Proč jsou některé tautologie zajímavé a jiné nikoli?

Ayer to připisuje tomu, že některé výroky prostě překračují jistou hranici toho, co může být umězenému rozumu jasné, i když samy o sobě jasné jsou. Celý anglický originál je tady.

But can we really allow that these theorems which fill so many books serve no other purpose than to say in a round about fashion „A =A“? (...) The true explanation is very simple. The power of logic and mathematics to surprise us depends, like their usefulness, on the imitations of our reason. A being whose intellect was infinitely powerful would take no interest in logic and mathematics. For he would be able to see at a glance everything that his definitions implied, and, accordingly, could never learn anything from logical inference which he was not fully conscious of already. But our intellects are not of this order. It is only a minute proportion of the consequences of our definitions that we are able to detect at a glance. Even so simple a tautology as „91 x 79 = 7189“ is beyond the scope of our immediate apprehension. To assure ourselves that „7189“ is synonymous with „91 x 79“ we have to resort to calculation, which is simply a process of tautological transformation that is, a process by which we change the form of expressions without altering their significance.

A. J. Ayer – Language, Truth and Logic

Ale můžeme skutečně připustit, že tyto teorémy, které naplňují tolik knih, neslouží žádnému jinému účelu, než oklikou říkat „A = A“? (...) Skutečné vysvětlení je velice jednoduché. To, že nás logika a matematika dokáží překvapovat, stejně tak jako jejich užitečnost, vychází z omezení našeho rozumu. Bytost, jejíž intelekt by měl nekonečnou moc, by se o logiku a matematiku nezajímala. Byla by totiž schopna jediným pohledem obsáhnout všechny důsledky svých definic, a nemohla by se tudíž z logických odvození nikdy dozvědět nic, co by si už plně neuvědomovala. Ale naše intelekty nejsou tohoto řádu. Jediným pohledem jsme schopni zjistit jenom mizivou část důsledků našich definic. I tak jednoduchá tautologie jako „91 x 79 = 7189“ hranice našeho bezprostředního nahlédnutí přesahuje. Abychom se ujistili, že „7189“ je synonymní s „91 x 79“, musíme se pustit do počítání, které je prostě procesem tautologické transformace – tj. procesem, při němž měníme formu výrazu, aniž bychom měnili jeho význam.

A. J. Ayer – Jazyk, pravda a logika

Popper o pojetí vědy

Chybné pojetí vědy se prozrazuje touhou mít pravdu; neboť to není vlastnictvím vědění, nevyvratitelné pravdy, co činí vědce vědcem, nýbrž jeho trvalé a na důsledky nehledící kritické hledání pravdy. Má být náš postoj resignací? Máme říci, že věda může splnit pouze svůj biologický úkol; že se může přinejlepším osvědčit v praktických aplikacích, které ji mohou koroborovat? Jsou její intelektuální problémy neřešitelné? Nemyslím si to. Věda nikdy nesleduje iluzorní cíl učinit své výpovědi definitivními, ba ani pravděpodobnými. Postupuje spíše k nekonečnému, a přesto dosažitelnému cíly: stálému objevování nových, hlubších a obecnějších problémů a podrobování našich vždy zkusmých odpovědí stále obnovovaným a stále přísnějším testům. (...) Myslím si, že si budeme muset zvyknout na myšlenku, že se na vědu nemůžeme dívat jako na „soubor vědění“, nýbrž spíše jako na systém hypotéz; to znamená na systém odhadů nebo anticipací, které v principu nemohou být zdůvodněny, s nimiž však věda pracuje, dokud tyto hypotézy obstojí v testech, a o nichž nemáme nikdy právo říkat, že jsou „pravdivé“ nebo „více či méně jisté“, ba ani „pravděpodobné“.

Karl Raimund Popper – Logika vědeckého bádání

Aforismy Francise Bacona

Text je ke stažení anglicky zde a latinsky zde.

Rationem humanam, qua utimur ad naturam, anticipationes naturae (quia res temeraria est et praematura), at illam rationem quae debitis modis elicitur a rebus, interpretationem naturae, docendi gratia, vocare consuevimus.

Francis Bacon – Novum Organum

Ponětí lidské, jež nyní máme většinou o přírodě, zovu obvykle „předem utvořeným ponětím o přírodě“ poněvadž jest věcí nerozvážnou a předčasnou.

Francis Bacon – Novum Organum

Intellectus humanus ex proprietate sua facile supponit majorem ordinem et aequalitatem in rebus, quam invenit.

Francis Bacon – Novum Organum

Lidské myšlení předpokládá vyšší míru řádu a souvislostí mezi věcmi, než jaká skutečně existuje.

Francis Bacon – Novum Organum

A ještě variace na známé téma:

Estque intellectus humanus instar speculi inaequalis ad radios rerum, qui suam naturam naturae rerum immiscet, eamque distorquet et inficit.

Francis Bacon – Novum Organum

Lidské myšlení je jako pokřivené zrcadlo, které odráží paprsky nepravidelně, křivě a kazí barvy přirozenosti přírody přimíšením své vlastní přirozenosti.

Francis Bacon – Novum Organum

Esencialismus versus nominalismus u Poppera

Methodological essentialists are inclined to formulate scientific questions in such terms as 'what is matter?' or 'what is force?', or 'what is justice?' and they believe that a penetrating answer to such questions, revealing the real or essential meaning of these terms and thereby the real or true nature of the essences denoted by them, is at least a necessary prerequisite of scientific research, if not its main task. Methodological nominalists, as opposed to this, would put their problems in such terms as 'how does this piece of matter behave?' or 'how does it move in the presence of other bodies?' For methodological nominalists hold that the task of science is only to describe how things behave, and suggest that this is to be done by freely introducing new terms wherever necessary, or by re-defining old terms wherever convenient while cheerfully neglecting their original meaning. For they regard words merely as useful instruments of description.

Karl Raimund Popper – The Poverty of Historicism

Metodologičtí esencialisté mají sklon formulovat své vědecké otázky tímto způsobem: „co je to hmota?“, „co je to síla?“ nebo „co je to spravedlnost?“, a jsou přesvědčeni, že pronikavá odpověď na takovou otázku, odhadující reálný či esenciální význam těchto výrazů – a tudíž reálnou a pravou přirozenost esencí jimi označovaných – je přinejmenším nezbytnou předběžnou podmínkou možnosti vědeckého výzkumu, ne-li jeho hlavním úkolem. Naopak metodičtí nominalisté nastolují problémy asi takto: „jak se tento kus hmoty chová?“ nebo „jak se pohybuje v přítomnosti dalších těles?“. Metodologičtí nominalisté totiž mají za to, že úkolem vědy je pouze popsat, jak se věci chovají, přičemž je možno svobodně zavádět nové výrazy bez ohledu na jejich původní význam. Slova totiž považují pouze za užitečné nástroje popisu.

Karl Raimund Popper – Bída historicismu

V čem se podobá starověká orientální a dnešní středoškolská matematika?

Člověk, který zná matematiku jen ze svých středoškolských studií, většinou matematiku vlastně vůbec nezná. Pokud by někdo o dnešní matematice soudil je se středoškolských učebnic, nejspíš by učinil stejné konstatování, jaké vyslovil Struik ve svých dějinách matematiky. Že to s dnešní matematikou není tak strašné naznačuje, že by to tak strašné nemuselo být ani se starověkou orientální matematikou. I když to nedokazuje nic.

Nowhere in all ancient Oriental mathematics do we find any attempt at what we call a demonstration. No argumentation was presented, but only the prescription of certain rules: “Do such, do so”. We are ignorant of the way in which the theorems were found: for instance, how did the Babylonians become acquainted with the theorem of Pythagoras? Several attempts exist to explain the way in which Egyptians and Babylonians obtained their results, but they are all of a hypothetical nature. To those way have been educated in Euclid’s strict argumentation, the entire Oriental way of reasoning seems at first strange and highly unsatisfactory. But this strangeness wears off when we realize that most of the mathematics we teach our present-day engineers and technicians is still of the “do such, do so” type, without much attempt at rigorous demonstration. Algebra is still being taught in many high schools as a set of rules rather than as a science of deduction. Oriental mathematics, in this respect, never seems to have been emancipated from the millennial influence of the problems in technology and administration, for the use of which it had been invented.

Dirk J. Struik – A concise history of mathematics

Nikde v celé starověké orientální matematice nenalezneme ani pokus o to, čemu říkáme důkaz. Nebyla podávána žádná argumentace, nýbrž jen popis jistých pravidel „udělej to tak a tak“. Není nám známo nic o způsobech, kterými byly věty odvozeny. Odkud třeba Babyloňané znali Pythagorovu větu? Různé snahy po objasnění způsobů, jakými Egypťané a Babyloňané dospěli ke svým výsledkům, však všechny spočívali na hypotézách. Nám, kteří jsme byli odchováni Euklidovou přesnou argumentací, zdá se celý tento orientální způsob myšlení na první pohled podivný a velmi neuspokojivý. Ale tato podivnost zmizí, uvědomíme-li si, že větší díl matematiky, kterou se učí dnešní naši inženýři a technici, je stále typu „udělej to tak a tak“, aniž by se příliš usilovalo o přesný důkaz. Na mnohých vysokých školách se algebra učí spíše jako sbírka pravidel než jako deduktivní věda. Zdá se, že orientální matematika se nikdy neosvobodila od tisíciletého vlivu technických a správních problémů, k jejichž řešení byla vytvořena.

Dirk J. Struik – Dějiny matematiky

Je apriorní nutně pravdivé?

Přísně vzato je následující myšlenka poněkud „vachrlatá“, ale byla by chyba ji proto jednoduše odmítnout.

Všechny hypotézy, všechny teorie jsou geneticky, co do svého vzniku, apriorní, ať už jsou vytvořeny dříve nebo později, ať už jsou součástí dějin druhu anebo součástí našeho individuálního života. Je jen nutno objasnit, že se Kant mýlil, když se domníval, že všechno, co je „a priori“, musí být pravdivé. Hypotézy jsou apriorní: a přesto mohou být nesprávné. Typický příklad: novorozenec očekává, že o něj bude pečováno. To může být tragický omyl a dítě pak zahyne. „A priori“ bylo sice z dobrého důvodu zakotveno v genomu, ale neexistuje žádná záruka, že se očekávání splní.“

Karl Raimund Popper, Konrád Lorenz – Budoucnost je otevřená

Popper o tradici kritické diskuse

Následující výpisek je ze skvělého textu Vojtěcha Kolmana. Celé je to zde.

V čem spočívá tajemství řeckých učenců? Jaké podmínky umožnily vznik fenoménu, na nějž se v jeho podstatných rysech nezmohla žádná z civilizací po dalších tisíc let? Jak je možné, že v poměrně krátkém období mezi Thalétem a Platónem existoval v každé generaci nový originální a hluboký pokus o výklad světa? Popperova odpověď je výmluvná: příčinou rozkvětu řeckého génia byla nově vzniklá tradice – tradice kritické diskuse. Většina škol civilizací dávnověku měla více či méně religiózní charakter. Úkolem takovéto školy byla sotva kritika, ale spíše udržování tradice, nauky zakladatele, její předání dalším generacím. Jakákoli nová myšlenka je tedy nutně považována za kacířství a vede k rozkolu. Ale ani kacíř nechce vlastně nic jiného než návrat k myšlenkám zakladatele – jen má jiné mínění o jejich výkladu. Škola tohoto typu proto může být stěží živnou půdou nových a odvážných myšlenek. Náboženství pěstuje tradici dogmatickou, s kritickým myšlením zcela neslučitelnou. Jeho hlavními nástroji nejsou argumenty, ale články víry a anatémata. Kreativita a fantazie řeckých škol byla s výše načrtnutým v úplném rozporu. Anaximandros kritizoval svého učitele Thaléta, jednoho ze sedmi mudrců; v tradici nenacházíme ani náznak rozkolu. Je-li Popperova domněnka správná, založil Thalés tím, že dokázal unést kritiku, nový typus školy a tradice. Ta, narozdíl od spojitosti religiózních škol, vedla k pluralitě nauk, které pak mohly pomocí kritické diskuse usilovat o přiblížení k pravdě. Rozvojem a problematizací argumentačních postupů byl následně iniciován vznik logiky.

Vojtěch Kolman – Karl R. Popper „Logika jako organon kritiky“

Kolman cituje Poppera. Citovaná kniha je zde. Citována je str. 218. Citovaný text je tento:

Die Geschichte der Griechischen Philosophie von Thales bis zu Platon ist großartig. Sie ist fast zu schön, um wahr zu sein. In jeder Generation finden wir eine neue Philosophie, eine neue Kosmologie von atemberaubender Originalität und Tiefe. Wie war das möglich? Es gibt natürlich keine Erklärung für Origiinaletät und Tiefe. Aber man kann versuchen. Was war das Geheimnis der Denker des Altertums? Ich vermute, daß es eine neuentstandene Tradition war – die Tradition der kritischen diskussion. Ich will versuchen, das Problem etwas schärfer zu fassen. In allen oder fast allen Zivilisationen – oder in fast allen – finden wir so etwas wie religiöse und kosmologische Lehren, und in vielen Gesellschaften finden wir Schulen.

Karl Raimund Popper, Gretl Albert – Vermutungen und Widerlegungen

Polya o tázání

The mathematician as the naturalist, in testing some consequence of a conjectural general law by a new observation, addresses a question to Nature: I suspect that this law is true. Is it true?” If the consequence is clearly refuted, the law cannot be true. If the consequence is clearly verified, there is some indication that the law may be true. Nature may answer Yes or No, but it whispers one answer and thunders the other. Its Yes is provisional, its No is definitive.

George Polya – Mathematics and Plausible Reasoning

Matematik, podobně jako přírodovědec, ověřuje některé důsledky předpokládaného obecného zákona pomocí nového pozorování a obrací se na Přírodu s otázkou: „Mám podezření, že tento zákon platí. Platí opravdu?“ Jestliže nějaký důsledek zákon jasně vyvrací, pak tento zákon nemůže být pravdivý. Jestliže důsledek zákon jasně potvrzuje, pak máme určitou indikaci toho, že by zákon mohl být pravdivý. Příroda odpovídá „Ano“ nebo „Ne“, ale jednu odpověď šeptá a druhou křičí; její „Ano“ je podmíněné, její „Ne“ definitivní.

George Polya – Matematika a plausibilní uvažování

Anabaze

K tomuto zápisku mě nepodnítil autor ani překladatel, ale neznámý předchozí majitel knihy. Tento v Xenofontově Anabazi podtrhal několik málo míst, kde se Xenofón zmiňuje o řeckém náboženství. Nadšení většiny podtrhavačů naštěstí vyprchá během překladatelovy předmluvy, ale v mé knize je podtrháváno až do konce důsledně až na dvě zmínky, které byly opominuty. A domnívám se, že nikoli bezděčně, protože jako jediné nejsou tomuto náboženství příznivé. Zatímco první je úsměvná, druhá prokazuje bezmála zhoubnou pověrčivost. Dovolím si tedy malou schválnost a uvedu právě tyto dvě zmínky.

Tehdy pravil kterýsi z věštců, že je třeba větru obětovat, a tak se obětovalo. Všem se potom zdálo, že vítr polevil ve své prudkosti.

Xenofón – Anabaze

Vojáci již chodili před Xenofontův stan a volali, že nemají co jíst. On však prohlásil, že nevyrazí, pokud obětní znamení nedají souhlas.

Xenofón – Anabaze