumné pole je známé, je úplné a nepřekročitelně určené nám dobře známou řadou ideálních species 1, 2, 3, ... O individuálních faktech, o časové určenosti se v této sféře vůbec nikde nemluví. Čísla, součty a součiny čísel (a podobně) nejsou nahodile tu či onde probíhající akty počítání, sčítání a násobení atd. Také se pochopitelně liší od představ, v nichž si je někdo představuje. Číslo pět není mé či někoho jiného počítání do pěti, není to ani má či někoho jiného představa pětky. Z hlediska představ je číslo pět možným předmětem aktů představování, z hlediska počítání je ideálním spesies, která má v jistých aktech počítání své konkrétní jednotlivé případy - podobně jako např. species barvy červeň v počitkových aktech červené. V každém případě ho nelze, aniž by to bylo protismyslné, pojímat jako část či stránku psychického prožitku, tudíž jako něco reálného.

Edmund Husserl – Logická zkoumání I.

Mathematical Expressions Generator

The following python code generates mathematical expressions using simple (slightly modified) generative grammar.

def gen(grammar, N, N_max, S):
 if N > N_max:
  return []
 result = []
 terminal = True
 for rule in grammar:
  for i in range(0, len(S)):
   ch = S[i]
   if ch == rule[0]:
    Snew = S[0:i] + rule[1] + S[(i + 1):len(S)]
    result = result + gen(grammar, N + 1, N_max, Snew)
    terminal = False
 if terminal:
  return [S]
 return list(set(result))

grammar = [
 ["S", "(S + S)"],
 ["S", "(S * S)"],
 ["S", "(S - S)"],
 ["S", "(-S)"],
 ["S", "x"],
 ["S", "y"],
 ["S", "z"],
 ["S", "0"],
 ["S", "1"],
 ["S", "2"],
 ["S", "3"],
]

for f in gen(grammar, 0, 4, "S"):
 print f

Output:

(y * (-0))
(3 + 1)
((-z) - 2)
((-y) * z)
(-(3 - x))
((-3) - z)
(3 * 1)
...
(-(2 * 2))

Dvě definice nekonečna

Pojem nekonečna se zde týká jen množin. Ale ani v tomto případě není pojem nekonečna jednoznačný, protože existuji přinejmenším dvě definice:

Definice. (Dedekind) Množina a je nekonečná, jestliže existuje množina b ∈ a taková, že existuje bijetkivní zobrazení z množiny b do množiny a.

Definice. (Tarský) Množina a je nekonečná, jestliže existuje ∅ ≠ b ⊆ P(a), kde P(a) je potenční množina množiny a, taková, že b nemá maximální prvek ve smyslu inkluze.

V Zermelo­-Fraenkelově teorii množin je dokazatelné, že každá množina konečná podle Tarského je také konečná podle Dedekinda (...). Máme­li k dispozici axiom výběru, je možno dokázat i druhou implikaci: Jestliže x není konečná podle Tarského, ukážeme matematickou indukcí, že každé přirozené číslo je možno vzájemně jednoznačně zobrazitelné do množiny x. Předpoklad AC zaručí, že množina x má nějakou mohutnost κ ; evidentně ω ∈ κ. Takže množinu ω můžeme vzájemně jednoznačně zobrazit na podmnožinu množiny x a na základě tohoto zobrazení sestrojíme vzájemně jednoznačné zobrazení množiny x na její vlastní část (ω lze vzájemně jednoznačně zobrazit např. na množinu sudých čísel), neboli x není konečná podle Dedekinda.

Antonín Sochor – Metamatematika teorií množin

V ZF je tedy vše v pořádku, protože definice jsou ekvivalentní. ZF teorie množin však není jediná teorie množin.

Naším cílem je nejprve ukázat obecnou metodu konstrukcí interpretací jak teorie množin bez axiomu fundovanosti v teorii množin bez axiomu fundovanosti, tak také interpretací teorie množin s atomy v teorii množin s atomy. Tuto obecnou metodu pak použijeme pro konstrukci tří interpretací, v jejichž smyslu bude po řadě platit:
(1) existuje množina, lineární uspořádání na každé jejíž části je dobrým uspořádáním, a tato množina není konečná podle Tarského, ale je konečná podle Dedekinda (viz dále); navíc tato množina nemá spočetnou část, a tedy neexistuje ani vzájemně jednoznačné zobrazení naší množiny do ω, ani vzájemně jednoznačné zobrazení ω do naší množiny;
(2) existuje množina, kterou lze lineárně uspořádat, kterou však nelze uspořádat dobře;
(3) sjednocení spočetně mnoha spočetných množin nemusí být spočetnou množinou.
Poznamenejme, že z kteréhokoli výše uvedeného tvrzení plyne negace axiomu výběru (...).

Antonín Sochor – Metamatematika teorií množin

Příslušná ukázka z knihy Metamatematika teorií množin je zde.

Důležitý homeomorfismus

Eukleidovský n-rozměrný prostor je množina E_n = {(x₁, ..., x_n) | x_i) ∈ R} a n-rozměrná sféra je množina S_n = {x| x ∈ E_n+1, ||x|| = 1}. Následující tvrzení poskytuje mj. návod, jak si představit situaci, kdy se rovnoběžky protínají v nekonečnu, anebo to, že v nekonečnu se neprotínají jen rovnoběžky, ale všechny přímky v eukleidovském prostoru.

Tvrzení. Buď s libovolný bod sféry S_n. Potom S_n - {s} je homeomorfní s E_n.

Důkaz. (...) Uvažujme zobrazení

E_n →_f S_n - {(0, ..., 0, 1)} →_g E_n

daná předpisy

f(x) = (4 x₁, ..., 4 x_n, x² - 4) / (x² + 4),

kde x² je skalární součin x x,

g(y) = 2(y₁, ..., y_n) / (1 - y^{n + 1}).

Zobrazení f skutečně zobrazuje s E_n do s S_n - {(0, ..., 0, 1)}, protože

||f(x)|| = √(16 x² + x⁴ - 8 x² + 16) / (x² + 4) = 1

a

(x² - 4) / (x² + 4) ≠ 1.

Zobrazení f a g jsou zřejmě spojitá a snadno se ověří, že platí fg(x) = x, gf(x) = x.

Více (o moc více) v knize Podprostory Euklidovských prostorů od Aleše Putra.

Cicero o probabilismu

Occuritur autem nobis, et quidem a doctis et eruditis quaerentibus, satisne constanter facere videamur, qui, cum percipi nihil posse dicamus, tamen et aliis de rebus disserere soleamus et hoc ipso tempore praecepta officii persequamur. Quibus vellem satis cognita esset nostra sententia. Non enim sumus ii, quorum vagetur animus errore nec habeat umquam quid sequatur. Quae enim esset ista mens vel quae vita potius, non modo disputandi, sed etiam vivendi ratione sublata? Nos autem, ut ceteri alia certa, alia incerta esse dicunt, sic ab his dissentientes alia probabilia, contra alia dicimus. Quid est igitur, quod me impediat ea, quae probabilia mihi videantur, sequi, quae contra improbare atque adfirmandi arrogantiam vitantem fugere temeritatem, quae a sapientia dissidet plurimum? Contra autem omnia disputantur a nostris, quod hoc ipsum probabile elucere non possit, nisi ex utraque parte causarum esset facta contentio.

Marcus Tullius Cicero – De officiis

Od lidí vzdělaných však slýchám námitku, zda jednám dosti důsledně, když na jedné straně tvrdím, že o ničem nelze nabýt úplné jistoty, a přece mezi jinými otázkami, o nichž pojednávám, podávám nyní dokonce i předpisy o povinnostech. Velice rád bych těmto lidem objasnil své stanovisko. Nejsem věru z těch, jejichž duch tápe v nejistotě a nemá nikde pevný cíl. Vždyť jaké by to bylo myšlení, jaký by to byl život, kdyby nám byla odňata možnost nejen rozumné výměny názorů, ale vůbec života rozumného! Já se liším od jiných, kteří některé věci nazývají jistými s jiné nejistými, jen tím, že jedny nazývám pravděpodobnými a jiné nikoliv. Co mi tedy brání, abych se nedržel toho, co se mi zdá pravděpodobným, a neodmítal to, co se mi naopak zdá pravděnepodobným, a abych se nevaroval domýšlivé jistoty ve svých tvrzeních, vyhýbaje se tak nerozvážnosti, jež je pravým opakem moudrosti? Naše škola však uvádí všechno v pochybnost jenom proto, že sama pravděpodobnost se nemůže stát zřejmou jinak, než když se zváží důvody uváděné z obou stran.

Marcus Tullius Cicero – O povinnostech

Plútarchos o fyzice a Platónovi

οὐ γὰρ ἠνείχοντο τοὺς φυσικοὺς καὶ μετεωρολέσχας τότε καλουμένους, ὡς εἰς αἰτίας ἀλόγους καὶ δυνάμεις ἀπρονοήτους καὶ κατηναγκασμένα πάθη διατρίβοντας τὸ θεῖον, ἀλλὰ καὶ Πρωταγόρας ἔφυγε, καὶ Ἀναξαγόραν εἱρχθέντα μόλις περιεποιήσατο Περικλῆς, καὶ Σωκράτης, οὐδὲν αὐτῷ τῶν γε τοιούτων προσῆκον, ὅμως ἀπώλετο διὰ φιλοσοφίαν. ὀψὲ δ᾽ ἡ Πλάτωνος ἐκλάμψασα δόξα διὰ τὸν βίον τοῦ ἀνδρός, καὶ ὅτι ταῖς θείαις καὶ κυριωτέραις ἀρχαῖς ὑπέταξε τὰς φυσικὰς ἀνάγκας, ἀφεῖλε τὴν τῶν λόγων τούτων διαβολήν, καὶ τοῖς μαθήμασιν εἰς ἅπαντας ὁδὸν ἐνέδωκεν.

Πλούταρχος – Βίοι παράλληλοι

Tenkrát totiž nesnášeli fyziky a takzvané meteóroleschy, protože prý neuznávají božské působení a mluví místo toho o neočekávaných příčinách, o neprobádaných silách a o nutných důsledcích přírodních zákonů. Prótagoras byl dokonce poslán do vyhnanství, Anaxagoras byl uvězněn a jen s potížemi se Periklovi podařilo osvobodit ho, a Sokrates, třebaže s něčím takovým neměl nic společného, zahynul jen proto, že byl filozof. Teprve později Platónova sláva, která se zaskvěla zásluhou jeho života i proto,že přírodní nutnost podřídil božským principům jako mocnějším, zbavila takové výklady špatné pověsti a otevřela vědám cestu ke všem lidem.

Plútarchos – Životopisy slavných Řeků a Římanů

Překladatel si zřejmě nevěděl rady se slovem μετεωρολέσχας, čemuž se ani nedivím. František Novotný v překladu Platónovy Ústavy toto slovo přeložil jako „oblační tlachalové“. Je to asi z Aristofanovy komedie Oblaka.

Ferdinand Stočes o původnosti Mathesiových Zpěvů staré Číny

Některé básně, které jsem našel u Mathesia, u Henschkeho, ale už ne u žádného opravdového překladatele, ať již britského, amerického, německého, francouzského či ruského, se skvěly a zářili v díle Judity Gautierové. Byl jsem zcela šokován. Vždyť šlo právě o jedny z nejkrásnějších a nejen mnou oblíbených básní. (...) Začalo ve mě klíčit podezření, že záhadná Judita Gautierová byla prostě šprýmařka, a to velmi nadaná, a celý svět se stal tak trochu objetí jejího smyslu pro humor. (...) Mé veliké podezření se změnilo ve skálopevné přesvědčení, když jsem v Hong Kongu narazil na skvělé dílo odborníků hongkongské univerzity (25 Tang Poet’s Index to English Translations). K mému nesmírnému zklamání básně ze Zpěvů staré Číny jako Pavilón z porcelánu, Věčná písmena, Perly a růže, Vítěz se psem a černou korouhví, Na hrob válečníkův a nejspíše i několik jiných jsou výtvory Judity Gautierové.

Ferdinand Stočes – Písně a verše staré Číny

Mathesiovy Zpěvy staré Číny jsou k nahlédnutí zde. Jestliže je někdo tímto Stočesovým odhalením odrazen od jejich četby, nedělá dobře.

Dva základní způsoby uchopení ideálních předmětů matematického studia

Abychom mohli nějaký geometrický objekt nazírat, musíme ho vynořit z prázdnoty, která ho v geometrickém světě obestírá. (...) Vynořování (...) bývá vykládáno dvojím způsobem. Zaprvé: Všechny geometrické objekty jsou již vytvořeny; jejich bytí je trvalé a neměnné. Jsou však zakryty clonou prázdnoty, kterou je třeba odhalovat, chceme-li je nazírat. Vynořování (...) je v tomto případě odstraňování clony, která je přikrývá. Zadruhé: Geometr v této prázdnotě objekty vytváří, a to tak, že si je představuje. Bytí geometrických objektů v tomto případě není trvalé, je však obnovitelné. Vynořování (...) je tedy tvořením. (...) V Eukleidových Základech jsou geometrické objekty uchopeny druhým ze shora uvedených způsobů. (...) Nicméně v Základech jsou natolik zřetelné stopy po platónském myšlení, že z nich lze platónské pojetí geometrie rekonstruovat.

Petr Vopěnka – Úvod do četby Eukleidových základů

Magie a věda podle C. G. Lewise

I have described as a „magician’s bargain“ that process whereby man surrenders object after object, and finally himself, to Nature in return for power. And I meant what I said. The fact that the scientist has succeeded where the magician failed has put such a wide contrast between them in popular thought that the real story of the birth of Science is misunderstood. You will even find people who write about the sixteenth century as if Magic were a medieval survival and Science the new thing that came in to sweep it away. Those who have studied the period know better. There was very little magic in the Middle Ages: the sixteenth and seventeenth centuries are the high noon of magic. The serious magical endeavour and the serious scientific endeavour are twins: one was sickly and died, the other strong and throve. But they were twins. They were born of the same impulse. I allow that some (certainly not all) of the early scientists were actuated by a pure love of knowledge. But if we consider the temper of that age as a whole we can discern the impulse of which I speak. There is something which unites magic and applied science while separating both from the wisdom of earlier ages.

Clive Staple Lewis – The Abolition of Man

Procesu, kdy člověk získává moc podmaňovat si věc za věcí a posléze je toutéž mocí nucen podrobit se přírodě, říkám „čarodějova smlouva“. A stojím za tím, co říkám. Fakt, že věda byla úspěšná tam, kde magie zklamala, vytvořila mezi oběma takovou vzdálenost, že dnes těžko rozumíme okolnostem, za kterých věda vznikla. Dokonce naleznete lidi, kteří píší o 16. století a zastávají názor, že tehdy byla Magie jako středověký přežitek odsunuta do pozadí Vědou. Ti, kteří se tou dobou zabývali, o tom vědí své. Ve středověku bylo velice málo Magie – její vrchol spadá až do 16. a 17. století. Opravdové magické a opravdové vědecké úsilí jsou dvojčata. První bylo nemocné a zemřelo, druhé bylo silné a prospívalo. Ale byla to dvojčata zrozená ze stejného impulsu. Přiznávám, že někteří (ale určitě ne všichni) dávní vědci byli motivováni čistou láskou k vědění. Ale když uvážíte duch té doby, můžeme tento motiv vcelku vypustit. Je tu něco, co sjednocuje magii a a užitou vědu té doby a zároveň je isoluje od „moudrosti“ dávnějších dob.

Clive Staple Lewis – Zničení člověka

Citovanou část přeložil (asi) Václav Cílek a delší ukázku lze nalézt zde.

Bedřich Bridel

V Dušičkové kapli v Kutné Hoře odpočívá Bedřich Bridel (Fridrich Bridel, chcete-li), mj. básník. Životopis i jeho nejznámější báseň Co Bůh? Člověk? snadno najdete na internetu. Poznamenal jsem si jiné jeho verše. Toto je část rozměrné básně Jesličky:

Ó nebesa! Ó hvězdy!
Když se po nebi béřete,
když své míváte sjezdy,
mně moje srdce kradete.

Kolikrát se třpytíte
stříbrnými očičkami,
tolika mě raníte
srdce jakýmis střelami.

Když nastane svítání,
když se skví všecko, když svítí
rosou stříbrnou ranní,
nebe pozdravuje kvítí.

Potom pěkně vychází,
jako kníže postupuje,
po nebi se prochází,
slunce tak den vyměřuje.

Večer se potom blíží,
tu zase v nebeském kraji
měsíc den k zemi blíží,
opět spolu hvězdy hrají.

A další ukázka je z knihy o Ivanovi:

Vítejte pustiny,
v nichžto sám jediný
budu přebývati,
Bohu děkovati.

Vítej širé pole,
vítej i oudolé
u vás budu stálý,
přijměte mne, skály.

Vítej můj pokoji,
odpočnu po boji,
svět má velký rozbroj,
zde jest stálý pokoj.

Vítej má jeskyně,
tys má přítelkyně,
v této já zahradě
budu jako ve hradě.

Vítejte stromové,
moji příbytkové,
královská stolice
budeš borovice.

Vítejte kamení,
mé milé ležení,
nebo mně za oltář
budete neb polštář.

Vítej ó studnice,
budeš má vinice,
připíte bez škody
křišťálové vody.

Vítejte mé vody,
netřeba nádobí,
když vás budu míti,
kde chci, budu píti.

Vítejte hájové,
obydlí májové,
vítejte smrkové,
moji příbytkové.

Bertrand Russell o matematické jistotě

Mnoho lidí pokládá matematiku za vědní disciplinu, ve které je vše zcela jasné a zcela nepochybné. Bertrand Russell, kterému bylo dáno vidět matematiku hodně zblízka, vyjádřil ve svých pamětech jiný názor.

I wanted certainty in the kind of way in which people want religious faith. I thought that certainty is more likely to be found in mathematics than elsewhere. But I discovered that many mathematical demonstrations, which my teachers expected me to accept, were full of fallacies, and that, if certainty were indeed discoverable in mathematics, it would be in a new kind of mathematics, with more solid foundations than those that had hitherto been thought secure. But as the work proceeded, I was continually reminded of the fable about the elephant and the tortoise. Having constructed an elephant upon which the mathematical world could rest, I found the elephant tottering, and proceeded to construct a tortoise to keep the elephant from falling. But the tortoise was no more secure than the elephant, and after some twenty years of very arduous toil, I came to the conclusion that there was nothing more that I could do in the way of making mathematical knowledge indubitable.

Bertrand Russell – Portraits from Memory and Other Essays

Toužil jsem po jistotě způsobem, jakým lidé touží po náboženské víře. Domníval jsem se, že v matematice lze jistotu nalézt spíše než kdekoli jinde. Ale přišel jsem na to, že mnohé matematické důkazy, které mi moji učitelé předkládali k uvěření, byly plné chyb. Jestliže tedy bylo možné nalézt jistotu v matematice, muselo by to být v nějaké nové matematice, stojící na solidních základech, nikoli na těch, které byly až doposud pokládány za bezpečné. Ale jak práce postupovala, pořád se mi vybavovala bajka o slonu a želvě. Jakmile jsem sestrojil slona, na kterém spočíval zbylý matematický svět, zjistil jsem, že se slon potácí, a sestrojil jsem želvu, aby mu pomohla získat rovnováhu. Želva však nebyla o nic stabilnější než slon, a po nějakých dvaceti letech úporné lopoty jsem přišel na to, že již nemohu nijak přispět k tomu, abych matematiku nesrovnalostí zbavil.

Bertrand Russell – Portréty z paměti a jiné eseje

Logika, metalogika a metametalogika

Cíl je navrhnout kalkul použitelný nejen pro logiku, ale pro metalogiku, popř. pro metametalogiku. Návrh tohoto kalkulu vypadá následovně: Odvozovací systém pracuje s pravidly. Odvozovací systém umí pouze zaměnit proměnnou za jinou proměnnou, popř. výraz, a jsou-li splněny předpoklady pravidla a je-li o to žádán, pak vkládá do odvozených pravidel důsledek pravidla. Nic jiného odvozovací systém nedělá.

Pravidla logiky mají pouze důsledky. Jejich předpoklady jsou prázdné, a tedy vždy splněné. První pravidlo logiky je definice pravdy:

TI: A |- [\TRUE]

Proměnná A je proměnná seznamu výroků. Lomítko označuje konstantu. Seznam výroků má formu [a, b, c, ...]. Podle této definice je pravda to, co lze odvodit z každé teorie. Druhé pravidlo je definice nepravdy:

FI: [\FALSE] |- A

Nepravda je tedy to, z čeho lze odvodit každou teorii. Pokus o definici negace vypadá následovně:

NE: [not not a] |- [a]

Tato definice je zatím poněkud diskutabilní. Korektní definice logické spojky and, or, implikace a ekvivalence jsou tyto:

CI: [a, b] |- [a and b]
CE: [a and b] |- [a, b]
DI1: [a] |- [a or b]
DI2: [b] |- [a or b]
DE: [a or b, not b] |- [a]
II: [b] |- [a -> b]
MP: [a -> b, a] |- [b]
MT: [a -> b, not b] |- [not a]
EI: [(a -> b) and (b -> a)] |- [a <-> b]
EE: [a <-> b] |- [a -> b, b -> a]

Axiomy klasické výrokové logiky jsem vtělil do těchto logických pravidel:

PP1: |- [a -> (b -> a)]
PP2: |- [(a -> (b -> c)) -> ((a -> b) -> (a -> c))]
PP3: |- [(not a -> not b) -> (b -> a)]

Axiomy klasické predikátové logiky prvního řádu jsou tyto:

GQI: [SUB(a, x, t)] |- [forall(x, SUB(a, x, t))]
GQE: [forall(x, a)] |- [SUBST(a, x, t)]
EQI: [SUB(a, x, t)] |- [exists(x, SUB(a, x, t))]

SUB zde znamená substituci všech výskytů. Chybí tam ještě obecný případ eliminace existenčního kvantifikátoru. Pro jeho definování je zřejmě nutné zavést nějaký další metalogický prvek.

Zatímco dokazatelnost jsem značil |-, oddělovač předpokladu a důsledku značím ||=. Nemyslím tím sémantický důsledek, který se značí |=, a který nepoužívám. Následuje sada pravidel, které definují, co je dokazatelnost. Následující pravidlo říká, že ze souboru tvrzení lze dokázat jeho podsoubor:

It: A, B, C |- B

Toto pravidlo je jen obecnější forma známého pravidla [a] |- [a]. Můžeme-li něco dokázat, pak můžeme dokázat i o nějaký podsoubor méně:

OM: A |- B, C, D ||- A |- B, D

Pořadí tvrzení v seznamu můžeme zaměnit:

OI: A |- B, C, D, E, F ||- A |- B, E, D, C, F

Dokazatelné ze stejných předpokladů můžeme spojit:

Co: A |- B AND A |- C ||- A |- B, C

Kromě dokazatelnosti by bylo možné uvést i pravidla pro nedokazatelnost (značím |/-). Toto je jen návrh:

Ap1: [\TRUE] |- A ||- A |/- [\FALSE]
Ap2: A |/- B AND C |- A ||- C |/- B
Ap3: A |/- B ||- A |/- [\FALSE]
Ap4: A |/- B AND A |/- C ||- A |/- B, C
Ap5: A |/- B, C, D, E, F ||- A |/- B, E, D, C, F

Dále je možné definovat pravidla, která z definovaných pravidel umožňují odvodit nová pravidla. Jinými slovy: pravidla definující logiku pravidel. Je těžké rozhodnout, zda se ještě jedná o pravidla metalogické, nebo jsou to pravidla metametalogická. Záleží na použití. První pravidlo říká, že pravidla jsou tranzitivní:

MLTr: (A ||- B) AND (B ||- C) ||- (A ||- C)

Je-li pravidlo odvozující z pravidla A pravidlo B a z pravidla B pravidlo A, jsou pravidla záměnná:

MLSUB: (A ||- B) AND (B ||- A) AND C ||- SUB(C, A, B, I)

Proměnná I je proměnná za množinu přirozených čísel, které jsou indexy proměnných, které jsou substituovány. Metalogické AND a OR jsou komutativní:

MLCC: (A AND B) ||- (B AND A)
MLCD: (A OR B) ||- (B OR A)

Nadto platí:

MLDI: A ||- (A OR A)

Metalogické AND a OR mohou být za určitých okolností eliminovány:

MLDE: (A OR B) ||- A
MLCE: (A AND A) ||- A

Pravidlo lze pomocí AND zpřísnit:

MLCI: A ||- (A AND B)

Prázdný předpoklad je vždy splněn:

MLE1: A ||- (||- A)
MLE2: (||- A) ||- A

Nádavkem ještě pravidla o dokazatelnosti a předpokladech pravidel:

MLJo: (A ||- B |- C) AND (D ||- B |- E) ||- (A AND D ||- B |- C, E)
MLPr: (A ||- B |- C) AND (D ||- C |- E) ||- (A AND D ||- B |- E)

Bohužel, uvedený metalogický systém nedovoluje odvodit pravidla, která však odvoditelná jsou. Je to např. pravidlo o dedukci a jeho důsledek pravidlo o důkazu sporem. Lze je však dodefinovat:

Ded: A, [b], C |- [d] AND CLOSED(b) ||- A, C |- [b -> d]
Dis: A, [not b] |- \FALSE ||- A |- [b]

CLOSED(x) je relace, která je splněná, pokud je formule x uzavřená. Zatím je vše jenom v zárodku a bude třeba na tom ještě zapracovat.

David Hilbert o ignorabimus

Wir dürfen nicht denen glauben, die heute mit philosophischer Miene und überlegenem Tone den Kulturuntergang prophezeien und sich in dem Ignorabimus gefallen. Für uns gibt es kein Ignorabimus, und meiner Meinung nach auch für die Naturwissenschaft überhaupt nicht. Statt des törichten Ignorabimus heiße im Gegenteil unsere Losung: Wir müssen wissen, Wir werden wissen.

Neměli bychom věřit těm, kdo dnes s filosofickým nádechem a nadřazeností prorokují úpadek kultury a domýšlivě přijímají princip ignorabimus. Pro nás neexistuje žádné ignorabimus a podle mého názoru neexistuje ani pro přírodovědce. Místo bláhového ignorabimus, budiž naopak naším předsevzetím: Musíme vědět, budeme vědět.

Celý text je tady: http://www.jdm.uni-freiburg.de/JdM_files/Hilbert_Redetext.pdf
Vzácný zvukový proslovu je zde: http://math.sfsu.edu/smith/Documents/HilbertRadio/HilbertRadio.mp3

Plútarchos o matematice a mechanice

První, kdo zaměřil pozornost k oblíbené a slavné mechanice, byli Audoxos a Archytas, když dali pestrost a půvab abstraktní geometrii. Při logicky a konstruktivně nesnadném řešení problému si vypomáhali názorem na příkladech z mechaniky; tak například problém dvou středních úměrných, který je v mnoha příkladech základním prvkem pro kresliče, vyřešil oba pomocí mechanické konstrukce, přičemž z křivek a kuželoseček sestrojili tzv. mesolab. Avšak Platón jejich metody s rozhořčením odmítal, protože prý ničí a ruší největší přednost geometrie, která první uniká z oblasti nehmotných a abstraktních jevů do smyslového světa a znova se zaměstnává tělesy, která již sama o sobě vyžadují mnoho namáhavé řemeslnické činnosti. Tak byla mechanika oddělena od geometrie a také byla po dlouhý čas přezírána i filozofií a pokládána za odvětví válečné techniky.

Plútarchos – Životopisy slavných Řeků a Římanů

Problém dvou středních úměrných lze napsat do rovnice: 1/x = x/y = y/2. Zkonstruovat řešení pomocí pravítka a kružítka není možné.

Plútarchos

O málo světlých stránkách řeckého náboženství svědčí nejen samotná Iliada, ale i tento popis událostí při Xerxově vpádu:

τούτους ἰδὼν Εὐφραντίδης ὁ μάντις, ὡς ἅμα μὲν ἀνέλαμψεν ἐκ τω̂ν ἱερω̂ν μέγα καὶ περιφανὲς πυ̂ρ, ἅμα δὲ πταρμὸς ἐκ δεξιω̂ν ἐσήμηνε, τὸν Θεμιστοκλέα δεξιωσάμενος ἐκέλευσε τω̂ν νεανίσκων κατάρξασθαι καὶ καθιερευ̂σαι πάντας ὠμηστῃ̂ Διονύσῳ προσευξάμενον: οὕτω γὰρ ἅμα σωτηρίαν τε καὶ νίκην ἔσεσθαι τοι̂ς ̔́Ελλησιν. ἐκπλαγέντος δὲ του̂ Θεμιστοκλέους ὡς μέγα τὸ μάντευμα καὶ δεινόν, οἱ̂ον εἴωθεν ἐν μεγάλοις ἀγω̂σι καὶ πράγμασι χαλεποι̂ς, μα̂λλον ἐκ τω̂ν παραλόγων ἤ τω̂ν εὐλόγων τὴν σωτηρίαν ἐλπίζοντες οἱ πολλοὶ τὸν θεὸν ἅμα κοινῃ̂ κατεκαλου̂ντο φωνῃ̂ καὶ τοὺς αἰχμαλώτους τῳ̂ βωμῳ̂ προσαγαγόντες ἠνάγκασαν, ὡς ὁ μάντις ἐκέλευσε, τὴν θυσίαν συντελεσθη̂ναι.

Πλούταρχος – βιοι παραλλελοι

Ve chvíli, kdy je věštec Eufrantides spatřil, vzplála oběť velkým a jasným plamenem a zároveň bylo dáno znamení kýchnutím, které se ozvalo z pravé strany; Eufrantides podal proto Themistoklovi pravici a poručil mu, aby všechny tři jinochy zasvětil bohu a po modlitbě je věnoval masožravému Dionýsovi; tak se prý dostane Řekům záchrany a zároveň vítězství. Themistoklés se zděsil hrozné a neobyčejné věštby, lid však, který, jak tomu bývá ve velkém nebezpečí a za svízelných poměrů, očekával záchranu spíše od věcí nadpřirozených než rozumných, vzýval hromadně boha, přivlekl zajatce k oltáři a vynutil si, aby oběť byla vykonána podle věštcova příkazu.

Plútarchos – Životopisy slavných Řeků a Římanů