Giovanni's Blog

Černé Indie

2012-02-06T17:02:00.004+01:00

Líbila se mi rozhlasová hra Přízrak Dochartovy šachty a jal jsem se číst původní knihu Černé Indie. Zaujalo mě mj., s jakou perspektivou končilo 19. století.

Vzhledem ke stoupající spotřebě kamenného uhlí bude podle nejnovějších výpočtů nerostné palivo vyčerpáno ve Francii za 1140 let, v Anglii za 800 let, v Belgii za 750 let a v Německu za 300 let. Americká uhelná ložiska by při roční těžbě 500 milionů tun mohla vystačit na 6000 let.

Jules Verne - Černé Indie

Další spouštěč úloh

2012-02-03T09:58:00.000+01:00

Tentokrát paralelně. Úkolem je pustit graf úloh, kde jednotlivé větve mají běžet paralelně. Používám zde jen python s balíčkem multiprocessing, což má svůj důvod. Multiprocessing funguje na jedničku (bez hvězdičky), ale procesu nedovoluje paralelně pouštět další procesy. Pokusíte-li se o to přesto, odmění Vás python tímto hlášením ve stylu fantasy románů: "daemonic processes are not allowed to have children". To ale nevadí, protože každý orientovaný graf bez cyklů lze dekomponovat na jednotlivé větve. A přesně to dělám v přiloženém skriptu. Skript pouští tento graf úloh:

Procedura job(x) trvá x sekund. Celý graf úloh by měl trvat 12 sekund, a také trvá. Ale nejsem spokojen s cyklem, který procesy pouští, protože neumím čekat na první konec nějakého procesu jinak než pomocí timoutu. Předpokládám, že jednotlivé úlohy trvají alespoň minuty, ale spíš hodiny, takže to tolik nevadí, ale není to čisté řešení a nelíbí se mi.

 # -*- coding: cp1250 -*-  
 import sys  
 import copy  
 from multiprocessing import Process, Pool, Lock, Manager, Queue  
 def decompose(bash, reservedIDs = [0], parentsConditions = [0]):  
  processes = []  
  process = None  
  conditions = copy.copy(parentsConditions)  
  for i in range(len(bash)):  
   command = bash[i][0]  
   if command == "branch":  
    conditions2 = copy.copy(conditions)  
    for j in range(len(bash[i][1])):  
     for subprocess in decompose(bash[i][1][j], reservedIDs, conditions2):  
      processes.append(subprocess)  
      conditions.append(subprocess["ID"])  
    process = None  
   else:  
    if process == None:  
     processID = max(reservedIDs) + 1  
     reservedIDs.append(processID)  
     process = {  
      "ID": processID,  
      "bash": [],  
      "conditions": copy.copy(list(set(conditions)))  
     }  
     processes.append(process)  
     conditions.append(processID)  
    process["bash"].append(bash[i])     
  return processes  
 def doDecomposedBash(bash, jobs):  
  for [command, argument] in bash:  
   jobs[command](*argument)  
 def job(t):  
  print "Doing some staff ..."  
  import time  
  time.sleep(t)  
  print "... done (%f sec)." % t  
 if __name__ == "__main__":  
  manager = Manager()  
  jobs = {  
   "job": job,  
  }  
  enviroment = manager.dict()  
  bash = [  
   ["branch",  
    [  
     [  
      ["job", [1.0]],  
      ["branch",  
       [  
        [  
         ["job", [2.0]],  
        ],  
        [  
         ["job", [3.0]],  
        ],  
       ],  
      ],  
      ["job", [4.0]],  
     ],  
     [  
      ["job", [5.0]],  
      ["branch",  
       [  
        [  
         ["job", [6.0]],  
        ],  
        [  
         ["job", [7.0]],  
        ],  
       ],  
      ],  
     ],  
    ],  
   ],  
  ]  
  processes = decompose(bash)  
  for process in processes:  
   process["process"] = Process(target = doDecomposedBash, args = (process["bash"], jobs))  
   process["state"] = "waiting"  
  closedProcesses = {0: 1}   
  # starting processes  
  while True:  
   theEnd = True  
   for process in processes:  
    if process["state"] == "running" and not process["process"].is_alive():  
     process["state"] = "closed"  
    if process["state"] == "closed":  
     closedProcesses[process["ID"]] = 1  
    else:  
     theEnd = False  
   if theEnd:  
    break  
   for process in processes:  
    if process["state"] == "waiting":  
     run = True  
     for condition in process["conditions"]:  
      if not condition in closedProcesses:  
       run = False  
     if run:  
      process["state"] = "running"  
      process["process"].start()  
   for process in processes:  
    if process["state"] == "running":  
     process["process"].join(0.01)  
     break       
   # All processes are done now.

Jung o neplodnosti theosofie (a také materialismu)

2012-02-02T16:44:00.000+01:00

Existuje však ještě jiná forma negativního myšlení, kterou bychom asi sotva na první pohled jako takovou rozeznali, a to je teosofické myšlení, které se dnes rapidně šíří ve všech světadílech patrně jako projev reakce na materialismus právě minulé epochy. Teosofické myšlení není zdánlivě nijak reduktivní, nýbrž vše povyšuje na transcendentní ideje objímající celý svět. Například sen už není skromným snem, nýbrž zážitkem na „jiné rovině“. Zatím ještě nevysvětlitelný fakt telepatie se vysvětluje velmi jednoduše „vibracemi“, které se šíří od jednoho člověka k druhému. Běžná neurotická porucha je vysvětlena velmi jednoduše tím, že se něco přihodilo „astrálnímu tělu“. Určité antropologické zvláštnosti obyvatel pobřeží Atlantiku se snadno vysvětlí zánikem Atlantidy atd. Stačí jen otevřít nějakou teosofickou knihu, abychom byli přemoženi a zdrceni poznáním, že vše je už vysvětleno a že tato „duchovní věda“ nezůstavila už vlastně vůbec žádnou záhadu. Tento druh myšlení je v podstatě právě tak negativní jako materialistické myšlení. Chápe-li materialistické myšlení psychologii jako chemické změny gangliových buněk nebo jako natahování a smršťování buněčných výběžků či jako vnitřní sekreci, je to právě tak pověrčivé jako teosofie. Jediný rozdíl spočívá v tom, že materialismus redukuje na nám běžnou fyziologii, zatímco teosofie vše převádí na pojmy indické metafyziky. Zredukujeme-li sen na přeplněný žaludek, není tím sen přesto vysvětlen, a vysvětlujeme-li telepatii jako „vibraci“, je tím řečeno právě tak málo. Neboť co je „vibrace“? Oba způsoby vysvětlování jsou nejen impotentní, ale jsou rovněž destruktivní, poněvadž brání opravdovému zkoumání problému tím, že zdánlivým vysvětlením odvádějí zájem od věci a věnují ho v prvním případě žaludku a v druhém případě imaginárním vibracím. Oba způsoby myšlení jsou sterilní a sterilizující. Negativní kvalita pochází z toho, že toto myšlení je tak nepopsatelně pohodlné a levné, tj. chudé na plodivou a tvůrčí energii. Je to myšlení ve vleku jiných funkcí.

C. G. Jung - Obecný popis typů

Jak se mohlo stát, že poezie byla pokládána za součást logiky

2012-01-31T20:30:00.000+01:00

Averroes neumí řecky, s námahou rozumí syrštině a Aristotela čte v arabském překladu z 10. století, který byl pořízen právě ze syrské verze. (...) Zkusme si představit, co vlastně mohl latinský čtenář pochopit z Aristotela, vycházel-li z překladu, který Hermann Němec pořídil z arabského textu, který se zase snažil porozumět syrskému překladu neznámého textu řeckého (...) Jak se zdá, Averroes má smysl pro tematiku metafory. Mluví o ní hned na začátku svého komentáře, jakkoli Aristotelés o ní na tomto místě nic neříká a pojednává pouze o napodobování. Pro Averroa jsou básnické skladby napodobující, pokud srovnávají jednu věc s druhou, a uvádí příklady, kdy se něco napodobuje „jako by“ to bylo něco jiného. (...) Zmiňuje však případy „nahrazování“, obecného procesu, jehož druhy jsou metafora a metonymie. U metafory mluví o čtyřčlenném vztahu. Právě v těchto souvislostech pronáší také tvrzení, jež je v arabské filosofii obecně rozšířeno a jež bude mít značný vliv na filosofii latinskou, totiž, že poezie náleží do umění logiky.

Umberto Eco – Od stromu k labyrintu

Seneca o svém vegetariánství

2012-01-28T11:22:00.000+01:00

Nejsem sice vegetarián, ale znám vegetariány a viděl jsem, jak téměř vždy proti sobě vyvolají útok. Zřejmě je za tím pocit ohrožení pramenící z poznání, že knedlozelovepřismus, který není snadné opustit, nemusí být jediným a správným způsobem života. A to znejišťuje a ubírá trochu sebelásky. Dobré téma pro psychologa. Ani v antickém světě nebyl vztah vegetariánu a karnivorů zcela nepodobný výše popsanému.

His ego instinctus abstinere animalibus coepi, et anno peracto non tantum facilis erat mihi consuetudo sed dulcis. Agitatiorem mihi animum esse credebam nec tibi hodie adfirmaverim an fuerit. Quaeris quomodo desierim? In primum Tiberii Caesaris principatum iuventae tempus inciderat: alienigenatum sacra movebantur et inter argumenta superstitionis ponebatur quorundam animalium abstinentia. Patre itaque meo rogante, qui non calumniam timebat sed philosophiam oderat, ad pristinam consuetudinem redii; nec difficulter mihi ut inciperem melius cenare persuasit.

Lucius Annaeus Seneca – Epistulae morales ad Lucilium (CVIII)

Pod vlivem těchto názorů jsem se stal vegetariánem a po roce mi tento způsob života byl nejen snadný, ale i příjemný. Zdálo se mi, že můj duch je čilejší; dnes bych však nemohl tvrdit, že tomu tak skutečně bylo. Chceš vědět, jak jsem se toho zvyku nakonec vzdal? Doba mého mládí spadala do prvních let vlády Tiberia Caesara. Tenkrát byly z Říma vyháněni cizí náboženské kulty a nejíst maso některých zvířat bylo považováno za jeden z důkazů pověry. Na žádost svého otce, který se nebál falešného obvinění, ale měl odpor k filosofii, jsem se proto vrátil k starému zvyku. Bez potíží se mu podařilo přesvědčit mě, abych jedl lépe.

Lucius Annaeus Seneca – Listy Luciliovi

Statečný od narození

2012-01-25T16:36:00.001+01:00

Variace na staré téma.

Co je to stroj

2012-01-19T18:57:00.005+01:00

První skutečný stroj jako takový (...) je Robertův tkalcovský stav zhotovený roku 1825. Prvním strojem je proto, že je prvním nástrojem, který funguje sám o sobě a sám o sobě vyrábí nějaký předmět (...). Technika přestává být tím, čím doposud byla: manipulací, to jest ručním dílem, a mění se ve výrobu sensu stricto. V řemeslnictví je nástroj a náčiní pouze doplňkem člověka, a tento člověk tedy se svými „přirozenými“ akty zůstává hlavním činitelem, Naproti tomu u strojů se nástroj dostává do popředí: už to není on, kdo pomáhá člověku, nýbrž naopak: je to člověk, který pomáhá stroji a doplňuje ho.

Ortega y Gasset – Úvaha o technice

Tento text vznikal v letech 1933 až 1939. Tkalcovské stavy 19. stol. jsou nesmírně zajímavé, protože by se mohlo zdát, že jsou předstupněm počítačů. K výrobě počítače však kromě lepší technologie bylo potřeba udělat ještě jeden důležitý krok: vytvořit stroj, který sám o sobě nevyrábí zhola nic. To patrně nemohlo napadnout žádného průmyslově zaměřeného technika, ale jen teoretika, kterého aplikace nezajímají.

Into the Night

2012-01-06T16:07:00.000+01:00

Takový malý příspěvek pro milovníky muziky v seriálu Twin Peaks. Je to píseň "Into the Night" a zpívá ji Julee Cruise. Na drobné chyby nehleďte, ty velké jsou způsobené jednak mojí hudební hluchotou obecně a jednak tím, že v tónině Cis moll se moje hudební hluchota stupňuje. Přikládám midi se základní figurou (modulujte si ji podle harmonické funkce), nápěv (je to jen tak nabrknuté), text a akordy (B je naše H). Nuže:

Into the Night

music: Angelo Badalamenti
lyrics: David Lynch

Now it's dark

Into the night
I cry out
I cry out your name
Into the night
I search out
I search out our love
Night so dark
Where are you?
Come back in my heart
So dark
So dark

Into the night
Shadows fall
Shadows fall so blue
I cry out
I cry out for you

Night so dark
Where are you?
Come back in my heart
So dark
So dark
So dark

[#Cm]Into the [#Fm]night
[B]I cry [A]out, [B]I cry [A]out
your [#Cm]name

midi: http://www.uloz.to/12338584/into-the-night-1-mid

Gasset o kořenech člověka ve filosofii

2012-01-05T19:18:00.002+01:00

Filosofie není něco, bez čeho se člověk dokáže obejít, i když si narozdíl od Gassety myslím, že takových věcí je víc. Filosofie se nakonec vždy nějak někde na člověku „vyboulí“ ať už je potlačována jakkoli. Zdá se mi lepší ji záměrně pěstovat než netečně čekat, jaká potvora z toho nakonec bude. Říkat, že filosofie (kultura, ...) je něco, čemu se můžeme věnovat až se budeme mít hmotně dobře a až na to zbude čas, ... atd. Moralitku nechať si každý domyslí sám.

(...) půdou, na níž člověk nepřetržitě stojí není mě ani jiný prvek, ale filosofie. Člověk žije z filosofie a ve filosofii. Tato filosofie může být erudovaná nebo lidová, vlastní nebo cizí, stará nebo nová, geniální nebo hloupá; ale je faktem, že naše bytí své živé rostliny do nějaké filosofie zasazuje. Převážná část lidí si to neuvědomuje, neboť tuto filosofii v níž žijí, nechápou jako výsledek nějakého intelektuálního úsilí, čile něco, co jedni nebo druzí vytvořili, ale jeví se jim jako „čistá pravda“; tedy jako „skutečnost sama“. Nevidí tuto „skutečnost samu“ jako to, čím doopravdy je: jako Ideu nebo systém idejí, nýbrž vycházejí z „věci samých“, které tato idea nebo systém idejí dává vidět.

José Ortega y Gasset – Mýtus o člověku za technikou

Pouštěč dávek

2011-12-22T10:54:00.001+01:00

Jestli se jako já chystáte pustit přes svátky nějakou dávku a bojíte se výpadků proudu nebo náhodných pádů počítače, nabízím jednoduchou utilitku. Program pouští dávku a zapisuje si řádku, na které skončil. Po násilném ukončení a znovuspuštění program skočí na poslední řádku. Program si také uchovává vlastnosti dávky ve Windows, tzn. můžete za aktuální řádku připsat další řádky a oni se provedou i když program už běží. (Trochu vepřové, ale nadmíru užitečné.) Připomínky, vylepšení a stížnosti pochopitelně vítám.Tu je skript v pythonu "batcher.py":

import sys
import os

def writeState(fname, state):
  f = open(fname, "w")
  f.write("%d\n" % state)
  f.close()          

if not len(sys.argv) == 3:
  print
  print "Error: Batcher needs two arguments."
  print
else:
  fnameBatch = sys.argv[1]
  fnameState = sys.argv[2]
  while True:
    try:
      fState = open(fnameState)
      line = fState.readline()
      state = int(line.strip())
      fState.close()
    except IOError:
      state = 0
      writeState(fnameState, state)
    fBatch = open(fnameBatch)
    iLine = 0
    for line in fBatch:
      if iLine == state:
        break
      iLine = iLine + 1
    if not state == iLine:
      break
    if not os.system(line.strip()) == 0:
      print
      print "Warning: An error has occurred at line no. %d." % (state + 1)
      print
    state = state + 1
    writeState(fnameState, state)

Skript má dva parametry: jméno souboru s dávkou a jméno souboru s číslem aktuální řádky. Pokud druhý soubor neexistuje, jede se od první (nulté) řádky.

Pozvánka do Nečtin

2011-12-21T10:26:00.004+01:00

Chcete vidět/slyšet/setkat se s Jiřím Fialou, Václavem Cílkem, Ivanem Ryndou, Jiřinou Šiklovou, aj.? Tady najdete způsob, jak to udělat:

http://www.ums.zcu.cz/vypisclanek.php?jakaKategorie=&jakaPodkategorie=&clanek=96

Mýtus o slunci a Platónova úsečka

2011-12-15T13:08:00.000+01:00

Citát z Platónovy Ústavy v pdf zde.

https://docs.google.com/open?id=0B3pp9Xdhjj-sZGRmYjFhMjEtNGVlMy00ZmU2LTk5MmItYzRmZTQwYmVmODNi

Věc je snad dostatečně známá, a tak jen o sázení paralelních zrcadlových textů (facing pages) v latexu. Možností je víc, já to dělám takto:

\documentclass[a4paper, 12pt]{book}
\usepackage{a4wide, ledmac, ledpar, hyperref, etex}
\usepackage[czech, greek, english, german]{babel}
\usepackage[utf8x]{inputenc}
\usepackage[symbol]{footmisc}

\hypersetup{
    bookmarks=true,         % show bookmarks bar?
    unicode=false,          % non-Latin characters in Acrobatâ€™s bookmarks
    pdftoolbar=true,        % show Acrobatâ€™s toolbar?
    pdfmenubar=true,        % show Acrobatâ€™s menu?
    pdffitwindow=false,     % window fit to page when opened
    pdfstartview={FitH},    % fits the width of the page to the window
    pdftitle={Ústava},    % title
    pdfauthor={Platón},     % author
    pdfsubject={},   % subject of the document
    pdfcreator={},   % creator of the document
    pdfproducer={}, % producer of the document
    pdfkeywords={}, % list of keywords
    pdfnewwindow=true,      % links in new window
    colorlinks=true,        % false: boxed links; true: colored links
    linkcolor=blue,         % color of internal links
    citecolor=green,        % color of links to bibliography
    filecolor=magenta,      % color of file links
    urlcolor=cyan           % color of external links
}

\maxchunks{300}

\begin{document}

\selectlanguage{czech}

\pagestyle{myheadings}
\markboth{\footnotesize{Platón}}{\footnotesize{Ústava}}

\renewcommand{\mp}[1]{\ledsidenote{#1}}

\begin{pages}
\renewcommand{\Rlineflag}{*}

\begin{Leftside}
\beginnumbering{}
\selectlanguage{greek}
\input{platon-ustava-509-511-gr.tex}
\end{Leftside}

\begin{Rightside}
\beginnumbering{}
\selectlanguage{czech}
\input{platon-ustava-509-511-cz.tex}
\end{Rightside}

\Pages

\end{pages}

\end{document}

Z psychohygienických důvodů mám samotný text ve dvou různých souborech. V každém souboru jsou odstavce, přižemž každý odstavec začíná řádkou s příkazem \pstart končí řádkou \pend. Může to vypadat takto:

\pstart
This is the first paragraph.
\pend
\pstart
This is the second paragraph.
\pend

A druhý soubor:

\pstart
Toto je první odstavec.
\pend
\pstart
Toto je druhý odstavec.
\pend

Kódování UTF8 je pochopitelně jen kvůli řečtině.Pokud by takto někdo chtěl sázet poznámky pod čarou nebo nedej Bože rovnice, musel by pár věcí dodělat.V případě potřeby poradím.Připraveno je jen makro \mp, což je makro pro marginpar.Při sazbě je třeba extrémní trpělivost.Dokázal by takto někdo udělat celou Ústavu?

Čechy z dálky

2011-12-13T20:13:00.003+01:00

Řek Λαόνικος Χαλκοκονδύλης byl typický blogger, protože své názory na cokoli si nenechával pro sebe, i když o věci samé nevěděl zhola nic. Co slyšel o husitech si přeložil do vlastní řeči a ze skutečnosti nezbylo nic. Asi jako dnešní průměrný názor utvořený podle televize.

S nimi sousedí Čechové. V jejich zemi někteří sdílejí víru se Samoty, jiní s Germány a oblékají se podobně jako Paioni. Jejich hlavní město je Praha. Mnozí obyvatelé teprve nedávno přestali uctívat oheň a Slunce. V celé Evropě jen tento jediný národ nesdílí některé z nynějších nám známých náboženství, totiž Ježíšovo, Mohamedovo nebo Mojžíšovo, která, jak dobře víme, v našem světě téměř úplně převládla. Ale podle toho, co jsme se doslechli, existuje v Indii za Kaspickým mořem a za územím Massagetů národ, která se oddal uctívání Apollona. Češi však vyznávají i jiné bohy, Dia a Héru, jak vyložíme, až k tomu při výkladu dospějeme.

Laoniko Chalkokondydés – Výklad dějin

Jednoduchý experiment

2011-12-05T14:46:00.001+01:00

V čase 0 existuje jediný objekt, který má periodu rovnu 1.0. Každý objekt periodicky podle své periody vygeneruje nový objekt, který bude mít zcela náhodně buď dvojnásobnou periodu, nebo periodu poloviční. Pokud hádáte, že počet objektů bude růst exponenciálně nebo superexponencionálně, tak hádejte znovu, nebo si spusťte přiložený program. Tento miniexperiment by měl sloužit jako ukázka, že evoluce není jenom záležitosti výběru, protože zde žádný výběr není, ale i způsobu replikace. Pustil jsem to 10 x a graf přilkádám.

import random

class object:
    def __init__(self, objs, P):
        self.objs = objs
        self.P = P
        self.T = 0.0
    def sleep(self):
        self.T = self.T + self.P
    def run(self):
        if random.uniform(0.0, 1.0) > 0.5:
            newP = 2 * self.P
        else:
            newP = 0.5 * self.P   
        child = object(self.objs, newP)
        child.T = self.T
        self.objs.append(child)
        child.sleep()
        self.sleep() 
  
  
objs = []
first = object(objs, 1.0)
objs.append(first)


Tsim = 0.0

for isim in range(100):
        print Tsim, len(objs)
 
        for i in range(len(objs)):
            obj = objs[i]
            if obj.T == Tsim:
                obj.run()
        Tsim = None
        for obj in objs:
            if Tsim == None or Tsim > obj.T:
                Tsim = obj.T

Písnička o Mikulášovi

2011-12-04T17:14:00.001+01:00

Gödel a ontologický důkaz

2011-11-29T09:31:00.001+01:00

Gödelův důkaz tak, jak ho popisuje Petr Hájek (logik, nikoli poradce) se trochu od Gödelova rukopisu odchyluje, pochopitelně v zájmu srozumitelnosti. Původnější anglicko-české zrcadlové vydání v PDF je zde:

https://docs.google.com/open?id=0B3pp9Xdhjj-sOTVhNzU2YTktMTgzNy00ODNmLWE0NDItYzRiOWI2ZmQ0NWU5

Sice nebylo skoro co překládat, ale je téměř jisté, že alespoň jedna hrubá chyba tam je. Zkuste ji najít.

Kurt Gödel o vztahu mezi teorií relativity a idealistickou filosofií

2011-11-21T16:27:00.001+01:00

Článek "A remark about the relationship between relativity theory and idealistic philosophy" / "Poznámka o vztahu mezi teorií relativity a idealistickou filosofií" je v zrcadlovém vydání, tj. anglicko-česky. Nepřekládal jsem já, ale prof. RNDr. Jan Novotný, CSc., takže je tu větší záruka přesnosti. Ptáte-li se proč to číst, pak odpovídám, že otázka pojetí času je při studiu filosofických názorů nějaké osobnosti krajně důležitá.

V pdf zde: https://docs.google.com/open?id=0B3pp9Xdhjj-sODY5MmVjMjAtYzEzOS00ODkxLThjNTEtY2FmNjg3NGZkMGNi.

Chyby hlašte, opravím. Chcete-li kódy v Latexu, dodám také, ale sazba tohoto článku je vinou dlouhých poznámek pod čarou opravdovým utrpením (kdo to nezkusil, nepochopí).

Hawking o Gödelovi a teorii relativity

2011-11-21T11:28:00.001+01:00

These two papers represent Gödel's main contribution to relativistic cosmology.In the 1920s and the 1930s, the Friedmann-Robertson-Walker cosmological models had been introduced as the simplest solutions of the equations of Einstein's general theory of relativity that were consistent with the observed red-shift of distant galaxies.These models were spatially homogeneous and isotropic, and were expanding but were non-rotating.Gödel was the first to consider models that were rotating.The possible rotation of the universe has a special significance in general relativity because one of the influences that led Einstein to the theory in 1915 was Mach's principle.The exact formulation of the principle is rather obscure, but it is generally interpreted as denying the existence of absolute space.In other words, matter has inertia only relative to other matter in the universe.The principle is generally taken to imply that the local inertial frame denned by gyroscopes should be non-rotating with respect to the frame defined by distant galaxies.Gödel showed that it was possible to have solutions of the Einstein field equations in which the galaxies were rotating with respect to the local inertial frame.He therefore demonstrated that general relativity does not incorporate Mach's principle.Whether or not this is an argument against general relativity depends on your philosophical viewpoint, but most physicists nowadays would not accept Mach's principle, because they feel that it makes an untenable distinction between the geometry of space-time, which represents the gravitational and inertial field, and other forms of fields and matter.In the first of these papers (1949) Gödel presented a rotating solution that was not expanding but was the same at all points of space and time.This solution was the first to be discovered that had the curious property that in it it was possible to travel into the past.This leads to paradoxes such as "What happens if you go back and kill your father when he was a baby?"It is generally agreed that this cannot happen in a solution that represents our universe, but Gödel was the first to show that it was not forbidden by the Einstein equations.His solution generated a lot of discussion of the relation between general relativity and the concept of causality.The second paper (1952) describes more reasonable rotating cosmological models that are expanding and that do not have the possibility of travel into the past.These models could well be a reasonable description of the universe that we observe, although observations of the isotropy of the microwave background indicate that the rate of rotation must be very low.

S. W. Hawking - Introductory note to 1949 and 1952

Tyto dva články představují Gödelův hlavní přínos k relativistické kosmologii.Ve dvacátých a třicátých letech dvacátého století byl vytvořen Friedmann-Robertson-Walkerovy kosmologický modely jako nejjednodušší řešení rovnic Einsteinovy obcené teorie relativity, které jsou v souladu s pozorovaným rudým posuvem vzdálených galaxií.Tyto modely byly prostorově homogenní a izotropní, a byly expandující aniž byly rotující.Gödel jako první uvažoval modely, které rotující byly.Tato možná rotace vesmíru měla zvláštní význam pro obecnou teorii relativity, protože jeden z vlivů vedoucích roku 1915 Einsteina k jeho teorii byl Machův princip.Přesné vyjádření tohoto principu je poněkud temné, ale lze je v obecnosti interpretovat jako popření existence absolutního prostoru.Jinými slovy, hmota má setrvačnost pouze relativně k ostatní hmotě ve vesmíru.Tento princip je obecně použit k vyvození, že lokální inerciální soustavy uhnízděné v gyroskopech by neměly být rotující v souladu se soustavami definovanými vzdálenými galaxiemi.Gödel ukázal, že je možné řešit Einsteinovy rovnice pole v nichž by galaxie rotovaly v souladu s lokální inerciální soustavou.A proto dokázal, že obecná relativita nezahrnuje Machův princip.Zda toto je nebo není argument proti obecné relativitě závisí na našem filosofickém úhlu pohledu, ale mnoho dnešních fyziků by nepřijalo Machův princip, protože cítí, že tento činí neobhajitelným rozdíl mezi geometrií prostoročasu, který představuje gravitační a inerciální pole, a ostatními formami polí a hmoty.V prvním z těchto dvou článků (1949) Gödel předvádí rotující řešení, které není expandující, ale je stejné ve všech bodech prostoru a času.Toto řešení bylo první, o kterém se odhalilo, že má tu pozoruhodnou vlastnost, že je v něm možná cesta do minulosti.To vedlo paradoxům typu: "Co se stane, když půjdu do minulosti a zabiji Vašeho otce, když byl ještě dítě?"Všeobecný souhlas panuje v tom, že toto se nemůže stát v řešení, které reprezentuje náš vesmír, ale Gödel byl první, který ukázal, že to není ve sporu s Einsteinovými rovnicemi.Jeho řešení vyvolalo mnoho diskuzí o vztahu mezi obecnou relativitou a kauzalitou.Druhý článek (1952) popisuje mnohem rozumnější rotující kosmologické modely, a to takové, že expandují a není v nich možnost cestování do minulosti.Tyto modely mohou dost dobře být rozumným popisem vesmíru takového, jaký pozorujeme, ačkoli pozorování izotropie mikrovlnného pozadí naznačuje, že míra rotace musí být velice malá.

S. W. Hawking - Úvodní poznámka k článku z roku 1949 a 1952

Přiznávám se, že jsem bídný fyzik. Jestli jsem něco špatně přeložil, budiž mi to hozeno na hlavu a rád to opravím.

Co je Cantorův problém kontinua?

2011-11-18T15:05:00.001+01:00

Asi nejpovolanější člověk, který by se měl pokusit na tuto otázku odpovědět, byl Kurt Gödel. Jeho článek přikládám. Překlad je od Jiřího Fialy.

https://docs.google.com/open?id=0B3pp9Xdhjj-sNThhZGNiN2UtMjY3MS00MzI2LTk3YmItNDA4NmNkODE5YzA2

O zrcadlech

2011-11-18T09:40:00.001+01:00

Český harfeník Jan Křtitel Krupmholzt (cca 1745 - 1790) ve svých pamětech píše:

Svěřoval jsem své ženě ztvárnění svých myšlenek, neboť když sám hraji, nemohu posoudit efekt hry, zato když poslouchám, nic mi neunikne. Získávám tedy na poli skládání to, co ztrácím při hraní. Stávám se tím užitečnější pro milovníky hudby i pro své žáky tím, že nechávám svou ženu opakovat stejné pasáže dvaceti různými způsoby, poznávám lépe než kdo jiný, co dokáží prsty a co umožňuje nástroj.

Něco podobného jsem slyšel i od jiných muzikantů a také jsem to zažil sám. Vždy jsem si myslel, že člověk nezná svůj vlastní hlas pouze proto, že se mu dostává do uší zkreslený. Ale u hry na hudební nástroj toto neplatí. Přesto člověk většinou svou vlastní hru nezná o mnoho lépe než svůj hlas. Akustika v tom už očividně nehraje roli. Zatímco Krumpholtz měl svou manželku (což byla nakonec jeho záhuba), disponujeme dnes lepšími "zrcadly". Jev překvapení při "spatření" svého "obrazu" v "zrcadle" mě připadá velmi zajímavý a jeho příčinu naprosto nechápu. Otázka zní: Jaké další své "obrazy" vlastně neznáme a jak nám v tom technika může pomoci?

Helloweenská

2011-11-06T19:38:00.002+01:00

Je to sice Post Festum, ale alespoň pro příští rok. Češi mohli tento známý kánon slyšet ve filmu Český sen, ovšem s dost zkomoleným textem. Tu je v tříhlasé podobě.

Tady se píše cosi o pěti hlasech, ale to je moc. Více jak tříhlasé kánony nikdy neznějí dobře.

Pokud máte jen jeden hlas a ještě kytaru a nechcete hrát moc polyfonně, pak nabízím jednu starou ověřenou jednoduchou instrumentaci. http://kristinhall.org/songbook/CampfireBallads/ASoalinTranscribe.pdf

Poznámka Kurta Gödela k intuicionistické logice.

2011-11-03T15:52:00.002+01:00

V každé (dobré) učebnici logiky se lze dočíst, že Kurt Gödel dokázal, že pokud neplatí zákon vyloučeného třetího (X nebo ne X), pak musí mít logika nekonečně mnoho pravdivostních hodnot. Každého, kdo něco takového vidí poprvé, musí zákonitě napadnout: Jak se, proboha, dá něco takového dokázat? Jak je u Gödela pravidlem, je v tom malá ale geniální finta. Jeho krátkou, ale důležitou poznámku přikládám. Je to německo-český zrcadlový text (v originále Zum intuitionistischen Aussagenkalkül). Je to jen necelá stránka textu, takže odvahy ke čtení není třeba nějak výjimečně mnoho. Překlad je můj. Veškeré připomínky vítám. Adresa: https://docs.google.com/open?id=0B3pp9Xdhjj-sMWUyZDM1MDktYzYwNy00MTIxLTk1NDMtNDMxMTRjODQ3NGQ4

Je Halting Problem výjimečný?

2011-11-03T08:47:00.000+01:00

Mějme nějaký zcela libovolný problém P vyřešený počítačovým programem p se vstupem a. (Cokoli od hledání smyslu, života a vůbec po rozsvícení žárovky, anebo to může být úkol zaseknout se a nedělat nic.) Mějme počítačový program q se vstupem b, který řeší jiný problém. (Nechceme-li vstupy, mohu být příslušná vstupní data tzv. None. Programátoři vědí. Vstupem programu pochopitelně může být i kód programu.) Zápisem x značím kód programu a zápisem x(c) značím volání programu x se vstupem c. Ptejme se nyní: existuje program r, který má-li na vstupu kód x a datum c rozhodne, zda x(c) řeší problém P. Předpokládejme, že program r existuje. Pak lze napsat program (třeba v pythonu):

def  s(d):
    if r(d, d):
        q(b)
    else:
        p(a)

Ptejme se nyní, co udělá s(s)? Pokud s(s) řeší P, pak jej neřeší, protože se spustí q(b). Pokud jej však neřeší, pak jej řeší, protože se spustí p(a). V obou případech tedy dostáváme spor, což je další spor, a tedy program r nemůže existovat.

Pokud je formální systém tak složitý, že může zpracovávat kód jako datum (tzn. ani moc jednoduchý, ani moc složitý), pak není žádný problém rozhodnutelný. Na Halting Problému se to sice dobře ukazuje, ale nemyslím, že by obecný výše uvedený důkaz nějak komplikovaný. Tento důkaz není ani tak podobný Gödelovu/Rosserovu důkazu, protože tam je sebereference, která vede ke sporu s úplností, nikoli s její existencí. V tomto důkazu vede sebereference ke sporu s vlastní existencí. Z epistemického hlediska je tento důkaz podobný spíše diagonálnímu důkazu Cantorovu.

Přímým důsledkem této věty je fakt, že každý řešitelný problém lze řešit nekonečně mnoha navzájem velmi nepodobnými způsoby, jinými slovy, prostor pro kreativitu není omezen.Matematici tuto větu znají v podobě, která používá Gödelovo výrazivo:Množina kódů programu řešící nějaký problém je buď prázdná, nebo nerekursivní.Toto a mnohé jiné se můžete dočíst v připravované knize Michala Černého Výpočty: http://nb.vse.cz/~cernym/vypocty.pdf.

Důkaz 1

2011-10-21T11:31:00.001+02:00

https://docs.google.com/document/pub?id=1SRmisGL0hrU6o1JAl2uBMmyvDXD5Xo5_176U5CR9330&embedded=true

Positivní disidentita v 18. století

2011-10-19T09:34:00.005+02:00

Nejen zmiňované 18. stol., ale hlavně 20. stol. ve střední Evropě, přineslo zkušenost, že porušování zákona může být někdy i správné či dokonce nezbytné. Prosím, když je někomu víc než 70 let a celý život hlásá úctu k zákonu a nelpění na životě .. atd. vizte Kritóna ..., ale může si společnost dovolit vychovat elitu klepající se strachem před jakýmkoli zákonem? Když se níže hovoří o Rakousku, platí to pochopitelně i na Čechy a Moravu. Možná ještě víc než na to Rakousko.

The far greater number of those books which constitute the libraries of persons distinguished for taste and refinement, not merely in France or England, but even in Rome or Florence, are rigorously condemned, and their entry into Vienna is attended with no left difficulty than dander. It is indeed true, that notwithstanding every prohibition, knowledge insensibly pierces, and gradually diffuses itself over Austrian dominions.

Nathaniel William Wraxall - Memories of the Courts of Berlin, Dresden, Warsaw and Vienna in the Years 1777, 1778, and 1779

Většina knih, které obsahují knihovny vkusu znalých a vzdělaných lidí nejen ve Francii a v Anglii, ale dokonce i v Římě a ve Florencii, je přísně zakázána a opatřit si je stejně obtížné jako nebezpečné. Je ovšem pravda, že přes všechny zákazy sem vzdělání ponenáhlu proniká a postupně se říší po rakouských zemích.

Nathaniel William Wraxall - Historie dvorů v Berlíně, Drážďanech, Varšavě a ve Vídni z let 1777, 1778 a 1779

Celá kniha (resp. její 2. svazek) je zde. Při čtení bude ze začátku asi působit potíže rozlišování písmen 's' a 'f'. ala na to si časem zvyknete.

Umberto Eco o kritériích vědy

2011-10-12T08:19:00.004+02:00

Semiotics must proceed to isolate structures as if a definitive general structure existed; but to be able to do this one must assume that this global structure is a simply regulative hypothesis and that every time structure is described something occurs within the universe of signification which no longer makes it completely reliable. But this condition of imbalance and apparent lack of stability puts semiotics on a par with other disciplines such as physics, governed – as this latter is – by such methodological criteria as the indeterminacy or complementarity principles. Only if it acquires this awareness of its own limits, and avoids aspiring to an absolute form of knowledge, will one be able to consider semiotics as a scientific discipline.

Umberto Eco – A theory of semiotics

Sémiotika musí přistoupit k izolování struktur, jako kdyby existovala definitivní obecná struktura; aby však tohle mohla učinit, je třeba přijmout, že tato globální struktura je jen regulativní hypotézou a že pokaždé, kdy je struktura popisována, dochází uvnitř univerza signifikace k něčemu, co ji již nečiní dokonale spolehlivou. Tato podmínka nerovnováhy a zjevného nedostatku stability staví sémiotiku na stejnou úroveň s jinými disciplinami, jako např. s fyzikou, které se řídí – tak jako právě zmíněná fyzika – takovými metodologickými kritérii, jakými jsou neurčitost nebo principy komplementárnosti. Jedině pokud si budeme vědoma svých vlastních omezení a přestaneme usilovat o absolutní formu vědění, bude sémiotika moci být považována za vědeckou disciplinu.

Umberto Eco – Teorie sémiotiky

Seminář o Kurtu Gödelovi

2011-10-07T11:38:00.000+02:00

Jedno pochybné individuum bude vést na ZČU seminář na zmíněné téma. První seminář bude 12.10. od 14:50 v místnosti TP 304. Více zde: http://www.ums.zcu.cz/.

Popularizace vědy a filosofie na BBC

2011-10-06T08:27:00.002+02:00

Při vší úctě (která má ovšem klesající tendenci) k českému rozhlasu, takhle by to asi mělo vypadat: http://www.bbc.co.uk/radio4/features/in-our-time/ .

Vážnost matematiky v 13. stol.

2011-10-03T17:53:00.006+02:00

Originál je napsaný arabsky, a proto se v tomto případě vzdám předsevzetí citovat původní zdroje. Český text je ze sborníku Křížové výpravy očima arabských kronikářů.

Mimo jiné císař al-Maliku al-Kámilovi poslal několik obtížných otázek z oblasti filosofie, geometrie a matematiky, aby vyzkoušel mudrce z jeho dvora. Sultán dotazy předal šejchovi ‘Alam-ad-Dín Qajsarovi, mistru těchto věd, a zbytek skupině mudrců, kteří na vše odpověděli. (...) Několikrát jsem s ním mluvil a shledal jsem, že se jedná o mimořádného muže, přítele dialektických věd, který uměl nazpaměť všech deset knih Eukleidovy geometrie.

Ibn Wásil

Když potom přišel čas polední modlitby a zaznělo volání muezzina, všechna jeho pážata a sluhové a jeho učitel, Sicilian, s nímž četl různé kapitoly z (Aristotelovy) Logiky, se zvedli a kanonicky se pomodlili, neboť byli všichni muslimové.

Sibt ibn al-Džauzí

Zenón, Bertrand Russell Petr Vopěnka a nekonečně malé veličiny

2011-09-28T11:46:00.002+02:00

Tvrzení, že Zenónův paradox lze jednoduše vyřešit důkazem konečnosti součtu nekonečné řady, je jen důsledek toho, že jsme si jeho paradox(y) právě tak „přeložili“. To je ovšem ten nejprimitivnější překlad, který neslouží ničemu jinému než k jednoduchému a úlevnému odmávnutí složitého a trýznivého problému, aniž by bylo potřeba se zabývat tím, co tento paradox skutečně obsahuje. Tímto obsahem je mj. otázka po povaze kontinua. A tedy i otázka po nekonečně malých veličinách, tj. oněch dx, dy, ..., které alespoň v symbolech v dnešní matematice zůstávají. Pokud však někdo alespoň pro zábavu upravovali diferenciální rovnice jako by šlo o skutečná čísla (jsem jedním z těchto hříšníků), tak nepostupoval v souladu s moderní matematikou. Ale lépe než já to uměl napsat Betrand Russell v roce 1901.

Weierstrass, by strictly banishing from mathematics the use of infinitesimals, has at last shown that we live in an unchanging world, and that the arrow in its flight is truly at rest. Zeno's only error lay in inferring (if he did infer) that, because there is no such thing as a state of change, therefore the world is in the same state at any one time as at any other. This is a consequence which by no means follows; and in this respect, the German mathematician is more constructive than the ingenious Greek. Weierstrass has been able, by embodying his views in mathematics, where familiarity with truth eliminates the vulgar prejudices of common sense, to invest Zeno's paradoxes with the respectable air of platitudes; and if the result is less delightful to the lover of reason than Zeno's bold defiance, it is at any rate more calculated to appease the mass of academic mankind. Zeno was concerned, as a matter of fact, with three problems, each presented by motion, but each more abstract than motion, and capable of a purely arithmetical treatment. These are the problems of the infinitesimal, the infinite, and continuity. To state clearly the difficulties involved, was to accomplish perhaps the hardest part of the philosopher's task. This was done by Zeno. From him to our own day, the finest intellects of each generation in turn attacked the problems, but achieved, broadly speaking, nothing. In our own time, however, three men – Weierstrass, Dedekind, and Cantor – have not merely advanced the three problems, but have completely solved them. The solutions, for those acquainted with mathematics, are so clear as to leave no longer the slightest doubt or difficulty. This achievement is probably the greatest of which our age has to boast; and I know of no age (except perhaps the golden age of Greece) which has a more convincing proof to offer of the transcendent genius of its great men. Of the three problems, that of the infinitesimal was solved by Weierstrass; the solution of the other two was begun by Dedekind, and definitively accomplished by Cantor.

Bertrand Russell – Mathematics And The Metaphysicians

Tím, že Weiestrass z matematiky striktně vymýtil užití nekonečně malých veličin, dospěl posléze k tomu, že žijeme neměnném světě a že letící šíp je skutečně v klidu. Jediný Zenónův omyl spočíval v dedukci toho (jestliže to vůbec učinil), že tedy svět – protože nic takového jako stav změny neexistuje – se nachází v kterémkoli čase v tomtéž stavu. To je důsledek, který z toho rozhodně neplyne, a v tomto ohledu je německý matematik mnohem konstruktivnější než geniální Řek. Tím, že Weiestrass ztělesnil své názory v rouchu matematiky, kde obeznámenost s pravdou eliminuje vulgární předsudky zdravého rozumu, byl s to dodat Zenónovým paradoxům pozoruhodnou tvářnost samozřejmosti, a je-li tento výsledek pro ctitele rozumu méně potěšitelný než Zenónův smělý vzdor, je to rozhodně více zaměřeno k tomu, aby se usmířila masa akademické populace. Zenón se ve skutečnosti zabýval třemi problémy. Každý z nich byl ve spojitosti s pohybem, ale každý z nich byl také abstraktnější než pohyb a dal se zpracovat čistě aritmetickým způsobem. Jsou to problémy nekonečně malého, nekonečně velkého a spojitosti. Stanovit jasně potíže, jež jsou s tím spjaty, znamenalo patrně realizovat největší součást úkolu filosofů. Zenónovi se to podařilo. Od té doby až po dnes se nejlepší myslitelé každé generace s těmito problémy postupně potýkali, ale prakticky bez úspěchu. Tři muži v naší epoše – Weiestrass, Dedekind a Cantor – však tyto problémy nejan rozvinuli, ale také je zcela vyřešili. Pro toho, kdo je obeznámen s matematikou, jsou tato řešení tak jasná, že již neznamenají ani tu nejmenší pochybnost či potíž. To je patrně největší úspěch, kterým se naše století může pochlubit. Neznám jiné století – snad s výjimkou zlatého věku Řecka – které může skýtat přesvědčivější důkaz transcendentního génia svých významných mužů. Z uvedených třech problémů vyřešil Weiestrass problém nekonečně malého; řešení zbylých dvou problémů započal Dedekind a definitivně ja dovršil Cantor.

Bertrand Russell – Matematika a metafysikové

Opravdu?

Odmítnutí Newtonova a Leibnizova pojetí infinitesimálního kalkulu matematiky devatenáctého a dvacátého století – vyvolané ať už neochotou či neschopností domýšlet a dotvořit základní pojmy, o něž se původní pojetí tohoto kalkulu opíralo – bylo jedním z největších omylů nejen matematiky, ale evropské vědy vůbec.

Petr Vopěnka – Calculus infinitesimalis pars prima

O tom, že matematika s nekonečně malými veličinami může existovat, se můžete přesvědčit v knihách Calculus infinitesimalis pars prima/secunda.

Georg Cantor - Über eine elementare Frage der Mannigfaltigkeitslehre (O základním problému vědy o třídách)

2011-09-23T08:23:00.000+02:00

Zde si můžete stáhnout v pdf zrcadlové německo-české vydání slavného Cantorova článku s diagonálním důkazem. I když je to poměrně jednoduchý text, činil mi překlad některých pojmů docela potíže. Například jsem se rozhodl překládat slovo "mächtigkeit" jako "třída", i když to by spíše slušelo slovu "klasse". Nabízela se také slova jako "soubor", "množství" nebo "mocnost", ale chtěl jsem, aby to slovo vzbuzovalo dojem něčeho co může být nevyčerpatelně hluboké, ale také něčeho co naopak někdy může být množinou. To současný pojem třída tak nějak splňuje. Mimochodem, říká se, že se Cantor zcela vyhnul slovu množina (menge), ale není to tak docela pravda. Připomínky, opravy a podobně věci prosím do diskuse.

Nepříliš krátký aforismus ze Seneky

2011-09-19T21:21:00.003+02:00

Je škoda, že Seneca nebyl ve svých spisech hlubší, protože uměl psát dobře.

(...) nemo se avarum esse intellegit, nemo cupidum. Caeci tamen ducem quaerunt, nos sine duce erramus et dicimus, 'non ego ambitiosus sum, sed nemo aliter Romae potest vivere; non ego sumptuosus sum, sed urbs ipsa magnas impensas exigit; non est meum vitium quod iracundus sum, quod nondum constitui certum genus vitae: adulescentia haec facit'. Quid nos decipimus? non est extrinsecus malum nostrum: intra nos est, in visceribus ipsis sedet, et ideo difficulter ad sanitatem pervenimus quia nos aegrotare nescimus.

SENECA – EPISTULAE MORALES AD LUCILIUM

Nikdo si neuvědomuje, že je lakomý, nikdo, že je chtivý. Slepci alespoň vyhledávají průvodce, my však bloudíme bez průvodce a říkáme: „Já nejsem ctižádostivý, ale v Římě nemůže nikdo žít jinak. Já nejsem marnotratný, ale město samo si vyžaduje veliké náklady. Není to moje slabost, že jsem hněvivý, že jsem se doposud neustálil v klidném způsobu života; to dělá moje mládí.“ Proč se obelháváme? Naše zlo není vně nás: je v nás, sedí v našich útrobách, a proto se můžeme jen nesnadno uzdravit, protože nevíme o své chorobě.

Seneca – Listy Luciliovi

Pozvánka na konferenci Beyond AI

2011-09-19T16:25:00.000+02:00

http://beyondai.zcu.cz

Aforismus od Michelangela

2011-09-04T14:28:00.001+02:00

Non ha l’ottimo artista alcun concetto
c’un marmo solo in sé non circonscriva
col suo superchio, e solo a quello arriva
la man che ubbidisce all’intelletto.

Michelangelo Buonarroti

Nejlepší mistr na nic nepřipadne,
co by sám mramor neobsáhl v sobě
v přebytku hmoty, a k té prapodobě
dorazí ruka, kterou rozum vládne.

Michelangelo Buonarroti

Kružby v tesařství

2011-08-29T08:23:00.003+02:00

Několik málo rad, jak kružby (Tracery) navrhovat a zhotovovat lze nalézt ve druhém svazku knihy Radford's Cyclopedia of Construction. Kniha zde, ukázky níže. Na zbytek příjdete sami nebo se inspirujte třeba zde.

Zvláštní povaha a příběh matematiky

2011-08-22T18:50:00.001+02:00

Il n'y a sans doute qu'une science pour laquelle on ne puisse distinguer ces différents seuils ni décrire entre eux un pareil ensemble de décalages: les mathématiques, seule pratique discursive qui ait franchi d'un coup le seuil de la positivité, le seuil de l'épistémologisation, celui de la scientificité et celui de la formalisation. La possibilité même de leur existence impliquait que fût donné, d'entrée de jeu ce qui, partout ailleurs, demeure dispersé tout au long de l'histoire : leur positivité première devait constituer une pratique discursive déjà formalisée (même si d'autres formalisations devaient par la suite être opérées). De là le fait que leur instauration soit à la fois si énigmatique (si peu accessible à l'analyse, si resserrée dans la forme du commencement absolu) et si valorisée (puisqu'elle vaut en même temps comme origine et comme fondement); de là le fait que dans le premier geste du premier mathématicien, on ait vu la constitution d'une idéalité qui s'est déployée tout au long de l'histoire et n'a été mise en question que pour être répétée et purifiée; de là le fait que le commencement des mathématiques soit interrogé moins comme un événement historique qu'à titre de principe d'historicité; de là enfin le fait que, pour toutes les autres sciences, on rapporte la description de leur genèse historique, de leurs tâtonnements et de leurs échecs, de leur tardive percée, au modèle méta-historique d'une géométrie émergeant soudain et une fois pour toutes des pratiques triviales de l'arpentage. ... Modèle, les mathématiques l'ont été à coup sûr pour la plupart des discours scientifiques dans leur effort vers la rigueur formelle et la démonstrativité; mais pour l'historien qui interroge le devenir effectif des sciences, elles sont un mauvais exemple, -un exemple qu'on ne saurait en tout cas généraliser.

Michel Foucault – L’Archéologie du savoir

Nepochybně existuje pouze jedna věda, u níž nelze tyto různé prahy rozlišit ani popsat podobný soubor posunů mezi nimi: matematika, jediná diskursivní praxe, která překročila práh pozitivity, práh epistemologizace, práh vědeckosti a práh formalizace najednou. Sama možnost její existence implikuje, že zde již od počátku muselo být dáno to, co ve všech ostatních vědách zůstává rozptýleno po celém čase jejich dějin: její prvotní pozitivita musela být konstituována již formalizovanou diskursivní praxí (i kdyby ostatní formalizace měly být vypracovány až následně). Z toho plyne, že její nástup byl současně tak enigmatický (tak málo přístupný analýze, tak sevřený ve formě absolutního počátku) i tak cenný (neboť je cenný jako původ a současně jako založení); z toho také plyne, že se první gesto prvního matematika chápalo jako ustavení ideality, jež se rozvinula v celých dějinách a byla zpochybňována jen kvůli tomu, aby byla opakována a očišťována; rovněž z toho vyplývá, že počátek matematiky nebyl zkoumán tolik jako historická událost, ale spíš jako princip historičnosti; také z toho plyne, že se v případě ostatních věd popis jejich historické geneze, jejich tápání i jejich nezdarů, jejich pozdního proniknutí vztahuje k metahistorickému modelu geometrie, jež se náhle a jednou pro vždy objevila při triviální praxi vyměřování pozemků. ... Matematika byla zcela jistě pro většinu vědeckých diskursů modelem v jejich snaze o dosažení formální přísnosti a průkaznosti; pro historika, jenž zkoumá skutečný vývoj věd, je však špatným příkladem – příkladem, který by v žádném případě neměl být generalizován.

Michel Foucault – Archeologie vědění

Co dělat, když se objeví třetič

2011-08-04T08:04:00.001+02:00

V originále "What to do when the trisector comes". Hezky česky je to "Co dělat, když se objeví třetič".

Derivace normálního rozdělení hustoty pravděpodobnosti

2011-07-28T14:03:00.002+02:00

Snad je to dobře. Shodl jsem se v tom i s knihou http://orion.uwaterloo.ca/~hwolkowi/matrixcookbook.pdf. Matice C pochopitelně musí být regulární a symetrická s kladnými čísly na diagonálně.

Výdobytky postmodernismu

2011-07-20T19:01:00.000+02:00

Kryštof Kolumbus, když ve svých denících píše o domorodcích, se kterými se setkal na ostrově Haiti, konstatuje: „Zlíbí-li se Našemu Pánu, na zpáteční cestě jich vezmu šest pro Vaše Výsosti, aby se naučili mluvit.“ Tzevan Todorov k tomu poznamenává, že tohle vyjádření připadalo různým francouzským překladatelům Kolumba tak zarážející, že je všichni opravili na „aby se naučili našemu jazyku“. Todorov má však za to, že pro Kolumba nabyl jazyk, který by se od toho jeho lišil tak dramaticky, jak jazyk haitských domorodců, představitelný, takže měl potíže s uznáním, že tito lidé vůbec mají jazyk, a tudíž, že mluví.

Jaroslav Peregrin – Člověk a pravidla

Mravní naučení a paralely jsou nabíledni a je zbytečné s nimi tady obtěžovat.

Blecha a známý příklad ve fenomenologii už omšelý

2011-06-28T07:59:00.002+02:00

Když mám před sebou krychli, nikdy z ní neuvidím víc než maximálně tři strany. A přesto má pro mě platnost šestihranné krychle a mohu s ní podle toho úspěšně zacházet - mohu mít věrnou a odpovídající představu o celku její struktury. Trvale přítomná část (tři strany) stačí k prezentaci trvale nepřítomného celku (šest stran), a to za každých okolností. Prezentace věci proto nemusí spočívat v nekonečném součtu všech možných perspektiv, z nichž bych ji měl vidět. Celek krychle je přítomen v každé její straně tím, že ji uděluje "smysl" své části, smysl své strany - např. přední nebo zadní. ale tomu rozumím jen díky zvláštní zákonitosti, s níž se mi krychle nabízí: díky tomu, že nikdy nelze vidět šest stran a že vždy mohu vidět maximálně tři strany. A tahle podivuhodná zákonitost je klíčová, v ní je skrytá zvěst o stylu ukazování útvarů podobným těm, jaké reprezentuje krychle. Vtip není v tom, že nemohu nikdy vidět krychli najednou ze šesti stran, takže se musím smířit se subjektivním omezením. Vtip je v tom, že ji nikdy nemůžeme vidět z více než tří stran: a v tom zjištění se mé subjektivní omezení mění ve velký zisk - narážím tu na objektivní vlastnosti předmětů tohoto typu, a tedy na zákonitost zjevování, která odkazuje na povahu reálných struktur. Pak ale nepotřebuji náhled ze šesti stran k tomu, abych překonal své omezení: překonávám je, i když zůstávám ve své perspektivě, ovšem za předpokladu, že si všimnu trochu jiného "omezení", než jaké vnucuje nepostižitelnost všech stran krychle.

Ivan Blecha - Fenomenologie a "pohled Božího oka"

Dawkins o apriorním

2011-06-27T11:47:00.000+02:00

My own feeling, to the contrary, would have been an automatic, deep suspicion of any line of reasoning that reached such a significant conclusion without feeding in a single piece of data from the real world. Perhaps that indicates no more than that I am a scientist rather than a philosopher.

Richard Dawkins - The God Delusion

Kdyby bylo naopak na mně, já bych jakékoli úvahy, které dojdou k tak závažnému závěru bez jediného data z reálného světa, automaticky hluboce podezíral. Možná to svědčí jen o tom, že já jsem vědec, ne filozof.

Richard Dawkins - Boží blud

Mohlo by se zdát, že Dawkins touto větou otevírá diskusi nebo alespoň monolog o tomto tématu. Třeba o tom, jestli je ochoten toto své hluboké podezření obrátit i proti vědě. Ale nic neotevítá. Škoda.

Immanuel Kant - Odpověď na otázku: Co je to osvícenství?

2011-06-22T07:52:00.003+02:00

Download zrcadlového německo-český textu v pdf je možný zde. Chyby nahlašte v diskusi pod tímto článkem.

Pavel Materna o neurčitosti

2011-06-13T21:20:00.001+02:00

Čím úspěšněji dokáže nějaká věda některé věci vysvětlit, tím hlouběji dovede některé věci zakrýt. Logika ráda opomíjí ty věci, které se do užívané představy o racionalitě nevešly. Jsou dvě možné reakce: 1) začít tvrdit, že takové věci neexistují, nebo 2) zkusit takové věci nalézt. Jednou takovou věcí je neostrost nebo neurčitost.

Předpoklad, že zdroj neurčitosti je třeba hledat v pojmu, v identifikační proceduře, vypadá slibně. Při konfrontaci s naší teorií však vyvstane zajímavý problém. Všechno, co potřebujeme vědět o pojmu jakožto o identifikační proceduře, se dozvíme analýzou kteréhokoli (nejlépe prvního, tj. nejjednoduššího) pojmu*, který je jeho prvkem. Položme si nyní otázku: jakým způsobem může vzniknou neurčitost v závislosti na tom, jaký druh konstrukce je daný pojem*? (...) Ani předpoklad, že vágnost je vlastnost pojmu, nená tedy bezvýhradně přijatelný. Zbývala by tedy možnost, že přímo některé objekty (vlastnost apod.) jsou vágní. Toto pojetí je schůdné, ale nebudeme je zde reprodukovat.

Pavel Materna – Svět pojmů a logika

Škoda.

Bryan Magee - filosofie v televizi

2011-05-27T08:46:00.003+02:00

Nelze Británii nezávidět její BBC. Naštěstí díky youtube jsou pořady Bryana Mageeho s filosofy o filosifii obecně dostupné.

http://en.wikipedia.org/wiki/Bryan_Magee
http://www.imdb.com/name/nm2451554/
http://www.youtube.com/results?search_query=Bryan+Magee&aq=f

Další o kráse a matematice – tentokrát od Poincarého

2011-05-23T18:41:00.000+02:00

Dlužno dodat: o překlad se postaral Jiří Fiala.

Parmi les combinaisons en très grand nombre que le moi subliminal a aveuglément formées, presque toutes sont sans intérêt et sans utilité, mais par cela même elles sont sans action sur la sensibilité esthétique; la conscience ne les connaîtra jamais; quelques-unes seulement sont harmonieuses, et par suite à la fois utiles et belles; elles seront capables d’émouvoir cette sensibilité spéciale du géomètre dont je viens de vous parler, et qui, une fois excitée, appellera sur elles notre attention, et leur donnera ainsi l’occasion de devenir conscientes.

Henri Poincaré – Science et méthode

Mezi velkým počtem kombinací, které subliminální já slepě vytvořilo, jsou skoro všechny nezajímavé a neužitečné, avšak právě proto nepůsobí na náš estetický cit. Vědomí se s nimi nikdy neseznámí. Jen některé z nich jsou harmonické, a tudíž jak užitečné, tak krásné. Jsou schopny probudit tu zvláštní citlivost geometra, o níž jsem mluvil, a která, jakmile se probudí, přitáhne naší pozornost k těmto kombinacím a dá jim šanci, aby se staly vědomími.

Henri Poincaré – Věda a metoda

Zajímalo by mě, jestli někdo měl také odvahu domýšlet roli ošklivosti v matematice. Té ošklivosti, která na mne vane např. z nespojitých lineárních funkcí.

První zmínka o Plzni

2011-05-10T18:29:00.001+02:00

Ona „Plzeň“ není dnešní Plzeň, ale dnešní Starý Plzenec. Samotnou kroniku Dětmar sepisoval cca od 1012 do 1018.

Anno vero Dominicae Incarnationis DCCCCLXXVI Heinricus, dux Bawariorum, honore et communione privatus, Boemiam fugit. Quem inperator ibidem valido petens exercitu cum duce Bolizlavo manentem, nil ibi prorsus in neutro horum profecit, sed magnam Bawariorum catervam, sibi ad auxilium huc venientem, et juxta Pilisini urbem castra metatam, dolo cujusdam militis Bolizlavi sic perdidit. Vespere facto, Bawarii se lavantes nulla custodum securitate fruuntur; et ecce hostis loricatus adveniens, nudos eosdem in tentoriis et in virentibus pratis occurrentes prostravit, et cum omni preda laetus et incolomis revertitur. Inperator autem audita tantorum strage virorum, et quod nulla sibi via redeundi patuit, recto itinere ad civitatem suam, quae Camma dicitur, venit, et in proximo anno prefatum ducem ad Pataviam confugientem subegit.

THIETMARI CHRONICON

Roku od Vtělení Páně 976 bavorský vévoda Jindřich, zbavený cti a vyobcovaný z církve, uprchl do Čech. Zatímco pobýval u knížete Boleslava, císař proti němu vytáhl s velikým vojskem, ale vůči žádnému z nich ničeho nedosáhl. Lstí jednoho z Boleslavových bojovníků dokonce ztratil mocný šik Bavorů, který mu šel na pomoc a položil se táborem u Plzně. Navečer, když se Bavoři myli, aniž by postavili stráže, se znenadání objevil nepřítel v plné zbroji, rozprášil je nahé mezi stany a po okolních polích a vrátil se radostně s velkou kořistí, aniž by došel újmy. Jakmile se císař dozvěděl o ztrátě tolika mužů a viděl, že mu nezbývá jiná cesta, odebral se do svého hradu Cham. Následujícího roku, když vévoda hledal útočiště v Pasově, ho císař zajal.

Kronika Merseburského biskupa Dětmara

Descartovy imaginární kořeny

2011-05-05T21:19:00.002+02:00

O tom, že představa imaginárních kořenů algebraických rovnic není jen pozdější přístavba této části matematiky svědčí text, ve kterém se algebraické rovnice poprvé objevují tak, jak je známe. Překladatel Jiří Fiala nás však varuje, abychom do slova „imaginární“ nevkládali dnešní obsah.

Au reste tant les vraies racines que les fausses ne sont pas toujours réelles ; mais quelquefois seulement imaginaires c'est-à-dire que l'on peut toujours en imaginer autant que j'ai dit en chaque équation, mais qu'il n'y a quelquefois aucune quantité qui corresponde à celle qu'on imagine. Comme encore qu'on en puisse imaginer trois en celle-ci, x³-6x²+13x-10=0, il n'y en a toutefois qu'une réelle, qui est 2, et pour les deux autres, quoi qu'on les augmente, ou diminue, ou multiplie en la façon que je viens d'expliquer, on ne saurait les rendre autres qu'imaginaires.

René Descartes – La Géométrie

Renatus Des Cartes – Geometriæ

Nakonec, jak pravé, tak nepravé kořeny nebývají vždy reálné, nýbrž někdy imaginární; to jest, ačkoli si je možno vždy představit u každé rovnice tolik kořenů, kolik jsem řekl, někdy však neexistuje ani jedna veličina, která by odpovídala těmto imaginárním kořenům. Například si lze představit tři kořeny v rovnici x³-6x²+13x-10=0, avšak ve skutečnosti je tam jen jeden reálný, který je 2, a ostatní dva, ať je zvětšíme nebo zmenšíme způsobem, který jsem vysvětlil, zůstanou stále kořeny imaginárními

René Descartes – Geometrie

Pravda a krása u Hegela

2011-04-19T22:12:00.001+02:00

Ono Koukolíkovo „pravda a krása jsou jen dvě strany jedné mince“ (pronesené v posledním dílu seriálu Hádala se duše s tělem) vinou své přímočarosti důležité věci spíše zakrývá než aby je rozkrývalo, což hlubší filosofii nesluší. Ale není snadné se toho vzdát.

Sagten wir nun, die Schönheit sei Idee, so ist Schönheit und Wahrheit einerseits dasselbe. Das Schöne nämlich muß wahr an sich selbst sein. Näher aber unterscheidet sich ebensosehr das Wahre von dem Schönen. Wahr nämlich ist die Idee, wie sie als Idee ihrem Ansich und allgemeinen Prinzip nach ist und als solches gedacht wird. Dann ist nicht ihre sinnliche und äußere Existenz, sondern in dieser nur die allgemeine Idee für das Denken. Doch die Idee soll sich auch äußerlich realisieren und bestimmte vorhandene Existenz als natürliche und geistige Objektivität gewinnen. Das Wahre, das als solches ist, existiert auch.

G. W. F. Hegel – Vorlesungen über die Ästhetik

Jestliže jsme řekli, že krásno je idea, pak krásno a pravda je po určité stránce totéž. Krásno totiž musí být pravdivé samo o sobě. Přihlédneme-li však blíže, liší se neméně též pravdivé od krásna. Pravdivá je totiž idea, jak je jakožto idea ve svém bytí o sobě a podle svého všeobecného principu a jak je podle toho myšlena. Pak není pro myšlení její smyslová a vnější existence, nýbrž toliko všeobecná idea v této vnější smyslové existenci. Avšak idea má se realizovat také vnějškově a má nabýt vnější dané existence jako přírodní a duchovní objektivity. Pravda, která je pravdou, také existuje. Ježto nyní jest v tomto svém vnějškovém jsoucnu bezprostředně pro vědomí a ježto pojem zůstává v bezprostřední jednotě s vnějším zjevem, je idea nejen pravdivá, nýbrž krásná.

G. W. F. Hegel – Estetika

Ranní úvahy Stanislava Komárka

2011-04-15T08:41:00.000+02:00

1/10 Někdo tuneluje naše duše
2/10 Ideály humanitní
3/10 Barvoměnky
4/10 Trpaslíci na ramenou internetu
5/10 O homogenizaci
6/10 Zhoubné bujení
7/10 Peníze a moc
8/10 Právo a společnost strachu
9/10 Smutný osud různorodosti
10/10 Boj za rovnost a dvojí metr

Řehoř z Toursu a náboženská tolerance

2011-04-11T17:47:00.000+02:00

Legem, quam non colis, blasphemare noli; nos vero quae creditis etsi non credimus, non tamen blasphemamus, quia non deputatur crimine, si et illa et illa colantur. Sic enim vulgato sermone dicimus, non esse noxium, si inter gentilium aras et Dei eclesiam quis transiens utraque veneretur.

GREGORII TURONENSIS - LIBRI HISTORIARUM

Nerouhej se zákonu, který nevyznáváš! My se přece taky nerouháme tomu, čemu věříte vy, ačkoli tomu nevěříme. Neboť nepovažuje se za zločin vyznávat to či ono. Mezi lidem se u nás říká, že není škodlivé, prochází-li někdo mezi pohanskými oltáři a chrámy božími a uctívá oboje.

Řehoř z Toursu - O boji králů a údělu spravedlivých

Tomuto výroku se Řehoř pochopitelně vysmál, ale přesto je právě Řehoř svědek toho, že časy, ve kterých by vlastník takovýchto názorů přežil, nejsou v minulosti tak vzácné, jak by si mohl někdo myslet. I sedmé století mezi takovéto časy patřilo.

Kategorická báze

2011-04-06T18:48:00.001+02:00

Dejme si nyní za příklad dvě dostatečně přehledné kategorické báze: tvar koule a tvar připomínající trojúhelník. Plechový trojúhelník může bodat, nikoli se kutálet, zatímco kovová koule není s to bodat, za to je schopná se kutálet. Nevěříme, že v jiném světě by díky nějakým jiným fyzikálním zákonům koule bodala, neboť víme, že jmenované schopnosti jsou identické s kategorickými základy.

David Peroutka – Dispoziční predikáty

Více v knize Modality v analytické metafyzice

Calgacus o Římanech

2011-03-28T21:16:00.001+02:00

Nic aktuálního. Tato slova vkládá Tacitus do úst nepřátelského vůdce Calgaka. Dokázal alespoň na chvíli tak skutečně vidět svůj národ?

(...) si locuples hostis est, avari, si pauper, ambitiosi, quos non Oriens, non Occidens satiaverit: soli omnium opes atque inopiam pari adfectu concupiscunt. Auferre trucidare rapere falsis nominibus imperium, atque ubi solitudinem faciunt, pacem appellant.

Tacitus – Agricola

Je-li nepřítel bohatý, jsou hrabiví, je-li chudý, jsou panovační. Ani Východ ani Západ by takové lidi nenasytil: oni jediní ze všech si se stejnou chtivostí žádají bohatství i nouzi. Plenění, vraždění a loupení označují falešně jménem vláda a likvidaci mírem.

Tacitu – Životopis Iula Agricoly

Testování hypotéz - Binomický test

2011-03-15T14:31:00.003+01:00

Máme čtyři události 0, 1, A, B. 0 a 1 se navzájem vylučují. Stejně tak A a B. Cíl je otestovat hypotézu, zda pravděpodobnost A za podmínky 1 je větší, než pravděpodobnost A za podmínky 0. Jinými slovy: Zda událost 1 zvyšuje pravděpodobnost události A. Matematicky v tom není problém, numericky ano, protože se tam vyskytují velká čísla. A někdy víc než jen velká. V Pythonu však není problém.

Program má na vstupu 5 čísel:

1) číslo "n0a" udávající počet výskytů události A za předpokladu události 0

2) číslo "n0b" udávající počet výskytů události B za předpokladu události 0

3) číslo "n1a" udávající počet výskytů události A za předpokladu události 1

4) číslo "n1b" udávající počet výskytů události B za předpokladu události 1

5) práh pravděpodobnosti pro zamítnutí HA

Standardní volba HA je 0.01 nebo 0.05. Volba 0.5 je daleko za hranicí, která odděluje odvahu a šílenství. Volba nad 0.5 je zcela nesmyslná, stejně jako pod 0.0.


# -*- coding: cp1250 -*-

import sys
import math

def div(a, b):
 r = 0.0
 e = 1.0
 for i in range(100):
   d = a / b
   r = r + e * d
   a = 10 * (a - d * b)
   e = e / 10.0
 return r 

def C(n, k):
 return math.factorial(n) / (math.factorial(k) * math.factorial(n - k))

def I01(ae):
 sa = 0
 sb = 1
 for (a, e) in ae:
   b = e + 1
   sa = b * sa + a * sb
   sb = b * sb
 return (sa, sb)

def gen_ae(na, nb):
 ae = []
 for k in range(0, nb + 1):
   ae.append((C(nb, k) * ((-1) ** k), na + k))
 return ae

def suma(ab):
 sa = 0
 sb = 1
 for (a, b) in ab:
   sa = b * sa + a * sb
   sb = b * sb
 return (sa, sb)

n0a = int(sys.argv[1])
n0b = int(sys.argv[2])
n1a = int(sys.argv[3])
n1b = int(sys.argv[4])
alpha = float(sys.argv[5])

print
print "n0a =", n0a, "n0b =", n0b
print "n1a =", n1a, "n1b =", n1b
print "alpha =", alpha
print

ae0 = gen_ae(n0a, n0b)
ae1 = gen_ae(n1a, n1b)

(I0a, I0b) = I01(ae0)
(I1a, I1b) = I01(ae1)

ab = []
for (a0, e0) in ae0:
 for (a1, e1) in ae1:
   ab.append((a0 * a1, (e0 + 1) * (e0 + e1 + 2)))

(Ia, Ib) = suma(ab)

pA = 1 - div(Ia * I0b * I1b, Ib * I0a * I1a)

print
print "H0: p(A|1) > p(A|0)"
print "HA: p(A|1) <= p(A|0)"
print
print "p(HA) =", pA
print
if pA <= alpha:
 print u"Doporučujeme zamítnou HA a přijmout H0."
if pA >= 1 - alpha:
 print u"Doporučujeme zamítnou H0 a přijmout HA."
if pA > alpha and pA < 1 - alpha:
 print u"nelze rozhodnout mezi H0 a HA."
print

Teorie množin a její generální kolaps

2011-03-05T20:32:00.001+01:00

V Bolzanových Paradoxech nekonečna (ke stažení zde) se lze dočíst toto:

Tvrdím totiž: dvě množiny, obě nekonečné, mohou být k sobě v takovém vztahu, že je na jedné straně možno spojit ve dvojici každou věc, náležející jedné z nich, s věcí, náležející druhé z nich, tak, aby vůbec žádná věc v obou množinách nezůstala bez spojení ve dvojici a také žádná aby se nevyskytovala ve dvou nebo více dvojicích; a přitom je na druhé straně možno, aby jedna z obou množin obsahovala druhou jako svůj pouhý díl, takže množství, která ony množiny představují, jsou k sobě v nejrozmanitějších poměrech, považujeme-li věci v nich za stejné, tj. za jednotky.

Bernar Bolzano – Paradoxy nekonečna

Každé dvě nekonečné množiny lze na sebe vzájemně jednoznačně zobrazit. Toto tvrzení budeme nazývat generálním kolapsem.

Petr Vopěnka – Vyprávění o kráse novobarokní matematiky

Jenže každý, kdo někdy viděl Cantorův diagonální důkaz, namítne, že Cantor vyvrátil Bolzanovu domněnku. Skutečně vyvrátil?

V tomto okamžiku bychom měli namítnout, že množina všech bodů ležících na přímce (...) je nespočetná, to znamená, že její prvky nelze očíslovat přirozenými čísly, což přeci dokázal již Cantor. Odtud plyne, že generální kolaps je sporný (a tedy nepravdivý). Avšak pozor, Cantor nedokázal spornost generálního kolapsu sama se sebou, ale s existencí množiny všech bodů ležících na dané úsečce.

Petr Vopěnka – Vyprávění o kráse novobarokní matematiky

Husserl o myšlení bez názoru

2011-03-03T21:35:00.000+01:00

Man muß sich durchaus klar machen, daß in weitesten Strecken nicht bloß lässigen und alltäglichen, sondern streng wissenschaftlichen Denkens die veranschaulichende Bildlichkeit eine geringe oder schlechterdings keine Rolle spielt, und daß wir im aktuellsten Sinn urteilen, schließen, überlegen und widerlegen können auf Grund von „bloß symbolischen" Vorstellungen. (...) Also nicht mit bedeutungslosen Zeichen operiert man in den Sphären des symbolisch-arithmetischen Denkens und Rechnens. Nicht sind es die „bloßen" Zeichen im Sinne der physischen, von aller Bedeutung losgerissenen Zeichen, welche für die ursprünglichen, mit arithmetischen Bedeutungen beseelten Zeichen surrogieren, vielmehr surrogieren für die arithmetisch bedeutsamen Zeichen dieselben, aber in einer gewissen Operationsoder Spielbedeutung genommenen Zeichen. Ein System von natürlich und sozusagen unbewußt sich herausbildender iquivokationen wird unendlich fruchtbar; die ungleich größere Denkarbeit, welche die originäre Begriffsreihe erfordert, wird durch die leichteren „symbolischen" Operationen erspart, welche sich in der parallelen Reihe der Spielbegriffe vollziehen.

Edmund Husserl – Logische Untersuchungen (II/1:I.§20)

Je třeba si veskrze ujasnit to, že v naprosté většině myšlení, nejen pouze vágního a každodenního, nýbrž i přísně vědeckého, hraje znázorňující obraznost roli nepatrnou nebo přímo žádnou a že je možné v nejaktuálnějším smyslu soudit, usuzovat, uvažovat a vyvracet na základě „pouze symbolických“ představ. (...) To, s čím se operuje v oblastech symbolicko aritmetického myšlení a počítání, tedy nejsou znaky bez významu. To, co nahrazuje původní, aritmetickými významy oduševnělé znakym nejsou „pouhé“ znaky ve smyslu fyzických, od jakéhokoli významu odtržených znaků, které by nahrazovali původní, aritmetickým významem oživené znaky; spíše je tomu tak, ža aritmeticky významuplné znaky jsou nahrazovány týmiž znaky, ale branými v jejich jistém operačním či herním významu. Systém přirozeně a takříkajíc nevědomě se utvářejících víceznačností se stává nesmírně plodným; díky snadnějším „symbolickým“ operacím, které se uskutečňují v paralelní řadě herních pojmů, jsme ušetřeni nesrovnatelně větší myšlenkové práce, kterou si vyžaduje původní pojmová řada.

Edmund Husserl – Logická zkoumání (II/1:I.§20)

Livius o pálení knih

2011-02-17T20:58:00.001+01:00

Colonia Grauiscae eo anno deducta est in agrum Etruscum, de Tarquiniensibus quondam captum. quina iugera agri data; (...) in altera duo fasces candelis inuoluti septenos habuere libros, non integros modo sed recentissima specie. septem Latini de iure pontificum erant, septem Graeci de disciplina sapientiae, quae illius aetatis esse potuit. (...) Petilius in decuriam legerat. lectis rerum summis cum animaduertisset pleraque dissoluendarum religionum esse, L. Petilio dixit sese libros eos in ignem coniecturum esse (...) libri in comitio igne a uictimariis facto in conspectu populi cremati sunt.

Livius – AB URBE CONDITA LIBER XL

Téhož roku nalezli dělníci na poli písaře Lucia Petilia pod Janikulem při hlubším kopání v zemi dvě kamenné skříňky (...) Ve druhé skříňce byly uloženy dva svitky svázané navoskovanými šňůrkami; každý obsahoval sedm knih nejenže docela neporušených, ale zcela nově vyhlížejících. Sedm latinských jednalo o právu pontifikálním, to je o sboru nejvyšších kněží, sedm řeckých o nauce životní moudrosti, jak v oné době mohla vyspět. (...) Když si [městský praetor Quintus Petilieus] přečetl přehled obsahu a shledal, že většina z toho má za cíl zrušení náboženských obřadů, oznámil Luciu Petiliovi, že tyto knihy hodí do ohně. (...) Knihy pak byly spáleny na sněmovišti,a to na hranici zřízené obětníky před tváří všeho lidu.

Livius – Dějiny. Kniha XL

Velšská a anglická hudba 12. století

2011-02-14T20:45:00.002+01:00

Kdo sebere dostatek odvahy ke studiu původních historických pramenů a neodradí ho sloh Geralda z Walesu, jehož nabubřelost a fantastičnost dosahuje téměř olympijské úrovně, může se dopracovat k celkem zajímavým údajům o hudbě ve Walesu a Anglii z 12. století. Jen se mě neptejte, jestli ono b-moll je naše b nebo snad h anebo něco docela jiného.

In musico modulamine non uniformiter ut alibi, sed multipliciter multisque modis et modulis cantilenas emittunt, adeo ut in turba canentium, sic huic genti mos est, quot videas capita tot audias carmina, discriminaque vocum varia, in unam denique sub B mollis dulcedine blanda consonantiam et organicam convenientia melodiam. In borealibus quoque majoris Britanniae partibus, trans Humbriam scilicet Eboracique finibus, Anglorum populi qui partes illas inhabitant simili canendo symphonica utuntur harmonia: binis tamen solummodo tonorum differentiis et vocum modulando varietatibus, una inferius submurmurante, altera vero superne demulcente pariter et delectante. Nec arte tamen sed usu longaevo et quasi in naturam mora diutina jam converso, haec vel illa sibi gens hanc specialitatem comparavit. Qui adeo apud utramque invaluit et altas jam radices posuit, ut nihil hic simpliciter, nihil nisi multipliciter ut apud priores, vel saltem dupliciter ut apud sequentes melice proferri consueverit; pueris etiam, quod magis admirandum, et fere infantibus, cum primum a fletibus in cantus erumpunt, eandem modulationem observantibus. Angli vero, quoniam non generaliter omnes sed boreales solum hujusmodi vocum utuntur modulationibus, credo quod a Dacis et Norwagiensibus qui partes illas insulae frequentius occupare ac diutius obtinere solebant, sicut loquendi affinitatem, sic et canendi proprietatem contraxerunt.

Giraldus Cambrensis – Descriptio Cambriae

Velšané nezpívají jednohlasně jako v jiných zemích, nýbrž každý ve sboru vyzpěvuje jinou melodii v jiné tónině. Kolik hlav je ve skupině zpěváků, tolik různých nápěvů a hlasů je slyšet. Nakonec se však všechny harmonicky spojí v jednu libou melodii v b-moll.Také Angličané, kteří obývají oblast severně od Humberu a kolem Yorku, při sborovém zpěvu využívají podobných harmonických principů, s tím rozdílem ovšem, že zpívají pouze dva různé hlasy.Hluboké mručení u nich doprovází výše položenou melodii s ozdobami. Ani Velšané ani Angličané si tento způsob zpěvu neosvojili uměle. Dlouho a pomalu se v něm zdokonalovali, až jim takříkajíc přešel do krve. Zakořenil do té míry, že jednohlasně už vůbec nezpívají, jenom mnohohlasně jako Velšané, nebo alespoň dvouhlasně jako severní Angličané. I malé děti, dokonce nemluvňata, jakmile přestanou vřískat a začnou zpívat, intonují okamžitě stejným způsobem. Protože vícehlasý zpěv nepoužívají všichni Angličané, nýbrž jen ti ze severu, domnívám se, že stejně jako zvláštnosti svého dialektu, tak i svůj způsob zpěvu převzali od Dánů a Norů, kteří tyto oblasti často a dlouho okupavali.

Gerald z Walesu – Popis Walesu

Tato hudba je prý dodnes živá, což není nic divného, protože po mnoha národech dnes zbývá jediná živá věc a to hudba. Jen mě napadá, že jestliže to bude i případ našeho národa, neměli bychom si na té naší muzice dát o něco víc záležet?

Einstein o vyznavačích pravdy a poznání

2011-02-06T14:26:00.000+01:00

Nic není bez kontextu, a proto je nutné dodat, že níže uvedené vyslovil Einstein v roce 1943.

Úporné hledání pravdy a poznání je jednou z největších lidských hodnot, i když často dávají onu hrdost najevo nejhlasitěji ti, kdo se namáhají nejméně. A určitě si musíme dát pozor, abychom z intelektu neudělali svého boha; má, pravda, silné svaly, ne však osobnost. Nemůže vést, může jen sloužit; a při výběru vůdce není nijak náročný. Tato vlastnost se odráží v kvalitách jeho zvěstovatelů, intelektuálů. Intelekt má ostrý zrak, jde-li o metody a nástroje, je však slepý vůči hodnotám. A tak není divu, že tato ostudná slepota se předává ze starých na mladé a dnes postihuje celou generaci.

Albert Einstein

Morrisonova žíga

2011-01-28T10:10:00.002+01:00

Chledáte jak se jmenuje písnička, kterou např. České srdce hraje jako "Irskou suitu"? Jmenuje se Morrison's Jig a tady jsou noty a akordy:

Jsou fyzikální zákony odvoditelné apriori?

2011-01-12T22:12:00.000+01:00

Experience can of course guide us in our choice of serviceable mathematical concepts; it cannot possibly be the source from which they are derived; experience of course remains the sole criterion of the serviceability of a mathematical construction for physics, but the truly creative principle resides in mathematics. In a certain sense, therefore, I hold it to be true that pure thought is competent to comprehend the real, as the ancients dreamed. To justify this confidence of mine, I must necessarily avail myself of mathematical concepts. The physical world is represented as a four-dimensional continuum. If in this I adopt a Riemannian metric, and look for the simplest laws which such a metric can satisfy, I arrive at the relativistic gravitation-theory of empty space. If I adopt in this space a vector-field, or in other words, the antisymmetrical tensor-field derived from it, and if I look for the simplest laws which such a field can satisfy, I arrive at the Maxwell equations for free space.

Albert Einstein – On the Method of Theoretical Physics

Zkušenost je samozřejmě jediným hlediskem pro použitelnost nebo nepoužitelnost takové nebo onaké matematické konstrukce. Vlastní podstata tvořivosti však tkví jen a jen v matematice. V jistém smyslu je tedy podle mého mínění pravda, že ryzí uvažování dokáže postihnou skutečnost, tak jak o tom snili naši předkové. Abych prokázal, že tato důvěra není scestná, musím nezbytně použít matematické pojmy. Fyzikální svět se znázorňuje čtyřrozměrným kontinuem. Pokud v tomto kontinuu přijmu Riemannovu metriku a zeptám se, jakým nejjednodušším zákonům tato metrika vyhovuje, dospěji k relativistické gravitační teorii prázdného prostoru. Vezmu-li si v tomto prostoru vektorové pole, případně antisymetrické tenzorové pole, které je třeba vyvodit, a ptám se, jakým že nejjednodušším zákonům takové pole může vyhovovat, dostanu se k maxwellovským rovnicím.

Albert Einstein – K metodice teoretické fyziky

Tím nejkrásnějším, co kdy můžeme zažít, je tajemno. Je to ten nejzákladnější pocit, který je vždy na začátku jakéhokoliv opravdového umění i vědy. Kdo ho nezná, kdo už se nedokáže divit, kdo už nedokáže žasnout, je takříkajíc mrtvý a oči má vyhaslé.

Albert Einstein – Jak vidím svět

Proklos o tom, o čem lze jen mlčet

2011-01-04T22:30:00.000+01:00

τὸ δὲ καὶ ποιητικὴν αὐτῇ καὶ γεννητικὴν ἀπονέμειν αἰτίαν πορρώτερον φέρεται τῆς τοῦ πρώτου παντελοῦς ἑνώσεως· οὔτε γὰρ εἰ αἴτιον ἐκεῖνο τῶν ὄντων οὔτε εἰ γεννητικόν, ἢ γνῶναι τοῖς δευτέροις θεμιτὸν ἢ λόγῳ διελθεῖν, ἀλλὰ σιγῇ τὸ ἄρρητον αὐτοῦ καὶ πρὸτῶν αἰτίων πάντων ἀναιτίως αἴτιον ἀνυμνεῖν.

Πρόκλος – Περί της κατά Πλάτωνα Θεολογίας

Chceme-li však počátek všeho chápat zároveň jako tvůrčí a plodivou příčinu, pak se už od dokonalé prvotní jednoty začínáme poněkud vzdalovat. Neboť i pokud platí, že je plodivé a je příčinou všech jsoucích věcí, nižším bytostem není dáno to poznat nebo vyložit ve slovech, ale smí pouze mlčením opěvovat nevýslovnost této nezapříčiňující příčiny, jež všem příčinám předchází.

Proklos – Platónská teologie

Výpočty

2010-12-02T12:13:00.001+01:00

Výborná kniha o výpočtech je zde: nb.vse.cz/~cernym/vypocty.pdf. Doporučuji.

Mathesiovy Zpěvy staré Číny

2010-11-28T20:02:00.003+01:00

Text je vysázen v LaTeXu, ale zatím jen tak nahrubo. PDF je zde. Ze souboru jsem vynechal osmou část připojenou v padesátých letech a to z estetických důvodů.

Daniel Kehlmann o Gaussovi a neeukleidovských geometriích

2010-11-18T15:23:00.001+01:00

Kromě Petra Vopěnky se i Daniel Kehlmann pokusil o románové vysvětlení proč Gauss neoznámil veřejnosti objev neeukleidovské geometrie. Kniha sice právě v citované části obsahuje několik nesrovnalostí, ale to může být zaviněno překladem. Jinak jde o knihu poměrně čtivou.

Má nápad, který ještě nikomu jinému neprozradil. Zdá se mu totiž, že Eukleidovský prostor není, jak se to tvrdí v Kritice čistého rozumu, formou našeho nazírání samého, a to předcházející veškeré smyslové zkušenosti, ale je to spíš fikce. Jen krásný sen! Pravda je skutečně hrozivá. (...) Možná rovnoběžky vůbec neexistují. Možná, že prostor připouští, že můžeme vést jedním bodem nekonečně mnoho rovnoběžek pokud máme danou čáru a vedle ní bod. Jen jedno je ale jisté. Prostor je vrásčitý, zakřivený a velmi podivný. (...) Byl poslán na svět a vybaven rozumem, který téměř vše lidské znemožňuje, v době, kdy je každá práce ještě náročná, namáhavá a špinavá. (...) Myslel na poslední soud. Nevěřil, že se něco takového bude konat. Obžalovaní se mohou hájit. Některé protiotázky by Bohu určitě nebyly příjemné. Hmyz, špína, bolest. Samá nedostatečnost. Dokonce i v případě prostoru a času fušeřina! Pokud bude postaven před soud, má v úmyslu zavést řeč na pár věcí.

Daniel Kehlmann - Vyměřování světa

Russell o Gödelovi a Gödel o sobě a Russellovi

2010-11-11T17:23:00.001+01:00

Chodíval jsem do (Einsteinova) domu jednou týdně diskutovat s ním, Gödelem a s Paulim. Tyto diskuse byly v jistém smyslu zklamáním, protože ačkoli všichni tři byli Židé v exilu a kosmopoliticky ladění, zjistil jsem, že všichni mají německý sklon k metafysice (...) Z Gödela se vyklubal nefalšovaný platonista a patrně věřil, že v nebi je uložené věčné "ne", a ctnostní logici se tam s ním posléze setkají.

Bertrand Russell - Autobiografie, IV. díl

Pokud jde o úryvek o mně (v Russellově autobiografii), musím říci (kvůli pravdě), že nejsem Žid (i když si myslím, že tento fakt je zcela nedůležitý), 2) že úryvek budí mylný dojem, že jsem vedl mnoho diskusí s Russelle,, což naprosto není pravda (vzpomínám si jen na jednu). 3) Pokud jde o můj "nefalšovaný" platonismus, není o nic více "nefalšovaný" než Russellův vlastní platonismus z roku 1921, kdy v Üvodu (ke své Matematické filosofii) napal: "Logika se zabývá reálným světem tak skutečně jako zoologie, i když se zabývá jeho abstraktnějšími a obecnějšími jevy". V této době zřejmě nacházel "ne" dokonce v tomto světě, ale později, pod vlivem Wittgensteina, se rozhodl to přehlédnout.

Kurt Gödel

O formálně nerozhodnutelných větách v díle Principia Mathematica a příbuzných systémech I

2010-10-29T08:08:00.001+02:00

Pokud potřebujete český překlad článku Kurta Gödela "Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I", napište mi na email gopeith@gmail.com, popř. napište kontakt do diskuse. Jedná se o paralelní německo-český text. Překlad ještě potřebuje nějaké korekce a vyřešení několika problémů s LaTEXem, a proto tu není volně ke stažení. Ale navzdory své nedokonalosti jako učební text určitě poslouží.

Nabobové

2010-10-25T15:26:00.000+02:00

Takoví nabobové se vyskytují mezi lidmi svým způsobem vzdělanými, či lépe řečeno mezi lidmi někdy i s dosti značnými znalostmi. Naprostý nevzdělanec, stejně jako opravdový vzdělanec, by nikdy nepřipadl na myšlenku, že již zná vše, co je množné znát. Něco takového může napadnou jen člověka samolibého, jenž navíc z příčiny tvrdé lbi získával své znalosti v potu tváře, takže posléze nabyl přesvědčení, že velikost vynaložené námahy odpovídá velikosti všech moudrostí světa.

Petr Vopěnka – Trýznivé tajemství

Gauss a neeukleidovské geometrie

2010-10-19T22:37:00.000+02:00

Následující ukázka je z dopisu, který napsal Gauss (a nebo Gauß) svému příteli Taurinovi (1. pád Taurinus) v roce 1824. Do češtiny přeložil V. J. Hauner a je to čeština, která svou patinou nejlépe odpovídá Gaussově době. Pozměnil jsem text jen málo, a to je proto, aby mu bylo rozumět (např. odpor opravuji na rozpor). Kdo chce, ten si najde původní text v časopise Česká mysl.

Die Annahme, daß die Summe der 3 Winkel kleiner sei als 180°, führt auf eine eigne von der unsrigen (Euclidischen) ganz verschiedene Geometrie, die in sich selbst durchaus consequent ist, und die ich für mich selbst ganz befriedigend ausgebildet habe, so daß ich jede Aufgabe in derselben auflösen kann mit Ausnahme der Bestimmung einer Constante, die sich a priori nicht ausmitteln läßt. Je grösser man diese Constante annimmt, desto mehr nähert man sich der Euclidischen Geometrie und ein unendlich großer Werth macht beide zusammenfallen. Die Sätze jener Geometrie scheinen zum Theil paradox, und dem Ungeübten ungereimt; bei genauerer ruhiger Überlegung findet man aber, daß sie an sich durchaus nichts unmögliches enthalten. So z. B. können die drei Winkel eines Dreiecks so klein werden als man nur will, wenn man nur die Seiten groß genug nehmen darf, dennoch kann der Flächeninhalt eines Dreiecks, wie groß auch die Seiten genommen werden, nie eine bestimmte Grenze überschreiten, ja sie nicht einmahl erreichen. Alle meine Bemühungen einen Widerspruch, eine Inconsequenz in dieser Nicht-Euclidischen Geometrie zu finden sind fruchtlos gewesen, und das Einzige was unserm Verstande darin widersteht, ist daß es, wäre sie wahr, im Raum eine an sich bestimmte (obwohl uns unbekannte) Lineargrösse geben müßte. Aber mir deucht, wir wissen, trotz der Nichts Sagenden Wort-Weisheit der Metaphysiker eigentlich zu wenig oder gar nichts über das wahre Wesen des Raumes, als daß wir etwas uns unnatürlich vorkommendes mit Absolut Unmöglich verwechseln dürfen. Wäre die Nicht-Euclidische Geometrie die wahre, und jene Constante in einigem Verhältniße zu solchen Grössen die im Bereich unsrer Messungen auf der Erde oder am Himmel liegen, so ließe sie sich a posteriori ausmitteln. Ich habe daher wohl zuweilen im Scherz den Wunsch geäußert, daß die Euclidische Geometrie nicht die Wahre wäre, weil wir dann ein absolutes Maass a priori haben würden.

Předpoklad, že součet úhlů v trojúhelníku je menší než 180°, vede ke zvláštní geometrii, zcela rozdílné od naší (eukleidovské) a samé v sobě zcela konzistentní, již jsem pro sebe tak dostatečně vypracoval, že dovedu v ní každou úlohu rozřešiti, vyjímaje určení jisté konstanty, jež se a priori vyšetřiti nedá. Čím větší zvolíme tuto konstantu, tím více se přiblížíme geometrii Eukleidově a při nekonečné hodnotě (konstanty) obě splynou. Poučky oné geometrie zdají se částečně paradoxními a neznalci nesmyslnými; uvážíme-li si však věci klidně a bedlivě, shledáme, že neobsahují nic o sobě nemožného. Tak mohou např. tři úhly trojúhelníka se zmenšiti libovolně, smíme-li jen strany jeho zvoliti dosti velkými; přes to však plocha trojúhelníka, ať volíme strany jakkoli velké, nesmí překročiti určité meze, ba nesmí jí ani dosáhnouti. Veškera moje snaha shledati v této neeukleidovské geometrii rozpor, nedůslednost zůstala marnou, a jediné, co v ní našemu rozumu odporuje, jest, že by, když by byla pravdivá, nutně existovala v prostoru jistá určitá (třebas nám neznámá) lineární veličina. Mně však se zdá, že přes veškeru jalovou slovní moudrost metafysiků víme vlastně příliš málo nebo vůbec nic o pravé podstatě prostoru, i nesmíme stotožňovat s absolutně nemožným, co nám připadá nepřirozeným. Kdyby neeukleidovská geometrie byla pravdivou a ona konstanta v jakémsi poměru k veličinám ležícím na zemi nebo na nebi v dosahu našich měření, dala by se a posteriori vyšetřiti. Proto jsem někdy žertem vyslovil přání, aby eukleidovská geometrie nebyla pravou, poněvadž bychom pak měli a priori absolutní míru.

Proč Gauss své výsledky nepublikoval? Bylo to pro něj ono Trýznivé tajemství? Boylaimu staršímu píše Gauss v roce 1832:

Jetzt Einiges über die Arbeit Deines Sohnes. Wenn ich dam it anfange i dass ich volche nicht loben darf: so wirst Du wohl einen Augenblick stutzen : aber ich kann nicht anders; sie loben hiesse mich selbst loben : denn der ganze Inhalt, der Weg, den Dein Sohn eingeschlagen hat, und die Resultate, zu denen er geführt ist, kommen fast durchgehends mit meinen eigenen, zum Theile seit 30-35 Jahren angestellten Meditationen überein. In der That bin ich dadurch auf das Aeusserste überrascht. Mein Vorsatz war von meiner eigenen Arbeit, von der übrigens
bis jetzt wenig zu Papier gebracht war, bei meinen Lebzeiten gar nichts bekannt werden zu lassen. Die meisten Menschen haben gar nicht den rechten Sinn für das, worauf es dabei ankommt, und ich habe nur wenige Menschen gefunden, die das, was ich ihnen mittheilte, mit besonderm Interesse aufnahmen.

Nyní něco o práci Tvého syna. Zarazíš se na okamžik zajisté, začnu-li tím, že ji nesmím chválit - nemohu jinak, neboť chválit ji, bylo by chválit sama sebe; neboť celý obsah spisu, cesta, jíž se dal Tvůj syn, a výsledky, jichž dospěl, shodují se skorem naprosto s mými vlastními meditacemi, dílem již 30-35 roků starými. Mou zásadou bylo neoznámiti o své práci, z níž ostatně jen málo dosud přeneseno na papír, za svého života ničeho... Naproti tomu bylo mým úmyslem, časem vše tak přenésti na papír, aby to alespoň se mnou jednou nezašlo. – Jsem tudíž velmi překvapen vida, že ta námaha mi nyní bude ušetřena, a největším potěšením je mi, že právě syn mého starého přítele mne tak pozoruhodným způsobem předešel.

2. světová válka znamenala i konec jednoho mýtu

2010-10-11T17:57:00.001+02:00

Die reine Zahlentheorie ist dasjenige Gebiet der Mathematik, das noch nie Anwendungen gefunden hat.

David Hilber (1930)

Čistá teorie čísel je taková část matematiky, pro kterou nebude žádná aplikace nalezena.

David Hilber (1930)

Real mathematics has no effect on war. No one has yet discovered any warlike purpose to be served by the theory of numbers or relativity; and it seems unlikely that anyone will do so for many years.

G. H Hardy - A Mathematician’s Apology (1940)

Opravdová matematika nemá žádný vojenský význam. Nikdo zatím neobjevil žádné vojenské využití teorie čísel nebo relativity; a nezdá se, že by k tomu během mnoha dalších let došlo.

G. H Hardy - A Mathematician’s Apology (1940)

It would not be an exaggeration to state that abstract cryptography is identical with abstract mathematics.

Abraham Adrian Albert (1941)

Bez nadsázky lze říci, že abstraktní kryptografie je totožná s abstraktní matematikou.

Abraham Adrian Albert (1941)

Proč Kant mohl pokládat matematické věty za syntetické?

2010-09-22T19:55:00.000+02:00

V Kantových dnech byla matematika samotná logicky hluboko pod úrovní matematiky dnešní. Je naprostá pravda, že kdokoli se pokusí odvodit např. Eukleidovu sedmou větu z Eukleidových axiómů bez použití obrazce, zjistí, že je to neproveditelný úkol. V osmnáctém století pravděpodobně neexistoval ani jeden jediný logicky správný exemplář matematického uvažování, chci říci usuzování, ve kterém by byl závěr správně odvozen z autorem explicitně stanovených premis. Protože se však správnost závěru zdála nepochybná, bylo přirozené předpokládat, že matematický důkaz byl něco jiného než logický důkaz. Faktem ale je, že celý rozdíl nespočívá v ničem jiném, než v tom, že matematické důkazy byly zkrátka neplatné. Při důkladnějším zkoumání se ukázalo, že mnohé z vět, jež byly podle Kanta nezpochybnitelnými pravdami, byly ve skutečnosti nepravdivé. A ještě větší třída vět – např. výše zmíněná Eukleidova sedmá věta – může být rigidně odvozena z určitých premis, ačkoli není nijak jasné, zdali jsou tyto premisy samy pravdivé nebo nepravdivé.

Bertrand Russell – Principia Mathematica

Sociální mozek

2010-09-21T15:59:00.002+02:00

Pořad, ve kterém František Koukolík vypráví o politickém a sociálním mozku je ke stažení na adrese: http://www.rozhlas.cz/_audio/vstupte-s-mudr-frantiskem-koukolikem-oni-a-my-socialni-mozek--02138259.mp3 .

Logika rozkazovacího způsobu

2010-09-19T16:10:00.002+02:00

Klasická logika odpovídá oznamovacímu způsobu. O tom, jaké problémy mohou nastat, pokud se použije na rozkazovací způsob, svědčí následující příklad.

Víme, že v rámci klasické logiky jsou takřka triviálně správné úsudkové formy

A ∨ B

Bylo by ale rozumné říci, že díky tomu je zjevně platná i následující úsudková forma?

(A ∨ B)!

Kladná odpověď je problematická.Konkretizujeme-li A jako výrok Odesíláš dopis a B jako Pálíš dopis, dostaneme úsudek:

Odešli tento dopis!

Odešli nebo spal tento dopis!

Vladimír Svoboda, Jaroslav Peregrin – Od jazyka k logice

Přesněji a lépe:

S odlišností interpretace příkazů a norem souvisí i tzv. Rossův paradox, který zároveň ukazuje, že výrokové spojky uvnitř modálních operátorů nelze překládat do přirozeného jazyka prvoplánově. Již v nejslabší námi uvažované deontické logice K je dokazatelná formule

(12) O A → O(A ∨ B).

Interpretujeme-li A jako „pošli tento dopis“ a B jako „spal tento dopis“, vyplývá při naivní interpretaci z (12) nesmyslná, že z příkazu „pošli tento dopis“ vyplývá příkaz „pošli nebo spal tento dopis“. Při správné interpretaci podle naznačené kripkovské sémantiky má však formule (12) rozumný význam (jestliže ve všech deonticky perfektních stavech světa platí A, pak v nich – pochopitelně – platí také A ∨ B).

Libor Běhounek – Formální sémantika logiky modalit

Gödel 1931 – Strukturovaná minirecenze

2010-08-20T22:55:00.003+02:00

Název: Gödel 1931

Autoři: Frýdek Jaroslav, Včelař František, Zelinka Ivan

www: http://shop.ben.cz/sk/114177-godel-1931.aspx

Obor: Matematická logika

Co kniha obsahuje: Kniha má dvě části. V první části je výklad a komentář ke článku Kurta Gödela „O nerozhodnutelných větách v díle Principia Mathematica a příbuzných systémech I“ („Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I“). Autoři článek bod po bodu rozebírají a nevynechávají jedinou zajímavou větu, byť by to byla jen poznámka pod čarou. V druhé části je „všechno ostatní“, co se přímo k článku nevztahuje, ale souvisí s Gödelovým dílem a autoři to pokládali za nutné publikovat.

Co kniha neobsahuje: Kniha nezačíná od nuly, není to úvod do matematické logiky. Neobsahuje ani filosofii matematiky. Až na drobné zmínky se kniha zabývá pouze přirozenými čísly 0, 1, ... atd. Vyšší matematiku kniha neobsahuje. Bohužel, kniha neobsahuje původní znění Gödelova článku (ani v příloze). Tento je rozdroben po celé knize.

Doporučená literatura:
Vítězslav Švejdar: Logika: neúplnost, složitost a nutnost (http://www1.cuni.cz/~svejdar/book/LogikaSve2002.pdf)
Petr Štěpánek, Bohuslav Balcar: Teorie množin
Vojtěch Kolman: Logika Gottloba Frega

Klady: Není „o všem“ (tj. o ničem). Kniha se v první části tvořící většinu knihy soustřeďuje výhradně na Gödelův článek. Dokáže tak čtenáři zprostředkovat přímý kontakt s Gödelovým géniem. Tím tvoří velkou výjimku na českém trhu. Ten, kdo zná Gödelovu práci jen ze stručných výtahů, popř. jen z popularizačních knih, nedovede si představit jak nápaditá, tvořivá a přitom poctivá a řemeslně dokonalá Gödelova práce je. I když kniha neobjasňuje zcela všechny podrobnosti (což je dobře – nějaká příjemná práce na čtenáře zbude), přesto je průvodcem dobrým, nebo alespoň nejlepším, s jakým jsem se na českém trhu setkal.

Zápory: Grafika a především typografie, ale to je letitý problém BENu, za to autoři nemohou.

Pro koho kniha je: Pro každého, koho nevyděsí velmi jednoduché rovnice a má zájem o matematiku, výpočetní techniku, kybernetiku, umělou inteligenci, filosofii, anebo o jakýkoli obor vrcholné duševní činnosti. Ale i pro každého, kdo doposud takovéto zájmy nemá, nicméně chce vyzkoušet pravdivost mínění, že právě ona Gödelova práce takovéto zájmy vyvolává.

Pro koho kniha není: Pro toho, kdo o věc nemá skutečný zájem, nechce podstoupit duševní námahu, ale potřebuje jen vybrat pár frází do referátu. Tomu se budou takové věty těžko hledat.

Celkový dojem: Knihu musím rozhodně doporučit.

Filosofie a matematika – Bolzano a Frege

2010-08-08T21:26:00.001+02:00

Nicht groß ist in unseren Tagen die Zahl der Philosophen, deren mathematisches Wissen viel über den Satz, daß A gleich A ist, hinausreicht. Noch kleiner ist jedoch die Zahl der Mathematiker, die zuzugestehen bereit sind, daß ihre eigene Wissenschaft durch Hilfe der Philosophie zu einer höheren Stufe der Vollkommenheit erhoben werden könnte (...).

Bernard Bolzano – Versuch einer objectiven Begründung der Lehre von den drei Dimensionen des Raumes

Za našich dnů je jen velmi málo filosofů, jejichž matematické vědění by sahalo dále než k větě, podle níž se A rovná A. Ještě menší počet je však matematiků, kteří jsou ochotni připustit, že by se jejich vlastní věda mohla pozvednout na vyšší stupeň dokonalosti s pomocí filosofie.

Bernard Bolzano – Pokus o objektivní zdůvodnění nauky o třech rozměrech prostoru

Jedenfalls müssen alle Mathematiker aufgegeben werden, die beim Aufstoßen von logischen Ausdrücken wie 'Begriff', 'Beziehung', 'Urtheil' denken: metaphysica sunt, non leguntur! (das ist Metaphysik, so etwas lesen wir nicht!) und ebenso die Philosophen, die beim Anblick einer Formel ausrufen: mathematica sunt, non leguntur! (das ist Mathematik, so etwas lesen wir nicht!)

Gottlob Frege – Grundgesetze der Arithmetik

Je nepochybné, že všichni matematikové, jakmile narazí při čtení na výrazy jako „pojem“, „relace“ či „soud“ vykřiknou „metaphysica sunt, non leguntur!“ (metafysika, to nečteme), zatímco ze strany filosofů spatřících formule zaznívá „mathematica sunt, non leguntur!“ (matematika, to nečteme).

Gottlob Frege – Základy aritmetiky

Goethe a Heidegger - dva citáty

2010-08-03T17:02:00.001+02:00

Člověk sám o sobě, pokud užívá svých zdravých smyslů, je největší a nejpřesnější fyzikální přístroj, jaký může existovat, a je právě největším neštěstím novější fyziky, že experimenty jakoby oddšlila od člověka a chce poznávat přírodu pouze v tom, co ukazují přístroje, ba chce tím dokonce omezit a dokázat, co je příroda schopna vykonat.

Johann Wolfang Goethe - Výroky v próze

Heisenbergovou relací neurčitosti je člověk nakonec výslovně zahrnut do umělosti přístrojů a stává se jejich součástí. Z tohoto hlediska může ve všech předmětech potkat už jen sám sebe - ale co je tu pak on "sám"? (Instrumentace!)

Martin Heidegger - Věda a zamyšlení

Timoleón

2010-07-28T19:40:00.000+02:00

Huic quidam Laphystius, homo petulans et ingratus, vadimonium cum vellet imponere, quod cum illo se lege agere diceret, et complures concurrissent, qui procacitatem hominis manibus coercere conarentur, Timoleon oravit omnes, ne id facerent. Namque id ut Laphystio et cuivis liceret, se maximos labores summaque adisse pericula. Hanc enim speciem libertatis esse, si omnibus, quod quisque vellet, legibus experiri liceret. Idem, cum quidam Laphystii similis, nomine Demaenetus, in contione populi de rebus gestis eius detrahere coepisset ac nonnulla inveheretur in Timoleonta, dixit nunc demum se voti esse damnatum: namque hoc a diis immortalibus semper precatum, ut talem libertatem restitueret Syracusanis, in qua cuivis liceret, de quo vellet, impune dicere.

Cornelius Nepos – Liber de excellentibud ducibus exterarum gentium

Když chtěl jakýsi Lafystios, člověk drzý a nevděčný, pohánět Tímolóna k soudu, protože, jak říkal, s ním má nějakou při, a sběhlo se mnoho lidí, kteří se snažili pěstmi potrestat opovážlivost toho člověka, prosil Tímoleón všechny, aby to nedělali. Proto totiž on podstoupil všechna nebezpečí a strasti, aby to bylo Lafystovi i komukoliv jinému dovoleno. To je totiž známnkou svobody, jestliže je všem dovoleno se soudit o cokoliv chtějí. Také, když někdo, podobný Lafystovi, jménem Deménetos, začal ve shromáždění lidu zlehčovat jeho činy a velice se na Tímoleónta obořil, řekl Tímoleón, že teprve nyní byly vyslyšeny jeho prosby, neboť toto že vždy žádal od nesmrtelných bohů, aby v Syrákúsách obnovil takovou svobodu, v níž by bylo komukoliv dovoleno beztrestně říkat, cokoliv chce.

Cornelius Nepos – Životopisy slavných vojevůdců

V Plútarchovi lze číst skoro doslova totéž.

Z těch dvou ho Lafystios při jakémsi právním jednání žádal o záruku, přičemž občané tropili hluk a chtěli tomu zabránit, ale Timoleón jim to nedovolil. Prohlásil totiž, že s radostí podstoupil tolik strastí a tolik nebezpečí proto, aby každý občan v Syrakusách, bude-li si to přát, mohl plně užívat zákonů. A potom Démainetos uvedl ve shromáždění lidu mnoho stížností na Timoleontovo vedení války, Timoleón mu vůbec neodpověděl, jen řekl, že je bohům zavázán díky za to, že mu vyplnili, oč prosil, aby totiž na vlastní oči spatřil, jak Syrakusané mají právo svobodně mluvit.

Plútarchos – Životopisy slavných Řeků a Římanů

Chůze

2010-07-02T08:16:00.000+02:00

O tom, že pěší pochyb není nejméně efektivní způsob dopravy, ale je to něco, co má svou vlastní hodnotu, svědčí následující vzpomínka na Gottloba Frega.

Von ihm wurde erzählt, daß er, der hier zwar ord. Hon. Prof. war, zum Teil erst nach seinem Tode als ein ganz bedeutender Gelehrter erkannt worden ist. Er wanderte alljährlich zu Fuß mit seinem Hund an die See und schilderte mir gelegentlich, welchen großen Reiz es habe, wenn man ganz allmählich die noch fernen Linien der Berge am Horizont auftauchen wieder verschwinden sehe. Davon habe man sehr viel mehr als von der eiligen Eisenbahnfahrt. Es war sehr interessant, ihm dabei zuzuhören.

Nachlaß Alexander Cartillieri

Vyprávělo se o něm, že - ač byl řádným Honorarordinariem, proslavil se jako významný učenec dílem až po své smrti. Každoročně cestoval pěšky se svým psem k moři a líčil mi příležitostně, jak velké kouzlo mají chvíle, kdy se na horizontu pozvolna vynořují ještě vzdálené linie hor a kdy opět mizí. Z toho má člověk víc nežli ze spěšné jízdy vlakem. Bylo velmi zajímavé mu přitom naslouchat.

Z pozůstalosti Alexandra Cratillieriho

Sarkastický Frege

2010-06-26T11:53:00.000+02:00

Celý text je zde na straně 133.

Byl jsem zpočátku příliš zaujat v dříve tak běžném přeceňování přemýšlení. Jen pozvolna jsem se dokázal propracovat k svobodnějšímu stanovisku. Není ve skutečnosti přemýšlení pro vědu častěji spíše překážkou nežli silou pohánějící vpřed? Kolik nepříjemných, vedlejších a cestu křížících otázek nám přemýšlení předhazuje; otázek, které by bez něho jednoduše vůbac nevznikly? Kolik sil je takovýmito otázkami odvráceno od hlavních problémů, a je tak pro pokrok vědy zcela ztraceno? O kolik stručnější, pohodlnější, ano, o kolik jasnější by bylo vše, kdybychom kameny vrhané myšlením do cesty nechali ležet stranou. S nepřemýšlením, tolik spřízněným s Léthé, je také – domnívám se – nalezen balzám, který utiší ony zkraje zmíněné útrapy. Čím déle jsem se zabýval souhrnem nauk, které mě podnítily k tomuto poznání, tím více jsem nabýval přesvědčení, že jejich pěstění zajistí u našich potomků konci devatenáctého století zvláštní slávu.

Gottlob Frege – O číslech pana H. Schuberta

Řeč, jazyk a počítač

2010-06-22T08:59:00.001+02:00

Záznam přednášky prof. Eva Hajičové ke stažení zde (1. část) a zde (2. část).

O spravedlnosti

2010-06-16T19:52:00.001+02:00

Haec itaque (ut ipsi appellant) bona quisquis patriae acquisierit, hoc est, qui eversis civitatibus, gentibusque deletis, aerarium pecunia referserit, agros ceperit, cives suos locupletiores fecerit; hic laudibus fertur in coelum, in hoc putatur summa et perfecta esse virtus. Qui error non modo populi et imperitorum, sed etiam philosophorum est; qui praecepta quoque dant ad iniustitiam, ne stultitiae ac malitiae disciplinae auctoritas desit.

Lactantius – Divinae Institutiones

Kdo tedy tato „dobra“, jak je oni nazývají, získá pro svou vlast, tzn. kdo vyvrácením obcí nebo zničením národů naplní obecní pokladnu, zabere pole, své spoluobčany učiní bohatšími, ten je vynášen chválou až k nebi – v tom prý je nejvyšší a dokonalá ctnost; to není pouze omyl lidu a nevzdělaných, ale také filosofů, kteří také dávají předpisy pro nespravedlivost, aby hlouposti a špatnosti nechybělo učení a autorita.

Lactantius – Divinae Institutiones

A jak to vypadá v praxi lze nalézt tamtéž.

Omnibus populis qui florerent imperio, et Romanis quoque ipsis qui totius orbis potirentur, si iusti velint esse, hoc est si aliena restituant, ad casa esse redeundum et in egestate ac miseriis iacendum.

Lactantius – Divinae Institutiones

Všechny národy, které vlastní kvetoucí říši, a i samotní Římané, kteří se zmocnili celého světa, museli by, kdyby chtěli být spravedliví, to jest, kdyby obnovili cizí práva, vrátit se do chatrčí a živořit v nouzi a bídě.

Lactantius – Divinae Institutiones

Kam o prádninách?

2010-06-04T16:45:00.002+02:00

Do Sázavy na Letní filosofickou školu - Meditace o základech vědy. pozvánka je zde.

Mácha a logika

2010-06-03T20:25:00.000+02:00

Mácha nastoupil studia filosofická a opět nový svět se mu otevřel, i nové poznání zjevily se v jeho po vědomostech prahnoucím duchu. Dosáhnuv zralejšího věku, nabyl živější obrazivosti a ráznější povahy. Že se myšlénky jeho pořádaly, že se systematičtějšími a logičtějšími staly, nebylo sice pouze výsledkem učení školního, nicméně přece naň silně působilo. Se zvláštní oblibou zanášel se umnicí neboli logikou, předmět to, jenž každému, byť se jakémukoli učení poddal, základem býti musí. Přednášky tyto, přísnou stručností se nad jiné vyznamenávající, nemálo vábily našeho Hynka, a tím mocněji jej poutaly, čím více poznával, že veškerá vzdělanost, nedostává-li se jí logické spořádanosti, již sama v sobě nedokonalá a vůbec nedostatečná jest. Nikdy na tom nepřestal, čehož mu jeho učitel byl poskytl, nýbrž hleděl dále, než školní učení dosahovalo, a hlouběji nahlížel v tuto základní vědu. Z podobných příčin vábila jej i vyšší matematika, ne však sama sebou, nýbrž jen co hlavní prostředek k bystření ostrovtipu. Láska k logice vedla jej i ve společenském životě – jakákoli rozprávka nelogická byla mu odporná, každá nespořádaná řeč se mu protivila a člověk takto mluvící působil mu dlouho chvíli. Tím mocněji jej vábila stručnost a určitost řeči, se kterou se arci u jiných zřídkakdy potkával.

Úvod povahopisný – Karel Sabina

Python a slovník

2010-05-21T15:40:00.002+02:00

Nedařilo se mi do slovníku (dictionary) vložit víc než několik desítek milionů položek. Přitom paměti bylo víc než dost. Proto jsem napsal následující skript na zjištěná maximálního počtu položek, které lze do slovníku uložit.


i = 0
d = {}
try:
while True:
d[i] = i
i = i + 1
except MemoryError:
print i

Výsledný počet je 44739242. V hexadecimální soustavě je to 2AAAAAA, což vypadá podezřele. Upozornění: Skript může způsobit pád některých programů.

Řešení problému:

class Dict2:
 def __init__(self):
  self.dicts = [{}]
 def value(self, k):
  for dict in self.dicts:
   if k in dict:
    return dict[k]
 def isIn(self):
  for dict in self.dicts:
   if k in dict:
    return True
  return False
 def insert(self, k, d):
  for dict in self.dicts:
   if k in dict:
    dict[k] = d
    return
  try:
   self.dicts[0][k] = d
  except MemoryError:
   self.dicts.insert(0, {})
   self.dicts[0][k] = d

i = 0
d = Dict2()
try:
 while True:
  d.insert(i, i)
  i = i + 1
except MemoryError:
 print i

Funkcionální úplnost

2010-05-19T17:17:00.003+02:00

V binární logice lze z operátoru NAND nebo NOR sestrojit libovolný jiný operátor, což lze snadno dokázat. Důkaz je uveden v každé knize typu "logik für frauzimmer". Že to jsou jediné operátory, které samotné tvoří funkcionálně úplnou množinu operátorů, lze také dokázat poměrně snadno.

Definice. Funkce je n-Shefferovská (nebo Shefferova), jestliže lze z ní konečným způsobem složit libovolnou funkci , kde .

Věta. Jestliže existuje existuje množina taková, že pro funkci platí , pak funkce není n-Shefferovská.
Důkaz. Pokud předpoklad tvrzení platí, pak nelze žádným způsobem z funkce složit funkci, která by pro nějaké nabývala hodnoty z neprázdné množiny . Proto funkce nemůže být n-Shefferovská.

Důsledek. Jestliže pro některé platí , pak funkce není n-Shefferovská.

Binárních operátorů na množině je jen 16. Ovšem ty, pro které platí , jsou jen čtyři. Dva z nich jsou však jenom unární operátory, které nemohou být 2-Shefferovské. Proto existují jen dvě 2-Shefferovské funkce.

Zajímavá je otázka: Kolik je obecně n-Shefferovskáých funkcí? Žádný vzorec se mi nepodařilo ani vymyslet, ani nalézt. Zdá se, že existuje pro každé konečné alespoň jedna. V oxfordském matematickém slovníku jsem nalezl tento předpis pro n-Shefferovskou funkci:

Říkají jí "Wenn funkce", což bude asi nějaké nedorozumění. Důkaz, že se skutečně jedná o n-Shefferovskou funkci jsem zatím nenašel. Pro žádné nekonečné žádná n-Shefferovská funkce neexistuje, protože funkcí je nespočetně mnoho, kdežto konečným způsobem lze složit jen spočetně mnoho funkcí.

Matematika je především drzost

2010-05-12T13:46:00.001+02:00

Nowhere, then, on our real line—not at zero, nor to its left nor to its right, not sheltered among the rationals, nor masquerading as an irrational—can there be any number which is the square root of negative one. It is at this point that a deep quality of the mathematical art emerges—let’s call it the Alcibiades Humor. For Alcibiades was the infant terrible of ancient Athenian life at the time of Socrates: handsome and willful, outrageous and heroic, arrogant and playful, disrupter of dis course and envoy of passion to the feast of reason. Plutarch tells us that even as a boy, dicing in the street, he dared an angry carter to run him over—and of course the carter turned back. The Alcibiades Humor in mathematics is just this hubris, this refusal to stop playing when all seems lost.

Robert + Ellen Kaplan – The art of the infinity

Číslo, které je druhou odmocninou z mínus jedné, tedy nemůže být nikde na naší číselné ose – ne v nule, ne nalevo ani napravo od ní, nemůže se ukrývat mezi racionálními čísly, ani se maskovat jako číslo iracionální. Právě v tuto chvíli se vynoří hluboká kvalita matematického umění – nazvěme ji Alkibiadovým humorem. Protože Alkibiadés byl infant terrible života ve starověkých Athénách v době Sókratově: krásný a tvrdohlavý, skandální a hrdinský, arogantní a hravý narušitel rozmluv a vyslanec vášně na hostině rozumu. Plútarchos nám říká, že když hrál, ještě jako chlapec, na ulici v kostky, vyzval rozzlobeného vozku, aby ho přejel – a vozka samozřejmě svůj vůz obrátil. Alkibiadův humor v matematice je právě tahle arogance, tohle odmítnutí přestat hrát, když se zdá být vše ztraceno.

Robert Kaplan, Ellen Kaplanová – Umění nekonečna

Je matematika psychologie?

2010-04-26T18:57:00.000+02:00

Na chemii se (s přimhouřením jednoho oka) můžeme dívat jako na speciální část fyziky, ale, ačkoli jsou sochy dělané z kamene, není sochařství mineralogie. Matematická práce je nepochybně výsledkem činnosti lidské psychiky. Je to s matematikou jako s chemií, nebo jako se sochařstvím. Husserl nabízí takovouto odpověď:

Und trotz dieses "psychologischen Ursprungs" der arithmetischen Begriffe erkennt es jeder als eine fehlerhafte μετάβασις an, daß die mathematischen Gesetze psychologische sein sollen. Wie ist das zu erklären? Hier gibt es nur eine Antwort. Mit dem Zählen und dem arithmetischen Operieren als Tatsachen, als zeitlich verlaufenden psychischen Akten, hat es natürlich die Psychologie zu tun. Sie ist ja die empirische Wissenschaft von den psychischen Tatsachen überhaupt. Ganz anders die Arithmetik. Ihr Forschungsgebiet ist bekannt, es ist vollständig und unüberschreitbar bestimmt durch die uns wohlvertraute Reihe idealer Spezies 1, 2, 3 . . . Von individuellen Tatsachen, von zeitlicher Bestimmtheit ist in dieser Sphäre gar keine Rede. Zahlen, Summen und Produkte von Zahlen (und was dergleichen mehr) sind nicht die zufällig hier und dort vor sich gehenden Akte des Zählens, des Summierens und Multiplizierens usw. Selbstverständlich sind sie auch verschieden von den Vorstellungen, in denen sie jeweils vorgestellt werden. Die Zahl Fünf ist nicht meine oder irgend jemandes anderen Zählung der Fünf, sie ist auch nicht meine oder eines anderen Vorstellung der Fünf. In letzterer Hinsicht ist sie möglicher Gegenstand von Vorstellungsakten, in ersterer ist sie die ideale Spezies einer Form, die in gewissen Zählungsakten auf Seiten des in ihnen Objektiven, des konstituierten Kollektivum, ihre konkreten Einzelfälle hat. In jedem Falle ist sie ohne Widersinn nicht als Teil oder Seite des psychischen Erlebnisses, somit nicht als ein Reales zu fassen.

Edmund Husserl – Logische Untersuchungen I.

Navzdory tomuto "psychologickému původu" aritmetických pojmů uznává každý jako chybnou μετάβασις, že by matematické zákony měly být psychologické. Jak to vysvětlit? Zde existuje pouze jedna odpověď. Počítáním a aritmetickým operováním jakožto fakty, jakožto časově probíhajícími psychickými akty, se samozřejmě zabývá psychologie. Je přece empirickou o psychických faktech vůbec. Zcela jinak tomu je v aritmetice. Její výzkumné pole je známé, je úplné a nepřekročitelně určené nám dobře známou řadou ideálních species 1, 2, 3, ... O individuálních faktech, o časové určenosti se v této sféře vůbec nikde nemluví. Čísla, součty a součiny čísel (a podobně) nejsou nahodile tu či onde probíhající akty počítání, sčítání a násobení atd. Také se pochopitelně liší od představ, v nichž si je někdo představuje. Číslo pět není mé či někoho jiného počítání do pěti, není to ani má či někoho jiného představa pětky. Z hlediska představ je číslo pět možným předmětem aktů představování, z hlediska počítání je ideálním spesies, která má v jistých aktech počítání své konkrétní jednotlivé případy - podobně jako např. species barvy červeň v počitkových aktech červené. V každém případě ho nelze, aniž by to bylo protismyslné, pojímat jako část či stránku psychického prožitku, tudíž jako něco reálného.

Edmund Husserl – Logická zkoumání I.

Mathematical Expressions Generator

2010-04-23T13:55:00.000+02:00

The following python code generates mathematical expressions using simple (slightly modified) generative grammar.


def gen(grammar, N, N_max, S):
 if N > N_max:
  return []
 result = []
 terminal = True
 for rule in grammar:
  for i in range(0, len(S)):
   ch = S[i]
   if ch == rule[0]:
    Snew = S[0:i] + rule[1] + S[(i + 1):len(S)]
    result = result + gen(grammar, N + 1, N_max, Snew)
    terminal = False
 if terminal:
  return [S]
 return list(set(result))

grammar = [
 ["S", "(S + S)"],
 ["S", "(S * S)"],
 ["S", "(S - S)"],
 ["S", "(-S)"],
 ["S", "x"],
 ["S", "y"],
 ["S", "z"],
 ["S", "0"],
 ["S", "1"],
 ["S", "2"],
 ["S", "3"],
]

for f in gen(grammar, 0, 4, "S"):
 print f

Output:


(y * (-0))
(3 + 1)
((-z) - 2)
((-y) * z)
(-(3 - x))
((-3) - z)
(3 * 1)
...
(-(2 * 2))

Dvě definice nekonečna

2010-04-15T18:13:00.002+02:00

Pojem nekonečna se zde týká jen množin. Ale ani v tomto případě není pojem nekonečna jednoznačný, protože existuji přinejmenším dvě definice:

Definice. (Dedekind) Množina a je nekonečná, jestliže existuje množina b ∈ a taková, že existuje bijetkivní zobrazení z množiny b do množiny a.

Definice. (Tarský) Množina a je nekonečná, jestliže existuje ∅ ≠ b ⊆ P(a), kde P(a) je potenční množina množiny a, taková, že b nemá maximální prvek ve smyslu inkluze.

V Zermelo-Fraenkelově teorii množin je dokazatelné, že každá množina konečná podle Tarského je také konečná podle Dedekinda (...). Mámeli k dispozici axiom výběru, je možno dokázat i druhou implikaci: Jestliže x není konečná podle Tarského, ukážeme matematickou indukcí, že každé přirozené číslo je možno vzájemně jednoznačně zobrazitelné do množiny x. Předpoklad AC zaručí, že množina x má nějakou mohutnost κ ; evidentně ω ∈ κ. Takže množinu ω můžeme vzájemně jednoznačně zobrazit na podmnožinu množiny x a na základě tohoto zobrazení sestrojíme vzájemně jednoznačné zobrazení množiny x na její vlastní část (ω lze vzájemně jednoznačně zobrazit např. na množinu sudých čísel), neboli x není konečná podle Dedekinda.

Antonín Sochor – Metamatematika teorií množin

V ZF je tedy vše v pořádku, protože definice jsou ekvivalentní. ZF teorie množin však není jediná teorie množin.

Naším cílem je nejprve ukázat obecnou metodu konstrukcí interpretací jak teorie množin bez axiomu fundovanosti v teorii množin bez axiomu fundovanosti, tak také interpretací teorie množin s atomy v teorii množin s atomy. Tuto obecnou metodu pak použijeme pro konstrukci tří interpretací, v jejichž smyslu bude po řadě platit:
(1) existuje množina, lineární uspořádání na každé jejíž části je dobrým uspořádáním, a tato množina není konečná podle Tarského, ale je konečná podle Dedekinda (viz dále); navíc tato množina nemá spočetnou část, a tedy neexistuje ani vzájemně jednoznačné zobrazení naší množiny do ω, ani vzájemně jednoznačné zobrazení ω do naší množiny;
(2) existuje množina, kterou lze lineárně uspořádat, kterou však nelze uspořádat dobře;
(3) sjednocení spočetně mnoha spočetných množin nemusí být spočetnou množinou.
Poznamenejme, že z kteréhokoli výše uvedeného tvrzení plyne negace axiomu výběru (...).

Antonín Sochor – Metamatematika teorií množin

Příslušná ukázka z knihy Metamatematika teorií množin je zde.

Důležitý homeomorfismus

2010-04-13T17:49:00.005+02:00

Eukleidovský n-rozměrný prostor je množina E_n = {(x₁, ..., x_n) | x_i) ∈ R} a n-rozměrná sféra je množina S_n = {x| x ∈ E_n+1, ||x|| = 1}. Následující tvrzení poskytuje mj. návod, jak si představit situaci, kdy se rovnoběžky protínají v nekonečnu, anebo to, že v nekonečnu se neprotínají jen rovnoběžky, ale všechny přímky v eukleidovském prostoru.

Tvrzení. Buď s libovolný bod sféry S_n. Potom S_n - {s} je homeomorfní s E_n.

Důkaz. (...) Uvažujme zobrazení

E_n →_f S_n - {(0, ..., 0, 1)} →_g E_n

daná předpisy

f(x) = (4 x₁, ..., 4 x_n, x² - 4) / (x² + 4),

kde x² je skalární součin x x,

g(y) = 2(y₁, ..., y_n) / (1 - y^{n + 1}).

Zobrazení f skutečně zobrazuje s E_n do s S_n - {(0, ..., 0, 1)}, protože

||f(x)|| = √(16 x² + x⁴ - 8 x² + 16) / (x² + 4) = 1

(x² - 4) / (x² + 4) ≠ 1.

Zobrazení f a g jsou zřejmě spojitá a snadno se ověří, že platí fg(x) = x, gf(x) = x.

Více (o moc více) v knize Podprostory Euklidovských prostorů od Aleše Putra.

Cicero o probabilismu

2010-04-01T14:08:00.000+02:00

Occuritur autem nobis, et quidem a doctis et eruditis quaerentibus, satisne constanter facere videamur, qui, cum percipi nihil posse dicamus, tamen et aliis de rebus disserere soleamus et hoc ipso tempore praecepta officii persequamur. Quibus vellem satis cognita esset nostra sententia. Non enim sumus ii, quorum vagetur animus errore nec habeat umquam quid sequatur. Quae enim esset ista mens vel quae vita potius, non modo disputandi, sed etiam vivendi ratione sublata? Nos autem, ut ceteri alia certa, alia incerta esse dicunt, sic ab his dissentientes alia probabilia, contra alia dicimus. Quid est igitur, quod me impediat ea, quae probabilia mihi videantur, sequi, quae contra improbare atque adfirmandi arrogantiam vitantem fugere temeritatem, quae a sapientia dissidet plurimum? Contra autem omnia disputantur a nostris, quod hoc ipsum probabile elucere non possit, nisi ex utraque parte causarum esset facta contentio.

Marcus Tullius Cicero – De officiis

Od lidí vzdělaných však slýchám námitku, zda jednám dosti důsledně, když na jedné straně tvrdím, že o ničem nelze nabýt úplné jistoty, a přece mezi jinými otázkami, o nichž pojednávám, podávám nyní dokonce i předpisy o povinnostech. Velice rád bych těmto lidem objasnil své stanovisko. Nejsem věru z těch, jejichž duch tápe v nejistotě a nemá nikde pevný cíl. Vždyť jaké by to bylo myšlení, jaký by to byl život, kdyby nám byla odňata možnost nejen rozumné výměny názorů, ale vůbec života rozumného! Já se liším od jiných, kteří některé věci nazývají jistými s jiné nejistými, jen tím, že jedny nazývám pravděpodobnými a jiné nikoliv. Co mi tedy brání, abych se nedržel toho, co se mi zdá pravděpodobným, a neodmítal to, co se mi naopak zdá pravděnepodobným, a abych se nevaroval domýšlivé jistoty ve svých tvrzeních, vyhýbaje se tak nerozvážnosti, jež je pravým opakem moudrosti? Naše škola však uvádí všechno v pochybnost jenom proto, že sama pravděpodobnost se nemůže stát zřejmou jinak, než když se zváží důvody uváděné z obou stran.

Marcus Tullius Cicero – O povinnostech

Plútarchos o fyzice a Platónovi

2010-03-29T20:55:00.000+02:00

οὐ γὰρ ἠνείχοντο τοὺς φυσικοὺς καὶ μετεωρολέσχας τότε καλουμένους, ὡς εἰς αἰτίας ἀλόγους καὶ δυνάμεις ἀπρονοήτους καὶ κατηναγκασμένα πάθη διατρίβοντας τὸ θεῖον, ἀλλὰ καὶ Πρωταγόρας ἔφυγε, καὶ Ἀναξαγόραν εἱρχθέντα μόλις περιεποιήσατο Περικλῆς, καὶ Σωκράτης, οὐδὲν αὐτῷ τῶν γε τοιούτων προσῆκον, ὅμως ἀπώλετο διὰ φιλοσοφίαν. ὀψὲ δ᾽ ἡ Πλάτωνος ἐκλάμψασα δόξα διὰ τὸν βίον τοῦ ἀνδρός, καὶ ὅτι ταῖς θείαις καὶ κυριωτέραις ἀρχαῖς ὑπέταξε τὰς φυσικὰς ἀνάγκας, ἀφεῖλε τὴν τῶν λόγων τούτων διαβολήν, καὶ τοῖς μαθήμασιν εἰς ἅπαντας ὁδὸν ἐνέδωκεν.

Πλούταρχος – Βίοι παράλληλοι

Tenkrát totiž nesnášeli fyziky a takzvané meteóroleschy, protože prý neuznávají božské působení a mluví místo toho o neočekávaných příčinách, o neprobádaných silách a o nutných důsledcích přírodních zákonů. Prótagoras byl dokonce poslán do vyhnanství, Anaxagoras byl uvězněn a jen s potížemi se Periklovi podařilo osvobodit ho, a Sokrates, třebaže s něčím takovým neměl nic společného, zahynul jen proto, že byl filozof. Teprve později Platónova sláva, která se zaskvěla zásluhou jeho života i proto,že přírodní nutnost podřídil božským principům jako mocnějším, zbavila takové výklady špatné pověsti a otevřela vědám cestu ke všem lidem.

Plútarchos – Životopisy slavných Řeků a Římanů

Překladatel si zřejmě nevěděl rady se slovem μετεωρολέσχας, čemuž se ani nedivím. František Novotný v překladu Platónovy Ústavy toto slovo přeložil jako „oblační tlachalové“. Je to asi z Aristofanovy komedie Oblaka.

Ferdinand Stočes o původnosti Mathesiových Zpěvů staré Číny

2010-03-10T18:50:00.000+01:00

Některé básně, které jsem našel u Mathesia, u Henschkeho, ale už ne u žádného opravdového překladatele, ať již britského, amerického, německého, francouzského či ruského, se skvěly a zářili v díle Judity Gautierové. Byl jsem zcela šokován. Vždyť šlo právě o jedny z nejkrásnějších a nejen mnou oblíbených básní. (...) Začalo ve mě klíčit podezření, že záhadná Judita Gautierová byla prostě šprýmařka, a to velmi nadaná, a celý svět se stal tak trochu objetí jejího smyslu pro humor. (...) Mé veliké podezření se změnilo ve skálopevné přesvědčení, když jsem v Hong Kongu narazil na skvělé dílo odborníků hongkongské univerzity (25 Tang Poet’s Index to English Translations). K mému nesmírnému zklamání básně ze Zpěvů staré Číny jako Pavilón z porcelánu, Věčná písmena, Perly a růže, Vítěz se psem a černou korouhví, Na hrob válečníkův a nejspíše i několik jiných jsou výtvory Judity Gautierové.

Ferdinand Stočes – Písně a verše staré Číny

Mathesiovy Zpěvy staré Číny jsou k nahlédnutí zde. Jestliže je někdo tímto Stočesovým odhalením odrazen od jejich četby, nedělá dobře.

Dva základní způsoby uchopení ideálních předmětů matematického studia

2010-03-03T18:50:00.000+01:00

Abychom mohli nějaký geometrický objekt nazírat, musíme ho vynořit z prázdnoty, která ho v geometrickém světě obestírá. (...) Vynořování (...) bývá vykládáno dvojím způsobem. Zaprvé: Všechny geometrické objekty jsou již vytvořeny; jejich bytí je trvalé a neměnné. Jsou však zakryty clonou prázdnoty, kterou je třeba odhalovat, chceme-li je nazírat. Vynořování (...) je v tomto případě odstraňování clony, která je přikrývá. Zadruhé: Geometr v této prázdnotě objekty vytváří, a to tak, že si je představuje. Bytí geometrických objektů v tomto případě není trvalé, je však obnovitelné. Vynořování (...) je tedy tvořením. (...) V Eukleidových Základech jsou geometrické objekty uchopeny druhým ze shora uvedených způsobů. (...) Nicméně v Základech jsou natolik zřetelné stopy po platónském myšlení, že z nich lze platónské pojetí geometrie rekonstruovat.

Petr Vopěnka – Úvod do četby Eukleidových základů

Magie a věda podle C. G. Lewise

2010-02-21T20:45:00.000+01:00

I have described as a „magician’s bargain“ that process whereby man surrenders object after object, and finally himself, to Nature in return for power. And I meant what I said. The fact that the scientist has succeeded where the magician failed has put such a wide contrast between them in popular thought that the real story of the birth of Science is misunderstood. You will even find people who write about the sixteenth century as if Magic were a medieval survival and Science the new thing that came in to sweep it away. Those who have studied the period know better. There was very little magic in the Middle Ages: the sixteenth and seventeenth centuries are the high noon of magic. The serious magical endeavour and the serious scientific endeavour are twins: one was sickly and died, the other strong and throve. But they were twins. They were born of the same impulse. I allow that some (certainly not all) of the early scientists were actuated by a pure love of knowledge. But if we consider the temper of that age as a whole we can discern the impulse of which I speak. There is something which unites magic and applied science while separating both from the wisdom of earlier ages.

Clive Staple Lewis – The Abolition of Man

Procesu, kdy člověk získává moc podmaňovat si věc za věcí a posléze je toutéž mocí nucen podrobit se přírodě, říkám „čarodějova smlouva“. A stojím za tím, co říkám. Fakt, že věda byla úspěšná tam, kde magie zklamala, vytvořila mezi oběma takovou vzdálenost, že dnes těžko rozumíme okolnostem, za kterých věda vznikla. Dokonce naleznete lidi, kteří píší o 16. století a zastávají názor, že tehdy byla Magie jako středověký přežitek odsunuta do pozadí Vědou. Ti, kteří se tou dobou zabývali, o tom vědí své. Ve středověku bylo velice málo Magie – její vrchol spadá až do 16. a 17. století. Opravdové magické a opravdové vědecké úsilí jsou dvojčata. První bylo nemocné a zemřelo, druhé bylo silné a prospívalo. Ale byla to dvojčata zrozená ze stejného impulsu. Přiznávám, že někteří (ale určitě ne všichni) dávní vědci byli motivováni čistou láskou k vědění. Ale když uvážíte duch té doby, můžeme tento motiv vcelku vypustit. Je tu něco, co sjednocuje magii a a užitou vědu té doby a zároveň je isoluje od „moudrosti“ dávnějších dob.

Clive Staple Lewis – Zničení člověka

Citovanou část přeložil (asi) Václav Cílek a delší ukázku lze nalézt zde.

Bedřich Bridel

2010-02-07T18:44:00.009+01:00

V Dušičkové kapli v Kutné Hoře odpočívá Bedřich Bridel (Fridrich Bridel, chcete-li), mj. básník. Životopis i jeho nejznámější báseň Co Bůh? Člověk? snadno najdete na internetu. Poznamenal jsem si jiné jeho verše. Toto je část rozměrné básně Jesličky:

Ó nebesa! Ó hvězdy!
Když se po nebi béřete,
když své míváte sjezdy,
mně moje srdce kradete.

Kolikrát se třpytíte
stříbrnými očičkami,
tolika mě raníte
srdce jakýmis střelami.

Když nastane svítání,
když se skví všecko, když svítí
rosou stříbrnou ranní,
nebe pozdravuje kvítí.

Potom pěkně vychází,
jako kníže postupuje,
po nebi se prochází,
slunce tak den vyměřuje.

Večer se potom blíží,
tu zase v nebeském kraji
měsíc den k zemi blíží,
opět spolu hvězdy hrají.

A další ukázka je z knihy o Ivanovi:

Vítejte pustiny,
v nichžto sám jediný
budu přebývati,
Bohu děkovati.

Vítej širé pole,
vítej i oudolé
u vás budu stálý,
přijměte mne, skály.

Vítej můj pokoji,
odpočnu po boji,
svět má velký rozbroj,
zde jest stálý pokoj.

Vítej má jeskyně,
tys má přítelkyně,
v této já zahradě
budu jako ve hradě.

Vítejte stromové,
moji příbytkové,
královská stolice
budeš borovice.

Vítejte kamení,
mé milé ležení,
nebo mně za oltář
budete neb polštář.

Vítej ó studnice,
budeš má vinice,
připíte bez škody
křišťálové vody.

Vítejte mé vody,
netřeba nádobí,
když vás budu míti,
kde chci, budu píti.

Vítejte hájové,
obydlí májové,
vítejte smrkové,
moji příbytkové.

Bertrand Russell o matematické jistotě

2010-02-05T09:23:00.001+01:00

Mnoho lidí pokládá matematiku za vědní disciplinu, ve které je vše zcela jasné a zcela nepochybné. Bertrand Russell, kterému bylo dáno vidět matematiku hodně zblízka, vyjádřil ve svých pamětech jiný názor.

I wanted certainty in the kind of way in which people want religious faith. I thought that certainty is more likely to be found in mathematics than elsewhere. But I discovered that many mathematical demonstrations, which my teachers expected me to accept, were full of fallacies, and that, if certainty were indeed discoverable in mathematics, it would be in a new kind of mathematics, with more solid foundations than those that had hitherto been thought secure. But as the work proceeded, I was continually reminded of the fable about the elephant and the tortoise. Having constructed an elephant upon which the mathematical world could rest, I found the elephant tottering, and proceeded to construct a tortoise to keep the elephant from falling. But the tortoise was no more secure than the elephant, and after some twenty years of very arduous toil, I came to the conclusion that there was nothing more that I could do in the way of making mathematical knowledge indubitable.

Bertrand Russell – Portraits from Memory and Other Essays

Toužil jsem po jistotě způsobem, jakým lidé touží po náboženské víře. Domníval jsem se, že v matematice lze jistotu nalézt spíše než kdekoli jinde. Ale přišel jsem na to, že mnohé matematické důkazy, které mi moji učitelé předkládali k uvěření, byly plné chyb. Jestliže tedy bylo možné nalézt jistotu v matematice, muselo by to být v nějaké nové matematice, stojící na solidních základech, nikoli na těch, které byly až doposud pokládány za bezpečné. Ale jak práce postupovala, pořád se mi vybavovala bajka o slonu a želvě. Jakmile jsem sestrojil slona, na kterém spočíval zbylý matematický svět, zjistil jsem, že se slon potácí, a sestrojil jsem želvu, aby mu pomohla získat rovnováhu. Želva však nebyla o nic stabilnější než slon, a po nějakých dvaceti letech úporné lopoty jsem přišel na to, že již nemohu nijak přispět k tomu, abych matematiku nesrovnalostí zbavil.

Bertrand Russell – Portréty z paměti a jiné eseje

Logika, metalogika a metametalogika

2010-01-25T17:29:00.002+01:00

Cíl je navrhnout kalkul použitelný nejen pro logiku, ale pro metalogiku, popř. pro metametalogiku. Návrh tohoto kalkulu vypadá následovně: Odvozovací systém pracuje s pravidly. Odvozovací systém umí pouze zaměnit proměnnou za jinou proměnnou, popř. výraz, a jsou-li splněny předpoklady pravidla a je-li o to žádán, pak vkládá do odvozených pravidel důsledek pravidla. Nic jiného odvozovací systém nedělá.

Pravidla logiky mají pouze důsledky. Jejich předpoklady jsou prázdné, a tedy vždy splněné. První pravidlo logiky je definice pravdy:

TI: A |- [\TRUE]

Proměnná A je proměnná seznamu výroků. Lomítko označuje konstantu. Seznam výroků má formu [a, b, c, ...]. Podle této definice je pravda to, co lze odvodit z každé teorie. Druhé pravidlo je definice nepravdy:

FI: [\FALSE] |- A

Nepravda je tedy to, z čeho lze odvodit každou teorii. Pokus o definici negace vypadá následovně:

NE: [not not a] |- [a]

Tato definice je zatím poněkud diskutabilní. Korektní definice logické spojky and, or, implikace a ekvivalence jsou tyto:

Axiomy klasické výrokové logiky jsem vtělil do těchto logických pravidel:

PP1: |- [a -> (b -> a)]
PP2: |- [(a -> (b -> c)) -> ((a -> b) -> (a -> c))]
PP3: |- [(not a -> not b) -> (b -> a)]

Axiomy klasické predikátové logiky prvního řádu jsou tyto:

GQI: [SUB(a, x, t)] |- [forall(x, SUB(a, x, t))]
GQE: [forall(x, a)] |- [SUBST(a, x, t)]
EQI: [SUB(a, x, t)] |- [exists(x, SUB(a, x, t))]

SUB zde znamená substituci všech výskytů. Chybí tam ještě obecný případ eliminace existenčního kvantifikátoru. Pro jeho definování je zřejmě nutné zavést nějaký další metalogický prvek.

Zatímco dokazatelnost jsem značil |-, oddělovač předpokladu a důsledku značím ||=. Nemyslím tím sémantický důsledek, který se značí |=, a který nepoužívám. Následuje sada pravidel, které definují, co je dokazatelnost. Následující pravidlo říká, že ze souboru tvrzení lze dokázat jeho podsoubor:

It: A, B, C |- B

Toto pravidlo je jen obecnější forma známého pravidla [a] |- [a]. Můžeme-li něco dokázat, pak můžeme dokázat i o nějaký podsoubor méně:

OM: A |- B, C, D ||- A |- B, D

Pořadí tvrzení v seznamu můžeme zaměnit:

OI: A |- B, C, D, E, F ||- A |- B, E, D, C, F

Dokazatelné ze stejných předpokladů můžeme spojit:

Co: A |- B AND A |- C ||- A |- B, C

Kromě dokazatelnosti by bylo možné uvést i pravidla pro nedokazatelnost (značím |/-). Toto je jen návrh:

Ap1: [\TRUE] |- A ||- A |/- [\FALSE]
Ap2: A |/- B AND C |- A ||- C |/- B
Ap3: A |/- B ||- A |/- [\FALSE]
Ap4: A |/- B AND A |/- C ||- A |/- B, C
Ap5: A |/- B, C, D, E, F ||- A |/- B, E, D, C, F

Dále je možné definovat pravidla, která z definovaných pravidel umožňují odvodit nová pravidla. Jinými slovy: pravidla definující logiku pravidel. Je těžké rozhodnout, zda se ještě jedná o pravidla metalogické, nebo jsou to pravidla metametalogická. Záleží na použití. První pravidlo říká, že pravidla jsou tranzitivní:

MLTr: (A ||- B) AND (B ||- C) ||- (A ||- C)

Je-li pravidlo odvozující z pravidla A pravidlo B a z pravidla B pravidlo A, jsou pravidla záměnná:

MLSUB: (A ||- B) AND (B ||- A) AND C ||- SUB(C, A, B, I)

Proměnná I je proměnná za množinu přirozených čísel, které jsou indexy proměnných, které jsou substituovány. Metalogické AND a OR jsou komutativní:

MLCC: (A AND B) ||- (B AND A)
MLCD: (A OR B) ||- (B OR A)

Nadto platí:

MLDI: A ||- (A OR A)

Metalogické AND a OR mohou být za určitých okolností eliminovány:

MLDE: (A OR B) ||- A
MLCE: (A AND A) ||- A

Pravidlo lze pomocí AND zpřísnit:

MLCI: A ||- (A AND B)

Prázdný předpoklad je vždy splněn:

MLE1: A ||- (||- A)
MLE2: (||- A) ||- A

Nádavkem ještě pravidla o dokazatelnosti a předpokladech pravidel:

MLJo: (A ||- B |- C) AND (D ||- B |- E) ||- (A AND D ||- B |- C, E)
MLPr: (A ||- B |- C) AND (D ||- C |- E) ||- (A AND D ||- B |- E)

Bohužel, uvedený metalogický systém nedovoluje odvodit pravidla, která však odvoditelná jsou. Je to např. pravidlo o dedukci a jeho důsledek pravidlo o důkazu sporem. Lze je však dodefinovat:

Ded: A, [b], C |- [d] AND CLOSED(b) ||- A, C |- [b -> d]
Dis: A, [not b] |- \FALSE ||- A |- [b]

CLOSED(x) je relace, která je splněná, pokud je formule x uzavřená. Zatím je vše jenom v zárodku a bude třeba na tom ještě zapracovat.

David Hilbert o ignorabimus

2010-01-20T16:22:00.001+01:00

Wir dürfen nicht denen glauben, die heute mit philosophischer Miene und überlegenem Tone den Kulturuntergang prophezeien und sich in dem Ignorabimus gefallen. Für uns gibt es kein Ignorabimus, und meiner Meinung nach auch für die Naturwissenschaft überhaupt nicht. Statt des törichten Ignorabimus heiße im Gegenteil unsere Losung: Wir müssen wissen, Wir werden wissen.

Neměli bychom věřit těm, kdo dnes s filosofickým nádechem a nadřazeností prorokují úpadek kultury a domýšlivě přijímají princip ignorabimus. Pro nás neexistuje žádné ignorabimus a podle mého názoru neexistuje ani pro přírodovědce. Místo bláhového ignorabimus, budiž naopak naším předsevzetím: Musíme vědět, budeme vědět.

Celý text je tady: http://www.jdm.uni-freiburg.de/JdM_files/Hilbert_Redetext.pdf
Vzácný zvukový proslovu je zde: http://math.sfsu.edu/smith/Documents/HilbertRadio/HilbertRadio.mp3

Plútarchos o matematice a mechanice

2010-01-08T18:15:00.001+01:00

První, kdo zaměřil pozornost k oblíbené a slavné mechanice, byli Audoxos a Archytas, když dali pestrost a půvab abstraktní geometrii. Při logicky a konstruktivně nesnadném řešení problému si vypomáhali názorem na příkladech z mechaniky; tak například problém dvou středních úměrných, který je v mnoha příkladech základním prvkem pro kresliče, vyřešil oba pomocí mechanické konstrukce, přičemž z křivek a kuželoseček sestrojili tzv. mesolab. Avšak Platón jejich metody s rozhořčením odmítal, protože prý ničí a ruší největší přednost geometrie, která první uniká z oblasti nehmotných a abstraktních jevů do smyslového světa a znova se zaměstnává tělesy, která již sama o sobě vyžadují mnoho namáhavé řemeslnické činnosti. Tak byla mechanika oddělena od geometrie a také byla po dlouhý čas přezírána i filozofií a pokládána za odvětví válečné techniky.

Plútarchos – Životopisy slavných Řeků a Římanů

Problém dvou středních úměrných lze napsat do rovnice: 1/x = x/y = y/2. Zkonstruovat řešení pomocí pravítka a kružítka není možné.

Plútarchos

2010-01-06T18:32:00.000+01:00

O málo světlých stránkách řeckého náboženství svědčí nejen samotná Iliada, ale i tento popis událostí při Xerxově vpádu:

τούτους ἰδὼν Εὐφραντίδης ὁ μάντις, ὡς ἅμα μὲν ἀνέλαμψεν ἐκ τω̂ν ἱερω̂ν μέγα καὶ περιφανὲς πυ̂ρ, ἅμα δὲ πταρμὸς ἐκ δεξιω̂ν ἐσήμηνε, τὸν Θεμιστοκλέα δεξιωσάμενος ἐκέλευσε τω̂ν νεανίσκων κατάρξασθαι καὶ καθιερευ̂σαι πάντας ὠμηστῃ̂ Διονύσῳ προσευξάμενον: οὕτω γὰρ ἅμα σωτηρίαν τε καὶ νίκην ἔσεσθαι τοι̂ς ̔́Ελλησιν. ἐκπλαγέντος δὲ του̂ Θεμιστοκλέους ὡς μέγα τὸ μάντευμα καὶ δεινόν, οἱ̂ον εἴωθεν ἐν μεγάλοις ἀγω̂σι καὶ πράγμασι χαλεποι̂ς, μα̂λλον ἐκ τω̂ν παραλόγων ἤ τω̂ν εὐλόγων τὴν σωτηρίαν ἐλπίζοντες οἱ πολλοὶ τὸν θεὸν ἅμα κοινῃ̂ κατεκαλου̂ντο φωνῃ̂ καὶ τοὺς αἰχμαλώτους τῳ̂ βωμῳ̂ προσαγαγόντες ἠνάγκασαν, ὡς ὁ μάντις ἐκέλευσε, τὴν θυσίαν συντελεσθη̂ναι.

Πλούταρχος – βιοι παραλλελοι

Ve chvíli, kdy je věštec Eufrantides spatřil, vzplála oběť velkým a jasným plamenem a zároveň bylo dáno znamení kýchnutím, které se ozvalo z pravé strany; Eufrantides podal proto Themistoklovi pravici a poručil mu, aby všechny tři jinochy zasvětil bohu a po modlitbě je věnoval masožravému Dionýsovi; tak se prý dostane Řekům záchrany a zároveň vítězství. Themistoklés se zděsil hrozné a neobyčejné věštby, lid však, který, jak tomu bývá ve velkém nebezpečí a za svízelných poměrů, očekával záchranu spíše od věcí nadpřirozených než rozumných, vzýval hromadně boha, přivlekl zajatce k oltáři a vynutil si, aby oběť byla vykonána podle věštcova příkazu.

Plútarchos – Životopisy slavných Řeků a Římanů