Gödel a ontologický důkaz

Gödelův důkaz tak, jak ho popisuje Petr Hájek (logik, nikoli poradce) se trochu od Gödelova rukopisu odchyluje, pochopitelně v zájmu srozumitelnosti. Původnější anglicko-české zrcadlové vydání v PDF je zde:

https://docs.google.com/open?id=0B3pp9Xdhjj-sOTVhNzU2YTktMTgzNy00ODNmLWE0NDItYzRiOWI2ZmQ0NWU5

Sice nebylo skoro co překládat, ale je téměř jisté, že alespoň jedna hrubá chyba tam je. Zkuste ji najít.

Kurt Gödel o vztahu mezi teorií relativity a idealistickou filosofií

Článek "A remark about the relationship between relativity theory and idealistic philosophy" / "Poznámka o vztahu mezi teorií relativity a idealistickou filosofií" je v zrcadlovém vydání, tj. anglicko-česky. Nepřekládal jsem já, ale prof. RNDr. Jan Novotný, CSc., takže je tu větší záruka přesnosti. Ptáte-li se proč to číst, pak odpovídám, že otázka pojetí času je při studiu filosofických názorů nějaké osobnosti krajně důležitá.

V pdf zde: https://docs.google.com/open?id=0B3pp9Xdhjj-sODY5MmVjMjAtYzEzOS00ODkxLThjNTEtY2FmNjg3NGZkMGNi.

Chyby hlašte, opravím. Chcete-li kódy v Latexu, dodám také, ale sazba tohoto článku je vinou dlouhých poznámek pod čarou opravdovým utrpením (kdo to nezkusil, nepochopí).

Hawking o Gödelovi a teorii relativity

These two papers represent Gödel's main contribution to relativistic cosmology. In the 1920s and the 1930s, the Friedmann-Robertson-Walker cosmological models had been introduced as the simplest solutions of the equations of Einstein's general theory of relativity that were consistent with the observed red-shift of distant galaxies. These models were spatially homogeneous and isotropic, and were expanding but were non-rotating. Gödel was the first to consider models that were rotating. The possible rotation of the universe has a special significance in general relativity because one of the influences that led Einstein to the theory in 1915 was Mach's principle. The exact formulation of the principle is rather obscure, but it is generally interpreted as denying the existence of absolute space. In other words, matter has inertia only relative to other matter in the universe. The principle is generally taken to imply that the local inertial frame denned by gyroscopes should be non-rotating with respect to the frame defined by distant galaxies. Gödel showed that it was possible to have solutions of the Einstein field equations in which the galaxies were rotating with respect to the local inertial frame. He therefore demonstrated that general relativity does not incorporate Mach's principle. Whether or not this is an argument against general relativity depends on your philosophical viewpoint, but most physicists nowadays would not accept Mach's principle, because they feel that it makes an untenable distinction between the geometry of space-time, which represents the gravitational and inertial field, and other forms of fields and matter. In the first of these papers (1949) Gödel presented a rotating solution that was not expanding but was the same at all points of space and time. This solution was the first to be discovered that had the curious property that in it it was possible to travel into the past. This leads to paradoxes such as "What happens if you go back and kill your father when he was a baby?" It is generally agreed that this cannot happen in a solution that represents our universe, but Gödel was the first to show that it was not forbidden by the Einstein equations. His solution generated a lot of discussion of the relation between general relativity and the concept of causality. The second paper (1952) describes more reasonable rotating cosmological models that are expanding and that do not have the possibility of travel into the past. These models could well be a reasonable description of the universe that we observe, although observations of the isotropy of the microwave background indicate that the rate of rotation must be very low.

 S. W. Hawking - Introductory note to 1949 and 1952

Tyto dva články představují Gödelův hlavní přínos k relativistické kosmologii. Ve dvacátých a třicátých letech dvacátého století byl vytvořen Friedmann-Robertson-Walkerovy kosmologický modely jako nejjednodušší řešení rovnic Einsteinovy obcené teorie relativity, které jsou v souladu s pozorovaným rudým posuvem vzdálených galaxií. Tyto modely byly prostorově homogenní a izotropní, a byly expandující aniž byly rotující. Gödel jako první uvažoval modely, které rotující byly. Tato možná rotace vesmíru měla zvláštní význam pro obecnou teorii relativity, protože jeden z vlivů vedoucích roku 1915 Einsteina k jeho teorii byl Machův princip. Přesné vyjádření tohoto principu je poněkud temné, ale lze je v obecnosti interpretovat jako popření existence absolutního prostoru. Jinými slovy, hmota má setrvačnost pouze relativně k ostatní hmotě ve vesmíru. Tento princip je obecně použit k vyvození, že lokální inerciální soustavy uhnízděné v gyroskopech by neměly být rotující v souladu se soustavami definovanými vzdálenými galaxiemi. Gödel ukázal, že je možné řešit Einsteinovy rovnice pole v nichž by galaxie rotovaly v souladu s lokální inerciální soustavou. A proto dokázal, že obecná relativita nezahrnuje Machův princip. Zda toto je nebo není argument proti obecné relativitě závisí na našem filosofickém úhlu pohledu, ale mnoho dnešních fyziků by nepřijalo Machův princip, protože cítí, že tento činí neobhajitelným rozdíl mezi geometrií prostoročasu, který představuje gravitační a inerciální pole, a ostatními formami polí a hmoty. V prvním z těchto dvou článků (1949) Gödel předvádí rotující řešení, které není expandující, ale je stejné ve všech bodech prostoru a času. Toto řešení bylo první, o kterém se odhalilo, že má tu pozoruhodnou vlastnost, že je v něm možná cesta do minulosti. To vedlo paradoxům typu: "Co se stane, když půjdu do minulosti a zabiji Vašeho otce, když byl ještě dítě?" Všeobecný souhlas panuje v tom, že toto se nemůže stát v řešení, které reprezentuje náš vesmír, ale Gödel byl první, který ukázal, že to není ve sporu s Einsteinovými rovnicemi. Jeho řešení vyvolalo mnoho diskuzí o vztahu mezi obecnou relativitou a kauzalitou. Druhý článek (1952) popisuje mnohem rozumnější rotující kosmologické modely, a to takové, že expandují a není v nich možnost cestování do minulosti. Tyto modely mohou dost dobře být rozumným popisem vesmíru takového, jaký pozorujeme, ačkoli pozorování izotropie mikrovlnného pozadí naznačuje, že míra rotace musí být velice malá.

S. W. Hawking - Úvodní poznámka k článku z roku 1949 a 1952

Přiznávám se, že jsem bídný fyzik. Jestli jsem něco špatně přeložil, budiž mi to hozeno na hlavu a rád to opravím.

Co je Cantorův problém kontinua?

Asi nejpovolanější člověk, který by se měl pokusit na tuto otázku odpovědět, byl Kurt Gödel. Jeho článek přikládám. Překlad je od Jiřího Fialy.

https://docs.google.com/open?id=0B3pp9Xdhjj-sNThhZGNiN2UtMjY3MS00MzI2LTk3YmItNDA4NmNkODE5YzA2

O zrcadlech

Český harfeník Jan Křtitel Krupmholzt (cca 1745 - 1790) ve svých pamětech píše:

Svěřoval jsem své ženě ztvárnění svých myšlenek, neboť když sám hraji, nemohu posoudit efekt hry, zato když poslouchám, nic mi neunikne. Získávám tedy na poli skládání to, co ztrácím při hraní. Stávám se tím užitečnější pro milovníky hudby i pro své žáky tím, že nechávám svou ženu opakovat stejné pasáže dvaceti různými způsoby, poznávám lépe než kdo jiný, co dokáží prsty a co umožňuje nástroj.

Něco podobného jsem slyšel i od jiných muzikantů a také jsem to zažil sám. Vždy jsem si myslel, že člověk nezná svůj vlastní hlas pouze proto, že se mu dostává do uší zkreslený. Ale u hry na hudební nástroj toto neplatí. Přesto člověk většinou svou vlastní hru nezná o mnoho lépe než svůj hlas. Akustika v tom už očividně nehraje roli. Zatímco Krumpholtz měl svou manželku (což byla nakonec jeho záhuba), disponujeme dnes lepšími "zrcadly". Jev překvapení při "spatření" svého "obrazu" v "zrcadle" mě připadá velmi zajímavý a jeho příčinu naprosto nechápu. Otázka zní: Jaké další své "obrazy" vlastně neznáme a jak nám v tom technika může pomoci?

Helloweenská

Je to sice Post Festum, ale alespoň pro příští rok. Češi mohli tento známý kánon slyšet ve filmu Český sen, ovšem s dost zkomoleným textem. Tu je v tříhlasé podobě.

Tady se píše cosi o pěti hlasech, ale to je moc. Více jak tříhlasé kánony nikdy neznějí dobře.

Pokud máte jen jeden hlas a ještě kytaru a nechcete hrát moc polyfonně, pak nabízím jednu starou ověřenou jednoduchou instrumentaci. http://kristinhall.org/songbook/CampfireBallads/ASoalinTranscribe.pdf

 

Poznámka Kurta Gödela k intuicionistické logice.

V každé (dobré) učebnici logiky se lze dočíst, že Kurt Gödel dokázal, že pokud neplatí zákon vyloučeného třetího (X nebo ne X), pak musí mít logika nekonečně mnoho pravdivostních hodnot. Každého, kdo něco takového vidí poprvé, musí zákonitě napadnout: Jak se, proboha, dá něco takového dokázat? Jak je u Gödela pravidlem, je v tom malá ale geniální finta. Jeho krátkou, ale důležitou poznámku přikládám. Je to německo-český zrcadlový text (v originále Zum intuitionistischen Aussagenkalkül). Je to jen necelá stránka textu, takže odvahy ke čtení není třeba nějak výjimečně mnoho. Překlad je můj. Veškeré připomínky vítám. Adresa: https://docs.google.com/open?id=0B3pp9Xdhjj-sMWUyZDM1MDktYzYwNy00MTIxLTk1NDMtNDMxMTRjODQ3NGQ4

Je Halting Problem výjimečný?

Mějme nějaký zcela libovolný problém P vyřešený počítačovým programem p se vstupem a. (Cokoli od hledání smyslu, života a vůbec po rozsvícení žárovky, anebo to může být úkol zaseknout se a nedělat nic.) Mějme počítačový program q se vstupem b, který řeší jiný problém. (Nechceme-li vstupy, mohu být příslušná vstupní data tzv. None. Programátoři vědí. Vstupem programu pochopitelně může být i kód programu.) Zápisem x značím kód programu a zápisem x(c) značím volání programu x se vstupem c. Ptejme se nyní: existuje program r, který má-li na vstupu kód x a datum c rozhodne, zda x(c) řeší problém P. Předpokládejme, že program r existuje. Pak lze napsat program (třeba v pythonu):

def  s(d):
    if r(d, d):
        q(b)
    else:
        p(a)

Ptejme se nyní, co udělá s(s)? Pokud s(s) řeší P, pak jej neřeší, protože se spustí q(b). Pokud jej však neřeší, pak jej řeší, protože se spustí p(a). V obou případech tedy dostáváme spor, což je další spor, a tedy program r nemůže existovat.

Pokud je formální systém tak složitý, že může zpracovávat kód jako datum (tzn. ani moc jednoduchý, ani moc složitý), pak není žádný problém rozhodnutelný. Na Halting Problému se to sice dobře ukazuje, ale nemyslím, že by obecný výše uvedený důkaz nějak komplikovaný. Tento důkaz není ani tak podobný Gödelovu/Rosserovu důkazu, protože tam je sebereference, která vede ke sporu s úplností, nikoli s její existencí. V tomto důkazu vede sebereference ke sporu s vlastní existencí. Z epistemického hlediska je tento důkaz podobný spíše diagonálnímu důkazu Cantorovu.

Přímým důsledkem této věty je fakt, že každý řešitelný problém lze řešit nekonečně mnoha navzájem velmi nepodobnými způsoby, jinými slovy, prostor pro kreativitu není omezen. Matematici tuto větu znají v podobě, která používá Gödelovo výrazivo: Množina kódů programu řešící nějaký problém je buď prázdná, nebo nerekursivní. Toto a mnohé jiné se můžete dočíst v připravované knize Michala Černého Výpočty: http://nb.vse.cz/~cernym/vypocty.pdf.