Mikuláš Kusánský o matematice

K čemu je dobrá znalost matematiky? Kromě jiného k porozumění středověké teologii.

Scimus quod omnis numerabilis proportio diametri ad costam est inattingibilis, cum nulli duo numeri dari possent, qui praecise sic se habeant. Sed quibuscumque datis habitudo eorum est aut maior aut minor quam diametri ad costam, et quibuscumque datis possunt dari numeri propinquiores illi habitudini. Et ita videtur possibilis, sed actu numquam datur illa possibilitas. Actus autem esset praecisio, ita quod numeri praecise se sic haberent. Ratio est: Quia nisi numerus detur qui nec par nec impar, non erit quaesitus. Omnis autem numerus quem nos concipimus necessario est par vel impar et non simul; ideo deficimus. Videmus tamen quod apud illum conceptum qui concipit nobis impossibile praecisio exsistit. Sic dicere nos oportet quod noster conceptus non potest proportionem ipsius posse et ipsius esse attingere, cum nullum medium commune habeamus per quod attingamus habitudinem, cum posse sit infinitum et indeterminatum et actus finitus et terminatus, inter quae non cadit medium. Sed videmus illa in deo esse indistincta, et ideo est supra nostrum conceptum.

Nicolai de Cusa - Trialogus de posset

Víme, že nemůžeme dosáhnout žádného číselného poměru mezi úhlopříčkou a stranou, neboť neexistují žádná dvě čísla, jejichž vztah by vyjadřoval přesně tento poměr. Máme-li jakákoli dvě čísla a jejich vztah bude buď nebo menší než vztah úhlopříčky s strany a zároveň máme-li jakákoli čísla, můžeme mít jiná, jejichž vztah bude onomu blíže. Přestože to vypadá jako možné, ona možnost se nikdy neuskuteční. Uskutečnění by bylo přesností, takže by čísla byla v tomto přesném poměru. Důvod je následující: Pokud nemáme číslo, jež není ani sudé ani liché, nelze je ani hledat. Každé číslo, jež si dovedeme představit, je nutně buď sudé, nebo liché, a proto zde selháváme. Vidíme však, že v pojmu toho, jenž pojímá i to, co je pro nás nemožné, tato přesnost je. Tak musíme konstatovat, že náš pojem nemůže dosáhnout poměru mezi “moci” a “být”, neboť není společný prostředek, skrze nějž bychom tohoto vztahu dosáhli; moci je totiž nekonečné a neomezené, zatímco uskutečnění je konečné o omezené, a není mezi nimi střední člen. Vidíme však, že v bohu je obojí nerozlišené, a proto náš pojem přesahuje.

Mikuláš Kusánský - Trialogus de posset

Druhou odmocninu ze dvou nelze vyjádřit zlomkem, protože kdyby to bylo možné, pak by existovalo číslo, které není ani sudé ani liché (nebo, které je obojím zároveň), což je nemožné. Přesto se lze k odmocnině přiblížit zlomkem na libovolně blízkou vzdálenost. Kusánský nechápe tedy tuto odmocninu jako číslo a nechává ji pouze geometrii. Vidí mezi počty a geometrií souvislost, které však chybí střední člen. My dnes na to máme limity nebo axiomatické teorie. Nevím, jestli by to Kusánský schvaloval a jak by se mu líbila moderní matematika vůbec, ale s tou ze své současnosti byl docela spokojen.

(…) [V]šechna díla boží nezná přesně nikdo jiný než ten, kdo je sám tvoří. Pokud o nich máme nějaké vědění, pak je získáváme ze symbolického vyjádření a zrcadla matematických znalostí (…). [C]o nemá množství ani velikost, nemůže být zachyceno pojmem, nelze si je představit ani si o něm vytvořit obraznou představu. (…) [N]ení v našem vědění nic jistého kromě naší matematiky. A matematika vyjadřuje hledání božích děl. Pokud velcí mužové pravili něco důležitého, pak to založili na matematické analogii.

Mikuláš Kusánský - Trialogus de posset

Kde se vzalo písmo?

(…) [J]e ovšem nutné zodpovědět jednu nezanedbatelnou otázku. Jak je možné, že všichni lidé v sobě mají zabudované zařízení pro čtení, když je písmo poměrně nedávným kulturním vynálezem? (…) Wallace nedokázal připsat lidský potenciál na vrub žádným přirozeným procesům v přírodě, a tak se dovolával nadpřirozené intervence: věřil, že tento potenciál implantoval do lidské psýchy Bůh.

Oliver Sacks - Zrak mysli

Wallecův problém je duševní zkrat, ale otázka zůstává.

Písmo jako kulturní nástroj se vyvíjelo v závislosti na tom, jakým tvarům dávaly bazálnětemporální neurony přednost. „Tvar písmen,“ píše Dehaene, „nepředstavuje náhodnou kulturní volbu. Mozek vytváří tak výrazná omezení pro vzhled účinného systému písma, že pro kulturní relativismus nezbývá velký prostor. Náš primátí mozek přijímá jen omezený soubor psaných tvarů.“ Vskutku elegantní řešení „Wallaceova problému“. Ukazuje totiž, že žádný problém neexistuje. Vznik psaní a čtení nelze považovat za bezprostřední evoluční adaptaci, ale závisí na plasticitě mozku a na skutečnosti, že i v rámci skromné délky života lidského jedince může zkušenost – zkušenostní selekce – působit stejně účinné změny jako přírodní výběr. Podle Darwina přírodní výběr nijak nebránil kulturnímu a individuálnímu rozvoji v měřítku stotisíckrát rychlejším než evoluční vývoj, ale právě naopak – připravil mu půdu. Jsme gramotní nikoliv v důsledku božského zásahu, ale v důsledku kulturní invence a kulturní selekce, jež umožňuje nové excelentní a tvořivé využití již dávno existujících neutrálních sklonů.

Oliver Sacks - Zrak mysli

Nevyvinul se tedy náš mozek, ale vyvinulo se písmo. Elegantní řešení to jistě je, ale tím spíš vzbuzuje pocit podvodu. Myslím, že neurology čeká v tomto směru ještě hodné výzkumů, protože tohle je nespíš jen velmi malá část řešení.

Guillaume Apollinaire - Krásný film

Kritizovat v roce 2016 věci jako jsou reality TV, sociální sítě apod. je dnes možné bez velké duševní námahy. A proto je to nuda. O to víc je zajímavé číst kritiku reality TV napsanou v roce 1910. Povídka se jmenuje Krásný film a napsal ji Guillaume Apollinaire. Povídka je v knize Kacíř a spol. Udělal jsem z toho video. Čte Přemys Rut. Kdo chce, může srovnat s moderní a ne úplně hloupou verzí téhož: Black Mirror.

Arquettová a Žižek o Lost Highway

Když si přečtete komentáře na csfd o filmu Davida Lynche Lost Highway, většinou nalezneme zmínku o tom, že to bylo moc zamotané a že to divák nepochopil. Lynchův talent, stejně jako Hitchcockův, je vidět v tom, že i tito diváci dávají vysoké hodnocení. Stojí však za to si přečíst “komentář” někoho, kdo si o sobě myslí, že filmu (tomuto i obecně) rozumí.

Patricia Arquettová měla tedy pravdu, když ve snaze vyjasnit logiku oněch dvou postav, které hrála, nastínila následující rámec toho, co se ve filmu děje: muž zavraždí svou ženu, protože si myslí, že je mu nevěrná. Nedokáže se smířit s důsledky svého činu a postihne ho jistý druh nervového zhroucení, během něhož si sám pro sebe vysní alternativní, lepší život, tj. představuje si sám sebe jako mladšího vitálního muže, jenž potká ženu, která ho neustále chce místo toho, aby se před ním uzavírala, avšak dokonce i tento imaginární život se zvrhne - fantazie se rozpadá a končí noční můrou. Máme zde co do činění přesně s toutéž logikou, s níž se setkáváme v Lacanově výkladu Freudova snu (…), v němž je spáč probouzen, když je Reálno hrůzy, s nímž se setkává ve snu (…), děsivější než samotná bdělá realita, takže spáč uniká do reality, aby unikl Reálnému, s nímž se setkává ve snu.

Slavoj Žižek - Rozložená fantazie.

Několik nesouvislých poznámek z Filosofických poznámek Ludwiga Wittgensteina

Fyzika se od fenomenologie lišší tím, že chce konstatovat zákony. Fenomenologie konstatuje jen možnosti. Fenomenologie by tedy byla gramatikou popisu těch faktů, na nichž fyzika staví své teorie.  Vysvětlit znamená víc než popsat. Ale každé vysvětlení popis obsahuje.

Co Mach nazývá myšlenkovým experimentem, přirozeně žádným experimentem není. Ve svém základu je to gramatické pozorování.

Proč je filosofie tak komplikovaná? Měla by přece být zcela jednoduchá. - Filosofie rozplétá uzly, které jsme nevědomky udělali ve svém myšlení; za tímto účelem však musí provádět pohyby stejně komplikované, jako jsou tyto uzly. (...) Spletitost filosofie není spletitostí její látky, nýbrž našeho zauzleného rozumu.

Je tomu tedy tak, jako by čísla byla mrtvými výměšky živé bytosti, která je kořenem. Jako když hlemýžď vylučuje během svého života vápník a staví dál a dál svůj dům.

K čemu má být a k čemu nemá být intuicionistická logika

Při povrchním čtení by jeden mohl dojít k názoru, že Brouwer chtěl - obrazně řečeno - namísto čtyřnohého stolu klasické logiky kejklajícího se na nerovné podlaze Cantorova ráje nabídnout jednodušší, ale pevně stojící, trojnožku, kterou lze postavit kamkoli. Proto se zbavil např. zákona vyloučeného třetího, aby tento zbytečně neprodukoval matematická monstra a aby logika lépe seděla. Při podrobnějším čtení však je třeba tento názor trochu poupravit. Intuicionismus neměl být reformou, ale revolucí, při které měla vzít logika za své úplně.

(...) [I]ntuicionismus nebyl původně pokusem o vybudování alternativní logiky, ale názorem, že logika je pro matematiku nepodstatná, protože logika se týká formy, zatímco matematika se týká obsahu a obsah formě předchází. (...) Brouwerova averze vůči logice byla motivována přesvědčením, , že jednotlivé kroky v matematickém důkazu musí přenášet a prohlubovat jistý mentální stav - totiž vhled do konstrukcí, se kterými se v důkazu pracuje. Aby byla dokázána nějaká pravda, je třeba, aby byla určitým způsobem zakoušena. Spíše než systémem pravd je matematika systémem mentálních aktivit. Naproti tomu logika od této subjektivní stránky odhlíží. (...) Chceme-li porozumět Brouwerově filosofii, musíme opustit zažitou - a pro mnohé matematiky velmi přirozenou - platónskou představu, podle níž existuje statický svět matematických pravd, který je sice objevován, avšak nijak podstatně nedotčen prací jednotlivých matematiků.

Vojtěch Kolman a Vít Punčochář - Formy jazyka

Vojtěch Kolman a Vít Punčochář o platnosti hypotézy kontinua

Znám lidi, kteří pokládají hypotézu kontinua za zřejmou, a lidi, kteří ji pokládají za největší omyl matematiky. Ale je i třetí cesta.

Skutečnost, že se nepodařilo toto tvrzení dokázat ani vyvrátit, ba že se později vyjevilo, že ho na bázi kanonicky zvolené skupiny axiomů dokázat ani vyvrátit nelze, je často diskutována v souvislosti s otázkami povahy matematické pravdy. Znamená to snad, že je zde nějaký zásvětní prostot pravdivosti, do něhož mohou svým duševním zrakem nahlížet pouze geniální matematici, kteří pak - s ohledem na nemožnost pozemsky srozumitelného důkazu - zvěstují ostatním smrtelníkům, jak se to s tím či oním tvrzením má? To by znamenalo naprosté zbytnění korespondenčního paradigmatu pravdivosti a současně rezignaci na její koherenční či pragmatický rozměr. Celá věc se ukáže okamžitě v jiném světle zeptáme-li se, na jakém základě byla vybrána zmíněná referenční sada množinových axiomů, co zakládá její pravdivost, a proč třeba nevybrat jinou, relativně "rozumnou", z níž by již hypotéza plynula. Výsledkem je pak zjištění, že z epistemologického hlediska se příslušné tvrzení podobá spíše než dosud nerozhodnutým větám historickým ("Mozart byl otráven") či větám  matematickým (Goldbachova domněnka) tvrzením jako "Othello měl na hlavě 126778 vlasů", která jsou nerozhodnutá či nerozhodnutelná ani ne tak proto, že je příslušné romány pojmově neurčují, jako spíš proto, že ač by je stejně jako tyto romány konvenčně rozhodnout šlo (doplněním příslušného údaje), v nějakém dosti podstatném (praktickém) smyslu na tomto rozhodnutí nesejde.

Vojtěch Kolman a Vít Punčochář - Formy jazyka

Cantorův diagonální důkaz a Richardův paradox

Uvažujme množinu reálných čísel M popsaných konečně mnoha slovy. Pak z této množiny lze diagonalizací vytvořit nové číslo, které do M nepatří, což je spor, protože toto číslo je popsané konečně mnoha slovy. Vojtěch Kolman a Vít Punčochář k tomu říkají:

Analýza tohoto paradoxu nám umožní kriticky posoudit povahu Cantorova diagonálního argumentu, a tím i status některých tvrzení teorie množin, stejně jako obecný význam výše uvedených paradoxů sémantických, s nimiž je argument úzce spřízněn. Ve všech uvedených paradoxech jsou přitom za samozřejmé brány předpoklady filosoficky problematičtější nežli metafora bludného kruhu, která  nemá primárně žádnou filosofickou ani logickou relevanci.

Vojtěch Kolman a Vít Punčochář - Formy jazyka

Existuje cesta ven?

Nabízí se nyní dva možné závěry, z nichž první je tento:

(A) výraz diag není jménem reálného čísla.

Na tento úsudek máme obecně právo, neboť pojem čísla, a zvláště čísla reálného, není nijak přirozený a odvíjí se právě od výchozích kritérií toho, co za číslo, resp. jeho pojmenování[,] hodláme považovat. Druhý možný závěr je tento:

(B) výraz diag je jménem reálného čísla, které transcenduje výrazové možnosti D.

Vojtěch Kolman a Vít Punčochář - Formy jazyka

A co to znamená pro teorii množin?

Důkaz nespočetnosti kontinua totiž neimplikuje nutně, že je reálných čísel více než přirozených, a že tedy musí existovat reálná čísla nepojmenovatelná v jazyce. K takovému závěru lze dojít jen tehdy:

(1) předpokládáme-li, že je jejich celek dán nezávisle na zvolených reprezentacích,

(2) dáváme-li Cantorovu idiosynkratickému pojmu (porovnávání) velikosti množiny skrze (ne)možnost jedno-jednoznačného přiřazení nějaký přirozený význam.

To první tvrzení je zcela proti duchu obratu k jazyku, který je vodítkem našeho zkoumání (...). To druhé je pošetilé již proto, že navržené porovnávání množin mělo zprvu jasné "kotraintuitivní" důsledky, např. zobrazení množiny do sebe sama, které je v rozporu s požadavkem, aby byl celek větší než část, tedy něčím, co by většina těch, co neznají Cantorovu nauku, označila  právě za "přirozené". V Cantorově definici  rovnosti mohutnosti máme proto jen další exemplář do kolekce rozhodnutí , která bylo možné, nikoli nutné, v oblasti základů matematiky učinit.

Vojtěch Kolman a Vít Punčochář - Formy jazyka