Tvrzení, že Zenónův paradox lze jednoduše vyřešit důkazem konečnosti součtu nekonečné řady, je jen důsledek toho, že jsme si jeho paradox(y) právě tak „přeložili“. To je ovšem ten nejprimitivnější překlad, který neslouží ničemu jinému než k jednoduchému a úlevnému odmávnutí složitého a trýznivého problému, aniž by bylo potřeba se zabývat tím, co tento paradox skutečně obsahuje. Tímto obsahem je mj. otázka po povaze kontinua. A tedy i otázka po nekonečně malých veličinách, tj. oněch dx, dy, ..., které alespoň v symbolech v dnešní matematice zůstávají. Pokud však někdo alespoň pro zábavu upravovali diferenciální rovnice jako by šlo o skutečná čísla (jsem jedním z těchto hříšníků), tak nepostupoval v souladu s moderní matematikou. Ale lépe než já to uměl napsat Betrand Russell v roce 1901.
Weierstrass, by strictly banishing from mathematics the use of infinitesimals, has at last shown that we live in an unchanging world, and that the arrow in its flight is truly at rest. Zeno's only error lay in inferring (if he did infer) that, because there is no such thing as a state of change, therefore the world is in the same state at any one time as at any other. This is a consequence which by no means follows; and in this respect, the German mathematician is more constructive than the ingenious Greek. Weierstrass has been able, by embodying his views in mathematics, where familiarity with truth eliminates the vulgar prejudices of common sense, to invest Zeno's paradoxes with the respectable air of platitudes; and if the result is less delightful to the lover of reason than Zeno's bold defiance, it is at any rate more calculated to appease the mass of academic mankind. Zeno was concerned, as a matter of fact, with three problems, each presented by motion, but each more abstract than motion, and capable of a purely arithmetical treatment. These are the problems of the infinitesimal, the infinite, and continuity. To state clearly the difficulties involved, was to accomplish perhaps the hardest part of the philosopher's task. This was done by Zeno. From him to our own day, the finest intellects of each generation in turn attacked the problems, but achieved, broadly speaking, nothing. In our own time, however, three men – Weierstrass, Dedekind, and Cantor – have not merely advanced the three problems, but have completely solved them. The solutions, for those acquainted with mathematics, are so clear as to leave no longer the slightest doubt or difficulty. This achievement is probably the greatest of which our age has to boast; and I know of no age (except perhaps the golden age of Greece) which has a more convincing proof to offer of the transcendent genius of its great men. Of the three problems, that of the infinitesimal was solved by Weierstrass; the solution of the other two was begun by Dedekind, and definitively accomplished by Cantor.
Bertrand Russell – Mathematics And The Metaphysicians
Tím, že Weiestrass z matematiky striktně vymýtil užití nekonečně malých veličin, dospěl posléze k tomu, že žijeme neměnném světě a že letící šíp je skutečně v klidu. Jediný Zenónův omyl spočíval v dedukci toho (jestliže to vůbec učinil), že tedy svět – protože nic takového jako stav změny neexistuje – se nachází v kterémkoli čase v tomtéž stavu. To je důsledek, který z toho rozhodně neplyne, a v tomto ohledu je německý matematik mnohem konstruktivnější než geniální Řek. Tím, že Weiestrass ztělesnil své názory v rouchu matematiky, kde obeznámenost s pravdou eliminuje vulgární předsudky zdravého rozumu, byl s to dodat Zenónovým paradoxům pozoruhodnou tvářnost samozřejmosti, a je-li tento výsledek pro ctitele rozumu méně potěšitelný než Zenónův smělý vzdor, je to rozhodně více zaměřeno k tomu, aby se usmířila masa akademické populace. Zenón se ve skutečnosti zabýval třemi problémy. Každý z nich byl ve spojitosti s pohybem, ale každý z nich byl také abstraktnější než pohyb a dal se zpracovat čistě aritmetickým způsobem. Jsou to problémy nekonečně malého, nekonečně velkého a spojitosti. Stanovit jasně potíže, jež jsou s tím spjaty, znamenalo patrně realizovat největší součást úkolu filosofů. Zenónovi se to podařilo. Od té doby až po dnes se nejlepší myslitelé každé generace s těmito problémy postupně potýkali, ale prakticky bez úspěchu. Tři muži v naší epoše – Weiestrass, Dedekind a Cantor – však tyto problémy nejan rozvinuli, ale také je zcela vyřešili. Pro toho, kdo je obeznámen s matematikou, jsou tato řešení tak jasná, že již neznamenají ani tu nejmenší pochybnost či potíž. To je patrně největší úspěch, kterým se naše století může pochlubit. Neznám jiné století – snad s výjimkou zlatého věku Řecka – které může skýtat přesvědčivější důkaz transcendentního génia svých významných mužů. Z uvedených třech problémů vyřešil Weiestrass problém nekonečně malého; řešení zbylých dvou problémů započal Dedekind a definitivně ja dovršil Cantor.
Bertrand Russell – Matematika a metafysikové
Opravdu?
Odmítnutí Newtonova a Leibnizova pojetí infinitesimálního kalkulu matematiky devatenáctého a dvacátého století – vyvolané ať už neochotou či neschopností domýšlet a dotvořit základní pojmy, o něž se původní pojetí tohoto kalkulu opíralo – bylo jedním z největších omylů nejen matematiky, ale evropské vědy vůbec.
Petr Vopěnka – Calculus infinitesimalis pars prima
O tom, že matematika s nekonečně malými veličinami může existovat, se můžete přesvědčit v knihách Calculus infinitesimalis pars prima/secunda.
