Pokud potřebujete český překlad článku Kurta Gödela "Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I", napište mi na email gopeith@gmail.com, popř. napište kontakt do diskuse. Jedná se o paralelní německo-český text. Překlad ještě potřebuje nějaké korekce a vyřešení několika problémů s LaTEXem, a proto tu není volně ke stažení. Ale navzdory své nedokonalosti jako učební text určitě poslouží.
pátek 29. října 2010
pondělí 25. října 2010
Nabobové
Takoví nabobové se vyskytují mezi lidmi svým způsobem vzdělanými, či lépe řečeno mezi lidmi někdy i s dosti značnými znalostmi. Naprostý nevzdělanec, stejně jako opravdový vzdělanec, by nikdy nepřipadl na myšlenku, že již zná vše, co je množné znát. Něco takového může napadnou jen člověka samolibého, jenž navíc z příčiny tvrdé lbi získával své znalosti v potu tváře, takže posléze nabyl přesvědčení, že velikost vynaložené námahy odpovídá velikosti všech moudrostí světa.
Petr Vopěnka – Trýznivé tajemství
úterý 19. října 2010
Gauss a neeukleidovské geometrie
Následující ukázka je z dopisu, který napsal Gauss (a nebo Gauß) svému příteli Taurinovi (1. pád Taurinus) v roce 1824. Do češtiny přeložil V. J. Hauner a je to čeština, která svou patinou nejlépe odpovídá Gaussově době. Pozměnil jsem text jen málo, a to je proto, aby mu bylo rozumět (např. odpor opravuji na rozpor). Kdo chce, ten si najde původní text v časopise Česká mysl.
Die Annahme, daß die Summe der 3 Winkel kleiner sei als 180°, führt auf eine eigne von der unsrigen (Euclidischen) ganz verschiedene Geometrie, die in sich selbst durchaus consequent ist, und die ich für mich selbst ganz befriedigend ausgebildet habe, so daß ich jede Aufgabe in derselben auflösen kann mit Ausnahme der Bestimmung einer Constante, die sich a priori nicht ausmitteln läßt. Je grösser man diese Constante annimmt, desto mehr nähert man sich der Euclidischen Geometrie und ein unendlich großer Werth macht beide zusammenfallen. Die Sätze jener Geometrie scheinen zum Theil paradox, und dem Ungeübten ungereimt; bei genauerer ruhiger Überlegung findet man aber, daß sie an sich durchaus nichts unmögliches enthalten. So z. B. können die drei Winkel eines Dreiecks so klein werden als man nur will, wenn man nur die Seiten groß genug nehmen darf, dennoch kann der Flächeninhalt eines Dreiecks, wie groß auch die Seiten genommen werden, nie eine bestimmte Grenze überschreiten, ja sie nicht einmahl erreichen. Alle meine Bemühungen einen Widerspruch, eine Inconsequenz in dieser Nicht-Euclidischen Geometrie zu finden sind fruchtlos gewesen, und das Einzige was unserm Verstande darin widersteht, ist daß es, wäre sie wahr, im Raum eine an sich bestimmte (obwohl uns unbekannte) Lineargrösse geben müßte. Aber mir deucht, wir wissen, trotz der Nichts Sagenden Wort-Weisheit der Metaphysiker eigentlich zu wenig oder gar nichts über das wahre Wesen des Raumes, als daß wir etwas uns unnatürlich vorkommendes mit Absolut Unmöglich verwechseln dürfen. Wäre die Nicht-Euclidische Geometrie die wahre, und jene Constante in einigem Verhältniße zu solchen Grössen die im Bereich unsrer Messungen auf der Erde oder am Himmel liegen, so ließe sie sich a posteriori ausmitteln. Ich habe daher wohl zuweilen im Scherz den Wunsch geäußert, daß die Euclidische Geometrie nicht die Wahre wäre, weil wir dann ein absolutes Maass a priori haben würden.
Předpoklad, že součet úhlů v trojúhelníku je menší než 180°, vede ke zvláštní geometrii, zcela rozdílné od naší (eukleidovské) a samé v sobě zcela konzistentní, již jsem pro sebe tak dostatečně vypracoval, že dovedu v ní každou úlohu rozřešiti, vyjímaje určení jisté konstanty, jež se a priori vyšetřiti nedá. Čím větší zvolíme tuto konstantu, tím více se přiblížíme geometrii Eukleidově a při nekonečné hodnotě (konstanty) obě splynou. Poučky oné geometrie zdají se částečně paradoxními a neznalci nesmyslnými; uvážíme-li si však věci klidně a bedlivě, shledáme, že neobsahují nic o sobě nemožného. Tak mohou např. tři úhly trojúhelníka se zmenšiti libovolně, smíme-li jen strany jeho zvoliti dosti velkými; přes to však plocha trojúhelníka, ať volíme strany jakkoli velké, nesmí překročiti určité meze, ba nesmí jí ani dosáhnouti. Veškera moje snaha shledati v této neeukleidovské geometrii rozpor, nedůslednost zůstala marnou, a jediné, co v ní našemu rozumu odporuje, jest, že by, když by byla pravdivá, nutně existovala v prostoru jistá určitá (třebas nám neznámá) lineární veličina. Mně však se zdá, že přes veškeru jalovou slovní moudrost metafysiků víme vlastně příliš málo nebo vůbec nic o pravé podstatě prostoru, i nesmíme stotožňovat s absolutně nemožným, co nám připadá nepřirozeným. Kdyby neeukleidovská geometrie byla pravdivou a ona konstanta v jakémsi poměru k veličinám ležícím na zemi nebo na nebi v dosahu našich měření, dala by se a posteriori vyšetřiti. Proto jsem někdy žertem vyslovil přání, aby eukleidovská geometrie nebyla pravou, poněvadž bychom pak měli a priori absolutní míru.
Proč Gauss své výsledky nepublikoval? Bylo to pro něj ono Trýznivé tajemství? Boylaimu staršímu píše Gauss v roce 1832:
Jetzt Einiges über die Arbeit Deines Sohnes. Wenn ich dam it anfange i dass ich volche nicht loben darf: so wirst Du wohl einen Augenblick stutzen : aber ich kann nicht anders; sie loben hiesse mich selbst loben : denn der ganze Inhalt, der Weg, den Dein Sohn eingeschlagen hat, und die Resultate, zu denen er geführt ist, kommen fast durchgehends mit meinen eigenen, zum Theile seit 30-35 Jahren angestellten Meditationen überein. In der That bin ich dadurch auf das Aeusserste überrascht. Mein Vorsatz war von meiner eigenen Arbeit, von der übrigens
bis jetzt wenig zu Papier gebracht war, bei meinen Lebzeiten gar nichts bekannt werden zu lassen. Die meisten Menschen haben gar nicht den rechten Sinn für das, worauf es dabei ankommt, und ich habe nur wenige Menschen gefunden, die das, was ich ihnen mittheilte, mit besonderm Interesse aufnahmen.
Nyní něco o práci Tvého syna. Zarazíš se na okamžik zajisté, začnu-li tím, že ji nesmím chválit - nemohu jinak, neboť chválit ji, bylo by chválit sama sebe; neboť celý obsah spisu, cesta, jíž se dal Tvůj syn, a výsledky, jichž dospěl, shodují se skorem naprosto s mými vlastními meditacemi, dílem již 30-35 roků starými. Mou zásadou bylo neoznámiti o své práci, z níž ostatně jen málo dosud přeneseno na papír, za svého života ničeho... Naproti tomu bylo mým úmyslem, časem vše tak přenésti na papír, aby to alespoň se mnou jednou nezašlo. – Jsem tudíž velmi překvapen vida, že ta námaha mi nyní bude ušetřena, a největším potěšením je mi, že právě syn mého starého přítele mne tak pozoruhodným způsobem předešel.
Die Annahme, daß die Summe der 3 Winkel kleiner sei als 180°, führt auf eine eigne von der unsrigen (Euclidischen) ganz verschiedene Geometrie, die in sich selbst durchaus consequent ist, und die ich für mich selbst ganz befriedigend ausgebildet habe, so daß ich jede Aufgabe in derselben auflösen kann mit Ausnahme der Bestimmung einer Constante, die sich a priori nicht ausmitteln läßt. Je grösser man diese Constante annimmt, desto mehr nähert man sich der Euclidischen Geometrie und ein unendlich großer Werth macht beide zusammenfallen. Die Sätze jener Geometrie scheinen zum Theil paradox, und dem Ungeübten ungereimt; bei genauerer ruhiger Überlegung findet man aber, daß sie an sich durchaus nichts unmögliches enthalten. So z. B. können die drei Winkel eines Dreiecks so klein werden als man nur will, wenn man nur die Seiten groß genug nehmen darf, dennoch kann der Flächeninhalt eines Dreiecks, wie groß auch die Seiten genommen werden, nie eine bestimmte Grenze überschreiten, ja sie nicht einmahl erreichen. Alle meine Bemühungen einen Widerspruch, eine Inconsequenz in dieser Nicht-Euclidischen Geometrie zu finden sind fruchtlos gewesen, und das Einzige was unserm Verstande darin widersteht, ist daß es, wäre sie wahr, im Raum eine an sich bestimmte (obwohl uns unbekannte) Lineargrösse geben müßte. Aber mir deucht, wir wissen, trotz der Nichts Sagenden Wort-Weisheit der Metaphysiker eigentlich zu wenig oder gar nichts über das wahre Wesen des Raumes, als daß wir etwas uns unnatürlich vorkommendes mit Absolut Unmöglich verwechseln dürfen. Wäre die Nicht-Euclidische Geometrie die wahre, und jene Constante in einigem Verhältniße zu solchen Grössen die im Bereich unsrer Messungen auf der Erde oder am Himmel liegen, so ließe sie sich a posteriori ausmitteln. Ich habe daher wohl zuweilen im Scherz den Wunsch geäußert, daß die Euclidische Geometrie nicht die Wahre wäre, weil wir dann ein absolutes Maass a priori haben würden.
Předpoklad, že součet úhlů v trojúhelníku je menší než 180°, vede ke zvláštní geometrii, zcela rozdílné od naší (eukleidovské) a samé v sobě zcela konzistentní, již jsem pro sebe tak dostatečně vypracoval, že dovedu v ní každou úlohu rozřešiti, vyjímaje určení jisté konstanty, jež se a priori vyšetřiti nedá. Čím větší zvolíme tuto konstantu, tím více se přiblížíme geometrii Eukleidově a při nekonečné hodnotě (konstanty) obě splynou. Poučky oné geometrie zdají se částečně paradoxními a neznalci nesmyslnými; uvážíme-li si však věci klidně a bedlivě, shledáme, že neobsahují nic o sobě nemožného. Tak mohou např. tři úhly trojúhelníka se zmenšiti libovolně, smíme-li jen strany jeho zvoliti dosti velkými; přes to však plocha trojúhelníka, ať volíme strany jakkoli velké, nesmí překročiti určité meze, ba nesmí jí ani dosáhnouti. Veškera moje snaha shledati v této neeukleidovské geometrii rozpor, nedůslednost zůstala marnou, a jediné, co v ní našemu rozumu odporuje, jest, že by, když by byla pravdivá, nutně existovala v prostoru jistá určitá (třebas nám neznámá) lineární veličina. Mně však se zdá, že přes veškeru jalovou slovní moudrost metafysiků víme vlastně příliš málo nebo vůbec nic o pravé podstatě prostoru, i nesmíme stotožňovat s absolutně nemožným, co nám připadá nepřirozeným. Kdyby neeukleidovská geometrie byla pravdivou a ona konstanta v jakémsi poměru k veličinám ležícím na zemi nebo na nebi v dosahu našich měření, dala by se a posteriori vyšetřiti. Proto jsem někdy žertem vyslovil přání, aby eukleidovská geometrie nebyla pravou, poněvadž bychom pak měli a priori absolutní míru.
Proč Gauss své výsledky nepublikoval? Bylo to pro něj ono Trýznivé tajemství? Boylaimu staršímu píše Gauss v roce 1832:
Jetzt Einiges über die Arbeit Deines Sohnes. Wenn ich dam it anfange i dass ich volche nicht loben darf: so wirst Du wohl einen Augenblick stutzen : aber ich kann nicht anders; sie loben hiesse mich selbst loben : denn der ganze Inhalt, der Weg, den Dein Sohn eingeschlagen hat, und die Resultate, zu denen er geführt ist, kommen fast durchgehends mit meinen eigenen, zum Theile seit 30-35 Jahren angestellten Meditationen überein. In der That bin ich dadurch auf das Aeusserste überrascht. Mein Vorsatz war von meiner eigenen Arbeit, von der übrigens
bis jetzt wenig zu Papier gebracht war, bei meinen Lebzeiten gar nichts bekannt werden zu lassen. Die meisten Menschen haben gar nicht den rechten Sinn für das, worauf es dabei ankommt, und ich habe nur wenige Menschen gefunden, die das, was ich ihnen mittheilte, mit besonderm Interesse aufnahmen.
Nyní něco o práci Tvého syna. Zarazíš se na okamžik zajisté, začnu-li tím, že ji nesmím chválit - nemohu jinak, neboť chválit ji, bylo by chválit sama sebe; neboť celý obsah spisu, cesta, jíž se dal Tvůj syn, a výsledky, jichž dospěl, shodují se skorem naprosto s mými vlastními meditacemi, dílem již 30-35 roků starými. Mou zásadou bylo neoznámiti o své práci, z níž ostatně jen málo dosud přeneseno na papír, za svého života ničeho... Naproti tomu bylo mým úmyslem, časem vše tak přenésti na papír, aby to alespoň se mnou jednou nezašlo. – Jsem tudíž velmi překvapen vida, že ta námaha mi nyní bude ušetřena, a největším potěšením je mi, že právě syn mého starého přítele mne tak pozoruhodným způsobem předešel.
pondělí 11. října 2010
2. světová válka znamenala i konec jednoho mýtu
Die reine Zahlentheorie ist dasjenige Gebiet der Mathematik, das noch nie Anwendungen gefunden hat.
Čistá teorie čísel je taková část matematiky, pro kterou nebude žádná aplikace nalezena.
Real mathematics has no effect on war. No one has yet discovered any warlike purpose to be served by the theory of numbers or relativity; and it seems unlikely that anyone will do so for many years.
Opravdová matematika nemá žádný vojenský význam. Nikdo zatím neobjevil žádné vojenské využití teorie čísel nebo relativity; a nezdá se, že by k tomu během mnoha dalších let došlo.
It would not be an exaggeration to state that abstract cryptography is identical with abstract mathematics.
Bez nadsázky lze říci, že abstraktní kryptografie je totožná s abstraktní matematikou.
David Hilber (1930)
Čistá teorie čísel je taková část matematiky, pro kterou nebude žádná aplikace nalezena.
David Hilber (1930)
Real mathematics has no effect on war. No one has yet discovered any warlike purpose to be served by the theory of numbers or relativity; and it seems unlikely that anyone will do so for many years.
G. H Hardy - A Mathematician’s Apology (1940)
Opravdová matematika nemá žádný vojenský význam. Nikdo zatím neobjevil žádné vojenské využití teorie čísel nebo relativity; a nezdá se, že by k tomu během mnoha dalších let došlo.
G. H Hardy - A Mathematician’s Apology (1940)
It would not be an exaggeration to state that abstract cryptography is identical with abstract mathematics.
Abraham Adrian Albert (1941)
Bez nadsázky lze říci, že abstraktní kryptografie je totožná s abstraktní matematikou.
Abraham Adrian Albert (1941)
Přihlásit se k odběru:
Příspěvky (Atom)