V Kantových dnech byla matematika samotná logicky hluboko pod úrovní matematiky dnešní. Je naprostá pravda, že kdokoli se pokusí odvodit např. Eukleidovu sedmou větu z Eukleidových axiómů bez použití obrazce, zjistí, že je to neproveditelný úkol. V osmnáctém století pravděpodobně neexistoval ani jeden jediný logicky správný exemplář matematického uvažování, chci říci usuzování, ve kterém by byl závěr správně odvozen z autorem explicitně stanovených premis. Protože se však správnost závěru zdála nepochybná, bylo přirozené předpokládat, že matematický důkaz byl něco jiného než logický důkaz. Faktem ale je, že celý rozdíl nespočívá v ničem jiném, než v tom, že matematické důkazy byly zkrátka neplatné. Při důkladnějším zkoumání se ukázalo, že mnohé z vět, jež byly podle Kanta nezpochybnitelnými pravdami, byly ve skutečnosti nepravdivé. A ještě větší třída vět – např. výše zmíněná Eukleidova sedmá věta – může být rigidně odvozena z určitých premis, ačkoli není nijak jasné, zdali jsou tyto premisy samy pravdivé nebo nepravdivé.
Bertrand Russell – Principia Mathematica
