Konec večírku

V knize Richarda Heinberga The Party’s Over je na str. 45 citát Barbary Ward z roku 1977.

Whether we are talking of an individual citizen or a whole community, "cataclysmic wealth" can have disastrous consequences … . Its use rises sharply to create new habits and expectations. These habits are accompanied by an irrational lack of care about usefulness or waste. The process develops habits in individual people, and institutions in whole societies, which accustom them to operating on the basis of excess and wastefulness; and, although different episodes have different endings, one prospect sees the affected groups, long after the cloudburst of wealth has passed, trying every kind of expedient – borrowing, sponging, speculating – to try to ensure that the private habits or public institutions of excess and waste are maintained. The result is at best a measure of social disintegration; at worst, collapse.

Barbara Ward

Ať už hovoříme o jednom občanovi, nebo o celé společnosti, překotně získané bohatství může mít nehezké následky ... . Jeho užíváním se rychle vytváří nové mravy a očekávání. K těmto mravům se přidružuje nerozumný nedostatek starosti o to, co je užitečné a co mrhání. Tímto způsobem se vytváří v jednotlivých lidech a institucích v celé společnosti mravy, jejichž vinou si navykají spoléhat se na nadbytek a plýtvání; a, ačkoli mají různé dílčí jevy různé dopady, z nadhledu je vidět příslušné skupiny dlouho po té, co se bohatství rozplynulo jako dým, jak s všemožnou vynalézavostí – půjčováním, příživnictvím, spekulacemi – se snaží zajistit, aby soukromníkům i veřejným institucím zůstal mrav nadbytku a plýtvání zachován. Jistý stupeň rozkladu společnosti je tím nejlepším důsledkem; zhroucení tím nejhorším.

Barbara Ward

Logické operátory a pravdivostní hodnoty

Označím pravdivostní hodnotu výroku X v nějaké logice jako |X|. V klasickém výrokovém počtu to je samozřejmě zobrazení přiřazující výroku buď 0 nebo 1 podle pravdivostní hodnoty atomických výroků AV₁, AV₂, ....

V klasické logice např. platí:

|X| = |AV_i|, pokud X = AV_i
|¬ X| = 1-|X|
|X ∨ Y| = max{|X|, |Y|}
|X & Y| = min{|X|, |Y|}

Pokud si vymyslím logický operátor třeba ⊕ a k němu funkci f a definuji, že platí:

|X ⊕ Y| = f(|X|, |Y|),

pak dělám v klasické výrokové logice poměrně zbytečnou práci, protože, takovýchto funkcí je možných jen 16 a všechny lze vytvořit pomocí funkcí pro již zmíněné operátory, jinými slovy, každý další operátor, který si vymyslím, lze poskládat z již existujících. Stejně tak pro ternární a vícenární operátory. Co do operátorů, je již tato logika nasycena. Pokud přidám k pravdivostním hodnotám 0 a 1 ještě jednu pravdivostní hodnotu – řekněme ½ –, pak to už tvrdit nemohu, protože např. operátor ⊗ X, pro který platí

|⊗ X| = ½,

nelze z ostatních nijak složit. Ale i tato logika má svůj konečný počet logických operátorů, k nimž již není možné vymyslet další tak, aby mohl vzniknout zcela nový výrok. Lze tedy i tuto logiku nasytit konečným počtem operátorů. Pro nekonečný počet pravdivostních hodnot to však neplatí, protože jen různých unárních operátorů je nekonečně mnoho a konečným počtem operátorů nelze v konečném počtu kroků tolik různých operátorů poskládat. Budu si proto nyní všímat jen logik s konečným počtem pravdivostních hodnot. Lze všechny takovéto logiky nasytit konečným počtem operátorů? A pokud ano, lze to vždy učinit nejvýše binárními operátory?

Jestliže logika má 2 ≤ N pravdivostních hodnot, pak je možné definovat nejvýše N^N2 binárních operátorů. Z těchto všech binárních operátorů lze pochopitelně poskládat každý unární operátor. Lze z nich poskládat každý ternární operátor, kterých je N^N3? Pokusím se dokázat, že tomu tak je, a to takto:
1) Pro N = 2 (tj. pro dvojkovou logiku) toto platí. (Důkaz je v každé (pořádné) učebnici logiky.)
2) Předpokládám nyní, že 3 ≤ N. Označím množinu pravdivostních hodnot V = {v₁, ..., v_N}. Nechť I ∈ V, O ∈ V a I ≠ O. Chci nyní poskládat n-nární operátor, kde 2 ≤ n, s funkcí f(x₁, ..., x_n). Využiji unární funkci o_i(x), kterou lze poskládat, takovou, že o_i(x) = I, jestliže x = v_i, a o_i(x) = O, jestliže x ≠ v_i. Dále definuji funkci r_j(o₁(x₁), ..., o_N(x₁), ..., o₁(x_n), ..., o_N(x_n)) a to tak, že platí: r_j = I, jestliže f(x₁, ..., x_n) = v_j, jinak r_j = O. Hodnota i hodnoty argumentů této funkce jsou z oboru {O, I} a tedy tuto funkci lze z binárních operátorů poskládat. Protože lze poskládat všechny binární funkce, lze poskládat i funkci s_i(x₁, x₁) = v_i. Namísto této funkce budu psát pouze s_i. Znakem t budu značit binární funkci takovou, že t(a, b) = O pro a = O a t(a, b) = b pro a ≠ O. Znakem u budu značit některou binární funkci u(a, b) takovou, že u(a, b) = a pro b = O, a u(a, b) = b pro a = O. Na ostatních hodnotách nezáleží. Definuji funkce w_i pro i = 1, ..., N rekurzivním předpisem:

w₁ = t(r₁, s₁),
w_i = u(t(r_i, s_i), w_i-1).

Funkce w_N, je primitivně rekurzivní, je poskládaná jen z binárních operátorů a je to hledaná funkce f. Tím je důkaz hotov.

Písnička matematice

Je podivné, jak málo lidových písniček je o matematice. Když nepočítám ty písničky, ve kterých se počítá jako např. „Když jsem chodil do školy, učil jsem se litery, ...“, napadá mě jediná, všeobecně známá. Má název Proměny, a našel jsem ji v Sušilově sbírce pod číslem 2047. Je tedy nejméně z počátku 19. stol. Obrázek je poněkud křivý, protože se kniha nedala lépe narovnat, ale snad je to čitelné. Jistěže není o matematice, je totiž o lásce, ale alespoň se tam počítají dráhy hvězd. Zajímavé na ní je, že autor asi usoudil, že počítání neslouží ke zmocnění se pozemských věcí. Vždyť jistě i stromy by bylo snadno nějak propočítat, ale k jejich zmocnění se, tj. poražení, se hodí mnohem lépe sekyrka než geometrie (to, že na holuby platí havrani, se mi – při vší úctě – moc nezdá). Na hvězdy naopak žádná pozemská věc neplatí. To je hájenství čisté teorie.

Vztah klasické logiky a přirozeného jazyka

Klasická logika nepopisuje věrně logiku přirozeného jazyka. Tam, kde je hranice mezi jednotlivými významy v přirozeném jazyce nezřetelná, vede ji klasická logika zcela ostře, nadto ne vždy tam, kde ji přirozený jazyk cítí. Asi nejproblematičtějším zákonem (theorémem) je zákon vyloučeného třetího (tertium non datur – výrok je buď pravivý, nebo je pravdivý jeho opak; nic třetího není dáno), který lze velmi jednoduše zapsat takto

A ∨ ¬ A.

I samy logické spojky nelze jednoduše promítnout do přirozeného jazyka.

Nejproblematičtější z logických spojek je ovšem implikace. Ta bývá nahlížena jako standardizace spojení „jestliže ... pak ...“ přirozeného jazyka; to se však v některých ohledech nedá zachycovat příliš věrně. Například axiom

(1) A → (B → A)

stanoví, že k pravdivosti implikace stačí pravdivost jejího konsekventu; A tedy může implikovat B, aniž by spolu tyto dva výroky nějak souvisely. To se nezdá být příliš v souladu s tím, jak v přirozeném jazyce funguje „jestliže ... pak ...“: věta „Jestliže je v Číně sucho, pak se v Česku vaří pivo“, které by podle (1) měla být pravdivá prostě v důsledku pravdivosti svého konsekventu „V Česku se vaří pivo“, se zdá být přinejmenším problematické. (...) Věta „Jestliže je Česko u moře, pak je jeho hlavním městem Praha“ (která by měla být pravdivá v důsledku nepravdivosti „Česko je u moře“) opět není příkladnou pravdivou větou.

Jaroslav Peregrin – Logika a logiky

Co je to logika?

Skripta zabývající se logikou obvykle začínající definicí logiky podobnou této:

Logika je vědou o správném usuzování.

Výhoda této definice je její stručnost, jasnost, a také to, že v sobě obsahuje důvod, proč se logikou zabývat. Lze se však s takovouto definicí spokojit. Jaroslav Peregrin k tomu říká:

Zdá se mi být zřejmé, že stačí jenom krátce konfrontovat pravidla, jaká nacházíme v učebnicích logiky,s tím, jakými cestami se ubírají naše faktické myšlenkové pochody, abychom nahlédli, že tyto dvě věci mohou mít jenom málo společného. (...) Je poměrně jasně doložitelné, že ani ty nejefektivnější způsoby myšlení – tedy například způsoby, jakými se ti nejgeniálnější vědci dobírali svých převratných objevů – nijak nepřipomínají řetězce logických odvození. Budeme-li tvrdit, že logika je popisem myšlení či návodem k tomu, jak myslet, budeme nejenom tvrdit něco, čemu budeme moci stěží sami věřit, ale navíc tím budeme logiku pasovat do úlohy podniku předem odsouzeného k neúspěchu.

Jaroslav Peregrin – Logika a logiky

Víme tedy, co logika není. Zbývá říci, co logika je. Jednoznačnou odpověď nemám ani já, ani nikdo, od koho jsem něco četl. Nicméně alespoň nějaká odpověď je:

(...) Logika nám tak či onak pomáhá určovat, která zdůvodnění, které typy argumentací či které důkazy jsou přijatelné a které ne.

Jaroslav Peregrin – Logika a logiky

Řečeno přesněji ale méně jasně:

Logika se tedy zabývá vyplýváním a zejména jeho převáděním na řetězce elementárních vyvození (neboli inferencí), která jsou věcí významů určitých univerzálních „argumentačních“ slůvek našeho jazyka. Můžeme tedy říci, že studuje (a standardizuje) inferenční strukturu jazyka, konkrétně její nejzákladnější kostru.

Jaroslav Peregrin – Logika a logiky

Úvod k této knize je v el. Podobě na adrese http://jarda.peregrin.cz/mybibl/PDFTxt/455.pdf

Smutek hmoty

Sem nikdo z živých nezbloudí. Jen vzkříšen zraky mými
vstal smutek těchto míst a kroky bázní stlumenými,
by bratří neviditelných ze spánku nevyrušil,
mi vyšel naproti. (Jich oddech rytmický jsem tušil,
jak v tvář mi zavál, ledový, a v světel žhavém vření
se jíní chytal jehlami na vegetace snění.)

A vzlykem dychtivým sem Vody z dálky zazvonily,
jak nesčíslné rty by žíznivě se naklonily
a pily z hořkých pramenů. A nové za nimi a třetí,
jediným létem vyprahlé, bez nasycení, po staletí.

Žal stromů, resignovaný, v mou duši z hlouby vydech’,
o smutku hmoty hovořil a letargických klidech,
kde světel vlákna hedvábná pro svatební šat žití
zem spřádá černýma a svráskalýma rukama a nítí
svůj oheň, zvolna hasnoucí, Vestálka zádumčivá.
Zpěv sester, mrtvých před věky, jejž doprovodem zpívá,
bez echa letí věčností a v jeho rytmu tíži,
zrcadle magickém, se zjevy přivolaných duchů shlíží.

Otokar Březina – Stavitelé chrámu

Diváci

Doposud mě nenapadlo, že by mohli mít starověké bitvy větší obecenstvo. Alespoň jeden případ, kdy tomu tak bylo, zaznamenává Héródianos.

Spolu s nimi zabíjeli i veliké množství jiných lidí, kteří se shromáždili z okolních měst a vesnic, aby z bezpečného místa pozorovali průběh boje.

Héródianos – Řím po Marku Aureliovi

Špatně vypočtené siločáry

Člověk se špatným zrakem vidí namísto vzdálených předmětů barevné šmouhy. Ale člověk s dokonalým zrakem je zase ochuzen o ony šmouhy, a proto by se dalo žíci, že i on je o něco ochuzen. Pokud bych vypočetl zcela přesně siločáry gravitačního pole kolem dvou hmotných bodů, vznikl by celkem nudný obrázek podobný prvnímu přiloženému obrázku. Počítač se ovšem dopouští drobných chyb. Počítají-li se siločáry příliš jemně, vznikne zcela nečekaný obrazec, jak ukazují další přiložené obrázky. Chytré algoritmy se těmto podivnostem umí vyhnout, ale přišlo mě zajímavé si je, než je odstraním, prohlédnout.

b = 1e+1;
N = 500;
x = (-b):(2 * b / N):(+b);
L = length(x);
A = 1 ./ (ones(L, 1) * ((x - b/2) .^ 2) + (ones(L, 1) * ((x - b/2) .^ 2))') + 1 ./ (ones(L, 1) * ((x + b/2) .^ 2) + (ones(L, 1) * ((x + b/2) .^ 2))');
A(find(A == inf)) = 0;
P = 50;
UA = sort(unique(A));
C = ismember(A,UA(find(mod((1:length(UA)), P) < P/2)));
imwrite(A, 'figA.jpg','jpg')
imwrite(C, 'figC.jpg','jpg')

Zkáza Kartága

Občas vyvstane otázka: Co ve válkách nutí jinak obyčejné lidi chovat se neuvěřitelně brutálně. Starou, ale asi pravdivou, odpověď dává Appiános při popisu zkázy Kartága.

Jezdci tomu nechtěli, ale nezbýval jim čas. Ani odklízeči to nedělali úmyslně. Avšak válečný zápal a naděje na blízké vítězství, nedočkavost vojska, křik hlasatelů a pronikavé troubení, rychlé pohyby tribunů i centurionů přesunujících své oddíly tím nebo oním směrem způsobili, že všichni byli jako u vytržení a ve spěchu se nestarali, co se děje před jejich zraky.

Appiános – Kniha Kartáginská

Nevím, jestli to někdy napsal, ale slyšel jsem od Václava Cílka tuto větu: „Všechny velké civilizace zanikly, ale téměř po každé tu něco zůstalo.“. Město proměňující se v trosky poskytlo méně optimistickému vrchnímu veliteli – jak alespoň Appiános tvrdí – námět pro existenciální úvahy.

Když je Scipio spatřil úplně zničené v agónii, naříkal prý se slzami v očích nahlas nad osudem nepřátel. Upadl do dlouhého zamyšlení a uvědomil si, že všechny národy a říše, stejně jako i lidé, jsou odsouzeny k zániku, že takový stihl kdysi šťastné město Tróju, potom říši assyrskou, médskou, po nich i obrovskou říši perskou a nedávno i skvělou obec makedonskou.

Appiános – Kniha Kartáginská

Ale nelze obviňovat Scipiona z útlocitnosti, protože:

Jakmile bylo Kartágo zničeno, dovolil Scipio vojákům, aby je po několik dní drancovali (...).

Appiános – Kniha Kartáginská

Neviditelnost vědeckých revolucí

Dokud vědec nebo laický čtenář učebnicové literatury osobně nezakusí během svého života vědeckou revoluci, bude jeho historické povědomí sahat pouze k vyústění té revoluce, jež byla z jeho historického hlediska poslední.
Učebnice proto začínají tak, že se vědci odřízne povědomí o dějinách jeho oboru a za to, co bylo odstraněno, se dosadí náhrada. Je příznačné, že vědecké učebnice obsahují zlomek dějin, ať už jako úvodní kapitolu nebo – a to častěji – jako roztroušené zprávičky o velkých hrdinech minulé doby. Na základě takovýchto zpráv se studenti a odborníci začnou cítit účastníky dlouho trvající dějinné tradice. Avšak tradice, kterou si vědci berou z učebnic, tradice, z níž berou vědomí své účasti, nikdy neexistovala. (...) Ranné období vědy je – částečně pomocí vhodného výběru a částečně zkresleně – podáno tak, jako by vědci pracovali na stejném souboru pevně daných problémů a v souladu se stejnou řadou pevně daných kánonů vědeckých teorií a metod, jako jsou ty, které právě poslední z revolucí stanovila jako vědecké.

Thomas S. Kuhn – Struktura vědeckých revolucí, XI. Neviditelnost revolucí

Krize vědy

Wolfgang Pauli několik měsíců před uveřejněním Heisenbergova článku o maticové mechanice, v kterém byla ukázána cesta ke kvantové teorii, svému příteli napsal: „V tuto chvíli je fyzika opět hrozně zmatená. V každém případě je pro mne příliš těžká a přál bych si, abych byl filmovým hercem nebo něčím podobným a abych nikdy o fyzice neslyšel.“ Toto svědectví je zvlášť působivé v porovnání s Pauliho slovy o pět měsíců později: „Mechanika Heisenbergova typu mi dala opět naději a radost ze života. Samozřejmě, nedává řešení hádanky, ale již věřím, že je možné jít kupředu.“ Takové jasné vědomí zhroucení vědy je mimořádně vzácné, ale účinky naprosto nejsou závislé na vědomém rozpoznání krize.

Thomas S. Kuhn – Struktura vědeckých revolucí, VIII. Odpověď na krizi

Obraz vědy

Obraz vědy se nedá sestavit ani z děl klasiků, ani z učebnic, natož pak z populárních publikací, protože

Cílem takové knihy jistě je přesvědčit a působit výchovně. Pojem vědy získaný na základě takovéto knihy se podobá fenoménu, který dal knize vzniknout, asi stejně, jako se skutečnosti podobá představa o nějaké národní kultuře, získaná z turistické brožury nebo jazykové učebnice.

Thomas S. Kuhn – Struktura vědeckých revolucí, I. Úvod: Role dějin

Prokopios o vojenské slávě

Prokopios zřejmě sám zblízka poznal vojenský život, alespoň on sám to tvrdí. Vojenská sláva vypadá vždy zcela jinak zblízka než jak se zdá vypadat zdálky. On možná ten jeho názor ze šestého století platí i dnes:

Ať si nikdo nemyslí, že takové vítězství nepřináší slávu, neboť sláva i hanba jsou jména, která se dávají podle výsledku, a vítěze lidé obvykle chválí a nezkoumají, jak zvítězili.

Prokopios – Válka s Góty

Živý jazyk

Živý jazyk je jako cesta vyšlapaná kravami: je to výtvor krav, které ji sledují nebo se od ní odchylují z nějakého jejich vrtochu či potřeby. Dennodenním užívání cestu mění. Kráva není povinna zůstávat na úzké cestě, již pomáhala tvořit sledujíc tvar země, ale setrvává-li na ní, má z toho prospěch, a jestliže by nevěděla, kde cesta je nebo kam vede, mohlo by to pro ni být nevýhodné.

Elwyn Brooks White – Writings from The New Yorker

The living language is like a cow-path: it is the creation of the cows themselves, who, having created it, follow it or depart from it according to their whims or their needs. From daily use, the path undergoes change. A cow is under no obligation to stay in the narrow path she helped make, following the contour of the land, but she often profits by staying with it she would be handicapped if she didn’t know where is it was and where it led to.

Elwyn Brooks White – Writings from The New Yorker

Erbarme dich, mein Gott

Moje oblíbená skadba z mého olbíbeného díla v mé oblíbené interpretaci.

Co náleží rozumu

Tak např. o metafyzických důkazech boží existence (jež jsou dnes už zastaralé) se mělo za to, že – anebo jako by – jejich znalost a přesvědčení o jejich správnosti byly jediným podstatným způsobem, jak vyvolat víru a přesvědčení o boží existenci. Takové tvrzení by se rovnalo názoru, že nemůžeme jíst, dokud jsme se neseznámili s chemickými, botanickými či zoologickými charakteristikami potravin, a musíme tedy počkat s trávením, až si odbudeme studium anatomie a fyziologie.

Georg Wilhelm Friedrich Hegel – Malá logika (§2)

Obsah a forma v uměleckém díle

Opravdovými uměleckými díly jsou právě jen taková díla, jejichž obsah a forma se prokazují jako naprosto totožné. O Iliadě lze říci, že jejím obsahem je Trójská válka či přesněji Achillův hněv. Tím je řečeno vše, a přeci jen velmi málo, neboť to, co činí Iliadu Iliadou, je její poetická forma, ve kterou se obsah rozvinul. Podobně je i obsahem Romea a Julie smrt dvou zamilovaných způsobená svárem jejich rodin; ale pouze to ještě netvoří Shakespearovu nesmrtelnou tragédii.

Georg Wilhelm Friedrich Hegel – Malá logika (§133)

Dialektika

Tak se např. říká: "summum ius, summa iniuria", čímž se vyjadřuje, že abstraktní právo, vyhnané do krajnosti, se zvrací v bezpráví. (...) Je známo, jak snadno přecházejí v sebe navzájem extrémy bolesti a radosti. Radostí přeplněné srdce si ulevuje slzamy a nejpalčivější bolest se za určitých okolností projevuje úsměvem.

Georg Wilhelm Friedrich Hegel – Malá logika (§81)

O tom, co vše je nutné vzít v pochybnost

Husserl v Krizi poznamenává, že by první Descartesova meditace z Meditací o první filosofii měla být pozorně čtena. Tady je alespoň něco z mnoha věcí, které tato meditace obsahuje. Kdo si chce přečíst víc, vyhledá si nějakou zde ocitovanou větu.

Cokoli jsem dosud připouštěl jako nejvíce pravdivé, jsem přijal ze smyslů nebo skrze smysly; postřehl jsem ale, že smysly občas klamou (...). (...) Dělejme tedy, že sníme a tyto jednotlivosti, jako že máme otevřené oči, pohybujeme hlavou a natahujeme ruce, nejsou pravdivé, ba dokonce že nemáme takové ruce ani celé tohle tělo (...). Mé mysli je ale vštípen starý názor, že je Bůh, jenž může vše a jenž mne stvořil takového, jaký existuji. Jak ale vím, že neučinil tak, aby nebyla vůbec žádná země, žádné nebe, (...) nebo dokonce tak, abych se mýlil, kdykoli sčítám dvě a tři (...)? (...) Nebudu tedy předpokládat, že existuje nejlepší Bůh, zdroj pravdy, ale jakýsi zlotřilý démon, nesmírně mocný a lstivý, který vynaložil všechnu svou píli, aby mne mýlil, a budu mít za to, že nebesa, vzduch, země, barvy, tvary, zvuky a vůbec vše vnější není ničím než mámením snících, jehož pomocí nastražil léčky mé důvěřivosti; budu o sobě uvažovat, jako bych neměl ruce, oči, maso, krev ani žádný smysl a jako bych se přesto nepravdivě domníval, že to vše mám (...).

René Descartes – Meditace o první fílosofii, První meditace

Plinius o pyramidách

Poslouchal jsem v sobotu rozhlasový pořad, němž se pohrdlivý vztah k Egyptským stavbám popisoval jako typický pro 19. stol. Toto je názor z 1. století:

Budiž promluveno i o tom, že v témž Egyptě jsou i pyramidy, přiklad marného a hloupého holedbání se králů, ježto se mnozí domnívají, že je dali stavět faraónové, aby nemusili zanechat majetek svým úkladným nástupcům a sokům a aby lid nezlenivěl. (...) Z bědné pošetilosti se tak hledala sláva, jejíž nákladnost nepřinesla nikomu užitek.

Plinius starší – Kapitoly o přírodě