Gödel a ontologický důkaz

Gödelův důkaz tak, jak ho popisuje Petr Hájek (logik, nikoli poradce) se trochu od Gödelova rukopisu odchyluje, pochopitelně v zájmu srozumitelnosti. Původnější anglicko-české zrcadlové vydání v PDF je zde:

https://docs.google.com/open?id=0B3pp9Xdhjj-sOTVhNzU2YTktMTgzNy00ODNmLWE0NDItYzRiOWI2ZmQ0NWU5

Sice nebylo skoro co překládat, ale je téměř jisté, že alespoň jedna hrubá chyba tam je. Zkuste ji najít.

Kurt Gödel o vztahu mezi teorií relativity a idealistickou filosofií

Článek "A remark about the relationship between relativity theory and idealistic philosophy" / "Poznámka o vztahu mezi teorií relativity a idealistickou filosofií" je v zrcadlovém vydání, tj. anglicko-česky. Nepřekládal jsem já, ale prof. RNDr. Jan Novotný, CSc., takže je tu větší záruka přesnosti. Ptáte-li se proč to číst, pak odpovídám, že otázka pojetí času je při studiu filosofických názorů nějaké osobnosti krajně důležitá.

V pdf zde: https://docs.google.com/open?id=0B3pp9Xdhjj-sODY5MmVjMjAtYzEzOS00ODkxLThjNTEtY2FmNjg3NGZkMGNi.

Chyby hlašte, opravím. Chcete-li kódy v Latexu, dodám také, ale sazba tohoto článku je vinou dlouhých poznámek pod čarou opravdovým utrpením (kdo to nezkusil, nepochopí).

Hawking o Gödelovi a teorii relativity

These two papers represent Gödel's main contribution to relativistic cosmology. In the 1920s and the 1930s, the Friedmann-Robertson-Walker cosmological models had been introduced as the simplest solutions of the equations of Einstein's general theory of relativity that were consistent with the observed red-shift of distant galaxies. These models were spatially homogeneous and isotropic, and were expanding but were non-rotating. Gödel was the first to consider models that were rotating. The possible rotation of the universe has a special significance in general relativity because one of the influences that led Einstein to the theory in 1915 was Mach's principle. The exact formulation of the principle is rather obscure, but it is generally interpreted as denying the existence of absolute space. In other words, matter has inertia only relative to other matter in the universe. The principle is generally taken to imply that the local inertial frame denned by gyroscopes should be non-rotating with respect to the frame defined by distant galaxies. Gödel showed that it was possible to have solutions of the Einstein field equations in which the galaxies were rotating with respect to the local inertial frame. He therefore demonstrated that general relativity does not incorporate Mach's principle. Whether or not this is an argument against general relativity depends on your philosophical viewpoint, but most physicists nowadays would not accept Mach's principle, because they feel that it makes an untenable distinction between the geometry of space-time, which represents the gravitational and inertial field, and other forms of fields and matter. In the first of these papers (1949) Gödel presented a rotating solution that was not expanding but was the same at all points of space and time. This solution was the first to be discovered that had the curious property that in it it was possible to travel into the past. This leads to paradoxes such as "What happens if you go back and kill your father when he was a baby?" It is generally agreed that this cannot happen in a solution that represents our universe, but Gödel was the first to show that it was not forbidden by the Einstein equations. His solution generated a lot of discussion of the relation between general relativity and the concept of causality. The second paper (1952) describes more reasonable rotating cosmological models that are expanding and that do not have the possibility of travel into the past. These models could well be a reasonable description of the universe that we observe, although observations of the isotropy of the microwave background indicate that the rate of rotation must be very low.

 S. W. Hawking - Introductory note to 1949 and 1952

Tyto dva články představují Gödelův hlavní přínos k relativistické kosmologii. Ve dvacátých a třicátých letech dvacátého století byl vytvořen Friedmann-Robertson-Walkerovy kosmologický modely jako nejjednodušší řešení rovnic Einsteinovy obcené teorie relativity, které jsou v souladu s pozorovaným rudým posuvem vzdálených galaxií. Tyto modely byly prostorově homogenní a izotropní, a byly expandující aniž byly rotující. Gödel jako první uvažoval modely, které rotující byly. Tato možná rotace vesmíru měla zvláštní význam pro obecnou teorii relativity, protože jeden z vlivů vedoucích roku 1915 Einsteina k jeho teorii byl Machův princip. Přesné vyjádření tohoto principu je poněkud temné, ale lze je v obecnosti interpretovat jako popření existence absolutního prostoru. Jinými slovy, hmota má setrvačnost pouze relativně k ostatní hmotě ve vesmíru. Tento princip je obecně použit k vyvození, že lokální inerciální soustavy uhnízděné v gyroskopech by neměly být rotující v souladu se soustavami definovanými vzdálenými galaxiemi. Gödel ukázal, že je možné řešit Einsteinovy rovnice pole v nichž by galaxie rotovaly v souladu s lokální inerciální soustavou. A proto dokázal, že obecná relativita nezahrnuje Machův princip. Zda toto je nebo není argument proti obecné relativitě závisí na našem filosofickém úhlu pohledu, ale mnoho dnešních fyziků by nepřijalo Machův princip, protože cítí, že tento činí neobhajitelným rozdíl mezi geometrií prostoročasu, který představuje gravitační a inerciální pole, a ostatními formami polí a hmoty. V prvním z těchto dvou článků (1949) Gödel předvádí rotující řešení, které není expandující, ale je stejné ve všech bodech prostoru a času. Toto řešení bylo první, o kterém se odhalilo, že má tu pozoruhodnou vlastnost, že je v něm možná cesta do minulosti. To vedlo paradoxům typu: "Co se stane, když půjdu do minulosti a zabiji Vašeho otce, když byl ještě dítě?" Všeobecný souhlas panuje v tom, že toto se nemůže stát v řešení, které reprezentuje náš vesmír, ale Gödel byl první, který ukázal, že to není ve sporu s Einsteinovými rovnicemi. Jeho řešení vyvolalo mnoho diskuzí o vztahu mezi obecnou relativitou a kauzalitou. Druhý článek (1952) popisuje mnohem rozumnější rotující kosmologické modely, a to takové, že expandují a není v nich možnost cestování do minulosti. Tyto modely mohou dost dobře být rozumným popisem vesmíru takového, jaký pozorujeme, ačkoli pozorování izotropie mikrovlnného pozadí naznačuje, že míra rotace musí být velice malá.

S. W. Hawking - Úvodní poznámka k článku z roku 1949 a 1952

Přiznávám se, že jsem bídný fyzik. Jestli jsem něco špatně přeložil, budiž mi to hozeno na hlavu a rád to opravím.

Co je Cantorův problém kontinua?

Asi nejpovolanější člověk, který by se měl pokusit na tuto otázku odpovědět, byl Kurt Gödel. Jeho článek přikládám. Překlad je od Jiřího Fialy.

https://docs.google.com/open?id=0B3pp9Xdhjj-sNThhZGNiN2UtMjY3MS00MzI2LTk3YmItNDA4NmNkODE5YzA2

O zrcadlech

Český harfeník Jan Křtitel Krupmholzt (cca 1745 - 1790) ve svých pamětech píše:

Svěřoval jsem své ženě ztvárnění svých myšlenek, neboť když sám hraji, nemohu posoudit efekt hry, zato když poslouchám, nic mi neunikne. Získávám tedy na poli skládání to, co ztrácím při hraní. Stávám se tím užitečnější pro milovníky hudby i pro své žáky tím, že nechávám svou ženu opakovat stejné pasáže dvaceti různými způsoby, poznávám lépe než kdo jiný, co dokáží prsty a co umožňuje nástroj.

Něco podobného jsem slyšel i od jiných muzikantů a také jsem to zažil sám. Vždy jsem si myslel, že člověk nezná svůj vlastní hlas pouze proto, že se mu dostává do uší zkreslený. Ale u hry na hudební nástroj toto neplatí. Přesto člověk většinou svou vlastní hru nezná o mnoho lépe než svůj hlas. Akustika v tom už očividně nehraje roli. Zatímco Krumpholtz měl svou manželku (což byla nakonec jeho záhuba), disponujeme dnes lepšími "zrcadly". Jev překvapení při "spatření" svého "obrazu" v "zrcadle" mě připadá velmi zajímavý a jeho příčinu naprosto nechápu. Otázka zní: Jaké další své "obrazy" vlastně neznáme a jak nám v tom technika může pomoci?

Helloweenská

Je to sice Post Festum, ale alespoň pro příští rok. Češi mohli tento známý kánon slyšet ve filmu Český sen, ovšem s dost zkomoleným textem. Tu je v tříhlasé podobě.

Tady se píše cosi o pěti hlasech, ale to je moc. Více jak tříhlasé kánony nikdy neznějí dobře.

Pokud máte jen jeden hlas a ještě kytaru a nechcete hrát moc polyfonně, pak nabízím jednu starou ověřenou jednoduchou instrumentaci. http://kristinhall.org/songbook/CampfireBallads/ASoalinTranscribe.pdf

 

Poznámka Kurta Gödela k intuicionistické logice.

V každé (dobré) učebnici logiky se lze dočíst, že Kurt Gödel dokázal, že pokud neplatí zákon vyloučeného třetího (X nebo ne X), pak musí mít logika nekonečně mnoho pravdivostních hodnot. Každého, kdo něco takového vidí poprvé, musí zákonitě napadnout: Jak se, proboha, dá něco takového dokázat? Jak je u Gödela pravidlem, je v tom malá ale geniální finta. Jeho krátkou, ale důležitou poznámku přikládám. Je to německo-český zrcadlový text (v originále Zum intuitionistischen Aussagenkalkül). Je to jen necelá stránka textu, takže odvahy ke čtení není třeba nějak výjimečně mnoho. Překlad je můj. Veškeré připomínky vítám. Adresa: https://docs.google.com/open?id=0B3pp9Xdhjj-sMWUyZDM1MDktYzYwNy00MTIxLTk1NDMtNDMxMTRjODQ3NGQ4

Je Halting Problem výjimečný?

Mějme nějaký zcela libovolný problém P vyřešený počítačovým programem p se vstupem a. (Cokoli od hledání smyslu, života a vůbec po rozsvícení žárovky, anebo to může být úkol zaseknout se a nedělat nic.) Mějme počítačový program q se vstupem b, který řeší jiný problém. (Nechceme-li vstupy, mohu být příslušná vstupní data tzv. None. Programátoři vědí. Vstupem programu pochopitelně může být i kód programu.) Zápisem x značím kód programu a zápisem x(c) značím volání programu x se vstupem c. Ptejme se nyní: existuje program r, který má-li na vstupu kód x a datum c rozhodne, zda x(c) řeší problém P. Předpokládejme, že program r existuje. Pak lze napsat program (třeba v pythonu):

def  s(d):
    if r(d, d):
        q(b)
    else:
        p(a)

Ptejme se nyní, co udělá s(s)? Pokud s(s) řeší P, pak jej neřeší, protože se spustí q(b). Pokud jej však neřeší, pak jej řeší, protože se spustí p(a). V obou případech tedy dostáváme spor, což je další spor, a tedy program r nemůže existovat.

Pokud je formální systém tak složitý, že může zpracovávat kód jako datum (tzn. ani moc jednoduchý, ani moc složitý), pak není žádný problém rozhodnutelný. Na Halting Problému se to sice dobře ukazuje, ale nemyslím, že by obecný výše uvedený důkaz nějak komplikovaný. Tento důkaz není ani tak podobný Gödelovu/Rosserovu důkazu, protože tam je sebereference, která vede ke sporu s úplností, nikoli s její existencí. V tomto důkazu vede sebereference ke sporu s vlastní existencí. Z epistemického hlediska je tento důkaz podobný spíše diagonálnímu důkazu Cantorovu.

Přímým důsledkem této věty je fakt, že každý řešitelný problém lze řešit nekonečně mnoha navzájem velmi nepodobnými způsoby, jinými slovy, prostor pro kreativitu není omezen. Matematici tuto větu znají v podobě, která používá Gödelovo výrazivo: Množina kódů programu řešící nějaký problém je buď prázdná, nebo nerekursivní. Toto a mnohé jiné se můžete dočíst v připravované knize Michala Černého Výpočty: http://nb.vse.cz/~cernym/vypocty.pdf.

Důkaz 1

https://docs.google.com/document/pub?id=1SRmisGL0hrU6o1JAl2uBMmyvDXD5Xo5_176U5CR9330&embedded=true

Positivní disidentita v 18. století

Nejen zmiňované 18. stol., ale hlavně 20. stol. ve střední Evropě, přineslo zkušenost, že porušování zákona může být někdy i správné či dokonce nezbytné. Prosím, když je někomu víc než 70 let a celý život hlásá úctu k zákonu a nelpění na životě .. atd. vizte Kritóna ..., ale může si společnost dovolit vychovat elitu klepající se strachem před jakýmkoli zákonem? Když se níže hovoří o Rakousku, platí to pochopitelně i na Čechy a Moravu. Možná ještě víc než na to Rakousko.

The far greater number of those books which constitute the libraries of persons distinguished for taste and refinement, not merely in France or England, but even in Rome or Florence, are rigorously condemned, and their entry into Vienna is attended with no left difficulty than dander. It is indeed true, that notwithstanding every prohibition, knowledge insensibly pierces, and gradually diffuses itself over Austrian dominions.

 Nathaniel William Wraxall - Memories of the Courts of Berlin, Dresden, Warsaw and Vienna in the Years 1777, 1778, and 1779

Většina knih, které obsahují knihovny vkusu znalých a vzdělaných lidí nejen ve Francii a v Anglii, ale dokonce i v Římě a ve Florencii, je přísně zakázána a opatřit si je stejně obtížné jako nebezpečné. Je ovšem pravda, že přes všechny zákazy sem vzdělání ponenáhlu proniká a postupně se říší po rakouských zemích.

Nathaniel William Wraxall - Historie dvorů v Berlíně, Drážďanech, Varšavě a ve Vídni z let 1777, 1778 a 1779

Celá kniha (resp. její 2. svazek) je zde. Při čtení bude ze začátku asi působit potíže rozlišování písmen 's' a 'f'. ala na to si časem zvyknete.

Umberto Eco o kritériích vědy

Semiotics must proceed to isolate structures as if a definitive general structure existed; but to be able to do this one must assume that this global structure is a simply regulative hypothesis and that every time structure is described something occurs within the universe of signification which no longer makes it completely reliable. But this condition of imbalance and apparent lack of stability puts semiotics on a par with other disciplines such as physics, governed – as this latter is – by such methodological criteria as the indeterminacy or complementarity principles. Only if it acquires this awareness of its own limits, and avoids aspiring to an absolute form of knowledge, will one be able to consider semiotics as a scientific discipline.

Umberto Eco – A theory of semiotics

Sémiotika musí přistoupit k izolování struktur, jako kdyby existovala definitivní obecná struktura; aby však tohle mohla učinit, je třeba přijmout, že tato globální struktura je jen regulativní hypotézou a že pokaždé, kdy je struktura popisována, dochází uvnitř univerza signifikace k něčemu, co ji již nečiní dokonale spolehlivou. Tato podmínka nerovnováhy a zjevného nedostatku stability staví sémiotiku na stejnou úroveň s jinými disciplinami, jako např. s fyzikou, které se řídí – tak jako právě zmíněná fyzika – takovými metodologickými kritérii, jakými jsou neurčitost nebo principy komplementárnosti. Jedině pokud si budeme vědoma svých vlastních omezení a přestaneme usilovat o absolutní formu vědění, bude sémiotika moci být považována za vědeckou disciplinu. 

Umberto Eco – Teorie sémiotiky

Popularizace vědy a filosofie na BBC

Při vší úctě (která má ovšem klesající tendenci) k českému rozhlasu, takhle by to asi mělo vypadat: http://www.bbc.co.uk/radio4/features/in-our-time/ .

Vážnost matematiky v 13. stol.

Originál je napsaný arabsky, a proto se v tomto případě vzdám předsevzetí citovat původní zdroje. Český text je ze sborníku Křížové výpravy očima arabských kronikářů.

Mimo jiné císař al-Maliku al-Kámilovi poslal několik obtížných otázek z oblasti filosofie, geometrie a matematiky, aby vyzkoušel mudrce z jeho dvora. Sultán dotazy předal šejchovi ‘Alam-ad-Dín Qajsarovi, mistru těchto věd, a zbytek skupině mudrců, kteří na vše odpověděli. (...) Několikrát jsem s ním mluvil a shledal jsem, že se jedná o mimořádného muže, přítele dialektických věd, který uměl nazpaměť všech deset knih Eukleidovy geometrie.

 Ibn Wásil

Když potom přišel čas polední modlitby a zaznělo volání muezzina, všechna jeho pážata a sluhové a jeho učitel, Sicilian, s nímž četl různé kapitoly z (Aristotelovy) Logiky, se zvedli a kanonicky se pomodlili, neboť byli všichni muslimové.

Sibt ibn al-Džauzí

Zenón, Bertrand Russell Petr Vopěnka a nekonečně malé veličiny

Tvrzení, že Zenónův paradox lze jednoduše vyřešit důkazem konečnosti součtu nekonečné řady, je jen důsledek toho, že jsme si jeho paradox(y) právě tak „přeložili“. To je ovšem ten nejprimitivnější překlad, který neslouží ničemu jinému než k jednoduchému a úlevnému odmávnutí složitého a trýznivého problému, aniž by bylo potřeba se zabývat tím, co tento paradox skutečně obsahuje. Tímto obsahem je mj. otázka po povaze kontinua. A tedy i otázka po nekonečně malých veličinách, tj. oněch dx, dy, ..., které alespoň v symbolech v dnešní matematice zůstávají. Pokud však někdo alespoň pro zábavu upravovali diferenciální rovnice jako by šlo o skutečná čísla (jsem jedním z těchto hříšníků), tak nepostupoval v souladu s moderní matematikou. Ale lépe než já to uměl napsat Betrand Russell v roce 1901.

Weierstrass, by strictly banishing from mathematics the use of infinitesimals, has at last shown that we live in an unchanging world, and that the arrow in its flight is truly at rest. Zeno's only error lay in inferring (if he did infer) that, because there is no such thing as a state of change, therefore the world is in the same state at any one time as at any other. This is a consequence which by no means follows; and in this respect, the German mathematician is more constructive than the ingenious Greek. Weierstrass has been able, by embodying his views in mathematics, where familiarity with truth eliminates the vulgar prejudices of common sense, to invest Zeno's paradoxes with the respectable air of platitudes; and if the result is less delightful to the lover of reason than Zeno's bold defiance, it is at any rate more calculated to appease the mass of academic mankind. Zeno was concerned, as a matter of fact, with three problems, each presented by motion, but each more abstract than motion, and capable of a purely arithmetical treatment. These are the problems of the infinitesimal, the infinite, and continuity. To state clearly the difficulties involved, was to accomplish perhaps the hardest part of the philosopher's task. This was done by Zeno. From him to our own day, the finest intellects of each generation in turn attacked the problems, but achieved, broadly speaking, nothing. In our own time, however, three men – Weierstrass, Dedekind, and Cantor – have not merely advanced the three problems, but have completely solved them. The solutions, for those acquainted with mathematics, are so clear as to leave no longer the slightest doubt or difficulty. This achievement is probably the greatest of which our age has to boast; and I know of no age (except perhaps the golden age of Greece) which has a more convincing proof to offer of the transcendent genius of its great men. Of the three problems, that of the infinitesimal was solved by Weierstrass; the solution of the other two was begun by Dedekind, and definitively accomplished by Cantor.

Bertrand Russell – Mathematics And The Metaphysicians

Tím, že Weiestrass z matematiky striktně vymýtil užití nekonečně malých veličin, dospěl posléze k tomu, že žijeme neměnném světě a že letící šíp je skutečně v klidu. Jediný Zenónův omyl spočíval v dedukci toho (jestliže to vůbec učinil), že tedy svět – protože nic takového jako stav změny neexistuje – se nachází v kterémkoli čase v tomtéž stavu. To je důsledek, který z toho rozhodně neplyne, a v tomto ohledu je německý matematik mnohem konstruktivnější než geniální Řek. Tím, že Weiestrass ztělesnil své názory v rouchu matematiky, kde obeznámenost s pravdou eliminuje vulgární předsudky zdravého rozumu, byl s to dodat Zenónovým paradoxům pozoruhodnou tvářnost samozřejmosti, a je-li tento výsledek pro ctitele rozumu méně potěšitelný než Zenónův smělý vzdor, je to rozhodně více zaměřeno k tomu, aby se usmířila masa akademické populace. Zenón se ve skutečnosti zabýval třemi problémy. Každý z nich byl ve spojitosti s pohybem, ale každý z nich byl také abstraktnější než pohyb a dal se zpracovat čistě aritmetickým způsobem. Jsou to problémy nekonečně malého, nekonečně velkého a spojitosti. Stanovit jasně potíže, jež jsou s tím spjaty, znamenalo patrně realizovat největší součást úkolu filosofů. Zenónovi se to podařilo. Od té doby až po dnes se nejlepší myslitelé každé generace s těmito problémy postupně potýkali, ale prakticky bez úspěchu. Tři muži v naší epoše – Weiestrass, Dedekind a Cantor – však tyto problémy nejan rozvinuli, ale také je zcela vyřešili. Pro toho, kdo je obeznámen s matematikou, jsou tato řešení tak jasná, že již neznamenají ani tu nejmenší pochybnost či potíž. To je patrně největší úspěch, kterým se naše století může pochlubit. Neznám jiné století – snad s výjimkou zlatého věku Řecka – které může skýtat přesvědčivější důkaz transcendentního génia svých významných mužů. Z uvedených třech problémů vyřešil Weiestrass problém nekonečně malého; řešení zbylých dvou problémů započal Dedekind a definitivně ja dovršil Cantor. 

Bertrand Russell – Matematika a metafysikové

Opravdu?

Odmítnutí Newtonova a Leibnizova pojetí infinitesimálního kalkulu matematiky devatenáctého a dvacátého století – vyvolané ať už neochotou či neschopností domýšlet a dotvořit základní pojmy, o něž se původní pojetí tohoto kalkulu opíralo – bylo jedním z největších omylů nejen matematiky, ale evropské vědy vůbec. 

 Petr Vopěnka – Calculus infinitesimalis pars prima

O tom, že matematika s nekonečně malými veličinami může existovat, se můžete přesvědčit v knihách Calculus infinitesimalis pars prima/secunda.

Georg Cantor - Über eine elementare Frage der Mannigfaltigkeitslehre (O základním problému vědy o třídách)

Zde si můžete stáhnout v pdf zrcadlové německo-české vydání slavného Cantorova článku s diagonálním důkazem. I když je to poměrně jednoduchý text, činil mi překlad některých pojmů docela potíže. Například jsem se rozhodl překládat slovo "mächtigkeit" jako "třída", i když to by spíše slušelo slovu "klasse". Nabízela se také slova jako "soubor", "množství" nebo "mocnost", ale chtěl jsem, aby to slovo vzbuzovalo dojem něčeho co může být nevyčerpatelně hluboké, ale také něčeho co naopak někdy může být množinou. To současný pojem třída tak nějak splňuje. Mimochodem, říká se, že se Cantor zcela vyhnul slovu množina (menge), ale není to tak docela pravda. Připomínky, opravy a podobně věci prosím do diskuse.