O ideálu krásy

Jemand hat tausend erwachsene Mannspersonen gesehen. Will er nun über die vergleichungsweise zu schätzende Normalgröße urteilen, so läßt (meiner Meinung nach) die Einbildungskraft eine große Zahl der Bilder (vielleicht alle jene tausend) auf einander fallen; und, wenn es mir erlaubt ist, hiebei die Analogie der optischen Darstellung anzuwenden, in dem Raum, wo die meisten sich vereinigen, und innerhalb dem Umrisse, wo der Platz mit der am stärksten aufgetragenen Farbe illuminiert ist, da wird die mittlere Größe kenntlich, die sowohl der Höhe als Breite nach von den äußersten Grenzen der größten und kleinsten Staturen gleich weit entfernt ist; und dies ist die Statur für einen schönen Mann. (Man könnte ebendasselbe mechanisch herausbekommen, wenn man alle tausend mäße, ihre Höhen unter sich und Breiten (und Dicken) für sich zusammen addierte, und die Summe durch tausend dividierte. Allein die Einbildungskraft tut ebendieses durch einen dynamischen Effekt, der aus der vielfältigen Auffassung solcher Gestalten auf das Organ des innern Sinnes entspringt.) Wenn nun auf ähnliche Art für diesen mittlern Mann der mittlere Kopf, für diesen die mittlere Nase usw. gesucht wird, so liegt diese Gestalt der Normalidee des schönen Mannes, in dem Lande, wo diese Vergleichung angestellt wird, zum Grunde;

Immanuel Kant – Kritik der Urtheilskraft

Někdo viděl tisíc dospělých mužů. Chce-li nyní soudit o jejich normální velikosti, jež má být odhadnuta srovnáním, pak obrazotvornost (podle mého mínění) klade na sebe velký počet obrazů (možná všech tisíc); bude-li mi dovoleno použít zde analogie optického znázornění, v prostoru, kde se jich spojuje nejvíce, a uvnitř obrysu, kde je iluminováno místo s nejsilněji nanesenou barvou, tam je znatelná střední velikost, která je co do výšky i šířky vzdálena stejně od nejzazších hranic největších a nejmenších postav, a to je postava krásného muže. (Totéž by se dalo zjistit i mechanicky, kdybychom změřili všech tisíc, sečetli mezi sebou jejich výšky a zvlášť šířky (a tloušťky) a sumu dělili tisícem. Obrazotvornost to však provádí dynamickým efektem, který vzniká z mnohonásobného uchopení v orgánu vnitřního smyslu.) Jestliže je nyní podobným způsobem hledána pro toho středního muže střední hlava, pro tuto střední nos atd., pak jsou tyto proporce základem ideje normy krásného muže v té zemi, kde je srovnání prováděno.

Immanuel Kant – Kritika soudnosti

Co je to osvícenství?

Aufklärung ist der Ausgang des Menschen aus seiner selbst verschuldeten Unmündigkeit. Unmündigkeit ist das Unvermögen, sich seines Verstandes ohne Leitung eines anderen zu bedienen. Selbstverschuldet ist diese Unmündigkeit, wenn die Ursache derselben nicht am Mangel des Verstandes, sondern der Entschließung und des Muthes liegt, sich seiner ohne Leitung eines anderen zu bedienen. Sapere aude! Habe Muth dich deines eigenen Verstandes zu bedienen! ist also der Wahlspruch der Aufklärung. Faulheit und Feigheit sind die Ursachen, warum ein so großer Theil der Menschen, nachdem sie die Natur längst von fremder Leitung frei gesprochen, dennoch gerne Zeitlebens unmündig bleiben; und warum es Anderen so leicht wird, sich zu deren Vormündern aufzuwerfen. Es ist so bequem, unmündig zu sein. Habe ich ein Buch, das für mich Verstand hat, einen Seelsorger, der für mich Gewissen hat, einen Arzt der für mich die Diät beurtheilt, u. s. w. so brauche ich mich ja nicht selbst zu bemühen. Ich habe nicht nöthig zu denken, wenn ich nur bezahlen kann; andere werden das verdrießliche Geschäft schon für mich übernehmen. Daß der bei weitem größte Theil der Menschen (darunter das ganze schöne Geschlecht) den Schritt zur Mündigkeit, außer dem daß er beschwerlich ist, auch für sehr gefährlich halte (...).

Immanuel Kant – Beantwortung der Frage: Was ist Aufklärung?

Osvícenství je vystoupení člověka z nesvéprávnosti, kterou si sám způsobil. Ona nesvéprávnost je neschopnost vládnout sám svým vlastním rozumem bez cizího dozoru. Tuto nesvéprávnost jsme si způsobili sami, pakliže její příčina není nedostatečnost rozumu, ale je jí nedostatek rozhodnosti a odvahy používat rozum bez cizího vedení. Sapere aude! „Měj odvahu používat vlastní rozum!“ – to je heslo osvícenství. Kvůli lenosti a zbabělosti zůstala velká část lidstva raději nesvéprávná i přesto, že ji příroda zbavila závislosti. To kvůli lenosti a zbabělosti je pro jiné tak snadné uzurpovat si roli hlídače. Je to tak pohodlné zůstat nedospělým! Když mám knihu, která mi stanovuje význam, pastora, který pečuje o mé svědomí, doktora, který bdí nad mou stravou, nepotřebuji vynakládat vlastní síly. Nic mě nenutí myslet; když můžu, zaplatím si a jiní převezmou nezáviděníhodnou práci. Hlídači, kteří byli tak laskavi a převzali vrchní vedení, se postarají o to, aby daleko největší část lidstva, včetně celého „krásného pohlaví“, považovala krok ke zralosti nejen za těžký, ale také za velice nebezpečný (...).

Immanuel Kant – Odpověď na otázku: Co je to osvícenství?

Platón a věda

To, co dnes v našem pregnantním smyslu označujeme jako vědu, není vědou v historicky nejstarším smyslu přímo se uplatňujícího teoretického rozumu. Jen v určitém volném smyslu označujeme jako vědy filosofie předplatónské epochy nebo podobné kulturní útvary jiných národů a dob. Zůstávají pro nás platné jen jako předběžné formy, předstupně vědy. Věda v novém smyslu vyrůstá nejprve z platónského zdůvodnění logiky jako místa zkoumání bytostných požadavků „pravého“ vědění a „pravé“ vědy, a tudíž jako místa stanovování norem, v souladu s nimiž může být budována věda vědomě zaměřená na stálou normativní správnost a vědomě zdůvodňující svoji metodu a teorii. Svou intencí je toto logické zdůvodnění veskrze zdůvodněním z čistých principů. Věda v platónském smyslu nechce tedy už být pouze naivní činností z čistě teoretického zájmu. Činí si nárok na to, že každý krok, který činí, principiálně zdůvodní v jeho správnosti, v jeho nutné platnosti. Původní smysl přitom tedy spočívá v tom, že fakticky uplatňované metodě a faktickému utváření vědy předchází a prakticky je řídí principiální logický náhled čerpaný z čisté ideje možného poznání a metody poznání vůbec, nikoli ale v tom, že by se za normu smělo vydávat faktum nějak v naivitě vyrostlé metody a vědy, když jde o správné formování vědeckého názoru.

Edmund Husserl – Formální a transcendentální logika

Goodsteinova věta a axióm nekonečna

Goodsteinovy posloupnosti jsou rekurzivně definovány takto:
1) zvolme přirozené číslo m₀ = m
2) převedeme všechna čísla větší jak 2 ve formuli pro výpočet m₀ na součet mocnin 2. Např. m₀ = 29 = 2⁴ + 2³ + 2² + 1 = 2²² + 2^{2 + 1} + 2² + 1
3) máme-li formuli pro výpočet m_i, formuli pro výpočet m_i+1 získáme tak, že všude ve formuli pro m_i nahradíme číslo (i + 2) číslem (i + 3), přidáme -1 a upravíme formuli. Např.:
m₀ = 2²² + 2^{2 + 1} + 2² + 1
m₁ = 3³³ + 3^{3 + 1} + 3³ + 1 – 1 = 3³³ + 3^{3 + 1} + 3³
m₂ = 4⁴⁴ + 4^{4 + 1} + 4⁴ - 1 = ...

Přesnější definici lze nalézt např. zde. Tato posloupnost, jak vidět, poměrně rychle roste, ale překvapivá Goodsteinova věta říká následující: Pro každé přirozené číslo m existuje přirozené číslo n takové, že m_n = 0.

Tvrzení Goodsteinovy věty je pravdivé ve standardním modelu aritmetiky, je tedy bezesporné s axiomy Peanovy aritmetiky. Věta L. Kirbyho a J. Parise ukazuje, že v samotné Peanově aritmetice toto tvrzení nelze dokázat. Jinými slovy, negace Goodsteinovy věty je také bezesporná s axiomy Peanovy aritmetiky. To znamená, že Goodsteinova věta je příkladem tvrzení, které je v Peanově aritmetice nerozhodnutelné, ale je dokazatelné v teorii množin. Z axiomů teorie množin lze tedy o přirozených číslech dokázat více než z axiomů Peanovy aritmetiky. Tato skutečnost se překvapivě odráží i v samotné teorii množin. Teorie konečných množin, která vznikne z teorie množin, nahradíme-li axiom nekonečna jeho negací, je konzervativní rozšíření Peanovy aritmetiky. To znamená, že v teorii konečných množin se o přirozených číslech dají dokázat tytéž věty jako v Peanově aritmetice, tedy Goodsteinova věta zde není dokazatelná. Dostáváme se k zajímavému zjištění, že přijetím či odmítnutím axiomu nekonečna ovlivňuje dokazatelnost tvrzení o přirozených číslech, tedy tvrzení o konečných množinách.

Bohuslav Balcar, Petr Štěpánek – Teorie množin

Kolman o Bolzanově důkazu věty o mezihodnotě

V (...) okamžiku nejistoty o smysluplnosti logistických metod vstupuje do hry oficiální legenda. V ní jsme v první řadě vyzváni nahlížet význam rekurzivního teorému jako pokračování Bolzanova systematického úsilí o vytlačení názoru ze základů matematiky, např. v rámci důkazu o mezihodnotě. Teze jsou přitom následující:
1) Bolzano zbavil svými analytickými důkazy kalkulus potřeby geometrické opory, tj. závislosti na kantovském názoru prostoru.
2) Frege a Dedekind učinili totéž pro názor času, jehož role v aritmetice souvisí podle Kanta právě s rekurzivním, postupným zaváděním pojmů. Objekty či funkce nejsou definovány naráz, ale v konsekvencích fázích, odvolávajících se na fáze již realizované.
3) V podstatě se jedná o vytěsnění potenciálního nekonečna ve prospěch nekonečna aktuálního.
Tento příběh je ale jenom jiným dokladem toho, že se dějiny píší z pozic vítězů. Přitom jsme již naznačili, proč je tato pozice pochybná a zmíněné vítězství se může snadno ukázat jako vítězství Pyrrhovo:
4) Bolzano ve skutečnosti nemohl dokázat, že má každá spojitá funkce na kontinuu vlastnost mezihodnoty (intermediate-value property), protože nedisponoval jasným pojmem kontinua, a tedy pojmem aritmetické pravdy.

Vojtěch Kolman – Filosofie čísla

Otokar Březina – Stavitelé chrámu

Viděli jsme zástupy nesčíslné. Ponurou majestátností věcí
kráčeli smutni. Cizí byly si duše, jak by každá z jiného světa
po tajemném ztroskotání zachránila zem.
I snily o svých ztrátách.

O samotách uprostřed magických lesů, nad nimiž slunce
podobno ptáku se zlatými křídly nekonečnými brázdilo éter;
celým vesmírem letěla jeho píseň o slávě a života harmonického,
o zázracích tvůrčího jitra v zahradách země a podmořských nížin,
v modrých prériích vzduchu a vody:
v oceány se sklánělo v žízni a pijíc rozvlnilo je bouří,
v jeskyně ametystové pod ledovci západů do hnízda horských růží šlo spáti
a jeho sen viditelný, hra tisíců bratrských sluncí,
tančících v rytmech hudby melancholické, vznášel se nekonečnostmi
zářící láskou. Noc dávala hovořit květům o jejich léčivé síle
a opojení, jež dřímá v hroznech a máku. Znali jemná slova,
jež jako rozhozené zrní lákají ptáky. A zvířata lesní,
která neokusila krve, je přítulně navštěvovala.

Snili o městech, jež vládnou nad zeměmi. O rozkoši práce,
slavnostním zvonění kladiv, zkrocení ohně, závratích boje,
signálech jízdy, sladkosti nebezpečenství, hrdosti dávajících,
smělosti ruky, jež hází tajemné sítě nad národy,
a o slovech, jež jako smolné věnce padají na města nepřátelská.

O pýše orlů na horách osamělých, jejichž vířící křídla
rychlosti letu zdají se nehybně ztuhlá jak z kovu
a stačí zrakům protínajícím soumračný vesmír jak hvězdy.

O rozkoši zničení, triumfální jízdě cyklónů nad rovinami,
požárech lesů, ledových vichřicích pólů, o démonickém výsměchu živlů,
které v řinčení přetrhaných řetězů blesky vybíjejí se v chaos.

O tragické žízni hledajících, honbě, která tajemství stíhá
cestami nesčetných světů, ústících v jediném světě,
zmateně pobíhá tisíciletími, číhá na předvěkých pohřebištích
a jako na skoby řeřavé ještě, dokuté právě posledním úderem kladiv,
na slunce věší svá tenata neviditelná
a lovecké sítě spouští v plamenná moře, která je tráví
jak pavučiny. A odsouzená hledati věčně
mate se mlčeními, která si kolem ní odpovídají
v magických dotknutích rukou, v agónii mučených zvířat,
v početí zakrytém blesky, v šílenství ztrhaných zraků i v pýše
zahrabávající do země stopy, jimiž jsi kráčel.

Snili o rozkoších nejistoty a hry, rozčilení tržišť,
o zmatku tisíce jazyků, pokřikem plnících duši jak přístaviště,
kam ze všech moří se vracejí lodě a kde orgie bázní,
nadějí, krve a hříchu přehlušují hukot moří
a pozdravnou střelbu a orchestry přijíždějících.

A večer o sladkosti hudby táhnoucí nábřežími
jak éterná mlha, do níž se stápí tisíce světel,
nad řekami, jež jako žíly studené záře zdají se prýštit
z měsíce. O ženách záhadných, zemdlených tíží své krásy,
jež volají milence písněmi zádumčivými. A jejich šepot
a vlnění šatů zdá se zakleto v květech a dřímotě keřů:
bílé, ve fosforném jiskření drahokamů a rtů, halí se v soumrak,
jak by jich ruce, s pohyby hadů uspávaných kouzlem,
házely zrní magické vůně v srdce zapálená jich zraky
a v omamném kouři k odpovědi vyvolávaly duše mrtvých.

Ale nejposlednější ze všech (jak jsme zakvíleli láskou!)
miliony vyděděných, mravenci, kteří vyhrnuli se z lomů,
otroci, kteří plíží se žitím jak sady zapovězenými,
táhli kolem nás mlčky. Umdlená jejich duše neměla snů.
Jen jiskření očí při úderu rány neočekávané
viděli nad sebou klenutí nebes, zčernalé soumrakem věků,
jako strop ponuré dílny, zčazené prací tisíciletou:
dmychali větry do výhní pod obzorem, v Gehennu rudého žáru,
kde celé pralesy vyvrácené zdály se praskat vln ohnivou tíží,
a jako bubliny, vyfouklé ze skla, blankyty země objímající,
hrající duhou a modrem, kopule éterných paláců štěstí,
okna na vrcholu klenby pro světlo s výše, se tavily v páře
a kroužily pěnou po hladinách varu připraveného,
jehož reflex přes celý hvězdnatý zenit se šířil
a v sazích mraků se chytal jak zlatý písek slepený krví:
gigantské pohybující se stíny promítaly se na něm
jak obraz tajemného zápasu kolem věčných ohňů.

Mezi nimi šli stavitelé tvého chrámu. Ti jediní ze všech
poznávali se znameními. Jako slib jiných nebes a země
viděli hrůzu a nádheru věcí. V plnosti nesčíslných forem
cítili prvotní napětí tvého tvůrčího dechu,
jež jako Eliášovo světlo ze všech nejvyšších linií krásy se jiskří
nad krajinami oblaky věků zatíženými
a ranami blesků ochromí zčernalou ruku odvážlivého.
Vykoupením tajemné viny byla jim bolest a práce.
Jistotu cesty vnitřní radost, nepohnutá, bílá a silná jako slunce,
jež, třeba neviditelné uprostřed bouře a noci,
dle věčného zákona vládne zemí. Vítězů matku a sestru
ve květu tisíciletí, na rtech zardění jitřní, vítali ženu,
a souhvězdí letní Orel, Labuť, Delfín a Lyra
vstávala v záři do jejich nocí, po dni, který se dloužil.
K miliónům trpících bratří bylo poslání jejich
jako najmutí dělníků k stavbě. Ale aby žhavější byla
slova najímajících a ruce odměňujících horkostí touhy,
tvá spravedlnost, silná a vládnoucí smrtí,
rtům jejich odňala vzpomínku na všechnu sladkost země.

Stekeler o existenci množinových jsoucen

Následující text jsem nalezl v knize Vojtěcha Kolmana Filosofie čísla. Část originálu si lze přečíst zde na str. 355.

Naivní teorie množin zde nevidí žádný problém; jednoduše dělá, jako by bylo jasné, co je množina čísel, takže může být považován za „daný“ jak obor 2^N, tak hierarchický obor V „všech množin“ a „přirozený“ vztah ∈. Avšak tento postoj připomíná – obrazně řečeno – chování zoologa, jenž věří na existenci jednorožců (≅ standardní model) a „zkoumá“ jejich vlastnosti. Formalista pak sice také věří na jednorožce, ale ne na jedinečnost druhu. (...) Oba, platonista i formalista ale zakládají své popisy vlastností jednorožců na vlastnostech věcí, které známe: na vlastnostech koní (konečných nebo rozhodnutelných množin nebo množin získaných „abstrakcí“ z korektně vystavěných a sémanticky ohodnocených větných forem) a zvířat s jedním rohem (na existenci potenčních a výběrových množin v patřičně „neškodných“, např. konečných oborech). Tyto vlastnosti pak slučují do pojmu jednorožce, množinového modelu teorie množin. Jeho „existence“ je historicky zdůvodněna tím, že neexistence jednorožců nebyla dodnes – přes intenzivní pátrání – dokázána a že se ještě mohou objevit např. na Marsu nebo na vzdálené hvězdě. Kromě toho se koncept jednorožce (teorie množin) báječně osvědčil při vyvozování pravdivých soudů o koních a nosorožcích (v aritmetice a analýze).

Pirmin Stekeler-Weithofer – Základní problém logiky