Několik nesouvislých poznámek z Filosofických poznámek Ludwiga Wittgensteina

Fyzika se od fenomenologie lišší tím, že chce konstatovat zákony. Fenomenologie konstatuje jen možnosti. Fenomenologie by tedy byla gramatikou popisu těch faktů, na nichž fyzika staví své teorie.  Vysvětlit znamená víc než popsat. Ale každé vysvětlení popis obsahuje.

Co Mach nazývá myšlenkovým experimentem, přirozeně žádným experimentem není. Ve svém základu je to gramatické pozorování.

Proč je filosofie tak komplikovaná? Měla by přece být zcela jednoduchá. - Filosofie rozplétá uzly, které jsme nevědomky udělali ve svém myšlení; za tímto účelem však musí provádět pohyby stejně komplikované, jako jsou tyto uzly. (...) Spletitost filosofie není spletitostí její látky, nýbrž našeho zauzleného rozumu.

Je tomu tedy tak, jako by čísla byla mrtvými výměšky živé bytosti, která je kořenem. Jako když hlemýžď vylučuje během svého života vápník a staví dál a dál svůj dům.

K čemu má být a k čemu nemá být intuicionistická logika

Při povrchním čtení by jeden mohl dojít k názoru, že Brouwer chtěl - obrazně řečeno - namísto čtyřnohého stolu klasické logiky kejklajícího se na nerovné podlaze Cantorova ráje nabídnout jednodušší, ale pevně stojící, trojnožku, kterou lze postavit kamkoli. Proto se zbavil např. zákona vyloučeného třetího, aby tento zbytečně neprodukoval matematická monstra a aby logika lépe seděla. Při podrobnějším čtení však je třeba tento názor trochu poupravit. Intuicionismus neměl být reformou, ale revolucí, při které měla vzít logika za své úplně.

(...) [I]ntuicionismus nebyl původně pokusem o vybudování alternativní logiky, ale názorem, že logika je pro matematiku nepodstatná, protože logika se týká formy, zatímco matematika se týká obsahu a obsah formě předchází. (...) Brouwerova averze vůči logice byla motivována přesvědčením, , že jednotlivé kroky v matematickém důkazu musí přenášet a prohlubovat jistý mentální stav - totiž vhled do konstrukcí, se kterými se v důkazu pracuje. Aby byla dokázána nějaká pravda, je třeba, aby byla určitým způsobem zakoušena. Spíše než systémem pravd je matematika systémem mentálních aktivit. Naproti tomu logika od této subjektivní stránky odhlíží. (...) Chceme-li porozumět Brouwerově filosofii, musíme opustit zažitou - a pro mnohé matematiky velmi přirozenou - platónskou představu, podle níž existuje statický svět matematických pravd, který je sice objevován, avšak nijak podstatně nedotčen prací jednotlivých matematiků.

Vojtěch Kolman a Vít Punčochář - Formy jazyka

Vojtěch Kolman a Vít Punčochář o platnosti hypotézy kontinua

Znám lidi, kteří pokládají hypotézu kontinua za zřejmou, a lidi, kteří ji pokládají za největší omyl matematiky. Ale je i třetí cesta.

Skutečnost, že se nepodařilo toto tvrzení dokázat ani vyvrátit, ba že se později vyjevilo, že ho na bázi kanonicky zvolené skupiny axiomů dokázat ani vyvrátit nelze, je často diskutována v souvislosti s otázkami povahy matematické pravdy. Znamená to snad, že je zde nějaký zásvětní prostot pravdivosti, do něhož mohou svým duševním zrakem nahlížet pouze geniální matematici, kteří pak - s ohledem na nemožnost pozemsky srozumitelného důkazu - zvěstují ostatním smrtelníkům, jak se to s tím či oním tvrzením má? To by znamenalo naprosté zbytnění korespondenčního paradigmatu pravdivosti a současně rezignaci na její koherenční či pragmatický rozměr. Celá věc se ukáže okamžitě v jiném světle zeptáme-li se, na jakém základě byla vybrána zmíněná referenční sada množinových axiomů, co zakládá její pravdivost, a proč třeba nevybrat jinou, relativně "rozumnou", z níž by již hypotéza plynula. Výsledkem je pak zjištění, že z epistemologického hlediska se příslušné tvrzení podobá spíše než dosud nerozhodnutým větám historickým ("Mozart byl otráven") či větám  matematickým (Goldbachova domněnka) tvrzením jako "Othello měl na hlavě 126778 vlasů", která jsou nerozhodnutá či nerozhodnutelná ani ne tak proto, že je příslušné romány pojmově neurčují, jako spíš proto, že ač by je stejně jako tyto romány konvenčně rozhodnout šlo (doplněním příslušného údaje), v nějakém dosti podstatném (praktickém) smyslu na tomto rozhodnutí nesejde.

Vojtěch Kolman a Vít Punčochář - Formy jazyka

Cantorův diagonální důkaz a Richardův paradox

Uvažujme množinu reálných čísel M popsaných konečně mnoha slovy. Pak z této množiny lze diagonalizací vytvořit nové číslo, které do M nepatří, což je spor, protože toto číslo je popsané konečně mnoha slovy. Vojtěch Kolman a Vít Punčochář k tomu říkají:

Analýza tohoto paradoxu nám umožní kriticky posoudit povahu Cantorova diagonálního argumentu, a tím i status některých tvrzení teorie množin, stejně jako obecný význam výše uvedených paradoxů sémantických, s nimiž je argument úzce spřízněn. Ve všech uvedených paradoxech jsou přitom za samozřejmé brány předpoklady filosoficky problematičtější nežli metafora bludného kruhu, která  nemá primárně žádnou filosofickou ani logickou relevanci.

Vojtěch Kolman a Vít Punčochář - Formy jazyka

Existuje cesta ven?

Nabízí se nyní dva možné závěry, z nichž první je tento:

(A) výraz diag není jménem reálného čísla.

Na tento úsudek máme obecně právo, neboť pojem čísla, a zvláště čísla reálného, není nijak přirozený a odvíjí se právě od výchozích kritérií toho, co za číslo, resp. jeho pojmenování[,] hodláme považovat. Druhý možný závěr je tento:

(B) výraz diag je jménem reálného čísla, které transcenduje výrazové možnosti D.

Vojtěch Kolman a Vít Punčochář - Formy jazyka

A co to znamená pro teorii množin?

Důkaz nespočetnosti kontinua totiž neimplikuje nutně, že je reálných čísel více než přirozených, a že tedy musí existovat reálná čísla nepojmenovatelná v jazyce. K takovému závěru lze dojít jen tehdy:

(1) předpokládáme-li, že je jejich celek dán nezávisle na zvolených reprezentacích,

(2) dáváme-li Cantorovu idiosynkratickému pojmu (porovnávání) velikosti množiny skrze (ne)možnost jedno-jednoznačného přiřazení nějaký přirozený význam.

To první tvrzení je zcela proti duchu obratu k jazyku, který je vodítkem našeho zkoumání (...). To druhé je pošetilé již proto, že navržené porovnávání množin mělo zprvu jasné "kotraintuitivní" důsledky, např. zobrazení množiny do sebe sama, které je v rozporu s požadavkem, aby byl celek větší než část, tedy něčím, co by většina těch, co neznají Cantorovu nauku, označila  právě za "přirozené". V Cantorově definici  rovnosti mohutnosti máme proto jen další exemplář do kolekce rozhodnutí , která bylo možné, nikoli nutné, v oblasti základů matematiky učinit.

Vojtěch Kolman a Vít Punčochář - Formy jazyka