Quine o intuicionismu

Věta

(A) existuje právě jedno sudé prvočíslo

nemá stejný smysl jako věta

(B) číslo 2 je jediné sudé prvočíslo.

Zdá se, jako by se věta (A) vztahovala k číslu, o kterém mluví, zastřeně, jako by ukazovala někam do tmy. Naproti tomu, věta (B) ukazuje pravdu zcela nezakrytě. Logika, která odmítá mluvit o pravdivosti vět podobných větě (A), má své opodstatnění. Ale platí za to svou cenu.

Conceptualism holds that there are universals but they are mind-made. Intuitionism, espoused in modern times in one form or another by Poincare, Brouwer, Weyl, and others, countenances the use of bound variables to refer abstract entities only when those entities are capable of being cooked up individually from ingredients specified in advance. As Fraenkel has put it, logicism holds that classes are discovered while intuitionism holds that they are invented—a fair statement indeed of the old opposition between realism and conceptualism. This opposition is no mere quibble; it makes an essential difference in the amount of classical mathematics to which one is willing to subscribe. Logicists, or realists, are able on their assumptions to get Cantor’s ascending orders of infinity; intuitionists are compelled to stop with the lowest order of infinity, and, as an indirect consequence, to abandon even some of the classical laws of real numbers. The modern controversy between logicism and intuitionism arose, in fact, from disagreements over infinity.

Willard Van Orman Quine – On What There Is

Konceptualismus zastává názor, že univerzálie sice jsou, jedná se však o výtvory lidské mysli. Intuicionismus zastávaný v různých obdobích moderní doby Poincarém, Brouwerem, Weylem a jinými také dovoluje vázaným proměnným, aby referovaly k abstraktním entitám, nicméně pouze tehdy, jsme-li schopni tyto entity jednotlivě ukuchtit z předem určených ingrediencí. Jak to shrnul Fraenkel, logicismus tvrdí, že třídy jsou objevovány, zatímco intuicionismus má za to, že jsou vynalézány – což je přesným vystižením starého sporu mezi realismem a konceptualismem. Tento rozpor není žádným zápolením o slovíčka; naopak představuje zásadní rozdíl v tom, k jakému rozsahu klasické matematiky, konečnému, či nekonečnému, je člověk ochoten se upsat. Zastánci logicismu neboli realismu mohou na základě svých předpokladů vytvořit Cantorovu vzestupnou hierarchii různých řádů nekonečen; inuicionisté jsou naproti tomu nuceni skončit u prvního řádu nekonečna, a přímým byť ne bezprostředním důsledkem tohoto omezení je nutnost vzdát se i některých klasických zákonů týkajících se reálných čísel. Koneckonců, moderná kontroverze mezi logicismem a intuicionismem povstala právě z odlišného pojímání nekonečna.

Willard Van Orman Quine – O tom, co je

Možná, že se budoucím generacím bude teorie množin zdát stejně směšná, jako se zdá nám směšné ono pověstné scholastické počítání andělů na špičce jehly. Mimochodem, Gödelova první věta o neúplnosti má sice formu věty (A), ale její důkaz už je ve formě věty (B).

Matematické příklady

Schopnost řešit matematické úlohy si lze otestovat na adrese http://trial2.kma.zcu.cz. Některé úlohy jsou velmi chytře vymyšlené. Složitost je spíše menší než větší.

Naturalismus

Poznání, mysl a význam jsou součástí téhož světa, se kterým mají co do činění, a že mají být studovány ve stejném empirickém duchu, jakým jsou prodchnuty přírodní vědy.

W. V. O. Quine – Ontological relativity and other essays

Na tomto druhu naturalismu je skutečně podstatné to, že vede k naprostému odmítnutí filosofování „zevnitř subjektivity“, jaké se většině filosofů do té doby jevilo jako téměř samozřejmé východisko. Podstatná část filosofů od Descarta po Husserla totiž viděla jako klíčový filosofický problém právě otázku jak ze subjektivity vyjít do vnějšího světa (případně jak v průběhu takového vyjití neztratit onu jistotu poznání, kterou – podle nich – uvnitř subjektivity máme a která je, vyjdeme-li ven, ohrožena); Quinovi se však zdá, že filosofovat jinde, než ve „vnějším“ světě prostě nelze, že tam musíme filosofováním vždy již začíst (a tím vlastně přestává mít smysl o tomto světě uvažovat jako o vnějším – není tu žádný vnitřek, ze kterého bychom se na tento svět dívali jakoby okny).

Jaroslav Peregrin – Proč je Quine převratným filosofem?

Stephen Hawking o positivismu

Je možné, že pozitivismus byl svého času intelektuální módou a že z ní skutečně vyšel. Já však vidím pozitivistickou pozici chápanou tak, jak jsem ji popsal, jako jedině přijatelnou pro toho, kdo hledá nové zákony, nové způsoby, jak popsat vesmír. Je k ničemu odvolávat se na realitu, když nemáme pojetí reality nezávislé na modelu. Podle mého názoru je právě víra, byť nevyslovená, v realitu nezávislou na modelu důvodem obtíží, které mají filozofové vědy s kvantovou teorií a principem neurčitosti.

Stephen Hawking – Černé díry a budoucnost vesmíru

Černé díry a budoucnost vesmíru Stephena Hawkinga

Černé díry a budoucnost vesmíru: tak zní poněkud zvláštní překlad knihy Black Holes and Baby Universes and Other Essays. O černých děrách mohl přemýšlet už Isaac Newton, kdyby ho taková myšlenka napadla, a po roce 1687 každý čtenář jeho Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica. Následující časový údaj je tedy o něco méně překvapivý, než jak na první pohled vypadá.

Pokud je mi známo, byl prvním, kdo se zmiňoval o černých dírách, cambridgeský učenec jménem John Michell: napsal o nich článek v roce 1783. Vycházel z následující myšlenky. Představme si dělovou kouli vystřelenou z povrchu Země kolmo vzhůru. Pohyb koule bude brzděn gravitací. Nakonec dosáhne nejvyššího bodu, zastaví se a začne opět padat. To ovšem platí, pokud je počáteční rychlost koule menší než určitá kritická rychlost. Je-li větší, nikdy se nepřestane vzdalovat a nezačne nikdy padat zpět. Takové rychlosti se říká úniková. Pro Zemi je rovna asi 11 kilometrům za sekundu, na Slunci má hodnotu kolem 160 kilometrů za sekundu. V obou případech jde o rychlosti vyšší než u reálných dělových koulí, ale mnohem nižší, než je rychlost světla, tedy 300 000 kilometrů za sekundu. To naznačuje, že vliv gravitace na světlo bude u Země i Slunce malý – světlo snadno unikne ze Země i ze Slunce. Michell zvažoval i možnost existence hvězdy dostatečně hmotné a zároveň s tak malými rozměry, že by úniková rychlost z jejího povrchu byla vyšší než rychlost světla. Takovou hvězdu bychom nemohli vidět, protože by nás světlo z jejího povrchu nikdy nedostihlo: zadrželo by je gravitační pole hvězdy. Existenci hvězdy bychom ovšem mohli zjistit prostřednictvím účinků jejího gravitačního pole na okolní hmotu.

Stephen Hawking – Černé díry a budoucnost vesmíru

Vědec, ačkoliv musí používat vědeckou metodu, se může inspirovat i mimo vědu. František Koukolík o tom píše na více místech, např. zde:

Filosofa [Pythagoru] to zřejmě ohromilo, a protože byl i matematikem, vyvodil z toho závěr ovlivňující filosofy a po nich vědce dodnes: za předměty a jevy, případně v nich samotných je matematický řád a ten je krásný. Odtud zřejmě i proslulá harmonie sfér, němý zpěv oběžnic a hvězd na křišťálových koulích obíhající Zemi. A snad i důvod, proč dva velcí fyzici, Maxwell v devatenáctém století a Dirac ve století dvacátém, doplnili chybějící člen ve své jinak neřešitelné rovnice jen na základě pocitu krásy. Matematici dodnes mluví o kráse rovnice jako o jenom z důvodů její platnosti nebo neplatnosti.

František Koukolík – Homo sapiens stupidus

Nevím o co u Maxwella a Diraca konkrétně šlo, ale následující příklad, kdy se takováto inspirace katastrofálně nepovedla, je poměrně známý. Hawking to popisuje takto:

Z původních Einsteinových rovnic obecné relativity plyne, že se vesmír buď rozpíná, nebo smršťuje. Einstein proto přidal k těmto rovnicím, které vyjadřují vztah mezi zakřivením prostoročasu a rozložením hmoty a energie, další člen. Tento – tzv. kosmologický – člen efektivně způsobuje gravitační repulzi. Tím gravitační přitažlivost hmoty vyvážila odpuzování v důsledku kosmologického členu. Jinými slovy – negativní křivost prostoročasu vyvolaná kosmologickým členem se může vyrušit s pozitivní křivostí vytvářenou hmotou a energií vesmíru. Tak se podařilo vytvořit model vesmíru, který navěky zůstává ve stejném stavu. Kdyby byl Einstein zůstal u svých původních rovnic, byl by předpověděl, že vesmír se buď rozpíná, nebo smršťuje. Takto myšlenka časově proměnného vesmíru zvítězila až v roce 1929, kdy Edwin Hubble objevil, že se vzdálené galaxie pohybují od nás. Vesmír se tedy rozpíná. Později Einstein nazval zavedení kosmologického členu „největším omylem svého života“.

Stephen Hawking – Černé díry a budoucnost vesmíru

Pausaniás – svědek zaniklé a zanikající civilizace

Z Pausaniovy Cesty po Řecku je cítit jeho hrdost na slavnou minulost, ale přesto je místy znát, že žil už v cela jiném Řecku, než o jakém píše Thúkydidés nebo Xenofónt.

Εἰ δὲ ἡ Μεγάλη πόλις προθυμίᾳ τε τῇ πάσῃ συνοικισθεῖσα ὑπὸ Ἀρκάδων καὶ ἐπὶ μεγίσταις τῶν Ἑλλήνων ἐλπίσιν ἐς αὐτὴν κόσμον τὸν ἅπαντα καὶ εὐδαιμονίαν τὴν ἀρχαίαν ἀφῄρηται καὶ τὰ πολλά ἐστιν αὐτῆς ἐρείπια ἐφ´ ἡμῶν, θαῦμα οὐδὲν ἐποιησάμην, εἰδὼς τὸ δαιμόνιον νεώτερα ἀεί τινα ἐθέλον ἐργάζεσθαι, καὶ ὁμοίως τὰ πάντα τά τε ἐχυρὰ καὶ τὰ ἀσθενῆ καὶ τὰ γινόμενά τε καὶ ὁπόσα ἀπόλλυνται μεταβάλλουσαν τὴν τύχην, καὶ ὅπως ἂν αὐτῇ παριστῆται μετὰ ἰσχυρᾶς ἀνάγκης ἄγουσαν. Μυκῆναι μέν γε, τοῦ πρὸς Ἰλίῳ πολέμου τοῖς Ἕλλησιν ἡγησαμένη, καὶ Νῖνος, ἔνθα ἦν Ἀσσυρίοις βασίλεια, καὶ Βοιώτιαι Θῆβαι προστῆναι τοῦ Ἑλληνικοῦ ποτε ἀξιωθεῖσαι, αἱ μὲν ἠρήμωνται πανώλεθροι, τὸ δὲ ὄνομα τῶν Θηβῶν ἐς ἀκρόπολιν μόνην καὶ οἰκήτορας καταβέβηκεν οὐ πολλούς. Τὰ δὲ ὑπερηρκότα πλούτῳ τὸ ἀρχαῖον, Θῆβαί τε αἱ Αἰγύπτιοι καὶ ὁ Μινύης Ὀρχομενὸς καὶ ἡ Δῆλος τὸ κοινὸν Ἑλλήνων ἐμπόριον, αἱ μὲν ἀνδρὸς ἰδιώτου μέσου δυνάμει χρημάτων καταδέουσιν ἐς εὐδαιμονίαν, ἡ Δῆλος δέ, ἀφελόντι τοὺς ἀφικνουμένους παρ´ Ἀθηναίων ἐς τοῦ ἱεροῦ τὴν φρουράν, Δηλίων γε ἕνεκα ἔρημός ἐστιν ἀνθρώπων. Βαβυλῶνος δὲ τοῦ μὲν Βήλου τὸ ἱερὸν λείπεται, Βαβυλῶνος δὲ ταύτης, ἥντινα εἶδε πόλεων τῶν τότε μεγίστην ἥλιος, οὐδὲν ἔτι ἦν εἰ μὴ τεῖχος, καθὰ καὶ Τίρυνθος τῆς ἐν τῇ Ἀργολίδι. Ταῦτα μὲν δὴ ἐποίησεν ὁ δαίμων εἶναι τὸ μηδέν ... .

Παυσανίας – Ἑλλάδος περιήγησις

Třebaže byla Megalé polis (Veliké město) zakládána s největším nadšením Arkaďanů a velikými nadějemi Řeků, byla zbavena veškeré své nádhery a původního blahobytu, vždyť za mých časů je většinou ve zříceninách. Nijak jsem se tomu však nepodivil, vždyť vím, s jakou chutí boží prozřetelnost vytváří vždy něco nového a jak štěstěna přeměňuje všechno, ať je to silné nebo slabé, zrodivší se nebo hynoucí, a s jakou neúprosností jedná. Ve válce u Ília měly Mykény vedoucí postavení mezi Řeky a Ninive, kde měli Assyřané královské sídlo, stejně jako boiótské Théby, tak vážené v helénském světě, byly zničeny a opuštěny. Jméno Théb přešlo pouze na název akropole a nečetné obyvatelstvo. Z těch měst, jež za starodávna předčila ostatní bohatstvím, jako Egyptské Théby, minojský Orchemenos a Délos, společné tržiště Řeků, z těch měst některá zůstávají množstvím statků za blahobytem prostředně zámožného soukromníka a Délos je pustý ostrov, odmyslíme-li si ty, kdož přišli od Athéňanů zachránit svatyni, poněvadž chybějí Délští; z Babylónu se uchovala jen svatyně Bélova, z toho Babylónu, nad nějž slunce kdysi nevidělo většího města, zůstaly pouze hradby právě tak jako v Tírynthu v Argolidě. Tak bůh vše obrátil v niveč.

Pausaniás – Cesta po Řecku, Kniha VIII

Když Prokópios o více než tři sta let po Pausaniovi mimochodem napíše, že v Římě zůstává jen nečetná vojenská posádka a že město samo je vylidněno, je to mrazivý okamžik. Chtěl bych mít někdy odstup, s jakým uměl svět prožívat autor knihy Tímaios nebo knihy Kazatel. Anebo jak to umí geolog: Do míst, kde nyní sedím, postupně přišlo a zase odešlo pět nebo šest moří. A je téměř jisté, moře přijde opět.

John D. Barrow o teoriích všeho

Vždy je zajímavé dočíst se, co si o čistě abstraktních vědách myslí empiričtí vědci.

Thus Euclid's axioms – for example, that parallel straight lines never meet, or that there is only one straight line joining any two points on a flat surface – are the self-evident fruits of one's experience of drawing lines on a flat surface. Later mathematicians did not feel so encumbered and have required only consistency from their lists of axioms. They need have no correspondence with anything we can see or abstract from experience. It remains to be seen whether the initial conditions appropriate to the deepest physical problems, like the cosmological problem which we shall discuss below, will have specifications which are directly related to visualizable physical things or whether they will be abstract mathematical or logical notions that enforce only self-consistency. Even if the situation prevails, it may transpire that the requirement of self-consistency in a system as self-evidently complex as the physical as the universe is adequate to fix those initial conditions uniquely completely.

John D. Barrow – Theories of everything

Tak Eukleidovy axiomy, – například že rovnoběžky se nikdy neprotnou nebo že v rovině je pouze jediná přímka spojující každou dvojici bodů – jsou očividnými plody lidské zkušenosti s kreslením čar na rovné ploše. Pozdější matematikové se už takto vázáni necítili a pro svůj seznam axiomů vyžadovali pouhou bezespornost. Nepotřebovali žádnou korespondenci s něčím, co můžeme vidět či abstrahovat ze zkušenosti. Ještě nevíme, zda počáteční podmínky příslušné nejhlubším fyzikálním problémům (k němuž se ještě dostaneme), budou přímo souviset s fyzikální realitou přístupnou našim smyslům, anebo zda to budou abstraktní matematické koncepce vyžadující pouze vlastní bezespornost. V tomto případě by mohlo vyjít najevo, že požadavek vnitřní bezespornosti v systému tak zjevně složitém, jako je fyzikální vesmír, k jednoznačnému a úplnému stanovení počátečních podmínek nestačí.

John D. Barrow – Teorie všeho

Z tohoto vyprávění by se mohlo zdát, že v moderní době došlo k nějakému úpadku, k odklonu od skutečnosti a k příklonu k smysluprázdné bezespornosti. Existuje však nějaký bezesporný systém, který by s ničím nekorespondoval? To je uzel, který není snadné rozmotat. A nebylo oproštění od spojení se smyslovými zkušenostmi matematice vždy spíše ku prospěchu?

Panuje přesvědčení, že každý bezesporný deduktivní systém je neúplný. Úplných systémů je více než dost. Bylo by možné mít fyzikální teorii jako úplný systém?

Ale fyzikální realita, třebaže ve své nejhlubší podstatě matematická, neužívá celé aritmetiky a mohla by být tedy úplná. Mohla by ležet na jedné rozhodnutelných větví matematiky, která není tak bohatá jako aritmetika. Ačkoliv by se mohlo zdát, že vesmír užívá veškeré aritmetické výzbroje, protože naše verze jeho matematických zákonů přírody tak činí, může tomu tak být jenom proto, že tyto verze nejsou nejelegantnějším ani nejhospodárnějšími vyjádřením pravd, jež jsou v nich obsaženy.

John D. Barrow – Teorie všeho

Je pravda, že fyzik nepotřebuje ke své práci všechny pravdivé věty aritmetiky, ale jen některé. To však neznamená, že se bezespornost fyzikálních teorií neopírá mj. o celou teorii čísel. A pokud by fyzikální teorie měla popisovat všechno, měla by popisovat i rozum, který ji myslí. Lze toto žádat od teorie chudší než je aritmetika?

Keith Devlin o fyzice

Prvním, s čím se žák při výuce fyziky setká, je zemská přitažlivost. Jestliže nadšeně čeká, že z učebnic doví, co je příčinou přitažlivosti, bude časem zklamán. Doví se jen jak, nikoli proč předměty padají. To není náhoda.

Zatímco Descartes zdůrazňoval důležitost logické úvahy podložené zkušeností, Galilei kladl důraz na měření, čímž navždy změnil povahu přírodních věd. Místo pátrání po skrytých „příčinách“ různých přírodních jevů, což bylo náplní vědy – lze-li to tak nazvat – od starověkého Řecka, hledal Galilei číselné vztahy mezi dvěma různými měřitelnými veličinami. Nepokoušel se například logicky vysvětlit, proč předmět padá, ale zjišťoval, jak se poloha předmětu mění s časem, po který předmět padá. (...) V současnosti jsme již tak zvyklí na zákony tohoto druhu, že snadno zapomínáme, že tento způsob náhledu na přírodní jevy je starý pouze 400 let a je v podstatě vykonstruovaný.

Keith Devlin – Jazyk matematiky

Starověká anekdota

Lidé se při poznávání zjevných věcí mýlí podobně jako Homér, který byl moudřejší než všichni Řekové. Zmýlily ho totiž děti hubící vši, když mu řekly: Co jsme uviděli a uchopili, toho se zbavujeme, avšak to, co jsme ani neuviděli, ani neuchopili, to neseme.

Hippolytos – Refutatio omnium haeresium IX, 9, 5

ἐξηπάτηνται οἱ ἄνθρωποι πρὸς τὴν γνῶσιν τῶν φανερῶν παραπλησίως ῾Ομήρῳ ὃς ἐγένετο τῶν ᾿Ελλήνων σοφώτερος πάντων. ἐκεῖνόν τε γὰρ παῖδες φθεῖρας κατακτείνοντες ἐξηπάτησαν εἰπόντες· ὅσα εἴδομεν καὶ κατελάβομεν, ταῦτα ἀπολείπομεν, ὅσα δὲ οὔτε εἴδομεν οὔτ᾿ ἐλάβομεν, ταῦτα φέρομεν.

Hippolytos – Refutatio omnium haeresium IX, 9, 5

Nalezl jsem v záslužné publikaci Délský potápěč k Hérakleitově řeči. Elektronická verze je zde.

Jsou zákony aritmetiky syntetické a apriorní, nebo analytické?

Analytický soud je soud, jehož pravdivost pramení jen ze zákonů logiky nebo z definic. Syntetický soud nějakým způsobem rozšiřuje naše poznání. Apriorní se od aposteriorního soudu liší tím, že rozhodnutí o pravdivosti apriorního soudu předchází smyslovému vnímání. Analytický soud je tedy vždy apriorní.

Doufám, že jsem v tomto spise učinil pravděpodobným, že aritmetické zákony jsou analytickými soudy, a že jsou tudíž a priori. Podle toho by byla aritmetika jenom dále rozvedená logika, a každá aritmetická věta by byla logickým zákonem, i když jen odvozeným. Aplikace aritmetiky na vysvětlování přírody by byly logickým rozpracováním pozorovaných skutečností; počítání by bylo provádění závěrů. Zákony čísel nebudou, jak se domnívá Baumannm, vyžadovat praktické ověření, aby byly použitelné ve vnějším světě; protože ve vnějším světě, souhrnu všeho prostorového, neexistují žádné pojmy, žádné vlastnosti pojmů, žádná čísla. Zákony čísel tedy vlastně na vnější věci použitelné nejsou: nejsou přírodními zákony. Jsou ale docela dobře použitelné na soudy, které o věcech vnějšího světa platí: jsou zákony přírodních zákonů. Netvrdí žádnou souvislost mezi přírodními jevy, ale souvislost mezi soudy; a k těm patří také přírodní zákony.

Gottlob Frege – Jsou zákony aritmetiky syntetické a apriorní, nebo analytické?

Giordano Bruno o jednom

Giordano Bruno toho ve svých dialozích neslibuje zrovna málo.

Chci říci, že načichnete peripatetiky, najíte se s pythagorejci, napijete se stoiky a budete srkati víno s někým, kdo přitom ukazuje zoubky v úsměvu tak jemném, že otevře ústa od ucha k uchu. Ale až rozdrtíte kosti a vyndáte z nich morek, najdete věci schopné rozveselit svatého Colombina, patriarchu jezuatů, umlčet báby na tržišti, vykloubit čelisti opicím a přerušit mlčení na hřbitově.

Giordano Bruno – Večeře na Popeleční středu

Dejme k tomu, co bylo řečeno, že rozum, když chce pochopit podstatu nějaké věci, pokud může, zjednodušuje, to je vzdaluje se od toho, co je složené a mnohé, zamítá pomíjivé akcidenty, rozměry, podružné znaky a tvary ve prospěch toho, co je základní. Tak neporozumíme dlouhému spisu a obsáhlé řeči, když si jej nezhustíme na jednu prostou větu. Rozum v tom zřejmě ukazuje, jak podstata věcí je v jednotě věcí, a tu se jme hledat, ať již po pravdě nebo podle podobenství. Věř, že by byl nejznamenitějším a nejdokonalejším geometrem ten, kdo uměl všechny věty rozptýlené po Principiích Euklidových zhustit v jednu jedinou, a nejdokonalejším logikem by byl ten, kdo by všechny logické poučky stáhl v jedinou.

Giordano Bruno – O příčině, principu a jednom

Keith Devlin a Jazyk matematiky

Kniha Keitha Devlina Jazyk matematiky tak trochu klame názvem. Ten slibuje, že se kniha bude věnovat především matematické logice a metamatematice. Většina knihy je však vyplněna popularizací matematiky samé a to především matematiky starší. Ale Keith Devlin popularizuje mistrně, a proto si tato kniha zaslouží být čtena. Ale ani otázku „co je to matematika?“ rozhodně nenechává Devlin stranou.

Co je to matematika? Položíme-li tuto otázku náhodnému kolemjdoucímu, uslyšíme pravděpodobně následující odpověď: „Matematika – to jsou počty.“ Když ho budeme chtít trochu popíchnout, aby nám vysvětlil, jaké počty má na mysli, možná se nám dostane odpovědi, že jde o vědu o číslech. Dál bychom se asi nedostali. Ale takto chápaný popis

matematiky přestal platit již před 2 500 lety!

Keith Devlin – Jazyk matematiky

Tak co je tedy matematika?

Při tak ohromném rozvoji by se mohlo zprvu zdát, že na otázku „Co je to matematika?“ máme jednoduchou, i když trochu povrchní odpověď: „Je to vše, čím se zabývají matematikové.“ Určitý obor spadal do matematiky ne podle toho, co bylo předmětem zkoumání, ale podle toho, jak to bylo zkoumáno – tedy podle užité metodologie. V posledních asi třiceti letech byla zformulována definice matematiky, se kterou většina dnešních matematiků souhlasí: matematika je vědou o strukturách. Matematik zkoumá abstraktní numerické struktury, struktury tvarů, zákony pohybu, principy chování a rozhodování, podstatu pravděpodobnosti atd. Všechny struktury mohou být skutečné nebo uměle sestavené, zjevné nebo skryté, statické nebo dynamické, kvalitativní nebo kvantitativní, ryze účelové nebo vymyšlené jen tak pro zábavu. Jejich podstata vychází ze světa, který nás obklopuje, z hlubin prostoru a času i z labyrintu lidské mysli.

Keith Devlin – Jazyk matematiky

Jestliže je matematika vědou o strukturách (patterns), co je to tedy ta struktura? Na tuto otázku již tato kniha neodpovídá. Snad jen nechce opakovat, co bylo napsáno v knize The Science of Patterns. Nabízí však jinou zajímavou úvahu:

Současné matematické knihy se zdají být symboly přímo zahlceny, ale matematický znak ještě není sám o sobě matematikou, tak jako notový part ještě není hudbou. Notový list hudbu jen zapisuje; ovšem samotnou melodii uslyšíme, až když ji podle not zazpíváme nebo přehrajeme na hudebním nástroji. Teprve během představení hudba ožije a my ji můžeme prožít. Hudba nevzniká okamžikem notového zápisu, ale teprve ve chvíli, kdy pronikne do naší mysli. Totéž platí pro matematiku. Symboly na stránce jsou pouhými zástupnými znaky. Pokud se však dostanou do rukou vnímavému čtenáři, jako by obživly. Matematika pak žije a dýchá v jeho mysli jako nějaká abstraktní symfonie.

Keith Devlin – Jazyk matematiky

Toto přirovnání je nádherné. Otázka je, zda je taky případné. Kdyby někdo tvrdil, že a = a nemůže být pravdivé, protože se první a liší od druhého a přinejmenším polohou, a co se liší, není rovné, museli bychom namítnout, že si plete symboly a skvrny na papíře (nebo na monitoru). Skvrny na papíře ještě nejsou noty. A je pravda, že noty ještě nejsou hudba. Skvrny na papíře ještě nejsou matematické symboly. Je však matematika vždy něco více než symboly? Platón by se zápornou odpovědí prudce nesouhlasil. Takto mluví o geometrech:

Nuže, jak také dále víš, užívají viditelných podob a vykládají o nich, aniž mají na mysli tyto, nýbrž ony, které tyto představují, jako například jest účelem jejich výkladu čtverec sám a úhlopříčka sama, a ne ta, kterou kreslí, a tak dále; tyto jejich výtvory a výkresy mohou způsobovati i stíny i obrazy na vodních hladinách, ale oni jich samých užívají zase jako obrazů, hledíce však spatřiti ona jsoucna sama, jichž není možno spatřiti jinak než myšlením.

Platón – Ústava

Moderní doba to však již vidí trochu jinak. Na tuto otázku (možná nevědomě) naráží Devlin na konci knihy.

Věta čtyř barev se stala první větou, jejíž úplný důkaz nikdo nemůže přečíst celý. V jednotlivých krocích důkazu se analyzuje tak obrovský počet případů, že je žádný člověk není schopen sám sledovat. Matematici se proto museli spokojit se zkontrolováním počítačového programu, který všechny případy prověřil.

Keith Devlin – Jazyk matematiky

Tak přeci jenom svěřujeme alepoň část matematiky strojům.

Martin Heidegger o filosofii

„Krásné pocity plodí špatnou literaturu.“ „C’est avec les beaux sentiments que l‘ on fait la mauvaise littérature.“ Tento výrok André Gida neplatí pouze o literatuře, ještě mnohem spíše platí pro filosofii. Do filosofie nepatří ani ty nekrásnější pocity. Říká se, že pocity jsou něčím iracionálním, zatímco filosofie nejen že je něčím racionálním, nýbrž je vlastní strážkyní naší ratio. Tímto tvrzením jsme maně rozhodli něco o tom, co filosofie je. Svou odpovědí jsme již otázku předešli. Výpověď, že filosofie je záležitostí naší ratio, považuje se všeobecně za správnou. Snad ale tato výpověď odpovídá přece jen předčasně a unáhleně na otázku: Co je to – filosofie? Neboť proti této odpovědi můžeme ihned postavit nové otázky. Co je to – ratio, rozum? Kde a kdo rozhodl, co je ratio? Učinila se ratio sama paní filosofie? Jestliže „ano“, jakým právem? Jestliže „ne“, odkud se jí dostává tohoto příkazu a poslání? Bylo-li to, co platí za ratio, stanoveno teprve a pouze filosofií, vnitřním během jejích dějin, pak není radno vydávat filosofii předem za věc ratio. Jakmile však označení filosofie za racionální počínání uvedeme v pochybnost, bude právě tak možno pochybovat i o tom, zda filosofie patří do říše iracionálna. Neboť ten, kdo chce určovat filosofii jako záležitost iracionálna, činí racionálního kritériem, a to tak, že opět samozřejmě předpokládá, co je ratio.

Na druhé straně, poukážeme-li na možnost, že to, k čemu se filosofie vztahuje, doléhá na nás a dotýká se nás v naší bytnosti, mohlo by tomu být tak, že by tato afekce neměla vůbec nic společného s tím, co se obvykle nazývá afekty a pocity, zkrátka, co se nazývá iracionálnem.

Z toho, co bylo řečeno, plyne pro nás zprvu pouze toto: Odvážíme-li se započít rozhovor na téma „Co je to – filosofie?“, vyžaduje to vyšší stupeň obezřelosti.

Martin Heidegger – Co je to – filosofie?

Johann Georg Hamann o rozumu a řeči

V roce 1784 napsal Johann Georg Hamann toto:

I kdybych byl výřečný jako Démosthenes, přece bych nemohl než třikrát opakovat jedno jediné: rozum je řeč, λόγος. Tuhle morkovou kost hryžu a na ní se uhryžu k smrti. Stále ještě je pro mne nad touto hlubinou tma, stále ještě čekám na apokalyptického anděla, který bude mít k této bezedné propasti klíč.

Johann Georg Hamann – Hamanns Schriften

To s tím andělem, to je téměř jistě z Ecovy oblíbené 12. věty 13. kapitoly 1. Pavlova listu Korintským. Celou 13. kapitolu si lze přečíst třeba zde.

Post Festum 2009

Tak jako jsou staré písně vánoční, jsou i staré písně novoroční. Toto je jedna z nich: