Testování hypotéz - Binomický test

Máme čtyři události 0, 1, A, B. 0 a 1 se navzájem vylučují. Stejně tak A a B. Cíl je otestovat hypotézu, zda pravděpodobnost A za podmínky 1 je větší, než pravděpodobnost A za podmínky 0. Jinými slovy: Zda událost 1 zvyšuje pravděpodobnost události A. Matematicky v tom není problém, numericky ano, protože se tam vyskytují velká čísla. A někdy víc než jen velká. V Pythonu však není problém.

Program má na vstupu 5 čísel:

1) číslo "n0a" udávající počet výskytů události A za předpokladu události 0

2) číslo "n0b" udávající počet výskytů události B za předpokladu události 0

3) číslo "n1a" udávající počet výskytů události A za předpokladu události 1

4) číslo "n1b" udávající počet výskytů události B za předpokladu události 1

5) práh pravděpodobnosti pro zamítnutí HA

Standardní volba HA je 0.01 nebo 0.05. Volba 0.5 je daleko za hranicí, která odděluje odvahu a šílenství. Volba nad 0.5 je zcela nesmyslná, stejně jako pod 0.0.

# -*- coding: cp1250 -*-

import sys
import math

def div(a, b):
 r = 0.0
 e = 1.0
 for i in range(100):
   d = a / b
   r = r + e * d
   a = 10 * (a - d * b)
   e = e / 10.0
 return r 

def C(n, k):
 return math.factorial(n) / (math.factorial(k) * math.factorial(n - k))

def I01(ae):
 sa = 0
 sb = 1
 for (a, e) in ae:
   b = e + 1
   sa = b * sa + a * sb
   sb = b * sb
 return (sa, sb)

def gen_ae(na, nb):
 ae = []
 for k in range(0, nb + 1):
   ae.append((C(nb, k) * ((-1) ** k), na + k))
 return ae

def suma(ab):
 sa = 0
 sb = 1
 for (a, b) in ab:
   sa = b * sa + a * sb
   sb = b * sb
 return (sa, sb)

n0a = int(sys.argv[1])
n0b = int(sys.argv[2])
n1a = int(sys.argv[3])
n1b = int(sys.argv[4])
alpha = float(sys.argv[5])

print
print "n0a =", n0a, "n0b =", n0b
print "n1a =", n1a, "n1b =", n1b
print "alpha =", alpha
print

ae0 = gen_ae(n0a, n0b)
ae1 = gen_ae(n1a, n1b)

(I0a, I0b) = I01(ae0)
(I1a, I1b) = I01(ae1)

ab = []
for (a0, e0) in ae0:
 for (a1, e1) in ae1:
   ab.append((a0 * a1, (e0 + 1) * (e0 + e1 + 2)))

(Ia, Ib) = suma(ab)

pA = 1 - div(Ia * I0b * I1b, Ib * I0a * I1a)

print
print "H0: p(A|1) > p(A|0)"
print "HA: p(A|1) <= p(A|0)"
print
print "p(HA) =", pA
print
if pA <= alpha:
 print u"Doporučujeme zamítnou HA a přijmout H0."
if pA >= 1 - alpha:
 print u"Doporučujeme zamítnou H0 a přijmout HA."
if pA > alpha and pA < 1 - alpha:
 print u"nelze rozhodnout mezi H0 a HA."
print

Teorie množin a její generální kolaps

V Bolzanových Paradoxech nekonečna (ke stažení zde) se lze dočíst toto:

Tvrdím totiž: dvě množiny, obě nekonečné, mohou být k sobě v takovém vztahu, že je na jedné straně možno spojit ve dvojici každou věc, náležející jedné z nich, s věcí, náležející druhé z nich, tak, aby vůbec žádná věc v obou množinách nezůstala bez spojení ve dvojici a také žádná aby se nevyskytovala ve dvou nebo více dvojicích; a přitom je na druhé straně možno, aby jedna z obou množin obsahovala druhou jako svůj pouhý díl, takže množství, která ony množiny představují, jsou k sobě v nejrozmanitějších poměrech, považujeme-li věci v nich za stejné, tj. za jednotky.

Bernar Bolzano – Paradoxy nekonečna

Každé dvě nekonečné množiny lze na sebe vzájemně jednoznačně zobrazit. Toto tvrzení budeme nazývat generálním kolapsem.

Petr Vopěnka – Vyprávění o kráse novobarokní matematiky

Jenže každý, kdo někdy viděl Cantorův diagonální důkaz, namítne, že Cantor vyvrátil Bolzanovu domněnku. Skutečně vyvrátil?

V tomto okamžiku bychom měli namítnout, že množina všech bodů ležících na přímce (...) je nespočetná, to znamená, že její prvky nelze očíslovat přirozenými čísly, což přeci dokázal již Cantor. Odtud plyne, že generální kolaps je sporný (a tedy nepravdivý). Avšak pozor, Cantor nedokázal spornost generálního kolapsu sama se sebou, ale s existencí množiny všech bodů ležících na dané úsečce.

Petr Vopěnka – Vyprávění o kráse novobarokní matematiky

Husserl o myšlení bez názoru

Man muß sich durchaus klar machen, daß in weitesten Strecken nicht bloß lässigen und alltäglichen, sondern streng wissenschaftlichen Denkens die veranschaulichende Bildlichkeit eine geringe oder schlechterdings keine Rolle spielt, und daß wir im aktuellsten Sinn urteilen, schließen, überlegen und widerlegen können auf Grund von „bloß symbolischen" Vorstellungen. (...) Also nicht mit bedeutungslosen Zeichen operiert man in den Sphären des symbolisch-arithmetischen Denkens und Rechnens. Nicht sind es die „bloßen" Zeichen im Sinne der physischen, von aller Bedeutung losgerissenen Zeichen, welche für die ursprünglichen, mit arithmetischen Bedeutungen beseelten Zeichen surrogieren, vielmehr surrogieren für die arithmetisch bedeutsamen Zeichen dieselben, aber in einer gewissen Operationsoder Spielbedeutung genommenen Zeichen. Ein System von natürlich und sozusagen unbewußt sich herausbildender iquivokationen wird unendlich fruchtbar; die ungleich größere Denkarbeit, welche die originäre Begriffsreihe erfordert, wird durch die leichteren „symbolischen" Operationen erspart, welche sich in der parallelen Reihe der Spielbegriffe vollziehen.

Edmund Husserl – Logische Untersuchungen (II/1:I.§20)

Je třeba si veskrze ujasnit to, že v naprosté většině myšlení, nejen pouze vágního a každodenního, nýbrž i přísně vědeckého, hraje znázorňující obraznost roli nepatrnou nebo přímo žádnou a že je možné v nejaktuálnějším smyslu soudit, usuzovat, uvažovat a vyvracet na základě „pouze symbolických“ představ. (...) To, s čím se operuje v oblastech symbolicko aritmetického myšlení a počítání, tedy nejsou znaky bez významu. To, co nahrazuje původní, aritmetickými významy oduševnělé znakym nejsou „pouhé“ znaky ve smyslu fyzických, od jakéhokoli významu odtržených znaků, které by nahrazovali původní, aritmetickým významem oživené znaky; spíše je tomu tak, ža aritmeticky významuplné znaky jsou nahrazovány týmiž znaky, ale branými v jejich jistém operačním či herním významu. Systém přirozeně a takříkajíc nevědomě se utvářejících víceznačností se stává nesmírně plodným; díky snadnějším „symbolickým“ operacím, které se uskutečňují v paralelní řadě herních pojmů, jsme ušetřeni nesrovnatelně větší myšlenkové práce, kterou si vyžaduje původní pojmová řada.

Edmund Husserl – Logická zkoumání (II/1:I.§20)

Livius o pálení knih

Colonia Grauiscae eo anno deducta est in agrum Etruscum, de Tarquiniensibus quondam captum. quina iugera agri data; (...) in altera duo fasces candelis inuoluti septenos habuere libros, non integros modo sed recentissima specie. septem Latini de iure pontificum erant, septem Graeci de disciplina sapientiae, quae illius aetatis esse potuit. (...) Petilius in decuriam legerat. lectis rerum summis cum animaduertisset pleraque dissoluendarum religionum esse, L. Petilio dixit sese libros eos in ignem coniecturum esse (...) libri in comitio igne a uictimariis facto in conspectu populi cremati sunt.

Livius – AB URBE CONDITA LIBER XL

Téhož roku nalezli dělníci na poli písaře Lucia Petilia pod Janikulem při hlubším kopání v zemi dvě kamenné skříňky (...) Ve druhé skříňce byly uloženy dva svitky svázané navoskovanými šňůrkami; každý obsahoval sedm knih nejenže docela neporušených, ale zcela nově vyhlížejících. Sedm latinských jednalo o právu pontifikálním, to je o sboru nejvyšších kněží, sedm řeckých o nauce životní moudrosti, jak v oné době mohla vyspět. (...) Když si [městský praetor Quintus Petilieus] přečetl přehled obsahu a shledal, že většina z toho má za cíl zrušení náboženských obřadů, oznámil Luciu Petiliovi, že tyto knihy hodí do ohně. (...) Knihy pak byly spáleny na sněmovišti,a to na hranici zřízené obětníky před tváří všeho lidu.

Livius – Dějiny. Kniha XL

Velšská a anglická hudba 12. století

Kdo sebere dostatek odvahy ke studiu původních historických pramenů a neodradí ho sloh Geralda z Walesu, jehož nabubřelost a fantastičnost dosahuje téměř olympijské úrovně, může se dopracovat k celkem zajímavým údajům o hudbě ve Walesu a Anglii z 12. století. Jen se mě neptejte, jestli ono b-moll je naše b nebo snad h anebo něco docela jiného.

In musico modulamine non uniformiter ut alibi, sed multipliciter multisque modis et modulis cantilenas emittunt, adeo ut in turba canentium, sic huic genti mos est, quot videas capita tot audias carmina, discriminaque vocum varia, in unam denique sub B mollis dulcedine blanda consonantiam et organicam convenientia melodiam. In borealibus quoque majoris Britanniae partibus, trans Humbriam scilicet Eboracique finibus, Anglorum populi qui partes illas inhabitant simili canendo symphonica utuntur harmonia: binis tamen solummodo tonorum differentiis et vocum modulando varietatibus, una inferius submurmurante, altera vero superne demulcente pariter et delectante. Nec arte tamen sed usu longaevo et quasi in naturam mora diutina jam converso, haec vel illa sibi gens hanc specialitatem comparavit. Qui adeo apud utramque invaluit et altas jam radices posuit, ut nihil hic simpliciter, nihil nisi multipliciter ut apud priores, vel saltem dupliciter ut apud sequentes melice proferri consueverit; pueris etiam, quod magis admirandum, et fere infantibus, cum primum a fletibus in cantus erumpunt, eandem modulationem observantibus. Angli vero, quoniam non generaliter omnes sed boreales solum hujusmodi vocum utuntur modulationibus, credo quod a Dacis et Norwagiensibus qui partes illas insulae frequentius occupare ac diutius obtinere solebant, sicut loquendi affinitatem, sic et canendi proprietatem contraxerunt.

Giraldus Cambrensis – Descriptio Cambriae

Velšané nezpívají jednohlasně jako v jiných zemích, nýbrž každý ve sboru vyzpěvuje jinou melodii v jiné tónině. Kolik hlav je ve skupině zpěváků, tolik různých nápěvů a hlasů je slyšet. Nakonec se však všechny harmonicky spojí v jednu libou melodii v b-moll.Také Angličané, kteří obývají oblast severně od Humberu a kolem Yorku, při sborovém zpěvu využívají podobných harmonických principů, s tím rozdílem ovšem, že zpívají pouze dva různé hlasy.Hluboké mručení u nich doprovází výše položenou melodii s ozdobami. Ani Velšané ani Angličané si tento způsob zpěvu neosvojili uměle. Dlouho a pomalu se v něm zdokonalovali, až jim takříkajíc přešel do krve. Zakořenil do té míry, že jednohlasně už vůbec nezpívají, jenom mnohohlasně jako Velšané, nebo alespoň dvouhlasně jako severní Angličané. I malé děti, dokonce nemluvňata, jakmile přestanou vřískat a začnou zpívat, intonují okamžitě stejným způsobem. Protože vícehlasý zpěv nepoužívají všichni Angličané, nýbrž jen ti ze severu, domnívám se, že stejně jako zvláštnosti svého dialektu, tak i svůj způsob zpěvu převzali od Dánů a Norů, kteří tyto oblasti často a dlouho okupavali.

Gerald z Walesu – Popis Walesu

Tato hudba je prý dodnes živá, což není nic divného, protože po mnoha národech dnes zbývá jediná živá věc a to hudba. Jen mě napadá, že jestliže to bude i případ našeho národa, neměli bychom si na té naší muzice dát o něco víc záležet?

Einstein o vyznavačích pravdy a poznání

Nic není bez kontextu, a proto je nutné dodat, že níže uvedené vyslovil Einstein v roce 1943.

Úporné hledání pravdy a poznání je jednou z největších lidských hodnot, i když často dávají onu hrdost najevo nejhlasitěji ti, kdo se namáhají nejméně. A určitě si musíme dát pozor, abychom z intelektu neudělali svého boha; má, pravda, silné svaly, ne však osobnost. Nemůže vést, může jen sloužit; a při výběru vůdce není nijak náročný. Tato vlastnost se odráží v kvalitách jeho zvěstovatelů, intelektuálů. Intelekt má ostrý zrak, jde-li o metody a nástroje, je však slepý vůči hodnotám. A tak není divu, že tato ostudná slepota se předává ze starých na mladé a dnes postihuje celou generaci.

Albert Einstein

Morrisonova žíga

Chledáte jak se jmenuje písnička, kterou např. České srdce hraje jako "Irskou suitu"? Jmenuje se Morrison's Jig a tady jsou noty a akordy:

Jsou fyzikální zákony odvoditelné apriori?

Experience can of course guide us in our choice of serviceable mathematical concepts; it cannot possibly be the source from which they are derived; experience of course remains the sole criterion of the serviceability of a mathematical construction for physics, but the truly creative principle resides in mathematics. In a certain sense, therefore, I hold it to be true that pure thought is competent to comprehend the real, as the ancients dreamed. To justify this confidence of mine, I must necessarily avail myself of mathematical concepts. The physical world is represented as a four-dimensional continuum. If in this I adopt a Riemannian metric, and look for the simplest laws which such a metric can satisfy, I arrive at the relativistic gravitation-theory of empty space. If I adopt in this space a vector-field, or in other words, the antisymmetrical tensor-field derived from it, and if I look for the simplest laws which such a field can satisfy, I arrive at the Maxwell equations for free space.

Albert Einstein – On the Method of Theoretical Physics

Zkušenost je samozřejmě jediným hlediskem pro použitelnost nebo nepoužitelnost takové nebo onaké matematické konstrukce. Vlastní podstata tvořivosti však tkví jen a jen v matematice. V jistém smyslu je tedy podle mého mínění pravda, že ryzí uvažování dokáže postihnou skutečnost, tak jak o tom snili naši předkové. Abych prokázal, že tato důvěra není scestná, musím nezbytně použít matematické pojmy. Fyzikální svět se znázorňuje čtyřrozměrným kontinuem. Pokud v tomto kontinuu přijmu Riemannovu metriku a zeptám se, jakým nejjednodušším zákonům tato metrika vyhovuje, dospěji k relativistické gravitační teorii prázdného prostoru. Vezmu-li si v tomto prostoru vektorové pole, případně antisymetrické tenzorové pole, které je třeba vyvodit, a ptám se, jakým že nejjednodušším zákonům takové pole může vyhovovat, dostanu se k maxwellovským rovnicím.

Albert Einstein – K metodice teoretické fyziky

Tím nejkrásnějším, co kdy můžeme zažít, je tajemno. Je to ten nejzákladnější pocit, který je vždy na začátku jakéhokoliv opravdového umění i vědy. Kdo ho nezná, kdo už se nedokáže divit, kdo už nedokáže žasnout, je takříkajíc mrtvý a oči má vyhaslé.

Albert Einstein – Jak vidím svět

Proklos o tom, o čem lze jen mlčet

τὸ δὲ καὶ ποιητικὴν αὐτῇ καὶ γεννητικὴν ἀπονέμειν αἰτίαν πορρώτερον φέρεται τῆς τοῦ πρώτου παντελοῦς ἑνώσεως· οὔτε γὰρ εἰ αἴτιον ἐκεῖνο τῶν ὄντων οὔτε εἰ γεννητικόν, ἢ γνῶναι τοῖς δευτέροις θεμιτὸν ἢ λόγῳ διελθεῖν, ἀλλὰ σιγῇ τὸ ἄρρητον αὐτοῦ καὶ πρὸτῶν αἰτίων πάντων ἀναιτίως αἴτιον ἀνυμνεῖν.

Πρόκλος – Περί της κατά Πλάτωνα Θεολογίας

Chceme-li však počátek všeho chápat zároveň jako tvůrčí a plodivou příčinu, pak se už od dokonalé prvotní jednoty začínáme poněkud vzdalovat. Neboť i pokud platí, že je plodivé a je příčinou všech jsoucích věcí, nižším bytostem není dáno to poznat nebo vyložit ve slovech, ale smí pouze mlčením opěvovat nevýslovnost této nezapříčiňující příčiny, jež všem příčinám předchází.

Proklos – Platónská teologie

Výpočty

Výborná kniha o výpočtech je zde: nb.vse.cz/~cernym/vypocty.pdf. Doporučuji.

Mathesiovy Zpěvy staré Číny

Text je vysázen v LaTeXu, ale zatím jen tak nahrubo. PDF je zde. Ze souboru jsem vynechal osmou část připojenou v padesátých letech a to z estetických důvodů.

Daniel Kehlmann o Gaussovi a neeukleidovských geometriích

Kromě Petra Vopěnky se i Daniel Kehlmann pokusil o románové vysvětlení proč Gauss neoznámil veřejnosti objev neeukleidovské geometrie. Kniha sice právě v citované části obsahuje několik nesrovnalostí, ale to může být zaviněno překladem. Jinak jde o knihu poměrně čtivou.

Má nápad, který ještě nikomu jinému neprozradil. Zdá se mu totiž, že Eukleidovský prostor není, jak se to tvrdí v Kritice čistého rozumu, formou našeho nazírání samého, a to předcházející veškeré smyslové zkušenosti, ale je to spíš fikce. Jen krásný sen! Pravda je skutečně hrozivá. (...) Možná rovnoběžky vůbec neexistují. Možná, že prostor připouští, že můžeme vést jedním bodem nekonečně mnoho rovnoběžek pokud máme danou čáru a vedle ní bod. Jen jedno je ale jisté. Prostor je vrásčitý, zakřivený a velmi podivný. (...) Byl poslán na svět a vybaven rozumem, který téměř vše lidské znemožňuje, v době, kdy je každá práce ještě náročná, namáhavá a špinavá. (...) Myslel na poslední soud. Nevěřil, že se něco takového bude konat. Obžalovaní se mohou hájit. Některé protiotázky by Bohu určitě nebyly příjemné. Hmyz, špína, bolest. Samá nedostatečnost. Dokonce i v případě prostoru a času fušeřina! Pokud bude postaven před soud, má v úmyslu zavést řeč na pár věcí.

Daniel Kehlmann - Vyměřování světa

Russell o Gödelovi a Gödel o sobě a Russellovi

Chodíval jsem do (Einsteinova) domu jednou týdně diskutovat s ním, Gödelem a s Paulim. Tyto diskuse byly v jistém smyslu zklamáním, protože ačkoli všichni tři byli Židé v exilu a kosmopoliticky ladění, zjistil jsem, že všichni mají německý sklon k metafysice (...) Z Gödela se vyklubal nefalšovaný platonista a patrně věřil, že v nebi je uložené věčné "ne", a ctnostní logici se tam s ním posléze setkají.

Bertrand Russell - Autobiografie, IV. díl

Pokud jde o úryvek o mně (v Russellově autobiografii), musím říci (kvůli pravdě), že nejsem Žid (i když si myslím, že tento fakt je zcela nedůležitý), 2) že úryvek budí mylný dojem, že jsem vedl mnoho diskusí s Russelle,, což naprosto není pravda (vzpomínám si jen na jednu). 3) Pokud jde o můj "nefalšovaný" platonismus, není o nic více "nefalšovaný" než Russellův vlastní platonismus z roku 1921, kdy v Üvodu (ke své Matematické filosofii) napal: "Logika se zabývá reálným světem tak skutečně jako zoologie, i když se zabývá jeho abstraktnějšími a obecnějšími jevy". V této době zřejmě nacházel "ne" dokonce v tomto světě, ale později, pod vlivem Wittgensteina, se rozhodl to přehlédnout.

Kurt Gödel

O formálně nerozhodnutelných větách v díle Principia Mathematica a příbuzných systémech I

Pokud potřebujete český překlad článku Kurta Gödela "Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I", napište mi na email gopeith@gmail.com, popř. napište kontakt do diskuse. Jedná se o paralelní německo-český text. Překlad ještě potřebuje nějaké korekce a vyřešení několika problémů s LaTEXem, a proto tu není volně ke stažení. Ale navzdory své nedokonalosti jako učební text určitě poslouží.

Nabobové

Takoví nabobové se vyskytují mezi lidmi svým způsobem vzdělanými, či lépe řečeno mezi lidmi někdy i s dosti značnými znalostmi. Naprostý nevzdělanec, stejně jako opravdový vzdělanec, by nikdy nepřipadl na myšlenku, že již zná vše, co je množné znát. Něco takového může napadnou jen člověka samolibého, jenž navíc z příčiny tvrdé lbi získával své znalosti v potu tváře, takže posléze nabyl přesvědčení, že velikost vynaložené námahy odpovídá velikosti všech moudrostí světa.

Petr Vopěnka – Trýznivé tajemství